11.3 余弦定理、正弦定理的应用（六大题型）-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）（解析版）

第第页11．3余弦定理、正弦定理的应用课程标准学习目标（1）能够运用正弦定理、余弦定理解决有关测量距离、高度、角度的实际问题．（2）掌握用正弦定理、余弦定理解三角形实际问题的一般方法．（1）能运用解三角形的知识解决简单的测量问题.（2）能用解三角形的知识解决物理问题.（3）加强正弦定理、余弦定理的综合应用能力．知识点01测量中的常用角名称定义示例方位角从指北方向线顺时针转到目标方向线的角点A的方位角为225°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角点A的方向角为南偏西45°（或称西南方向）【即学即练1】（2024·安徽·高一校联考阶段练习）一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离海里，灯塔C在A的北偏西，距离为海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，则．【答案】/【解析】如图，在中，，则，因为，所以，在中，，则，所以，则.故答案为：.知识点02常见问题的测量方案1、距离问题类型简图测量两点A，B均可达先选定适当的位置C，用测角器测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即两点A，B可视，但有一点不可达在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出，，那么在△ABC中，已知两角及一边，运用正弦定理就可以求出AB两点A，B可视，均不可达测量者可以在河岸选定两点C，D，测得，同时在C，D两点分别测得，，，．在和中，由正弦定理计算出AC和BC后，再在中，应用余弦定理计算出A，B两点间的距离2、高度问题类型简图测量方案底部可达测得，，底部不可达点B与C，D共线测得及C与的度数先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值．点B与C，D不共线测得及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数．在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值【即学即练2】（2024·全国·高一假期作业）岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度CD约（

）（，）

A．18米 B．19米 C．20米 D．21米【答案】B【解析】在中，，则，在中，，，由，得，，所以岳阳楼的高度约为19米.故选：B.题型一：距离问题【典例1-1】（2024·江苏无锡·高一江苏省南菁高级中学校考阶段练习）如图，位于我国南海海域的某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里（小岛的大小忽略不计，测量误差忽略不计），经过测量得到数据：．小岛C与小岛D之间的距离为海里．

【答案】【解析】由于四点共圆，所以，由正弦定理可知，在中，，解之得，显然不合题意.故答案为：.【典例1-2】（2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）如图，设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为100米，50米.现欲在M、N之间架设高压电网，须计算M，N之间的距离.勘测人员在海平面上选取一点，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为，，并从P点观测到M，N点的视角（即角）为，则M，N之间的距离为米.

【答案】【解析】由题意得，，，，在中，，在中，，在中，由余弦定理得，故.故答案为：【变式1-1】（2024·全国·高一专题练习）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”，若要测量如图所示某蓝洞口边缘，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得海里，，，，则，两点的距离为海里.

【答案】【解析】在三角形中，，所以，所以，在三角形中，，由正弦定理得，在三角形中，，所以（海里）.故答案为：【变式1-2】（2024·北京怀柔·高一统考期末）神舟十五号返回舱于北京时间2023年6月4日6时在东风着陆场成功着陆，着陆地点在航天搜救队A组北偏东的方向60公里处，航天搜救队B组位于A组东偏南的方向80公里处，则航天搜救队B组距着陆点公里．【答案】【解析】记着陆点为点C，如图，公里，公里，，，，在中，由余弦定理得，解得公里.故答案为：.【变式1-3】（2024·辽宁·高一校联考期末）抚仙湖，位于澄江市、江川区、华宁县之间，湖面积仅次于滇池和洱海，为云南省第三大湖，也是我国最大的深水型淡水湖泊．如图所示，为了测量抚仙湖畔M，N两点之间的距离，现取两点E，F，测得公里，，，，则M，N两点之间的距离为公里．

【答案】【解析】在中=由正弦定理可得：即在中所以，则,中由余弦定理可得：即故答案为：.【变式1-4】（2024·四川自贡·高一统考期末）如图，为山脚两侧共线的三点，在山顶处观测三点的俯角分别为．现测得．计划沿直线开通一条穿山隧道，则隧道的长度为．【答案】【解析】在中，，，，由正弦定理，即，所以.在中，因为，，所以，由正弦定理得，所以，所以，所以隧道的长度为.故答案为：.【方法技巧与总结】求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形．题型二：高度问题【典例2-1】（2024·全国·高一随堂练习）灵运塔，位于九江市都昌县东湖南山滨水区，踞南山之巅，南望鄱湖，当代新建仿古塔．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量灵运塔的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，灵运塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（

）A．45米 B．50米 C．55米 D．60米【答案】B【解析】设米，在中，，则，在中，，则，因为，所以由余弦定理得：，整理得：，解得(米).故选：B【典例2-2】（2024·江苏南京·高一校联考阶段练习）如图，小明欲测校内某旗杆高MN，选择地面A处和他所在教学楼四楼C处为测量观测点（其中A处、他所在的教学楼、旗杆位于同一水平地面）．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及，从C点测得．已知C处距地面10m，则旗杆高（

）

A．12m B．15m C．16m D．18m【答案】B【解析】由题意可知，，，，所以，在中，，，所以，由正弦定理可知，，即，解得：，在直角三角形中，，，则.故选：B【变式2-1】（2024·陕西商洛·高一校考期末）如图，八卦桥（图1）是洛南县地标性建筑之一，它是一个八边形人行天桥，桥的中心处建有一座五层高的宝塔（图2），晚上宝塔上的霓虹灯流光溢彩非常美丽.某同学为了测量宝塔的高度，在塔底部同一水平线上选取了C，D两点，测得塔的仰角分别为和，C，D间的距离是12米.则宝塔的高度AB是（

）米.（结果保留根号）

A． B．C． D．【答案】D【解析】设宝塔的高度米，因为，故米，而米，故米，又，所以，解得（米），即宝塔的高度AB是米，故选：D【变式2-2】（2024·浙江嘉兴·高一校联考期末）如图所示，某数学兴趣小组为了测量嘉兴某地“智标塔”高度，在地面上点处测得塔顶点的仰角为，塔底点的仰角为.已知山岭高为米，则塔高为（

）

A．米 B．米C．米 D．米【答案】B【解析】在中，，在中，，所以．故选：B．【变式2-3】（2024·辽宁鞍山·高一校考期末）如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在自己家阳台M处，M到楼地面底部点N的距离为，假设电视塔底部为E点，塔顶为F点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点P，且E，N，P三点共处同一水平线，在P处测得阳台M处、电视塔顶处的仰角分别是和，在阳台M处测得电视塔顶F处的仰角，假设，和点P在同一平面内，则小明测得的电视塔的高为（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，在中，，，则，由正弦定理，可得，在中，(m).故选：A.【方法技巧与总结】测量高度问题的解题策略(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．(2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．题型三：角度问题【典例3-1】（2024·安徽铜陵·高一铜陵一中校考阶段练习）如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为θ，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2θ，再由D向塔前进米后到点E，测得塔顶的仰角为4θ，则θ＝，塔高为米．【答案】/15【解析】解析由题意，得又在中，由余弦定理的推论得，，∴，∴，，∵，∴．故答案为：；15.【典例3-2】（2024·全国·高一专题练习）瀑布是庐山的一大奇观，唐代诗人李白曾在《望庐山瀑布中》写道：日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川，飞流直下三千尺，疑是银河落九天.为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：沿一段水平山道步行至与瀑布底端在同一水平面时，在此位置测得瀑布顶端的仰角正切值为，沿山道继续走20，测得瀑布顶端的仰角为.已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为.根据这位同学的测量数据，可知该瀑布的高度为；若第二次测量后，继续行进的山道有坡度，坡角大小为，且两段山道位于同一平面内，若继续沿山道行进，则该同学望向瀑布顶端与底端的视角正切值为.（此人身高忽略不计）【答案】603【解析】如图，设瀑布顶端为，底端为，高为，该同学第一次测量的位置为，第二次测量的位置为，则，,所以，在中由余弦定理可知：即，解得：;如图，两段山道为,过作于点，由题意知：，，所以，在中，即，所以，所以，所以，又，所以，，所以.故答案为：60；3.【变式3-1】（2024·福建泉州·高一校联考期末）如图，某人身高1.73m，他站的地点A和云南大理文笔塔塔底O在同水平线上，他直立时，测得塔顶M的仰角（点E在线段上，忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段向塔前进100m到达点B，在点B直立时，测得塔顶M的仰角：塔尖的视角（N是塔尖底，在线段上）.

（1）求塔高；（2）此人在线段上离点O米，他直立看塔尖的视角最大？参考数据：，，.【答案】63.59【解析】（1），，.在中，由正弦定理得，，又，.，所以，.（2）由（1）知，..，.设此人应在线段上的处，，直立时，眼睛处于点，则，，，当且仅当，即时，等号成立.所以，他站在线段上到点的距离为为处时，看塔尖的视角最大.故答案为：；63.59【变式3-2】（2024·辽宁沈阳·高一沈阳市第八十三中学校考阶段练习）通信卫星与经济、军事等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球（球心为，半径为），地球上一点的纬度是指与赤道平面所成角的度数，点处的水平面是指过点且与垂直的平面，在点处放置一个仰角为的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点的纬度为北纬，则．【答案】【解析】依题意，作出图形，如图，，则，在中，由正弦定理得：，即，于是得，所以.故答案为：【变式3-3】（2024·高一课时练习）“一带一路”国际合作高峰论坛（于2017年5月14日至15日）在北京举行，会议期间达成了多项国际合作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量.已知AB=60m，BC=120m，于A处测得水深AD=120m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=150m，则cos∠DEF=.【答案】【解析】如图，作∥交于，交于，则,,，在中，由余弦定理得,故答案为：【方法技巧与总结】测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．题型四：物理问题【典例4-1】（2024·山东聊城·高一统考期末）若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态.已知，，与的夹角为120°，则的大小为（

）A．1 B． C． D．3【答案】B【解析】因为，，与的夹角为120°，根据余弦定理，可得与的合力为，因为三个力处于平衡状态，合力为0，所以的大小为.故选：B【典例4-2】（2024·湖北武汉·高一华中科技大学附属中学校考阶段练习）如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1km，水的流速为2，若客船从码头A驶到码头B所用的时间为6min，则客船在静水中的速度为．【答案】【解析】设AB与河岸线所成的角为θ,客船在静水中的速度为vkm/h.如图示：由题意知,，所以所以由余弦定理得,解得.故答案为：【变式4-1】（2024·湖南长沙·高一校考阶段练习）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（与河的方向垂直）的正东方向并且与B相距的码头C处卸货．若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时：（1）求合速度的方向；（2）求小货船航行速度的大小及方向．【解析】（1）如图．所以得：，所以合速度的方向为北偏东

（2）∵．∴∴

又所以所以货船航行的方向为北偏东.【变式4-2】（2024·高一课时练习）如图，用两根绳子牵引重为的物体，两根绳子的拉力分别为，，此时平衡．如果，与的夹角．(1)求的大小（精确到1N）；(2)求与的夹角的值（精确到0.1°）．【解析】（1）由平衡力的定义知，，所以，化简得得，解得.所以；（2）,即,,,,即与的夹角约为.【变式4-3】（2024·全国·高三专题练习）如图，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘客船从码头出发匀速驶往河对岸的码头.已知，水流速度为，若客船从码头驶到码头所用的最短时间为，则客船在静水中的速度大小为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为，由题意得，则，由余弦定理得，解得，故选：B.【方法技巧与总结】物理中很多矢量如速度、力等的计算大多可以归为解三角形．解决此类问题的办法是结合物理知识把涉及的量用图形表示出来，转化为解三角形的问题．题型五：三角形边长、面积、周长最值与范围问题【典例5-1】（多选题）（2024·全国·高一假期作业）设的内角的对边分别为，，，下列结论正确的是（

）A．若，则满足条件的三角形只有1个B．面积的最大值为C．周长的最大值为D．若为锐角三角形，则的取值范围是【答案】BCD【解析】对于A，因为，，所以满足条件的三角形有2个，故A错误；对于B，由余弦定理得，即，所以，当且仅当时取等号，所以，所以面积的最大值为，故B正确；对于C，由余弦定理得，即，所以，当且仅当时取等号，所以的周长，所以周长的最大值为，故C正确；对于D，由正弦定理得，因为为锐角三角形，所以，，即，，所以，故D正确．故选：BCD.【典例5-2】（多选题）（2024·山东菏泽·高一统考期末）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且.若D是外一点，DC＝1，AD＝2，则下列说法中正确（

）A． B．C．四边形ABCD面积有最小值 D．四边形ABCD面积有最大值【答案】ABD【解析】在中，因为，所以，即，又，所以，在中，因为，则，所以，则，故AB正确；在中，，在中，，四边形ABCD面积，其中（为锐角），又，所以，因为函数在上递增，在上递减，所以四边形ABCD面积有最大值，无最小值，故C错误，D正确.故选：ABD.【变式5-1】（多选题）（2024·山西朔州·高一校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为AB的中点，且，，则（

）．A． B．面积的取值范围为C．周长的取值范围为 D．CD长度的取值范围为【答案】BCD【解析】由正弦定理可得，整理得，所以，又，所以．故A错误，对于B,由可得，当且仅当时取等号，所以,故面积的取值范围为，B正确，对于C，由得，当且仅当时取等号，由于故周长的范围，故C正确，对于D，由于，所以，由于，所以，故D正确，故选：BCD【变式5-2】（2024·全国·高一假期作业）已知的内角的对边分别为，且.(1)求边长和角A；(2)求的周长的取值范围.【解析】（1）因为，由正弦定理得，，，，可得，因为，所以，由得，得，故或，故或0(舍去).（2）因为，由余弦定理得，即，所以，又，即，解得，根据三角形三边关系得到，故，的周长的取值范围是.【变式5-3】（2024·全国·高一假期作业）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．(1)求角C；(2)若，求的取值范围．【解析】（1）若选①：，则，∴∴∵，，∴，∵，∴.若选②：，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴．若选③：，则，由正弦定理得，∴∴，∴，∵，∴．（2）由正弦定理得，故，则，，由于，，，∴.【变式5-4】（2024·湖南岳阳·高一校考阶段练习）在平面直角坐标系中，锐角、的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点分别为，.已知点的纵坐标为，点的横坐标为.(1)求的值；(2)记的内角，，的对边分别为，，.若，且，求周长的最大值.【解析】（1）因为，是锐角，所以，在第一象限，又因为，在单位圆上，点的纵坐标为，点的横坐标为，所以，，所以，.故.（2）由（1）中结论可得，又，∴，由余弦定理可得，即，∵，∴，∴，当且仅当时，等号成立，∴，即当为等边三角形时，周长最大，最大值为6.【变式5-5】（2024·四川眉山·高一校联考期末）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．(1)求角A的大小；(2)若的周长为6，求面积S的最大值．【解析】（1）由余弦定理，得，即则，所以又，所以．（2）由题意，，根据余弦定理，得，则，所以，当且仅当时取等号所以面积，故面积S的最大值为．【变式5-6】（2024·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）锐角中，内角的边分别对应，已知.(1)求；(2)若，求的取值范围.【解析】（1）因为，由正弦定理得，整理得，所以，因为，所以.（2）设的外接圆的半径为，因为，且，可得，由正弦定理可得，，又因为，可得，所以,因为为锐角三角形，可得，解得，所以，可得，所以，所以.【变式5-7】（2024·甘肃白银·高一校考期末）的内角的对边分别为，，，且．(1)求；(2)若为的角平分线，且，求面积的最小值．【解析】（1）解法1、因为，由余弦定理得，整理得，即，则，因为，所以．解法2、因为，由正弦定理得，因为，可得，所以，整理得，因为，所以，则，因为，所以．（2）由，可得，可得，所以，当且仅当时，等号成立，则的面积为，即面积的最小值为．【变式5-8】（2024·江苏南京·高一南京市江宁高级中学校联考期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求A；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.【解析】（1）由正弦定理可得：，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，因为，所以，即；（2）法一：由及（1）知的面积.由正弦定理得.由于为锐角三角形，故，.由（1）知，所以，因为在上单调递增，故，故，故，从而.因此面积的取值范围是；法二：因为，，由余弦定理得，即，故，为锐角三角形，则，即，由①得，解得，由②得，解得或（舍去），综上，所以.题型六：三角形中的图形类问题【典例6-1】（2024·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求B；(2)已知，D为边上的一点，若，，求的长．【解析】（1）∵，根据正弦定理得，，即，所以，因为，所以，所以，因为，所以．（2）因为，，，根据余弦定理得，∴．∵，∴．在中，由正弦定理知，，∴，∴，，所以∴，∴．【典例6-2】（2024·广东湛江·高一湛江市第二中学校考期末）在中，是上的点，平分，.(1)求的值；(2)若，，求的长.【解析】（1）在中，是上的点，平分，，由内角平分线定理可得：，由正弦定理有：．（2）由结合（1）的结论有：，则：，整理可得：，由，得，在中，，则，由正弦定理可得，，即，得．【变式6-1】（2024·四川遂宁·高一四川省蓬溪中学校校考阶段练习）如图，的内角、、的对边分别为、、，且.(1)求角B的大小；(2)若，.（i）求的值；（ii）求的角平分线的长.【解析】（1），所以，，可得，又因为，故.（2）（i）因为，解得，由余弦定理可得，则，由正弦定理可得，所以，；（ii）因为，即，因此，.【变式6-2】（2024·海南省直辖县级单位·高一校考期末）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，.

(1)求的度数；(2)求的面积.【解析】（1）由已知得，，，所以是等腰三角形，，所以，所以.（2）由（1）知中，，，又，所以.【变式6-3】（2024·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期末）如图，在中，，，为内一点，．(1)若，求；(2)若，求的面积．【解析】（1）在中，，，，可得，．，在中，由余弦定理得，即，；（2）设，可得，，在中，，中，由正弦定理得，即，，化简得，，因此，，，所以的面积.【变式6-4】（2024·山东临沂·高一统考期末）如图，在平面四边形中，，，，，．

(1)求的值；(2)求的长．【解析】（1）在中，，，，由余弦定理可得，整理可得，，解得，则，故为等腰三角形，故.（2）由（1）知，，又因为，则，因为，则为锐角，且，所以，，在中，由正弦定理，可得.一、单选题1．（2024·重庆·高一重庆市大学城第一中学校校考期末）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（）A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向【答案】C【解析】如图，在中，，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，因为，所以解得，由正弦定理得，故或，因为，故为锐角，所以，此时灯塔位于游轮的南偏西方向.故选：C2．（2024·全国·高一专题练习）某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得∠C＝120°，米，米，则A，B间的直线距离约为（

）A．60米 B．130米 C．150米 D．300米【答案】B【解析】由题设，在中，由余弦定理，所以米.故选：B.3．（2024·全国·高一专题练习）如图，某人在河南岸的点A处，想要测量河北岸的点与点A的距离，现取南岸一点，得，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可知：，则，由正弦定理可得.故选：A.4．（2024·全国·高一专题练习）如图，、两点在河的同侧，且、两点均不可到达．现需测、两点间的距离，测量者在河对岸选定两点、，测得，同时在、两点分别测得，，，则、两点间的距离为（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】，，是等边三角形，；中，，，，由正弦定理得，，，，中，由余弦定理得，，即、两点间的距离为．故选：D．5．（2024·江苏连云港·高一校考阶段练习）在中，若，，的面积为，则（

）A．12 B． C．2 D．4【答案】B【解析】因为的面积为，所以，所以，由余弦定理得，.故选：B.6．（2024·广东东莞·高一东莞市厚街中学校考阶段练习）如图，设两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，则两点间的距离为（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】，由正弦定理得.故选：C7．（2024·云南保山·高一校考期末）已知的三个内角分别为，，，若，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，由正弦定理得：，化简得：，由余弦定理得：，当且仅当时等号成立，从而可得为锐角，所以：，得：，则：，所以：，所以：的最大值为，故A项正确.故选：A.8．（2024·江苏连云港·高一连云港高中校考期末）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且外接圆半径为，则△ABC周长的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，由正弦定理的又因为，可得，所以，即，因为，可得，可得，即，解得或（舍去），因为，所以，则，又因为外接圆半径为，所以，又由，因为为锐角三角形，且，所以且，解得，可得，所以，所以.故选：C.二、多选题9．（2024·全国·高一随堂练习）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（

）A．处与处之间的距离是B．灯塔与处之间的距离是C．灯塔在处的西偏南D．在灯塔的北偏西【答案】AC【解析】在中，由已知得，，则，由正弦定理得，所以A处与D处之间的距离为，故A正确；在中，由余弦定理得，又，解得．所以灯塔C与D处之间的距离为，故B错误；，，灯塔C在D处的西偏南，故C正确；灯塔B在D的南偏东，D在灯塔B的北偏西，故D错误；故选：AC10．（2024·江西·高一校联考期末）一货轮在A处，测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时24的速度继续沿正北方向匀速航行，40分钟后到达处，此时测得货轮与灯塔S相距，则灯塔S可能在处的（

）A．北偏东方向 B．南偏东方向C．北偏东方向 D．南偏东方向【答案】BC【解析】如图所示，由题意得，，，则，解得，且，所以或，如图所示：则有：当货轮在处时，，所以；当货轮在处时，，所以；综上所述：灯塔S在处的北偏东或南偏东方向.故选：BC.11．（2024·福建龙岩·高一期末）如图，的内角，所对的边分别为，，.若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（

）

A．是等边三角形B．若，则四点共圆C．四边形面积最大值为D．四边形面积最小值为【答案】AC【解析】由正弦定理，得，，，B是等腰的底角，，是等边三角形，A正确；对于B，若四点共圆，则四边形对角互补，由A正确知，但由于时，，∴B不正确.对于C、D，设，则，，，，，，，，∴C正确，D不正确；故选：AC.三、填空题12．（2024·江西·高一统考期末）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图，为了测量山顶处的海拔高度，从山脚处沿斜坡到达处，在处测得山顶的仰角为45°，山脚的俯角为15°.已知两地的海拔高度分别为100m和200m.记在水平面的射影分别为，则山顶的海拔高度为m.

【答案】【解析】如图，过点作于，由题意知，在中，，，则.在中，由正弦定理，.在中，,则.则山顶的海拔高度为.故答案为：.13