第02讲 勾股定理的逆定理（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）-2024学年八年级数学上册（苏科版）

第第页第02讲勾股定理的逆定理1.经历勾股定理的逆定理的探索过程，知道勾股定理与逆定理的联系与区别.2.能用勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题.3.初步认识勾股定理的逆定理的重要意义，会用勾股定理就解决一些几何问题.4.通过具体例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立时其逆命题不一定成立.知识点1：勾股定理逆定理1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.知识点2：勾股数像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数【题型1直角三角形的判断】【典例1】（列各组数据2023八下·怀集期中）下为边的三角形中，是直角三角形的是（）A．2、3、7 B．5、4、8 C．3、5、4D．2、3、5【答案】C【解答】解：A、(2B、52C、32D、(2故答案为：C．【变式1-1】（2023八下·定州期中）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．9，12，15 B．6，8，10C．5，2，3 D．1.5，2.5，3.5【答案】D【解答】解：A、92+122=152，是直角三角形，故不符合题意；B.62+82=102，是直角三角形，故不符合题意；C．（5）2+22=32，是直角三角形，故不符合题意；D.1.52+2.52≠3.52，故不是直角三角形，故符合题意．故答案为：D．【变式1-2】（2023八下·会昌期中）在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的为（）A．1，2，3 B．4，7，5 C．5，13，12 D．2，3，5【答案】B【解答】A．12B．42C．52D．22故答案为：B．【变式1-3】（2023八上·开江期末）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）A．2、3、4B．4、5、6C．5、11、12 D．8、15、17【答案】D【解答】解：A、∵22+32=13≠52=25，∴以2、3、5为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；B、∵42+52=41≠62=36，∴以4、5、6为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；C、∵52+112=146≠122=144，∴以5、11、12为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；D、∵82+152=289=172，∴以8、15、17为边长的三个木棍能围成直角三角形，故此选项符合题意.故答案为：D.【典例2】（2023八上·达川期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为A．a=32，b=C．∠A=2∠B=3∠C D．∠A∶∠B∶∠C=2∶5∶2【答案】B【解答】解：A、∵a2+b2=(32)B、∵a2−b2=c2，∴aC、∵∠A=2∠B=3∠C，设∠C=x，则∠A=3x，∠B=32x，∴3x+32x+x=180°，解得x=(36011)°，D、∵∠A∶∠B∶∠C=2∶5∶2，设∠A=2x，∠B=5x，∠C=2x，∴2x+5x+2x=180°，解得x=20°，∴∴∠A=40°，∠B=100°，∠C=40°，∴△ABC不是直角三角形，故此选项不符合题意；故答案为：B.【变式2-1】（2023八上·内江期末）已知△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（）A．a2=b2−c2C．∠A=∠B+∠C D．∠A【答案】D【解答】解：∵a2∴a2∴△ABC是直角三角形，故A不符合题意；∵a2+b∴a2∴△ABC是直角三角形，故B不符合题意；∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠A=180°，∴∠A=90°，∴△ABC是直角三角形，故C不符合题意；∵∠A：∠B：∴∠C=180°×13∴△ABC不是直角三角形，故D符合题意；故答案为：D.【典例3】（2023八下·咸宁期中）如图，每个小正方形的边长为1（1）求四边形ABCD的周长；（2）∠BCD是直角吗？说明理由.【答案】（1）解：∵每个小正方形的边长为1∴AB=12+72=5∴四边形ABCD的周长为5（2）解：如图所示，连接BD，∵BD=32+42∴BD∴BD∴△BCD是直角三角形，∠BCD是直角.【变式3-1】2023八上·鄞州期末）如图：△ABC的三个顶点坐标分别是A(−2，0)，B(1，4)，C(5，1).（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；（2）判断△ABC的形状，并说明理由.【答案】（1）解：如图，△ABC为所作；（2）解：△ABC为等腰直角三角形.理由如下：∵A(−2，0)，B(1，4)，C(5，1)，∴AB=(1+2)2+∴AB∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，∵AB=CB，∴△ABC为等腰直角三角形.【变式3-2】（2022八上·历城期中）如图，正方形网格的每个小正方形边长都是1，△ABC的顶点在格点上．（1）判断△ABC的形状，并说明理由．（2）△ABC面积是，AC边上的高是．【答案】（1）解：△ABC为直角三角形，理由：由题意得：AB2=22∴AB∴△ABC为直角三角形，∴∠ABC=90°；（2）13；2【解答】（2）设AC边上的高为h，由（1）得：AB=13，BC=52=2∴△ABC的面积=12∵△ABC的面积=12∴12∴ℎ=2∴△ABC的面积为13，AC边上的高为25【题型2勾股数的应用】【典例4】（2021八上·灵石期中）设三角形的三边分别是下列各组数，则不是直角三角形勾股数的一组是（）A．3，4，5 B．2，3，4 C．5，12，13D．6，8，10【答案】B【解答】本题设三角形三边分别为a，b，c，(三边不确定)而分别试求：是否符合直角三角形三边关系：a2A、32B、22C、52D、62故答案为：B．【变式4-1】（2021八上·城阳月考）下列各组数中不是勾股数的是（）A．9，15，12 B．11，60，61C．6，8，10 D．0.3，0.4，0.5【答案】D【解答】根据勾股数的含义知，A、B、C三个选项的三组数均是勾股数，选项D中的三个数都不是整数，故不是勾股数．故答案为：D．【变式4-2】（2021八上·惠来期中）下列各组数中，不是勾股数的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，13，18【答案】D【解答】A、32+42=52，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；B、52+122=132，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；C、62+82=102，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；D、72+132≠182，不能构成直角三角形，故不是勾股数，故答案为：D．【变式4-3】（2020八上·昌平期末）下列是勾股数的有()3、4、5；②5、12、13；③9、40、41；④13、14、15；⑤7、⑥11、60、61A．6组 B．5组 C．4组 D．3组【答案】B【解答】解：①32②52③92④132⑤(7)2⑥112是勾股数的共5组故答案为：B【题型3勾股定理的逆定理的应用】【典例5】（2022八上·北仑期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪.（1）△ABC是直角三角形吗？为什么？（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？【答案】（1）解：△ABC是直角三角形，理由：连接AC，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=4米，CD=3米，由勾股定理得：AC=32+∵AC2+B∴AC∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形；（2）解：该空地面积S=S△ACB−即铺满这块空地共需花费=24×100=2400元.【变式5-1】（2022八上·大丰期中）如图所示四边形ABCD，已知AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求：（1）AC的长；（2）该四边形ABCD的面积.【答案】（1）解：∵△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=90°，∴AC=A（2）解：S△ABC∵在△ACD中，CD=12，AD=13，AC=5，∴CD∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，∴S△ACD∴S四边形ABCD【变式5-2】（2021八上·嵩县期末）2021年10月10日是辛亥革命110周年纪念日．为进一步弘扬辛亥革命中体现的中华民族的伟大革命精神，社区开展了系列纪念活动．如图，有一块四边形空地，社区计划将其布置成展区，陈列有关辛亥革命的历史图片．现测得AB=AD=26m，BC=16m，CD=12m（1）试说明∠BCD=90°；（2）求四边形展区（阴影部分）的面积．【答案】（1）解：∵△BCD中，BC=16m，CD=12m，BD=20m，∴BC2+C∴BC∴△BCD是直角三角形，∠BCD=90；（2）解：过点A作AE⊥BD于点E，∴∠AEB=90°，∵AB=AD，∴BE=DE=1在Rt△ABE∴AE=A∴S△ABD∵S△BCD∴S阴影面积1．（2023•济宁）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（）A．180°﹣α B．180°﹣2α C．90°+α D．90°+2α【答案】C【解答】解：如图，过B点作BG∥CD，连接EG，∵BG∥CD，∴∠ABG＝∠CFB＝α．∵BG2＝12+42＝17，BE2＝12+42＝17，EG2＝32+52＝34，∴BG2+BE2＝EG2，∴△BEG是直角三角形，∴∠GBE＝90°，∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+α．故选：C．2．（2023•泸州）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25【答案】C【解答】解：∵当m＝3，n＝1时，a＝（m2﹣n2）＝（32﹣12）＝4，b＝mn＝3×1＝3，c＝（m2+n2）＝×（32+12）＝5，∴选项A不符合题意；∵当m＝5，n＝1时，a＝（m2﹣n2）＝（52﹣12）＝12，b＝mn＝5×1＝5，c＝（m2+n2）＝×（52+12）＝13，∴选项B不符合题意；∵当m＝7，n＝1时，a＝（m2﹣n2）＝（72﹣12）＝24，b＝mn＝7×1＝7，c＝（m2+n2）＝×（72+12）＝25，∴选项D不符合题意；∵没有符合条件的m，n使a，b，c各为6，8，10，∴选项C符合题意，故选：C．3．（2021•常德）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（）A．②④ B．①②④ C．①② D．①④【答案】C【解答】解：①∵7不能表示为两个正整数的平方和，∴7不是广义勾股数，故①结论正确；②∵13＝22+32，∴13是广义勾股数，故②结论正确；③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；④设，，则＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2＝（a2c2+b2d2+2abcd）+（a2d2+b2c2﹣2abcd）＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2，ad＝bc或ac＝bd时，两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，如2和2都是广义勾股数，但2×2＝4，4不是广义勾股数，故④结论错误，∴依次正确的是①②．故选：C．4．（2020•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4【答案】B【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是＝，当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是＝；当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是＝，∵，∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，故选：B．1．（2022春•仓山区校级期中）下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23【答案】B【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；B、∵12+12＝，∴能构成直角三角形，故B正确；C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．故选：B．2．（2022春•昌图县期末）若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】C【解答】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0，解得：a＝b，a2+b2＝c2，∴△ABC的形状为等腰直角三角形；故选：C．3．（2022秋•峄城区校级月考）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝3：4：6【答案】D【解答】解：A、∠A+∠B＝∠C，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；C、由a2＝c2﹣b2，得a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选：D．4．（2022春•永定区校级月考）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对【答案】A【解答】解：∵正方形小方格边长为1，∴BC＝＝2，AC＝＝，AB＝＝，在△ABC中，∵BC2+AC2＝52+13＝65，AB2＝65，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．故选：A．5．（2022春•绥棱县期末）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25 B．14 C．7 D．7或25【答案】D【解答】解：分两种情况：（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边为5；（2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边为．∴第三边长的平方是25或7，故选：D．6．（2022春•梁河县校级月考）△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③a2＝（b+c）（b﹣c）；④a：b：c＝5：12：13，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解；①∠A＝∠B﹣∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，解得∠B＝90°，故①是直角三角形；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，解得∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，故②不是直角三角形；③∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2+c2＝b2，符合勾股定理的逆定理，故③是直角三角形；④∵a：b：c＝5：12：13，∴a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，故④是直角三角形．能判断△ABC是直角三角形的个数有3个；故选：C．7．（2022春•郾城区期末）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（）A．47 B．62 C．79 D．98【答案】C【解答】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，∴x＝63，y＝16，∴x+y＝79，故选：C．8．（2022春•五华县期中）若一个三角形的三边长之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为120cm2．【答案】见试题解答内容【解答】解：设三边分别为5x，12x，13x，则5x+12x+13x＝60，∴x＝2，∴三边分别为10cm，24cm，26cm，∵102+242＝262，∴三角形为直角三角形，∴S＝10×24÷2＝120cm2．故答案为：120．9．（2022春•黄州区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5，则BD的长为．【答案】见试题解答内容【解答】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，如图所示：则∠M＝90°，∴∠DCM+∠CDM＝90°，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝25，∴AC＝5，∵AD＝5，CD＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCM＝90°，∴∠ACB＝∠CDM，∵∠ABC＝∠M＝90°，在△ABC和△CMD中∴△ABC≌△CMD，∴CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，∴BM＝BC+CM＝7，∴BD＝＝＝，故答案为：．10.（2022秋•铁岭月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动设运动的时间为ts当t＝2s或s时，△ABP为直角三角形．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，∴BC＝4cm．①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，∴t＝4÷2＝2s．②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣4）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝32+（2t﹣4）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，∴52+[32+（2t﹣4）2]＝（2t）2，解得t＝s．综上，当t＝2s或s时，△ABP为直角三角形．故答案为：2s或s．11．（2022春•天门校级月考）如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为45°．【答案】45．【解答】解：连接AC，由勾股定理得：AC2＝22+12＝5，BC2＝22+12＝5，AB2＝12+32＝10，∴AC2+BC2＝5+5＝10＝BA2，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，故答案为：45．12．（2022春•南宁期末）已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．（1）求证：CD⊥AB；（2）求该三角形的腰的长度．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵BC＝20cm，CD＝16cm，BD＝12cm，∴满足BD2+CD2＝BC2，∴根据勾股定理逆定理可知，∠BDC＝90°，即CD⊥AB；（2）设腰长为x，则AD＝x﹣12，由（1）可知∠ADC＝90°，由勾股定理可知，AD2+CD2＝AC2，即：（x﹣12）2+162＝x2，解得x＝，∴腰长为cm．13．（2022春•周至县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的长；（2）求证：△BCD是直角三角形．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，∴BC＝＝＝5；（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，∴△BCD是直角三角形．14．（2022春•襄州区期中）如图在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：如右图所示，连接AC，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝＝2，∠BAC＝45°，又∵CD＝3，DA＝1，∴AC2+DA2＝8+1＝9，CD2＝9，∴AC2+DA2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD＝90°，∴∠DAB＝45°+90°＝135°．故∠DAB的度数为135°．15．（2022春•思明区校级期中）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）是．理由：∵AM2+BN2＝1.5