信号与系统基础-第10章

第10章系统的状态空间分析第10章|主要内容10.1系统的状态空间描述10.2系统的状态方程10.4状态模型求解方法10.3状态模型建立方法10.5稳定性的判别3问题引入：前面介绍的系统分析方法都是基于激励和响应之间的数学模型，讨论给定系统对信号的变换特性。而系统内部参数或结构的变化对系统响应是否有影响？若有，其影响又是怎样的？另外，对多输入多输出的复杂系统又该如何分析？解决思路：在系统内部寻找一些能够反映系统内部特性的参数，然后将激励和响应分别与这些参数联系起来。同时，引入矩阵工具解决上述问题。研究结果：状态空间分析法。核心内容：系统的状态模型。410.1系统的状态空间描述1．输入～输出描述

本章将介绍不仅与系统输出和输入信号有关，还涉及系统内部参数的“状态空间”描述法。图10-1是一个SISO系统的两种描述法示意图。5

2．状态变量描述10.1系统的状态空间描述状态变量激励响应

在状态空间描述法中，不是直接给出系统输出和输入之间满足的微分（差分）方程，而是首先在系统内部适当地选择一组辅助变量——状态变量，然后找出这组状态变量与系统输入之间满足的关系式——状态方程，再找出系统输出和这组状态变量以及输入之间满足的代数方程——输出方程，从而完成系统输入、状态变量和系统输出三者之间的关系描述。610.1系统的状态空间描述用“状态方程”和“输出方程”描述系统的方法就是状态空间描述法。系统的状态方程和输出方程可以统称为系统的状态模型。根据状态模型分析系统特性的方法就是状态空间分析法。下面，先介绍系统状态空间分析法中常用的几个术语。需要说明的是，这里“状态”和“起始状态”等概念都是第2章和第3章相关概念的延续与补充。710.1系统的状态空间描述系统状态：当所有外部输入已知时，为确定系统未来运动规律而必须知道的一组数目最少的

信息数据就是系统状态。(2)状态变量：能够表示系统状态且随时间变化的变量就是状态变量,用表示。系统在任意时刻的响应值，都可以由该时刻系统的状态变量和激励信号共同确定。需要指出：一个系统中状态变量的选取通常不唯一，但是状态变量的数目是唯一的，也就是说，构成状态方程组的一阶微分方程个数是唯一的。状态变量虽然可以有不同的选择，但也不能随便选取，要求状态变量必须满足独立性与完备性条件。所谓独立性指各状态变量之间必须线性无关，即任何一个状态变量不能由其他状态变量的线性组合表示。而完备性则是指在已确定的状态变量之外不可能再找到一个。810.1系统的状态空间描述(3)状态向量：状态变量的列向量形式就是状态向量，用表示，具有个状态变量的状态向量被称为维状态变量。910.1系统的状态空间描述(4)状态与起始状态：状态变量在某一时刻的值就是系统在时刻的状态。向量形式为状态变量在起始时刻的值称为系统的起始状态。向量形式为1010.1系统的状态空间描述(5)状态空间：放置状态向量的空间就是状态空间。状态向量在即为相应的个状态变量。个坐标轴上的投影(6)状态方程：状态方程指的是一组可以描述一个阶系统的激励向量、起始状态向量和状态向量三者关系的一阶微分方程。(7)输出方程：一组可以描述激励向量、状态向量和响应向量三者关系的代数方程称为系统的输出方程。1110.1系统的状态空间描述变为，微分方程变为差分方程）即可适用于离散系统。采用状态空间分析法研究系统特性主要有以下特点：(1)一阶微分方程组便于求解，尤其便于计算机处理。(2)由于系统响应（输出）与状态变量和激励（输入）之间满足的是代数方程（输出方程），所以，只要解出状态变量，则每一个响应都可通过状态变量和激励的线性组合求出。(3)容易推广到时变系统和非线性系统中去。注意：上述概念稍加变化（比如1210.2系统的状态方程【例10-1】试写出图10-2所示系统的状态方程。【解】根据KCL和电感、电容的特性列出方程（10-1）（10-2）则将式（10-2）代入式（10-1），可得（10-3）式（10-3）正是我们熟悉的外部法系统模型。求解该方程即可得到给定激励下的系统响应。1310.2系统的状态方程现在的问题是，不但要知道与的关系，还想了解随的变化规律，那么就需要将式（10-1）和式（10-2）联立求解，则有（10-4）式（10-4）是以和作为变量的一阶联立微分方程组。式（10-4）就是该系统的状态方程，和就是所谓的状态变量。1410.2系统的状态方程通常，对于一个如图10-3（a）所示具有个输入和个输出的MIMO连续系统，当起始松弛时，其外部法描述的矩阵方程为（10-5）可简记为（10-6）1510.2系统的状态方程1610.2系统的状态方程（状态方程）和一组代数方程（输出方程）在状态空间描述法中，可用一组一阶微分方程（10-7）加以描述，即1710.2系统的状态方程（10-8）18如果我们记10.2系统的状态方程19简记为（10-9）则可得到状态方程和输出方程的矩阵表达形式10.2系统的状态方程显然，状态变量是连接激励与响应的纽带。式（10-9）即为为系统的状态模型标准式，可大概地用图10-3（b）描述。2010.3状态模型建立方法10.3.1电路图建立法（1）选取电路中所有电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。（2）利用KCL写出每一个电容电流与其他状态变量和输入量之间的关系式。（3）利用KVL写出每一个电感电压与其他状态变量和输入量之间的关系式。（4）若第2、3步所得到的KCL和KVL方程中含有非状态变量，则应利用适当的节点KCL方程和回路KVL方程将非状态变量消去。（5）将第2、3步（第4步）所得到的关系式整理成标准形式即得到电路的状态方程。（6）由KCL和KVL写出状态变量和输入量与输出量之间的关系，即得到电路的输出方程。2110.3状态模型建立方法【例题10-2】写出图10-4所示电路的状态方程和输出方程。和为输出，为电流源，为电压源。【解】选电感电流为状态变量，电容电压为状态变量。根据KCL和KVL可得写成状态方程矩阵形式2210.3状态模型建立方法输出方程为写成输出方程矩阵形式2310.3.2模拟图建立法假设积分器输出为，输入为，则有显然，积分器的输出可以作为状态变量，这是建立状态方程的关键。(10-10)由模拟图建立状态方程比电路图法更直观、更简单。其一般步骤如下：（1）选取积分器的输出（或微分器的输入）作为状态变量。（2）围绕加法器列出状态方程和输出方程。10.3状态模型建立方法2410.3状态模型建立方法【例题10-3】试建立图10-5所示三阶系统的状态方程和输出方程。【解】选取三个积分器的输出为状态变量。围绕第一个加法器列状态方程2510.3状态模型建立方法围绕第二个加法器列输出方程将上述各式用矩阵表示即可。2610.3状态模型建立方法【例题10-4】图10-6是一个系统流图。试建立系统的状态方程和输出方程。【解】选取积分器输出为状态变量，则有2710.3状态模型建立方法写成矩阵形式输出方程为

不管系统是用框图还是用流图表示，建立状态方程和输出方程的步骤和方法是一样的，这是因为流图其实就是框图的简化形式，两者之间没有本质区别。2810.3.3数学模型建立法根据系统模型或系统函数如何建立状态方程呢？我们看下面的例子。10.3状态模型建立方法【例题10-5】已知一个系统的系统函数为。试建立该系统的状态方程和输出方程。【解】先根据系统函数画出两种直接形式，并联形式和串联形式流图如图10-7所示。2910.3状态模型建立方法3010.3状态模型建立方法由直接形式一可得可见，这就是【例题10-3】的系统。3110.3状态模型建立方法由直接形式二可得3210.3状态模型建立方法对于并联形式有，为相异单根。可得并联形式中的矩阵是对角阵，其对角线上的元素为系统的特征根。3310.3状态模型建立方法对于串联形式有可得串联形式中的矩阵是三角阵，对角元素也是系统的特征根。34通过上述例题，可以有以下结论：（1）一个系统可以有不同形式的状态方程和输出方程，即状态方程和输出方程不唯一。（2）给定系统函数则可以有如下三种形式的状态方程和输出方程。(10-11)10.3状态模型建立方法35形式一：

(10-12)

(10-13)10.3状态模型建立方法36形式二：(10-4)

(10-5)10.3状态模型建立方法37形式三：(10-16)

(10-17)10.3状态模型建立方法38其中，是的部分分式展开式中的各项分子系数，即(10-18)注意：形式三要求系统函数有个相异单根。10.3状态模型建立方法39离散系统也可以进行状态空间分析，其状态方程的建立及分析方法与连续系统类似。由离散系统框图建立状态方程的步骤为：（1）选取延时器的输出作为状态变量；（2）围绕加法器列出状态方程和输出方程。离散系统状态方程的标准形式为：(10-19)离散系统也可以进行状态空间分析，其状态方程的建立及分析方法与连续系统类似。由离散系统框图建立状态方程的步骤为：（1）选取延时器的输出作为状态变量；（2）围绕加法器列出状态方程和输出方程。离散系统状态方程的标准形式为：10.3状态模型建立方法4010.3状态模型建立方法【例题10-6】一离散系统的数学模型为求其状态模型。【解】由差分方程可写出系统传输算子根据梅森公式可得其流图。4110.3状态模型建立方法则有状态方程输出方程4210.4状态模型的求解方法状态方程是一组联立的一阶微分方程，显然可以在时域进行求解，也可以在复频域中求解。由于域求解比时域简单容易，所以这里只介绍域求解方法。状态方程域求解法在本质上与微分方程s域求解法是一样的。43考察状态方程组中的第个方程（10-20）10.4状态模型的求解方法44两边取拉氏变换按此方法将所有个状态方程都取拉氏变换，就会得到（10-21）10.4状态模型的求解方法45将式（10-21）写成向量形式，有

式中为单位矩阵。从该式将状态变量解出移项并整理得10.4状态模型的求解方法（10-22）4610.4状态模型的求解方法即（10-23）式中，我们定义分解矩阵 对式（10-23）取拉氏逆变换，即可得到状态变量的时域解£

£（10-24）4710.4状态模型的求解方法可见，式（10-24）中的第一项仅与起始状态有关，当时，该项为零，的函数，因此是状态变量的零状态分量。因此是状态变量的零输入分量。而第二项是输入48由10.2节可知输出方程由下式给出将式（10-23）代入上式可得（10-25）将式（10-25）中的零状态响应单独写出（10-26）10.4状态模型的求解方法49而我们知道零状态响应与激励信号之比为系统函数，即对比式（10-26）和式（10-27），可得系统函数矩阵（10-28）（10-27）10.4状态模型的求解方法50其元素是联系第个输出与第个输入的传输函数（系统函数），即（10-29）根据式（10-25）和式（10-28）可得系统响应的时域解10.4状态模型的求解方法5110.4状态模型的求解方法【例题10-7】给定系统状态方程为，其中，，起始条件为，；。求状态变量。【解】因为，，且有5210.4状态模型的求解方法所以5310.4状态模型的求解方法5410.4状态模型的求解方法对上式求拉氏逆变换可得5510.4状态模型的求解方法【例题10-8】设一个系统的状态方程和输出方程分别为求系统传输函数和输出与输入之间的传输函数。【解】根据题意有，，，5610.4状态模型的求解方法可以求得由公式可得5710.4状态模型的求解方法因为传输函数矩阵中第行第列元素是联系第个输出和第个输入之间的传输函数，与输入之间的传输函数为所以，从上式中可以看出联系输出观察该例题可以发现，因为，所以中每个元素的分母都是，而且的分母也是的分母。显然，系统传输函数的极点就是多项式也就是系统的自然频率。的零点，58因此，系统的特征方程为（10-30）我们已经知道系统特征根和零输入响应之间的关系，若由式（10-30）解出的特征根为个相异单根，则系统的零输入响应为（10-31）10.4状态模型的求解方法5910.4状态模型的求解方法【例题1