高一（下）期末数学试卷（理科）

高一（下）期末数学试卷（理科）

姓名:年级:学号:

题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷人得分

一、选择题（共11题，共55分）

1、已知Rt中，乙4=90°,4B=2,BC=4,若AM是BC边上的高，垂足为M,点P在

内部或边界上运动，则八加8P的取值范围是0

A.[-4,0卜.[-3,0]c.[-3,2h.[-2,0]

【考点】

【答案】B

【解析】

以A为原点建立平面直角坐标系，通过两直线方程联立得M得坐标，然后用向量数量积公式得八用BP,

最后用线性规划知识求得最大最小值.

贝心(0,0)、8(2,0)、C(0,2©),设P(x,y)

vAMLBCt八匕知=_立=_飞=,

,直线AM：）-3"，直线BC：2邛，

y=Tx

Xy

尹平=1M

联立Y解得：

一,34r，、

“GR8P=d，y)

，，

1；£=恭-2)+多=¥(屉+刈-3

设z=®c+y,则y=-©x+z,

7p（x，y）在△'BC内部或边界上运动，

当直线与直线BC重合时，Z取得最大值2枢，

当直线，过原点A时，Z取得最小值0,

8P的最大值为¥.2日-3=°,最小值为go-3=-3,

故的取值范围为：［-3,0］,

故选：B.

2、若函数=sm（gx+8）（g：＞°）图象的两条相邻的对称轴之间的距离为"且该函数图象关于点

（%°）成中心对称，'°e［网则X。=（）

7T5n71R

A.12B.12C.6D,4

【考点】

【答案】B

【解析】

根据题意利用函数y=4sin（3X+3）的图象的对称性，得出结论.

函数""=sm（3X+了）（3：＞°）图象的两条相邻的对称轴之间的距离为3=3'丁=3

・•・3=2

・•.f（x）=sin（2x+

令2x+g=Skez,求得、=刖一运故该函数的图象的对称中心为亘Q）,.

根据该函数图象关于点（丫0'°）成中心对称，结合与6［叼，则与=苴,

故选：B.

3、^log5^o+4S=10,925(ab),则a+b的最小值为。

A6+2-^-g7+2Mc6+7+4,

【考点】

【答案】D

【解析】

43_

根据对数的运算性质可得怎十石=1,a,b>,再根据基本不等式即可求出.

vlogs；3a+4b=lo52S(ab)

3a+4b=ab

43

=1

A-a+rb,a,.

..434bV-7+2居；=7+40

a+b=(a+刀仁+/=4+3+工

当且仅当a=4+2机时取等号.

••,。+/?的最小值是7+4涡'.

故选：D.

4、如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度：,则此几何体的表面积是)

c(6+a)c7n2

D.6cm

【考点】

【答案】A

【解析】

由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱柱（正方体）与四棱锥的组合体，分别计算各个面的面积,

相加可得答案.

由已知中的三视图，可知该几何体是下部一个四棱柱正方体与上部是四棱锥的组合体，

四棱柱正方体的棱长为1cm,故每个面的面积为：1x1=Icm21

1p

四棱锥的底面边长为1cm,高为产故斜高为：爹””,

lx1xf2、

故每个侧面的面积为：224,（cm）.

故组合体的表面积5=5x1+4x号=5+网优）；

故选:A.

5、《张丘建算经》卷上有“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数

量相同•已知第一天织布6尺，30天共织布540尺，则该女子织布每天增加O

1162416

A.'尺B.K尺C.西尺D,西尺

【考点】

【答案】C

【解析】

利用数学文化知识，首先判定数列为等差数列，进一步利用等差数列的通项公式的前n项和公式求出

结果.

由于某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.

所以织布的数据构成等差数列，

设公差为d,第一天织的数据为第30天织的数据为030,

30（6+a30）

则:540=^^,

解得：。30=30,

则：。30=4+（30-l）d,

〃—上

解得：29,

故选：C.

6、设I,m是两条不同的直线，&是一个平面，则下列命题正确的是0

A.若mua,则若〃/a,m.//a,则〃/m

c.若，，则D.若，血,a,则

【考点】

【答案】D

【解析】

在A中，I与a相交、平行或lua；在B中，I与m相交、平行或异面；在c中，1//a或；在D中,

由线面垂直的性质定理得〃/m.

由I,m是两条不同的直线，是一个平面，知：

在A中，若I'm,mua,则।与相交、平行或，故A错误；

在B中，若，则I与m相交,平行或异面，故B错误；

在C中，若，，则或，故c错误；

在D中，若1La,m■!•<?,则由线面垂直的性质定理得，故D正确.

故选：D.

__o-=2”+-r=2"_-

7、®1,/是夹角为6°的单位向量，则ael0,bel%的夹角的余弦值为（）

3

A.耳B.{{1351【答案】B

【解析】

先由奇偶性来确定是A还是B选项中的一个，再通过对数函数，当时，函数为减函数，可进一

步确定选项.

・"（7）=一/。）是偶函数，

所以排除C,D,

当时，y=-1夕函数为减函数，排除A.

故选:B.

9、直线％cos8-ysin0+a=0与xsin8+ycos8+b=0的位置关系是（）

A.平行B.垂直

c.斜交D.与a,b,6的值有关

【考点】

【答案】B

【解析】

当这两条直线中有一条斜率不存在时，检验他们的位置关系式垂直关系•当它们的斜率都存在时，求出

它们的斜率，发现斜率之积等于一1,两条直线垂直.

当cos8=°或sin8=°时，这两条直线中，有一条斜率为o,另一条斜率不存在，两条直线垂直.

1

当cosB和sin8都不等于。时，这两条直线的斜率分别为一五历和tan。，显然，斜率之积等于，

故两直线垂直综上，两条直线一定是垂直的关系，

故选：B.

国

10、已知“'）=—4—,则下列正确的是。

A.奇函数，在（°，+8）上为增函数B.偶函数，在上为增函数

C.奇函数，在上为减函数D.偶函数，在上为减函数

【考点】

【答案】B

【解析】

根据题意，由函数的解析式可得/（一幻=/（幻，可得/'（%）为偶函数，当时，求出函数的导

数，由函数导数与函数单调性的关系，分析可的在（°，+8）上为增函数；即可得答案.

根据题意，代X）=—4一,

。1-41一gT-M一g-IM

则"-X）=4=―4—=/（X）,则函数为偶函数；

ex-e~xex+e~x

当时，代叫=4,—>0,则在上为增函数；

故选：B.

11、若集和M={刈刈Ml},N=（x\x2-4x=0）,则MClN=（）

A.{0}B.{4}c.{-l，0,1}D.0,1,4}

【考点】

【答案】A

【解析】

先解出M,然后进行交集的运算即可.

解：M={-1<X<1]5N={0,4}；

MClN={0}

故选：A.

二、填空题（共3题，共15分）

12、函数AX）的定义域为D,若存在闭区间口⑼UD,使得函数满足：①fCO在口力】内是单调函数;

⑵fa）在上的值域为，则称区间为y=fa）的“等值区间”•下列函数中存在“等值区间”的有.

①f（X）=/

②f（约=2、

③/（X）=岛•

（4）/（%）=sinx

【考点】

【答案】①③

【解析】

利用“等值区间”的定义，只要方程/'（X）=%在定义域内存在两个不同实数根即可得出“等值区间”

的两个端点值，然后验证单调性得答案.

①由，可得/=x,解得x=0或x=l,

函数f（x）=/在［0,1］上为单调增函数，且值域为，

•••/（X）=/有等值区间；

⑵令9（X）=2'-X,当x工0时，9（%）＞。，函数无零点，当、＞0时，9'。）=212-1,

1x1

由g1（x）=2，12-1=0,可得2'=而，:.存在4e（0,+8）,满足2°=血，

使得当*e（0式0）时，9‘。）＜°,当*e（X。，+s）时，g'（x）＞0,

Xci.i

Mmtn=9（x0）=2°-与=位-晦通＞0

.•.g（x）=2"-x无零点，即/'（x）=2"不存在"等值区间”；

q2X

③由外为=?77=;可得或"±i.

2x2

f（x）=H7F=—r，…

当时，x+?在（°1］上为增函数，

2x

而对于一*2+1,满足/'（0）=0,f（l）=1,

-有等值区间；

④令9。)=sin%-%,则9'(x)=cosx-1<0

•••g(x)=sinx-X为单调减函数，又g(0)=o,

方程sinx=x仅有一解，故/<(X)=Sinx不存在“等值区间”.

存在“等值区间”的有.

故答案为：.

13、定义在R上的偶函数f(x)在［°，+8)上单调递增，且/1⑴=0,贝嗨足"岷/)"°的*的集合

为.

【考点】

【答案】或x>2)

【解析】

根据定义在R上的偶函数/'(X)在［°，+8)上单调递增，且f⑴=°,则/1(-1)=0,f(x)>0)

彳.logIX>1log1%<-1

可得X>1或XV-1,可得2或2，即可求解X的集合.

是定义在R上的偶函数，且在(°，+8)上递增；

f(X)在(-8,0)上单调递减，

且,则，

由，可得或，

/(logIX)>0

要满足2,

即或，

1

解得：0<或x>2.

故答案为：或

11

14、计算：sinl5,+cosl5。.

【考点】

【答案】2下

【解析】

通分后利用两角和的正弦及倍角公式化简求值.

11cosl50+sinlS0

-----+------=---------------

由题，sE15。coslS0sinlS8cosl58

_#sin(lS。+45°)#sin600?心

zsin300T

4'・

故答案为：.

三、解答题(共6题，共30分)

15、已知函数/1(%)=2/-3%+1.

n

⑴当°工”“彳时，求y=f(sinx)的最大值；

(2)问a取何值时，方程f(sinx)=a-sinx在［0,2万)上有两解？

【考点】

1

【答案】(1)1；(2)°七(1，5)或°=2.

【解析】

0)根据函数f(x)得出y=f(sinx)的解析式，用换元法，设弋=a1壬，C［O,引，求出f(t)在区

间［°1］上的最值即可；

(2)把方程f(sinx)=a-sinx转化为Zsi/x-2sinx4-1=。在［0,2布上有两解的问题，用换元

法，求方程2t2-2t+1=a在［-1,1］上解的情况即可.

⑴函数/'㈤=2--3X+1,

y=/(sinx)=2sinx-3sinx+1,

设，，则1,

.•.y=2(t2-ft)+l=2(t-1)2-1

»

当t=°时，函数y取得最大值=1;

⑵••・方程，

2sinx-3sinx+1=a-sinx

即在上有两解，

设，则

在上解的情况如下；

①当方程在(一1，1)上只有一个解或相等解时，

x有两解（5~a）（l-a）<0或△=0；

•••a6（1,5）或；

3

⑵当t=T时，X有唯一解，=产,

n

。，当*=1时，x有唯一解'2；

综上，当或时，方程在上有两解.

16、如图，已知在直三棱柱比g中，AC=4,4B=5,COSNC/B=5，^1=3,

是AB上的动点.

（1）求证：ACLBC\.

（2）若D是AB上的中点，求证：4cl〃平面CD"

（3）求三棱锥"1一Bi。。的体积.

【考点】

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）6.

【解析】

（1）由余弦定理得BC,由勾股定理得4c1BC,由C011面ABC得到1AC,从而得到4C1面

BCC

lt故ACC1；

⑵连接监交BQ于点E,则DE为△力叫的中位线,得到DE//4C1,从而得到"1//面/CD；

（3）过c作CF—B垂足为F,CFJ.面面积法求CF,求出三角形的面积，代入

体积公式进行运算.

4

证明：在中，由AC=4,虫=5,coszSB，，

利用余弦定理得BC=3,贝+EC?=

•••△ABC为直角三角形，得.

又CC11面ABC,CC11AC,

而nBC=C,...AC1面，则力C-LBCi.

证明：设交于点E,则E为的中点，

连接DE,则DE为的中位线，则，

又DEU面CD%,则面；

解：在中，过C作垂足为F,

由面4町411

面ABC,得面，

VV

Al-B1CD=C-AiDB1

11-15

而=刑四-=2X5X3=y,

SAA/B]AAY

在中，由等面积法得CF=AB=T,

11512

AIZXX=6

/11-B1CD=3TT

17、已知圆C：I)?+O'—2产=25,直线।：(2m+l)x+(m+l)y-7?n—4=0

(I)求证：直线l与圆c必相交；

II求直线I被圆0截得的弦长最短时直线I的方程以及最短弦长.

【考点】

【答案】(1)详见解析；(2)2x-y-5=0,46

【解析】

(1)根据直线I方程得到直线I恒过M(3,l),求出|MC|距离小于半径，即可得到直线।与圆c必相

交；

2当直线11直线MC时，直线I被圆C截得的弦长最短，求出直线MC的斜率，根据两直线垂直时斜率

乘积为-1求出直线I斜率，根据M坐标确定出直线I方程，利用垂径定理，勾股定理求出最短弦长即可.

1证明：根据题意得：直线I：Qm+l)x+(m+l)y-7m-4=°恒过点，

圆心C(L2),半径为5,

22

V\CM\=7（3-I）+（1-2）=^<51

•••M为圆内，

则直线I与圆c必相交；

2当直线直线MC时，直线I被圆C截得的弦长最短，

设直线MC解析式为丫=kx+，

/3k+b=1

把M与c坐标代入得：W+0=2,

.1.5

解得：k=-2,b=2,

15

••直线MC解析式为>'=-2X+2,

直线I斜率为2,

7直线I过点M,

直线I方程为yT=2（x-3）,即；

根据题意得：最短弦长为252-承）2=函，

18、在A/IBC中，角A,B）C对应的边分别是a,b,c,已知C0S24-3C0S（8+0=1.

（1）求角A的大小；

（2）若的面积S=6p,b=3,求sinBsinC的值.

【考点】

n3

【答案】⑴4=3（2）sin8sinc=>

【解析】

（1）利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得COS力的值，可得A的值.

（2）利用余弦定理求得a,再利用正弦定理求得sinBsinC的值

中，：cos2/-3cos（B+C）=1,二2cos2>4-1+3cos4=1,解得cos4="

n

••^=3.

⑵：b=3,△4BC的面积S=^bcsinA=6#,...c=4

再由余弦定理可得

o.oo27abe12

a=b+c-2bc-cosA=21....（2/?）=-^=28=^-sinB.sinC

3

・，sinBsinC=y

19、设等差数歹4a，J的前n项和为Sn,且满足04=7,^5=25.

（1）求数列的通项公式；

⑵记%=求数列&｝的前n项和丁”.

【考点】

n3

【答案】⑴/=2n-l；⑵4-

【解析】

（1）首先利用已知条件建立方程组，求出数列的首项与公差，进一步确定等差数列的通项公式.

（2）利用的结论，进一步求出数列的通项公式，最后利用错位相减法求出数列的和.

等差数歹十%｝的前n项和为S”，且满足q=7,55=25.

设首项为01,公差为d,

'。4=7

Sc=25

则：5,

%+3d=7

5。|+10d=25

整理得：1

解得：4=1,d=2,

所以：%=%+5-l）d=2n-1

由得：%=%邮=（2"1"（扔，

所以：*=14+3,*+5,*+…+（2〃-1）­冠，

111-1,、1

/n=1•齐+3,理+5・尹+...+（2n-1）•