北京丰台区东高地第一中学高一数学文上学期摸底试题含解析

北京丰台区东高地第一中学高一数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则公比q=（

）A.－1 B.1 C.－2 D.2参考答案：A【分析】将转化为关于的方程，解方程可得的值．【详解】∵，∴，又，∴．故选A．【点睛】本题考查等比数列的基本运算，等比数列中共有五个量，其中是基本量，这五个量可“知三求二”，求解的实质是解方程或解方程组．

2.在△ABC中，已知a=3，b=5，c=，则最大角与最小角的和为（）A．90° B．120° C．135° D．150°参考答案：B【考点】HR：余弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值，确定出C的度数，即可求出A+B的度数．【解答】解：∵△ABC中，a=3，b=5，c=，则最大角为B，最小角为A，∴cosC===，∴C=60°，∴A+B=120°，则△ABC中的最大角与最小角之和为120°．故选：B．3.△ABC中，sin（A﹣B）=sinC﹣sinB，D是边BC的一个三等分点（靠近点B），记，则当λ取最大值时，tan∠ACD=

．参考答案：2+【考点】HP：正弦定理．【分析】由sin（A﹣B）=sinC﹣sinB，得sinB=2cosAsinB，cosA=，可得：A=，由已知得，利用和a2=b2+c2﹣bc可得λ取最值时，a、b、c间的数量关系．【解答】解：∵sin（A﹣B）=sinC﹣sinB，∴sinAcosB﹣cosAsinB=sinC﹣sinB=sinAcosB+cosAsinB﹣sinB，∴sinB=2cosAsinB，∵sinB≠0，∴cosA=，由A∈（0，π），可得：A=，在△ADB中，由正弦定理可将，变形为则，∵=∴即a2λ2=4c2+b2+2bc…①在△ACB中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣bc…②由①②得令，，f′（t）=，令f′（t）=0，得t=，即时，λ最大．结合②可得b=，a=c在△ACB中，由正弦定理得?，?tanC=2+故答案为：2+．4.已知△ABC在斜二测画法下的平面直观图△A'B'C'，△A'B'C'是边长为a的正三角形，那么在原△ABC的面积为（）A．a2 B．a2 C．a2 D．a2参考答案：C【考点】斜二测法画直观图．【分析】由原图和直观图面积之间的关系系=，求出直观图三角形的面积，再求原图的面积即可．【解答】解：直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，故面积为，而原图和直观图面积之间的关系=，那么原△ABC的面积为：，故选C．5.如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（）A． B． C．1 D．3参考答案：A【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意，设=λ，将向量表示成向量、的一个线性组合，再结合题中向量的等式，建立关于m、λ的方程组，解之即可得到实数m的值．【解答】解：∵，∴设=λ，（λ＞0）得=+∴m=且=，解之得λ=8，m=故选：A6.对于无穷数列{an}，给出下列命题：①若数列{an}既是等差数列，又是等比数列，则数列{an}是常数列.②若等差数列{an}满足，则数列{an}是常数列.③若等比数列{an}满足，则数列{an}是常数列.④若各项为正数的等比数列{an}满足，则数列{an}是常数列.其中正确的命题个数是（

）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：C【分析】按公差、公比的值分类讨论.【详解】既是等差数列也是等比数列的数列是非零常数列，所以①正确；设等差数列{an}的公差为，若，当无限大时，则无限大，；若，当无限大时，则无限小，；所以，只需即有②正确若等比数列{an}的公比为，，也满足，所以③错误.设各项为正数的等比数列{an}公比为，若，当，当无限大时，则无限大，不满足；若，当增大时，则趋于零，不满足；综上得，所以④正确.故选C.【点睛】本题考查等差等比数列的性质和函数单调性.7.圆上的动点到直线的最小距离为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：由题意得，圆心为（2,2），半径r=1，由圆心到直线的最小距离公式可得，所以圆上动点到直线的最小距离为．考点：考查圆上动点到直线的最小距离.8.图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±3，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为 ()A．－3，－，，3

B．3，，－，－3C．－，－3,3，

D．3，，－3，－参考答案：B略9.已知集合，，则

（

）A

B

C

D

参考答案：D10.若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将关于x的方程（）的所有正数解从小到大排列构成数列{an}，其，，构成等比数列，则

．参考答案：方程（）的所有正数解，也就是函数与在第一象限交点的横坐标，由函数图象与性质可知，在第一象限内，最小的对称轴为，周期又，，构成等比数列，解得故答案为

12.已知集合A＝，则集合A的子集的个数是________．参考答案：813.已知函数，则的值为

▲

.参考答案：－4由题意得．

14.已知，且，那么

▲

.参考答案：-18

略15.已知奇函数y=f（x）在定义域R上是单调减函数，且f（a+1）+f（2a）＞0，则a的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，﹣）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；演绎法；不等式的解法及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可．【解答】解：由f（a+1）+f（2a）＞0，得f（2a）＞﹣f（a+1），∵奇函数y=f（x）在定义域R上是单调减函数，∴f（2a）＞﹣f（a+1）等价为f（2a）＞f（﹣a﹣1），即2a＜﹣a﹣1，即a＜﹣，故答案为：（﹣∞，﹣）【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键．16.已知直线,过点且与平行的直线方程是

，点到直线的距离为 .参考答案：，

由与直线平行，可得其斜率为1，过点，可得其方程为，整理得，根据点到直线距离公式可得点到直线的距离为.故答案为，.

17.计算所得结果为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

已知函数的图象经过点（02）（1）求函数的单调递减区间；（2）当时，求函数的值域.参考答案：（1）∵函数的图象经过点（02）∴

∴

------------------------------------------------------------2分

∴＝

---------------------------------------------------------6分

∴由得∴函数的单调递减区间函数的单调递减区间为

-----------------------------------------------------8分（2）由（1）知∵∴

∴

--------------------------------------------------------10分∴，即函数的值域为

---------------------------12分19.已知函数f（x）=是定义域在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并证明你的结论；（Ⅲ）若f（2t﹣2）+f（t）＜0，求实数t的取值范围．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明；函数的值．【分析】（Ⅰ）利用函数为奇函数，可得b=0，利用f（）=，可得a=1，从而可得函数f（x）的解析式；（Ⅱ）利用导数的正负，可得函数的单调性；（Ⅲ）利用函数单调增，函数为奇函数，可得具体不等式，从而可解不等式．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知f（﹣x）=﹣f（x）∴=﹣∴﹣ax+b=﹣ax﹣b，∴b=0∵f（）=，∴a=1∴；（Ⅱ）当x∈（﹣1，1）时，函数f（x）单调增，证明如下：∵f（x）=，x∈（﹣1，1）∴f′（x）＞0，∴当x∈（﹣1，1）时，函数f（x）单调增；（Ⅲ）∵f（2t﹣2）+f（t）＜0，且f（x）为奇函数∴f（2t﹣2）＜f（﹣t）∵当x∈（﹣1，1）时，函数f（x）单调增，∴∴＜t＜，∴不等式的解集为（，）20.(本小题满分12分)计算：（1）（2）.参考答案：(1)8

(2)221.已知函数

（1）当时，求函数的最大值与最小值；（2）求实数的取值范围，使得在区间上是单调函数.参考答案：解：依题意得(1)当时,，

2分若，由图象知当时,函数取得最小值，最小值为1；当时，函数取得最大值，最大值为.5分（2）由于

图象的对称轴为直线.

6分若函数在上为单调增函数，则需要满足即；8分若函数在上为单调减函数，则需要满足即.

10分综上，若函数在区间上为单调函数，则

12分22.证明：函数f（x）=x2+1是偶函数，且在[0，+∞）上是增加的．参考答案：【考点】3K：函数奇偶性的判断；3E：函数单调性的判断与证明．【分析】结合已知条件，检验函数的定义域关于原点对称，检验f（﹣x）=（﹣x）2+1=f（x），进而可证明f（x）是偶函数