数学（选修22）练习6.1.16.1.2合情推理（一）归纳；合情推理（二）类比活页作业17

活页作业(十七)合情推理(一)——归纳合情推理(二)——类比1．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律，拼成若干个图案，则第六个图案中有花纹的正六边形的个数是()A．26 B．31C．32 D．36解析：设第n个图案有an个花纹的正六边形，则a1＝6×1－0，a2＝6×2－1，a3＝6×3－2.故猜想a6＝6×6－5＝31.答案：B2．观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，……可以得出的一般结论是()A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2解析：可以发现，第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2，……故第n个式子的第一个数是n；第一个式子中有1个数相加，第二个式子中有3个数相加……故第n个式子中有(2n－1)个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3的平方，……故第n个式子应该是(2n－1)的平方，故可以得到n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案：B3．已知x＞0，由不等式x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，x＋eq\f(4,x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(4,x2)≥3eq\r(3,\f(x,2)·\f(x,2)·\f(4,x2))＝3，…，我们可以得出推广结论：x＋eq\f(a,xn)≥n＋1(n∈N＋)，则a等于()A．2n B．n2C．3n D．nn解析：再续写一个不等式，x＋eq\f(33,x3)＝eq\f(x,3)＋eq\f(x,3)＋eq\f(x,3)＋eq\f(33,x3)≥4eq\r(4,\f(x,3)·\f(x,3)·\f(x,3)·\f(33,x3))＝4，由此可得a＝nn.答案：D4．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面积公式S扇等于()A.eq\f(r2,2) B．eq\f(l2,2)C.eq\f(lr,2) D．不可类比解析：由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底与高，可得扇形的面积公式．答案：C5．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到()A．空间中平行于同一直线的两直线平行B．空间中平行于同一平面的两直线平行C．空间中平行于同一直线的两平面平行D．空间中平行于同一平面的两平面平行解析：利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．答案：D6．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为____________.解析：eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)S1h1,\f(1,3)S2h2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S1,S2)))·eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).答案：1∶87．已知等差数列{an}的前n项和是Sn＝eq\f(na1＋an,2)，由此可类比得到各项均为正数的等比数列{bn}的前n项积Tn＝____________(用n，b1，bn表示)．解析：由等差数列中的“求和”类比等比数列中的“求积”，可知各项均为正数的等比数列{bn}的前n项积Tn＝(b1bn)eq\s\up7(\f(n,2)).答案：(b1bn)eq\s\up7(\f(n,2))8.则上起第n行，左起第n＋1列的数是____________.解析：第1行第2个数为2＝1×2，第2行第3个数为6＝2×3，第3行第4个数为12＝3×4，第4行第5个数为20＝4×5.故归纳出第n行第(n＋1)个数为n(n＋1)＝n2＋n.答案：n2＋n9．在椭圆中，有一结论：过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上不在顶点的任意一点P与长轴两端点A1，A2连线，则直线PA1与PA2的斜率之积为－eq\f(b2,a2)，类比该结论推理出双曲线的类似性质，并加以证明．解：过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上不在顶点的任意一点P与实轴两端点A1，A2连线，则直线PA1与PA2斜率之积为eq\f(b2,a2).证明如下：设点P(x0，y0)，点A1(a,0)，A2(－a,0)．则kPA1·kPA2＝eq\f(y0,x0－a)·eq\f(y0,x0＋a)＝eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－a2)＝eq\f(b2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),a2)－1)),x\o\al(2,0)－a2)＝eq\f(b2,a2).10．已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝eq\f(3,2)，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝eq\f(3,2).观察上述两等式的规律，请你写出一个一般性的命题，并加以证明．解：一般性的命题为sin2θ＋sin2(60°＋θ)＋sin2(120°＋θ)＝eq\f(3,2).证明如下：sin2θ＋sin2(60°＋θ)＋sin2(120°＋θ)＝eq\f(1－cos2θ,2)＋eq\f(1－cos120°＋2θ,2)＋eq\f(1－cos240°＋2θ,2)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)[cos2θ＋cos(120°＋2θ)＋cos(240°＋2θ)]＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)[cos2θ＋cos120°cos2θ－sin120°sin2θ＋cos(180°＋60°＋2θ)]＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)[cos(60°＋2θ)－cos(60°＋2θ)]＝eq\f(3,2).11．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝eq\f(2S,a＋b＋c).类比这个结论可知：四面体A_BCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体A_BCD的体积为V，则R等于()A.eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) B．eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C.eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) D．eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)解析：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V四面体A_BCD＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)R.∴R＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).答案：C12．设n为正整数，f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，计算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)＞2，f(8)＞eq\f(5,2)，f(16)＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为____________.解析：由题意，得f(21)＝eq\f(3,2)，f(22)＞eq\f(4,2)，f(23)＞eq\f(5,2)，f(24)＞eq\f(6,2).故一般的结论为f(2n)≥eq\f(n＋2,2).答案：f(2n)≥eq\f(n＋2,2)13．设函数f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x＞0)，观察：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f(f1(x))＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f(f3(x))＝eq\f(x,15x＋16)，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝____________.解析：依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为bn＝2n.∴当n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝eq\f(x,2n－1x＋2n).答案：eq\f(x,2n－1x＋2n)14．平面几何里有“设直角三角形ABC的两直角边分别为a，b，斜边上的高为h，则eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝eq\f(1,h2)”，拓展到空间，研究三棱锥的侧棱长与底面上的高间的关系可以得出的正确结论如下：“设三棱锥A_BCD的三个侧棱两两垂直，其长分别为a，b，c，平面BCD上的高为h，则____________________”．解析：如图所示，设A在底面的射影为O，连接BO并延长交CD于E.连接AE，由AB⊥AC，AB⊥AD，得AB⊥平面ACD.∴AB⊥AE.设AE＝h1，在△ABE中，由已知可得eq\f(1,a2)＋eq\f(1,h\o\al(2,1))＝eq\f(1,h2).又易证CD⊥平面ABE.∴CD⊥AE.在△ACD中有eq\f(1,h\o\al(2,1))＝eq\f(1,b2)＋eq\f(1,c2).∴eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋eq\f(1,c2)＝eq\f(1,h2).答案：eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋eq\f(1,c2)＝eq\f(1,h2)15．设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N＋，计算：f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想是否正确．解：f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数，∴归纳猜想：当n∈N＋时，f(n)＝n2＋n＋41的值都为质数．当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝40×(40＋1)＋41＝41×41，∴f(40)是合数．∴由上面归纳推理得到的猜想不正确．16.如图，点P为斜三棱柱ABC_A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N(1)求证：CC1⊥MN.(2)在任意△DEF中有余弦定理DE2＝DF2＋EF2－2DF·EFcos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．(1)证明：∵PM⊥BB1，PN⊥BB1，∴BB1⊥平面PMN.∴BB1⊥MN.又∵CC1∥BB1，∴CC1⊥MN.(2)解：在斜三棱柱ABC_A1B1C1S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1cosα.其中α为平面BCC1B1与平面ACC1证明