信号与系统基础-第9章

第9章离散信号与离散系统的z域分析第9章|主要内容9.1z变换的概念9.2常用序列的z变换

9.8离散系统稳定性分析

9.7离散系统的模拟

9.10离散系统于连续系统的对比9.5z域和s域的关系

9.6离散系统的z域分析法9.3z变换的特性

9.4z逆变换的求法

9.9离散系统的频域分析方法3问题引入：了解了离散信号及系统的时域分析方法后，读者会问：在z域如何进行离散信号与系统的分析呢？解决思路：离散信号分解→系统函数→z域响应。研究结果：Z变换；系统函数；零状态响应的z变换等于系统函数与激励序列z变换之积。核心内容：z变换是拉氏变换的特例。z变换分析法与拉氏变换分析法的异同点。49.1z变换的概念仿照为连续信号在s域定义其象函数的方法，我们也为离散信号定义了一个变换域——z域，那么，对于序列，其象函数，即z变换（z-transform）被定义为（9-1）式中为复数，该式可以被称为的双边z变换。59.1z变换的概念如果为因果序列，则上式可写为（9-2）并被称的单边z变换。以后若不加说明，讨论的z变换均指单边z变换。简记为：（9-3）69.1z变换的概念要使的z变换存在，需要等式（9-1）或（9-2）右边的级数收敛，即z的取值必须在能够使级数收敛的范围内才行。根据级数理论，级数收敛的充分条件是该级数绝对可和，即

（双边z变换）或

（单边z变换）因此，可以这样定义z变换的收敛域：，能够使绝对可和的z值集合称为收敛域。对于任意给定的序列7（1）反因果序列（左边序列）的收敛域在半径为的圆之内（称为收敛半径），即当（2）因果序列（右边序列）的收敛域是在半径为的圆之外，即当（4）有限长序列的收敛域在整个z平面上（除去，（5）收敛域在所有情况下都是开集，即收敛域不包含边界。（6）收敛域不包含任何极点（因为象函数在极点处不收敛），但边界上常常会有极点。时，序列的z变换存在。时，z变换存在。（3）双边序列的收敛域在一个环内。）。不难得到以下结论：9.1z变换的概念89.1z变换的概念值与序列有关。比如，设，则，由级数理论可知，该式在时收敛于，即意味着。99.1z变换的概念

（9-4）z逆变换，记为（9-5）z变换对，记为Z变换域没有物理性质，它只是一种数学手段，不像实频域具有“频率”物理特性。式中，就是类似于的基本信号，可以认为是的复振幅。10将式（9-6）与式（6-4）比较可见，z变换能够像拉氏变换似的，将离散信号分解为形如基本序列的连续和，实现了我们预期的目的，为离散系统分析打下了基础。9.1z变换的概念式（9-4）可以写成下式（9-6）显然，也是类似于

和的基本信号，可认为是信号的复振幅。119.2常用序列的z变换【例题9-1】求图9-2所示序列的z变换。【解】对于这种有限长序列，可直接利用z变换的定义进行求解。其收敛域为整个z平面。129.2典型信号的z变换【例题9-2】求单位序列的z变换。【解】

即其收敛域为整个z平面。139.2典型信号的z变换【例题9-3】求单位阶跃序列的z变换。【解】当即时，级数收敛，故有即149.2典型信号的z变换【例题9-4】求指数序列的z变换。【解】当即时，级数收敛，故有即159.3z变换的特性1．线性

（9-7）2．时移（9-8）（9-9）（9-10）3．z域尺度变换4．卷和特性169.3z变换的特性【例题9-5】求下面周期为的单边周期单位序列的z变换。【解】因为根据时移特性，各右移序列的z变换为所以，单边周期单位序列的z变换为179.3z变换的特性【例题9-6】利用z变换特性求下列序列的z变换。(1) (2) (3) 【解】(1)由欧拉公式知根据z域尺度变换和线性特性，有189.3z变换的特性(2)设，根据z域微分特性，有199.3z变换的特性再根据z域尺度变换特性，有（3）因为根据时域部分和特性，有209.3z变换的特性【例题9-7】求单边序列的z变换。【解】因为

则由表8-3和卷和特性可得219.4z逆变换的求法将z变换定义式展开可见，通过z变换定义式可将展成z的负幂级数，则项的系数就是原函数的相应项。（9-11）9.4.1幂级数展开法由象函数求原函数的过程称为z逆变换。通常，求z逆变换有两种方法：（1）幂级数展开法；（2）部分分式展开法；我们主要介绍前两种方法。229.4z逆变换的求法【例题9-8】利用幂级数展开法验证。【证】从级数理论可知，当时，有令，则有（9-12）239.4z逆变换的求法因此，有可见，原函数即为即有从该题中可以得到结论：如果以分式形式给出，则可用长除法将其展开为幂级数，从而求得z逆变换。249.4z逆变换的求法【例题9-9】已知，，求原序列。【解】采用长除法将展开为幂级数因此，序列为259.4z逆变换的求法从该题中可以得到结论：如果以分式形式给出，则可用长除法将其展开为幂级数，从而求得z逆变换。当不能写成简单的解析式或只需求得的若干值时，这种方法很适用。269.4.2部分分式展开法与连续系统求拉氏逆变换相似，z逆变换也可采用部分分式展开法求解。分解成若干个基本形式项的代数和，的逆变换。对而言，我们必须先对进行部分分式展开，然后将分母中的保证部分分式中每一项的分子上都含有都有z，如果直接对展开的话，部分分式各项分子就没有z，无法利用基本序列的z变换。从而利用已有的基本形式写出该方法的核心就是要将移到等式右边，因为从表9-1中可见，基本序列z变换的分子上多数9.4z逆变换的求法279.4z逆变换的求法【例题9-10】求象函数的z逆变换。【解】289.4z逆变换的求法因此则根据表9-1，所求原序列为299.4z逆变换的求法【例题9-11】求象函数的z逆变换。【解】309.4z逆变换的求法因此319.4z逆变换的求法即则根据表9-1，所求原序列为注意：利用z变换时移特性，的z逆变换为。329.5z域和s域之间的关系我们知道，在域中，；在域中，，,的抽样间隔。可见，和均为复数，但表现形式不同，一个是复数的代数形式，一个是指数域中就是，；而在域中，则是，。我们将二者的映射关系用表9-3给出。为离散信号形式，显然，它们之间存在着一定的映射关系。比如，令实部为零，在33可见，平面的单位圆可以看作是平面的虚轴沿逆时针方向弯成的圆。域的左半平面对应于平面单位圆的内部区域，而域的右半平面对应于平面单位圆的外部区域。因此，与连续信号傅氏变换是虚轴上的拉氏变换的概念相对应，可以说离散信号傅氏变换是单位圆上的z变换。9.5z域和s域之间的关系重要哟！！从这个概念上讲，可以认为z变换是针对离散信号的拉氏变换。349.5z域和s域之间的关系【例题9-12】求下列序列的单边z变换，给出零、极点图及收敛域。（1）；（2）；（3）【解】（1），根据z变换定义可得极点为，零点为。ROC：。359.5z域和s域之间的关系（2）原序列可写为左、右序列之和，即则有极点为，零点为。ROC：。369.6离散系统的z域分析法（3）原序列为左边序列，在时，取值为零。没有零、极点。ROC：z平面。379.6.1差分方程分析法9.6离散系统的z域分析法

之所以在离散信号的分析中引入z变换的概念，就是要像在连续系统分析时引入拉氏变换一样，简化分析方法和过程，为系统的分析研究提供一条捷径。我们先通过一道例题看一下差分方程的z域求解过程。离散系统的z域分析方法与连续系统的s域分析法相似。389.6离散系统的z域分析法【例题9-13】某LTI系统的差分方程为已知起始条件，，。求系统的零输入和零状态响应。【解】对差分方程两端进行z变换，得即39可见，经过z变换后，差分方程变换为代数方程。由上式可解得9.6离散系统的z域分析法上式第一项只与系统起始状态有关，是零输入响应的象函数第二项只与激励有关，是零状态响应的象函数。由于激励，所以，，且有，。故零输入响应和零状态响应的象函数分别为409.6离散系统的z域分析法将，分别展开为部分分式，得419.6离散系统的z域分析法即有因此，系统零输入响应和零状态响应分别为全响应为42一般情况下，对于LTI因果系统，其差分方程可表述为

（9-14）对上式两边取z变换，并利用时移特性和因果特性，可得

（9-16）上式即为系统在起始条件不为零，且有激励序列作用下的全响应的z域表达式。9.6离散系统的z域分析法注意：这个结论与拉氏变换求解系统方程很类似，可以一举求得方程全解。439.6离散系统的z域分析法若输入序列为零，响应只包含零输入响应，其z变换满足

（9-17）若起始条件，则响应即为零状态响应。满足（9-18）和449.6离散系统的z域分析法（9-19）仔细观察式（9-16）、式（9-17）和式（9-18）可以发现综上所述，我们给出根据差分方程在z域分析离散系统的两种方法：（1）先通过式（9-16）求得系统全响应的z变换，然后再求的z逆变换，即可得到全响应的时域解。（2）利用式（9-17）和式（9-18）求得和，然后通过z逆变换求得相应的和，并将它们相加，即可得到全响应。459.6离散系统的z域分析法【例题9-14】已知，，用z域分析法求解系统的零输入、零状态响应及全响应。【解】对差分方程两端进行z变换，得（9-20）根据表9-1（5）可得469.6离散系统的z域分析法将初始条件和代入式（9-20），得则有479.6离散系统的z域分析法根据表9-1（5）和（6）可得、的逆变换为则全响应为48通过例题可以发现，差分方程分析法与连续系统的s域模型分析法很相似。在s域分析法中，对系统微分方程两边取拉氏变换，将微分方程变为代数方程，然后求出系统响应的拉氏变换，最后用拉氏逆变换得到响应的时域解；在z域分析法中，则是对系统差分方程两边取z变换，将差分方程变为代数方程，然后求出系统响应的z变换，最后用z逆变换得到响应的时域解。真可谓“异曲同工”。9.6离散系统的z域分析法499.6.2系统函数分析法与连续系统相仿，我们定义离散系统零状态响应的z变换与输入序列的z变换之比为系统函数或传输函数（9-21）（9-22）9.6离散系统的z域分析法式（9-22）告诉我们，系统函数还可以通过求单位响应的z变换得到。509.6离散系统的z域分析法除了上述方法外，还能利用系统传输算子求得系统函数，即在中将换为即可，用数学语言表述为。这样，传输算子中的一些概念同样适合系统函数，比如，特征方程、特征根、自然频率等。51（9-23）9.6离散系统的z域分析法因为系统函数与单位响应是z变换对，而第8章有则根据卷积和的特性有这样，就得到本节的重要结论529.6离散系统的z域分析法至此，可以给出系统函数分析法的具体步骤：第一步：求出序列的象函数第二步：利用上述方法求出系统函数第三步：利用式（9.2-13）求出零状态响应的象函数第四步：利用z逆变换求出的原函数，即系统的零状态响应。539.6离散系统的z域分析法【例题9-15】求下列系统的单位响应。【解】根据式（9-21），该系统的系统函数为对上式取z逆变换，即得单位响应549.6离散系统的z域分析法显然，采用系统函数方法求解单位响应的结果与时域方法完全一致（见【例题8-14】）。559.6离散系统的z域分析法【例题9-16】求如图9-6所示由单位响应分别为和的两个子系统级联而成系统的系统函数和单位响应。

【解】因为前一子系统的输出是后一子系统的输入，所以，由系统函数定义，有569.6离散系统的z域分析法又因为，所以，复合系统的系统函数为取上式的z逆变换，得到复合系统的单位响应579.6离散系统的z域分析法【例题9-17】已知当激励为时，一系统的零状态响应为。试求系统在激励为下的零状态响应。

【解】与的z变换分别为；则有

的z变换为589.6离散系统的z域分析法由式（9-23）得求的z逆变换得零状态响应注意：同连续系统一样，离散系统零状态响应（包括单位响应）后面一定要乘上阶跃序列，以表明响应从开始，否则，就需要注明。599.6离散系统的z域分析法【例题9-18】某LTI离散系统在输入时的零状态响应为，试求其系统函数和差分方程模型。【解】因零状态响应的象函数为609.6离散系统的z域分析法输入的象函数为则系统函数为619.6离散系统的z域分析法则有将上式变形取逆变换，得后向差分方程629.6离散系统的z域分析法9.6.3序列分解分析法根据式（9-6）可知，任何一个序列因此，可以仿照连续系统的分析方法，得到离散系统的序列分解分析法。可以分解为Z序列的线性组合。设系统对的零状态响应为，则根据式（8-63）得：（9-24）结论：系统对任一序列的零状态响应的Z变换等于该序列Z变换与系统函数之积（9-25）639.6离散系统的z域分析法649.7离散系统的模拟离散系统基本运算部件主要有数乘器、延迟器（移位器）、求和器，如图9-7所示。659.7离散系统的模拟【例题9-19】已知一离散系统的系统函数为，试给出系统的直接模拟、级联模拟和并联模拟框图及流图。

【解】根据系统函数的三种不同形式，系统可分为级联模拟、并联模拟和直接模拟。具体模拟图如图9-8所示。669.7离散系统的模拟679.8离散系统的稳定性分析离散系统也存在稳定性问题，其概念和分析方法与连续系统相似。对有界输入序列产生有界输出序列的离散系统被称为稳定离散系统。（9-26）对于因果系统，判断其稳定性的充要条件为：系统的单位响应有界。式中，为有限大的正数。（9-27）689.8离散系统的稳定性分析可以证明，因果稳定系统的收敛域是一个半径小于1的圆外区域，记为ROC：则一个LTI因果系统是BIBO稳定的充要条件可以变为其系统函数的收敛域包含单位圆。699.8离散系统的稳定性分析连续系统的稳定性可以通过极点的分布来确定。对于一阶极点有如下结论：若所有极点都落在s域左半平面，则响应收敛，系统稳定。2.只要有一个极点落在s域右半平面，则响应发散，系统不稳定。3.若极点落在在轴（虚轴）上，则响应振荡，系统边界稳定。这些结论很容易移植到离散系统上。因为s域的虚轴可映射为z域的单位圆，所以s域左半平面映射为z域的单位圆内部，s域右半平面映射为z域的单位圆外部。可以证明，单位响应的形式也完全可以由极点的位置决定。709.8离散系统的稳定性分析这样，即可得到离散系统极点位置与系统稳定性的关系：，极点位于单位圆内，因，故中相应项是衰减的，系统稳定。收敛域为一个半径小于1的圆外区域。（2）若，极点位于单位圆外，因，故中相应项的振幅是增加的，系统不稳定。（3）若，极点落在