球的切接问题-2024年高考数学重难点攻略含答案

球的切接问题--2024年高考数学重难点攻略考点一：空间几何体的外接球(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元2√13,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为()A.100πB.75πC.80πA点为球心，2为半径的球面的交线的周长为()阿顶.如图，某几何体ABCDEF有五个面，其形状与四阿顶相类似.已知底面ABCD为矩形，AB=4,AD=EF=2,EF/|底面ABCD,且EA=ED=FB=FC=BC,则几何体ABCDEF外接球的表面积为A.22πB.28πC.32π⊥平面ABC,则SA=考点二：空间几何体的内切球为O,半径为ri,圆台的上底面圆心为O₂,半径为r₂(r₁>r₂),球的球心为O,半径为R,记圆台的表面积为S₁,球的表面积为S₂,则的可能的取值为()BA.2+2√6B.2+4√6C..4+2√6D.4+题目4)(2024四川宜宾·二模)所有棱长均为6的三棱锥，其外接球和内切球球面上各有一个动点M、N,则线段MN长度的最大值为强化训练题目1(2023-浙江绍兴·模拟预测)已知某正六棱柱的所有棱长均为2,则该正六棱柱的外接球的表面积为A.6πB.8πC.16π22AA有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m,则该正八面体结构的内切球表面积为()A.πm²B.2πm²C.题目4(2024·广东·模拟预测)将边长为2的正三角形沿某条线折叠，使得折叠后的立体图形有外接球此立体图形体积最大时，其外接球表面积为()B口角形且垂直于底面ABCD,M为四棱锥P-ABCD内切球表面上一点，则点M到直线CD距离的最小值为A.1:8B.1:9C.1:26D.1:27AB=AC,AB⊥AC,AD⊥BC,若四面体ABCD的体积的最大值为,则球O的表面积为()A.2πB.3π33A.DC₁⊥平面BDCB.A₁E//平面BDCC.点C到平面BDC₁的距离为D.三棱锥C₁-BDC外接球的半径为A.异面直线AE与BF所成的角为60°C.此八面体内切球与外接球的表面积之比为D.直线AE与平面BDE所成的角为60°下面结论正确的是() ;三棱锥P-ABC动点P在△ACD₁内部及其边界上运动，则直线BP与平面ACD₁所成角的正弦值的最大值为题目14)(23-24高三下·陕西安康·阶段练习)如图为某三棱锥的三视图，其正视图的面积为√3,则该三棱锥外接球表面积的最小值为正视图俯视图侧视图题目15」(2023高三·全国·专题练习)将3个半径为1的球和1个半径为√2-1的球叠为两层放在桌面上，上层只放1个较小的球，4个球两两相切，求上层小球的最高点到桌面的距离.题目16」(2023高三·全国·专题练习)如图：长为3的线段PQ与边长为2的正方形ABCD垂直相交于其中心(1)若二面角P-AB-Q的正切值为-3,试确定O在线段PQ的位置；(2)在(1)的前提下，以P,A,B,C,D,Q为顶点的几何体PABCDQ是否存在内切球?若存在，试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由.(1)求异面直线AD与BC所成角的余弦值；(2)求能放置在该圆锥内半径最大的球的体积.(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系),达到空间问题平面化的目的.题目1(2024-辽宁抚顺·一模)在三棱锥P-ABC中，A2√13,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为()A.100πB.75πC.80π即BC=4√3,又PB=PC=2√13,因为PA²+AC²=PC²,所以PA⊥AC,同理PA⊥AB,又由AB∩AC=A,AB,ACC平面ABC,PA⊥平面ABC.,,11A点为球心，2为半径的球面的交线的周长为()再再利用三角函数定义和圆周长公式即可得到答案.阿顶.如图，某几何体ABCDEF有五个面，其形状与AD=EF=2,EF/|底面ABCD,且EA=ED=FB=FC=BC,则几何体ABCDEF外接球的表面积为A.22πB.28π【解析】连接AC,BD,设AC∩BD=M,取EF的中点N,连接MN,连接MG,过点F作FP⊥MG于点P,则四边形MPFN是矩形，MN=FP,22,,因为△AMO和△ONE均为直角三角形，设外接球半径为R,OM=x,当球心O在线段MN上时，则R²=x²+(√5)²,R²=(√2-当球心O在线段MN外时，,所以外接球的表面积S=4πR²=22π.题目4(2023·全国乙卷)已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC,则SA=【解析】如图，将三棱锥S-ABC转设△ABC的外接圆圆心为O,半径为r,考点二：空间几何体的内切球中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径.【分析】根据三角形相似求出内切球半径，再利用球的表面积公式求其表面积.O为内切球的球心，PH是棱锥的高，E,F分别是AB,CD的中点，连接PF,G是球与侧面PCD的切点，可知G在PF上，OG⊥PF,设内切球半径为r,AA则OH=OG=r,HF=1,PH=√3,PF=2, 题目2](2023-沈阳模拟)如图，圆台内有一个球，该球与圆台的侧面和底面均相切.已知圆台的下底面圆心为O,半径为r,圆台的上底面圆心为O₂,半径为r₂(r₁>r₂),球的球心为O,半径为R,记圆台的表面积为S₁,球的表面积为S₂,则的可能的取值为()B垂足为F,垂足为F,由题意知圆O与梯形ABCD相切，则DC=DE+CE=O₂D+O₁C=r₂又DC=√DF²+FC²=√4R²+(r-r₂)²,化简可得R²=rjr₂;题目3))(2024-河北沧州·模拟预测)某包装设计部门为一球形塑料玩具设计一种正四面体形状的外包装盒(盒子厚度忽略不计),已知该球形玩具的直径为2,每盒需放入10个塑料球，则该种外包装盒的棱长的最小值A.2+2√6B.2+4V⁶C..4+2√GD.4+【分析】先确定正四面体的棱长与高还有内切球半径的关系，然后根据当a取得最小值时，从上到下每层中放在边缘的小球都与正四面体的面都相切，从而计算出棱长的最小值.,的小球个数依次为1,3,6.体EFGH,底面BCD的中心为O,AO与面FGH的交点为P,则该正四面体EFGH的棱长为1+2+1=4,进而可求得其棱长a的最小值为即正四面体的高等于其棱长的正四面体的内切球的半径等于其棱长的这样解题的时候我们可以利用这个关系快速得到我们要的量.线段MN长度的最大值为55半径r,线段MN长度的最大值为R+r得解.设外接球半径为R,内切球半径为r,则R²=BH²+OH²=12+(2v6-R),强化训练A.6πB.8π所以AO=√AO²+OO²=√2²+1²=√5,题目2(2024·广东梅州·一模)某圆锥的底面直径和高均是2,则其内切球(与圆锥的底面和侧面均相切)的半径为()66即内切球的半径为体结构的内切球表面积为()A.πm²B.2πm²C.取BC的中点E,连接OE,PE,由BE=CE,可得BC⊥OE,BC⊥PE,OE,PEC且OE∩PE=E,所以BC⊥平面POE,因为BC⊥平面POE,OHC平面POE,所以BC⊥OH,且BC∩PE=E,BC,PEC平面PBC,所以OH⊥平面PBC,77的距离h₁,结合OA=OB=R可得R²=r²+h{=(d₃-h₁)²+dj,由此可得外接球半径R,进而即可求解.由题意A(-1,0),B(1,0),C(0,√③),,此时上述情况中的点D于原点O重合，此时三棱锥A-BCD体积的最大值为88(此时面ACO⊥面BCO),,与三角形BEF垂直),与三角形BEF垂直),,此时我们首先来求四边形AEFC外接圆圆心O,所以AB的垂直平分线方程99而AE中垂直线方程从而解得O所以四边形AEFC外接圆半径的距离为又满足题意的四棱锥B-AEFC设满足题意的四棱锥B-AEFC的外接球球心为O,设球心到平面AEFC的距离为h₁,,且此时d₃=|,且此时d₃=|BG|=由此即可顺利得解.B口【分析】根据题意和几何关系，并在△ACN所在平面内建立平面直角坐标系，确定点O,M的位置和坐标，即可求解.【详解】由题意知△ABD与△BCD均为等边三角形，连接AN,CN,则AN⊥BD,CN⊥BD,∠ANC又易知AN=CN,所以△ACN是等边三角形.坐标系如图.则,,设则,,,,,,题目6(2024-湖北·模拟预测)已知四棱锥P-ABCD角形且垂直于底面ABCD,M为四棱锥P-ABCD则平面PHN截四棱锥P-ABCD的内切球O所得的截面为大圆，平面PAB⊥平面ABCD,交线为AB,PHC平面PAB,HNC平面ABCD,∴PH⊥HN,AB=2√3,BC=4,则有PH=3,HN=4,PN=5,∵PH⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,∴CD⊥PH,的中点为N,连接PH,PN,HN,∴CD⊥平面PHN,∵ONC平面PHN,A.1:8B.1:9AB=AC,AB⊥AC,AD⊥BC,若四面体ABCD的体积的最大值为,则球O的表A.2π),其中R为球体半径，结合均值不等式可),其中R为球体半径，结合均值不等式可得R,即可得答案.【详解】因AB=AC,AB⊥AC,取BC中点为N,则AN⊥BAD=A,则BC⊥平面AND,BCC面ABC,则平面ABC⊥平面AND,要使四面体ABCD的体积最大，则有DN上平面ABC,且球心O在DN上.设球体半径为R,则OA=OD=R,则又注意到BC=2AN,AN²=OA²-ON²=R²-ON²,则当且仅当2R-2ON=R+ON,即R=3ON时取等号.又四面体ABCD的体积的最大值为,则条件得到等量关系，从而解决问题.题目9(23-24高三下·重庆.阶段练习)如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁CA.DC₁⊥平面BDCB.A₁E//平面BDG₁C.点C到平面BDC₁的距离为D.三棱锥C₁-BDC外接球的半径为则DC₁⊥DC.又BCC平面BDC,DCC平面BDC,BC∩DC=C,所以DC₁⊥平面BDC,故A正确.对B,取O为BC的中点，连接OE,OD.易知OE//A₁D,OE=A₁D则A₁E//DO.又A₁E4平面BDC,DOC平面BDC₁,所以A₁E//平面BDC,故B正确.对C,设点C到平面BDC₁的距离为x,则x是以C为顶点，△BDC₁为底面的三棱锥的高.因为BC⊥平面AA₁C₁C,所以BC是三棱锥B-CDC₁所以,所以,即点C到平面BDC₁的距离为故C错误.,D正确.A.异面直线AE与BF所成的角为60°C.此八面体内切球与外接球的表面积之比为D.直线AE与平面BDE所成的角为60°【分析】根据异面直线的夹角、线面垂直的判定、外接和内切球，线面角等知识点逐项判断即可.【详解】将正八面体E-ABCD-F置于一个正方体中，该正八面体的顶点为正方体六个面的中心，如图所设AC,BD交于点O,易知O为正方体的中心，同理PQ//CF,又PQ//MN,则AE//CF,则直线AE与BF所成角即CF与BF所成角，因为△BCF为正三角形，所以∠CFB=60°由正方体性质易知BD⊥平面AFCE,CEC平面AFCE,故BD⊥CE,B正确；设正方体的棱长为2,所以O为此八面体外接球的球心，即此八面体一定存在外接球，且外接球半径为R=1,设内切球的半径为r,又八面体的表面积为所以所以,此八面体内切球与外接球的表面积之比为故C项正确.由正方体性质易知AC⊥平面BDE,故∠AEO为直线AE与平面BDE所成的角，题目11(2024·江西上恍·一模)空间中存在四个球，它们半径分别是2,2,4,4,每个球都与其他三个球外切，下面结论正确的是()A.以四个球球心为顶点的四面体体积为B.以四个球球心为顶点的四面体体积为C.若另一小球与这四个球都外切，则该小球半径D.若另一小球与这四个球都内切，则该小球半径【分析】设半径为2的两球球心为A,B;半径为4的两球球心为C,D,根据内切关系可得三棱锥C-ABD的各棱长，根据线线关系确定线面关系从而可求以四个球球心为顶点的四面体体积及与这四个球都外切或内切的球的半径，逐项判断即可得结论.【详解】设半径为2的两球球心为A,B;半径为4的两球球心为C,D,易知AB=4,CD=8,AC=AD=BC取AB中点E,连接CE,DE,因为AC=BC=6,AD=BD=6,点E为AB中点，故CE²+DE²=CD²,则CE⊥DE,因为AB∩DE=E,AB,DEC平面ABD,所以CE⊥平面ABD,若另一小球与这四个球都外切，设小球中心为O,半径为r,则点O在四面体ABCD内，取AB中点E,CD中点F,连接EF,由PA⊥平面PBC,PB,PCC平面PBC,则PA⊥PB,PA⊥PC,【分析]先根据条件得到,进而得到DD₁=√2,利用线面垂直的性质作出BE⊥面,所以,又OD₁=OD=√2,所以因为OO₁⊥面ABCD,ACC面ABCD,所以OO₁⊥AC,又AC⊥BD,BD∩OO=O,BD,OO₁C面BDD₁B,所以AC⊥面BDD₁B,又BEC面BDD₁B,所以BE⊥AC,又AC∩D₁O=O,AC,D₁OC面AC外接球表面积的最小值为正视图俯视图侧视图本不等式可求得Rin,代入球的表面积公式即可.设AC=a,SC