重难点解析人教版九年级数学上册第二十四章圆章节练习试卷（解析版）

人教版九年级数学上册第二十四章圆章节练习

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，在△力比1中，cos8=注，sinC==，47=5,则△/式的面积是（）

25

A.—B.12C.14D.21

2

2、往直径为52c%的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB=48c〃?，则水的最

大深度为（）

A.8cmB.\OcmC.\6cinD.20cm

3、下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是

圆中最长的弦.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4、已知：如图，AB是。0的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E,连接OD、PC、BC,

ZA0D=2ZABC,NP=ND,过E作弦GFLBC交圆与G、F两点，连接CF、BG.则下列结论：

①CDLAB；②PC是。。的切线；③OD〃GF；④弦CF的弦心距等于^BG.则其中正确的是（）

A.①②④B.③④C.①②③D.①②③④

5、如图，是。。的内接三角形，AB=BC,ABAC=30°,A£）是直径，A£）=8,则AC的长为

()

O_

A.4B.4>/3C.-A/3D.26

6、一个等腰直角三角形的内切圆与外接圆的半径之比为（）

A.&B.变C.&+1D.V2-1

2

7、如图，4?为。。的直径，C,〃为。。上的两点，若ZABZA54。，则NC的度数为

（）

D

B

A.34°B.36°C.46°D.54°

8、如图，PA,如是。。的切线，A,4是切点，点。为。。上一点，若/ACB刁0°,则NP的度数为

（）

A.70°B.50°C.20°D.40°

9、如图，拱桥可以近似地看作直径为250nl的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方

的路面4?长度为150nb那么这些钢索中最长的一根的长度为（）

10、如图，已知在O。中，8C是直径，AB=DC,则下列结论不一定成立的是（）

A.OA=OB=ABB.ZAOB=ZCOD

C.AB=DCD.。到AB、CO的距离相等

第n卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点8出发，沿表面爬到AC的中点

。处，则最短路线长为.

2、如图，正方形ABCD的边长为2a,E为BC边的中点，AE.DE的圆心分别在边AB、CD±,这两段

圆弧在正方形内交于点F,则E、F间的距离为.

3、已知：如图，半圆0的直径/6=12cm,点C,。是这个半圆的三等分点，贝I弦4G49和^一''围成

的图形（图中阴影部分）的面积S是一.

4、已知直线勿与半径为5cm的。。相切于点P,48是。。的一条弦，且尸4=尸8,若46=6cm,则直

线力与弦49之间的距离为____.

5、如图是四个全等的正八边形和一个正方形拼成的图案，已知正方形的面积为4,则一个正八边形

的面积为.

三、解答题(5小题，每小题10分，共计50分)

1、如图，已知N始A；按下列要求补全图形.(要求利用没有刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保

留作图痕迹)

①在射线4v上取点0,以点。为圆心，以以为半径作。。分别交4/、4V于点C、B-,

②在/%W的内部作射线4〃交。0于点D,使射线4〃上的各点到/场N的两边距离相等，请根据所作

图形解答下列问题；

(1)连接如，则勿与⑷/的位置关系是,理论依据是；

(2)若点£在射线川/上，且。£_L4V于点反请判断直线应与。。的位置关系；

(3)已知。。的直径4?=6cm,当弧被的长度为cm时，四边形的切为菱形.

AN

2、【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？

【初步尝试】如图1,已知扇形。AB,请你用圆规和无刻度的直尺过圆心。作一条直线，使扇形的面

积被这条直线平分；

【问题联想】如图2,已知线段MN,请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三

角形MNP；

【问题再解】如图3,已知扇形O/R,请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点。为圆心的圆弧，使扇

形的面积被这条圆弧平分.

(友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹)

3、已知：如图，在。0中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD.求证：.

4、如图，NABM=9()。，。。分别切A3、BM于点D、E.AC切。。于点尸，交于点C(C与B不

重合).

(1)用直尺和圆规作出AC;(保留作图痕迹，不写作法)

(2)若。。半径为1,AD=4,求AC的长.

5、如图，AB、切是。。中两条互相垂直的弦，垂足为点E,且4?=纸点厂是宽的中点，延长卷

交力〃于点G,已知羔=1,BE=3,0E=y/2.

(1)求证：XAE曜XCEB；

(2)求证：FGLAD-,

(3)若一条直线/到圆心。的距离"=右，试判断直线,是否是圆。的切线，并说明理由.

-参考答案-

一、单选题

1、A

【解析】

【分析】

根据已知作出三角形的高线AD,进而得出AD,BD,CD,的长，即可得出三角形的面积.

【详解】

解：过点A作AD_LBC,

♦.'△ABC中，cosB=^-,sir)C=-,AC=5,

25

2AB

AZB=45°，

AAD=3,

・・・CD二斤羊4，

ABD=3,

则aABC的面积是：/XADXBC二/X3X(3+4)二日.

故选A.

【考点】

此题主要考查了解直角三角形的知识，作出ADJ_BC,进而得出相关线段的长度是解决问题的关键.

2、C

【解析】

【分析】

过点。作切J_/6于"交。。于£,连接物，根据垂径定理即可求得力〃的长，又由。。的直径为

52cm,求得力的长，然后根据勾股定理，即可求得如的长，进而求得油的最大深度。E的长.

【详解】

解：过点。作如，四于〃，交。。于£,连接力，

由垂径定理得：AD=-AB=-x4S=24cm,

VOO的直径为52cm,

/.OA=OE=26cm,

在mAA。□中，由勾股定理得：OD=dO1一.=也62-24〉=10cm，

：.DE=OE-OD=26-i0=\6cm9

...油的最大深度为16cm,

故选：C.

【考点】

本题主要考查了垂径定理的知识.此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，构造直角三角

形，利用勾股定理解决.

3、A

【解析】

【分析】

根据等弧的定义、弦的定义、弧的定义、分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】

解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；

（2）直径是圆中最长的弦，故（2）错误，（4）正确；

（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；

正确的只有一个，

故选：A.

【考点】

本题考查了圆的有关定义，能够了解圆的有关知识是解答本题的关键，难度不大.

4、A

【解析】

【分析】

连接劭、oaAG.AC,过。作00，少于Q,0Z1BG于Z,求出/力吐/力加，从而有弧1年弧力〃，由

垂径定理的推论即可判断①的正误；

由切，加可得到N代NPC次90°,结合N片N2G0、等边对等角的知识等量代换可得到N/T390°,

据此可判断②的正误；假设如〃⑦成立，则可得到N4除30°,判断由己知条件能否得到NR6c的

度数即可判断③的正误；求出SAG,根据垂径定理和三角形中位线的知识可得到8阳通过证明

△可得到OQ=BZ,结合垂径定理即可判断④.

【详解】

连接BD、oaAG,过。作OQLCF于Q,OZ1BG于Z,

'：OD=OB,

:./ABF/ODB,

•：NAOANOB计NODB=2ZOBD,

'：ZAOD=2ZABC,

：.AABOAABD,

...弧40弧44

,.,四是直径，

：.CDLAB,

.•.①正确；

'：CDLAB,

:"丹NPCD=90°,

0D=0C,

：.AOCD=ZODOZP,

:"PC计N0CkgQ°,

・・・N/T390°,

・・・/r是切线，，②正确；

假设勿〃GE则NAOANFE庐2/械,

・・・3/力除90°,

・・・/力吐30°,

已知没有给出NB=30°,・,•③错误；

・・・力8是直径，

：.ZACB=90°,

,:EF1.BC

：.AC//EFf

J弧诉弧力。

:.AG^CF,

•：OQLCF,OZLBG,

：.CQ=^AG,循gAG,B*BG,

：・OZ=CQ,

V0(=OB,ZOQOZOZ^90°,

JXOCgXBOZ,

：.O9BZ=^BG,

・••④正确.

故选A.

【考点】

本题是圆的综合题，考查了垂径定理及其推论，切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，全

等三角形的判定与性质.解答本题的关键是熟练掌握圆的有关知识点.

5、B

【解析】

【分析】

连接B0,根据圆周角定理可得/BO4=60°,再由圆内接三角形的性质可得OB垂直平分AC,再根据

正弦的定义求解即可.

【详解】

如图，连接0B,

B,----

AABC是0。的内接三角形,

...OB垂直平分AC,

AM=CM=-AC,OM±AM,

2

又：AB=BC,N8AC=3()。,

，/BC4=30°,

ZB（M=60°,

又•.•AD=8,

，A0=4,

..AMAM®

AO42

解得：AM=2垂）,

*'•AC=241f=4囱.

故答案选B.

【考点】

本题主要考查了圆的垂径定理的应用，根据圆周角定理求角度是解题的关键.

6、D

【解析】

【分析】

设等腰直角三角形的直角边是1,则其斜边是正.根据直角三角形的内切圆半径是两条直角边的和

与斜边的差的一半，得其内切圆半径是石史；其外接圆半径是斜边的一半，得其外接圆半径是

2

2-夜

暂.所以它们的比为

V

【详解】

解：设等腰直角三角形的直角边是1,则其斜边是近；

•.•内切圆半径是经旦，

2

外接圆半径是正，

2

2-丁

••.所以它们的比为逐一=0-1.

T

故选：D.

【考点】

本题考查三角形的内切圆与外接圆的知识，解题的关键是熟记直角三角形外接圆的半径和内切圆的半

径公式：直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半；直角三角形外接圆的半径

是斜边的一半.

7、B

【解析】

【分析】

连接如图，根据圆周角定理得到/4。3=90。，ZC=ZA,然后利用互余计算出ZA,从而得到

NC的度数.

【详解】

解:连接如图，

;四为。。的直径，

:.ZADB=90°,

ZA=90°-ZABD=90°-54°=36°,

.•.NC=NA=36。.

故选B.

D

B

【考点】

本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握相

关知识进行求解.

8、D

【解析】

【分析】

首先连接以，0B,由必，如为。。的切线，根据切线的性质，即可得/以生/丽90°,又由圆周

角定理，可求得N4仍的度数，继而可求得答案.

【详解】

解：连接OA,OB,

,：PA,图为。。的切线，

.,./勿产/愉=90°,

•:NACB=70°,

：.ZAO&=2ZP=l40a,

片360°-/OAP~/OB%NAOB=40°.

故选：D.

【考点】

此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用.

9、D

【解析】

【分析】

设圆弧的圆心为0,过。作OCLAB于C,交AB于〃连接0A,先由垂径定理得4C=况三3/^:

75m,再由勾股定理求出%=100m,然后求出切的长即可.

【详解】

解：设圆弧的圆心为0,过。作0入46于C,交AB于〃，连接处，

则》=ggx250=125(m),4c=8C=gX150=75(m),

0C=yjo/c-AC2=V1252-752=100(m)，

：.CD=OD-Q-125-100=25(m),

即这些钢索中最长的一根为25m,

故选：D.

本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键.

10、A

【解析】

【分析】

根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案.

【详解】

在0。中，弦43=弦。。，则其所对圆心角相等，即ZAO8=N8£>,所对优弧和劣弧分别相等，所

以有A8=OC，故B项和C项结论正确，

VAB=DC,AO-DO-BO-CO

：./\ABO^DCO(SSS)

可得出点。到弦AB,DC的距离相等，故D项结论正确；

而由题意不能推出A5=OA,故A项结论错误.

故选：A

【考点】

此题主要考查圆的基本性质，解题的关键是熟知圆心角、弧、弦之间的关系.

二、填空题

1、3#)

【解析】

【分析】

将圆锥的侧面展开，设顶点为B',连接BB',AE.线段AC与BB'的交点为F,线段BF是最短路程.

【详解】

如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB',则线段BF为所求的最短路程.

设NBAB'=n°.

，n=120即/BAB'=120°.

•；E为弧BB'中点，

.\ZAFB=90°,ZBAF=60°,

.\BF=AB-sinZBAF=6X经3石，

...最短路线长为3g.

故答案为：

【考点】

本题考查了平面展开温短路径问题，解题时注意把立体图形转化为平面图形的思维.

2、-a.

2

【解析】

【分析】

作DE的中垂线交CD于G,则G为OE的圆心，H为aE的圆心，连接EF,GH,交于点0,连接GF,

FH,HE,EG,依据勾股定理可得GE=FG=ga,根据四边形EGFH是菱形，四边形BCGH是矩形，即可得

4

33

到RtAOEG中,0E=-a,即可得到EF='a.

42

【详解】

如图，作DE的中垂线交CD于G,则G为DE的圆心，同理可得，H为用E的圆心，

D.______G.C

HB

连接EF,GH,交于点0,连接GF,FH,HE,EG,

设GE=GD=x,则CG=2a-x,CE=a,

RtACEG中，(2a-x)2+a2=x2,

解得x=ga,

4

/.GE=FG=-a,

4

同理可得，EH=FH=1-a,

4

J四边形EGFH是菱形，四边形BCGH是矩形，

・・・G04BC=a,

・・・RS0EG中,0E=J(^a)2-a2=|rz,

3

JEF二一a,

2

故答案为:a.

【考点】

本题主要考查了正方形的性质以及相交两圆的性质，相交两圆的连心线(经过两个圆心的直线)，垂

直平分两圆的公共弦.注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系.

3、6^cm2

【解析】

【分析】

如图，连接3、0D、CD,0c交4〃于点£由点C,〃是这个半圆的三等分点可得

:.ZAOC=ZCOD=ar,在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出

ZCAD=^ZCOD=30°,再根据OA=OC=O£＞得，△AOC,都是等边三角形，所以

ZACM=ZDOM=M°,AC=OC=OD,可证AACM*£>OM(A4S),故%=5扇胫由扇形的面积公

式计算即可.

【详解】

如图所示，连接0aOD、CD,0C交AD于点、E,

・・•点C,。是这个半圆的三等分点，

1QQO

・•.ZAOC=ZCOD=ZDOB==60°,

3

ZCAD=-ZCOD=30°,

2

,/OA=OC=OD,

••.△AOC,△CO。都是等边三角形，

/.ZACM=ZDOM=60°,AC=OC=OD,

在△ACM与4DOM中，

ZAMC=ZDMO

,ZACM=^DOM,

AC=DO

,'^ACM^^DOM(AAS),

,,SqACM=S[)OM，

60x^-x(^^)2

60x1x36//2、

.•S阴=S扇形co。2------------=6乃(cm)

360360

故答案为：6^cm2.

【考点】

本题考查了扇形面积公式的应用，证明AACMMAOOM,把求阴影部分面积转化为求扇形面积是解题

的关键.

4、1cm或9cm

【分析】

根据题意：分两种情况进行分析，①当45与直线位于圆心。的同侧时，连接力，0P交AB于前E；

②当4?与直线R位于圆心。的异侧时，连接'，如交A8,于点石结合图形利用圆的基本性质

及勾股定理进行求解即可得出结果.

【详解】

解：根据题意：分两种情况进行分析，

①如图所示，当16与直线位于圆心。的同侧时，连接力，如交力6于点£,

♦_pB，~6cm，

/.OPA.AB,AE=BE=3cm,

♦.•直线切为圆。的切线,

：.AB//m,

在Rt^AEO中,

OE=yjACf-AE2=4cm>

PE=OP-OE=1cm,

②如图所示，当46与直线加位于圆心。的异侧时，连接'，”交于点尸，

结合图形及①可得。尸=4«〃，

；.=+=5+4—9,

故答案为：1cm或9c〃z.

【考点】

题目主要考查圆的基本性质及勾股定理解直角三角形，理解题意，作出相应图形进行求解是解题关

键.

5、8+80

【解析】

【分析】

根据正方形的性质得到力庐2,根据由正八边形的特点求出N/1如的度数，过点8作劭，。1于点〃，

根据勾股定理求出劭的长，由三角形的面积公式求出△力班的面积，进而可得出结论.

【详解】

解：设正八边形的中心为0,

连接0A,0B,如图所示，

•.•正方形的面积为4,

：.AB=2,

•••48是正八边形的一条边,

过点6作BDL0A于点D,设BD-x,则OD-x,0B=0归及x,

AD=72x^x,

在底仍中，BLf+Alf=A百,

即/+(^/2x~x)2=2z,

解得/=2+>/2，

SAAOB=；0A・B*X6$=扬+1,

S歪八边而8s△AOF®X(+1)=85/2+8,

故答案为：8及+8.

【考点】

本题考查的是正多边形和圆，正方形的性质，三角形面积的计算，根据题意画出图形，利用数形结合

求解是解答此题的关键.

三、解答题

1、(1)平行；内错角相等，两直线平行；(2)相切，理由见解析；(3)n

【解析】

【分析】

(1)根据角平分线的定义、圆的性质可得/C4)=NOD4,根据内错角相等，两直线平行即可得证；

(2)利用切线的定义即可判定；

(3)根据菱形的性质、圆的半径相等可得△AOC是等边三角形，利用等边三角形的性质可得

ZA0C=ZC0D=6()0,可得NBOD=60。,利用弧长公式即可求解.

【详解】

解：补全图形如下：

BN

(1)OD//AM

BN

;根据作图可知力。平分N物价；

JACAD=ABAD,

•：OA=OD,

：./ODA=/BAD,

：.ZCAD=ZODAf

：.OD//AM(内错角相等，两直线平行);

(2)相切，理由如下:

*：DELAM,OD//AM,

・・・NODE=90。，

，直线应与。。相切；

(3)・・,四边形物必为菱形,

,OA=OD=AC,

・,.OA=OC=AC,

：.△AOC是等边三角形,

...ZAOC=ZCOD=60°,

・•・ZBOD=60°,

..607rx3

so=_i8(r=;r-

【考点】

本题考查尺规作图、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、弧长公式等内容，掌握上述基本

性质定理是解题的关键.

2＞见解析

【解析】

【分析】

【初步尝试】如图1,作/力加的角平分线所在直线即为所求；

【问题联想】如图2,先作，师的线段垂直平分线交物V于点0,再以。为圆心必。为半径作圆，与垂直

平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；

【问题再解】如图3先作仍的线段垂直平分线交仍于点M再以A'为圆心A0为半径作圆，与垂直

平分线的交点为M然后以。为圆心，〃"为半径作圆与扇形Q4B所交的圆弧即为所求.

【详解】

【初步尝试】如图所示，作//如的角平分线所在直线少即为所求；

【问题联想】如图，先作拗'的线段垂直平分线交掰¥于点0,再以。为圆心〃?为半径作圆，与垂直

平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；

【问题再解】如图，先作步的线段垂直平分线交必于点M再以"为圆心M2为半径作圆，与垂直

平分线的交点为机然后以。为圆心，为半径作圆与扇形所交的圆弧切即为所求.

【考点】

本题考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，扇形的面积等知识，解决此类题目

的关键是熟悉基本几何图形的性质，掌握基本作图方法.

3、证明见解析

【解析】

【分析】

根据等边对等角可以证得NA=NB,然后根据SAS即可证得两个三角形全等.

【详解】

证明：VOA=OB,

，NA=NB,

•在△OAC和AOBD中：

OA=OB

,NA=NB,

AC=BD

/.△OAC^AOBD(SAS).

【考点】

本题考查了三角形全等的判定与性质，同圆半径相等.正确理解三角形的判定定理是关键.

17

4、(1)见解析；(2)y

【解析】

【分析】

(1)以力为圆心，AO为半径画弧交。。于尸，作直线新交于点C,直线AC即为所求.

(2)设CF=CE=x,利用勾股定理构建方程即可解决问题.

【详解】

解：(1)如图，直线AC即为所求.

(2)连接OE,OD.

・・・O«是A4BC的内切圆，D,E,F是切点,