2020-2021学年山东省济南市历下区八年级（上）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年山东省济南市历下区八年级第一学期期末数学试

卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.）

1.16的算术平方根是（）

A.4B.±4C.2D.±2

2.下列四组数，是勾股数的是（）

促

A.J,-y.-pB.3,4,5C.D.32,42,52

o4

3.已知“Vb,则下列四个不等式中，不成立的是（）

A.〃+2<7升2B.2a<2bC.2a-]>2b-1D.--a>--b

22

4.如图，将长方形纸片ABC。沿对角线8。折叠，点C的对应点为E,若NCBD=35°,

则NAM的度数为（）

A.70°B.75°C.80°D.85°

5.一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是

（）

__I.11―/!///.

01234

A.B.x>3C.元21D.x>1

6.下列各式计算正确的是（）

A.2y+2&=4近B.2«-«=2C.收+退=3D.>/（_3）2=±3

7.在数学竞赛中，某校10名学生参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列

说法正确的是（）

C.平均数是95分D.方差是±5

8.如图，ZVIBC中，ZC=90°,/A=30°,A8的垂直平分线交AC于D,交AB于E,

9.如图，已知点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，则点尸的位置:

①在NB的平分线上；

②在NZMC的平分线上；

③在NECA的平分线上；

④恰是/B,/DAC,/ECA三个角的平分线的交点.

上述结论中，正确结论的个数有（）

10.若代数式衣不在实数范围内有意义，则一次函数尸（A-2）x-A+2的图象可能是（）

11.已知直线），=3x与尸-2x+/>的交点为（-1,a）,则方程组（y-3x-0的解为（）

ly+2x-b=0

fx=-lcfx=-lc（X=1、fX=1

AA.4B.iC.iD.i

ly=-3Iy=3ly=-3\y=3

12.有两段长度相等的路面，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工，甲、乙两个施工队

铺设路面的长度y（米）与施工时间x（时）的函数关系的部分图象如图所示.下列四种

说法：

①施工2小时，甲队的施工速度比乙队的施工速度快；

②施工4小时，甲、乙两队施工的长度相同；

③施工6小时，甲队比乙队多施工了10米；

④如果甲队施工速度不变，乙队在施工6小时后，施工速度增加到每小时12米，结果两

队同时完成铺设任务，则路面铺设任务的长度为120米.

其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分.）

13.点“（5,3）关于x轴对称的点是点N,则点N的坐标是.

14.不等式-3x>6的解是.

15.等腰三角形周长为17,其中一边长为5,则该等腰三角形的底边长为.

16.如图，某人在B处通过平面镜看见在8正上方5c”处的A物体，已知物体A到平面镜

的距离为6a”,则B点到物体A的像A'的距离是c九

17.如图，已知NAOB=60°，点P在边0A上，OP=14,点M,N在边OB上,PM=PN,

18.如图，已知△ABC中，/A=a,点8、C、M在一条直线上，N48C和N4CM两角的

平分线交于点Pi，NPiBC和NPC例两角的平分线交于点为，NP2BC和/P2cM两角的

平分线交于点生，以此类推，…则/P202I,的度数是.

三、解答题（本大题共8题，满分78分）

19.计算：

V3

（2（2扬1）（2近-1）.

’5x>3x-6①

20.解不等式组|3x+l/,〜并写出它的所有整数解.

2jyL<x+l②

21.如图，已知NA=/£>=90°,E、F在线段2c上，DE与AF交于点。，S.AB=DC,

BE=CF.

求证：N8=NC.

D

HE（'

22.用A、8两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原

料的价格如表:

原料A种原料3种原料

维生素C的含量（单位/千克）600100

若配制这种饮料10千克，一共含有4000单位的维生素C,请求出所需A种、2种原料

分别多少千克？

23.如图，点尸在线段A8上，点E,G在线段CD上，FG//AE,Z1=Z2.

（1）求证：AB//CD-,

,求NC的度数.

24.某校开展了以“追梦新时代”为主题的读书活动，并对本校八年级学生12月份“阅读

该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有

随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示.

所抽取该校八年线学生12月份“读书量”的统计图

（1）求出随机被抽查的学生总数，并补全不完整的条形统计图;

（2）填写本次所抽取学生12月份“读书量”的中位数为本，众数为本;

(3)求本次所抽取学生12月份“读书量”的平均数.

25.某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲乙

两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元，经过协商，甲旅行社表示可以给

予每位游客七五折优惠乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客

八折优惠若单位参加旅游人数为x人，甲乙两家旅行社支付的费用分别为a和以元.

(1)写出)，1,”与x的关系式；

(2)该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？

26.问题情境：如图①，在△ABD与△C4E中，BD=AE,ZDBA=ZEAC,AB=AC,易

证：XABDQXCAE.(不需要证明)

特例探究：如图②，在等边△ABC中，点力、E分别在边BC、ABh,且BZ)=4E,AD

与CE交于点F.求证：△AB。丝△CAE.

归纳证明：如图③，在等边△A8C中，点。、E分别在边CB、BA的延长线上，且

AE.与△C4E是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由.

拓展应用：如图④，在等腰三角形中，AB=AC,点。是AB边的垂直平分线与AC的交

点，点£>、E分别在。8、84的延长线上.若NBAC=50°,N4EC=32°,

求NBA。的度数.

27.如图，直线小与y轴交于点8(0,3),直线&y=-2x-I交y轴于点4,

交直线人于点P(-1,/).

(1)求晨6和f的值；

(2)求△ABP的面积；

(3)过动点。(a,0)作x轴的垂线与直线/卜12,分别交于M、N两点，且MN<4.

①求a的取值范围；

②当△人〃2的面积是△AMB的面积的/时，求的长度.

附加题(本大题共3个题，选择题和填空题每小题0分，解答题10分，共20分，得分不

计入总分，注意，第1题不是只有一个选项!)

28.甲、乙二人同时从A地出发，沿同一条道路去2地，途中都使用两种不同的速度0与

V2(Vi<V2),甲用一半的路程使用速度■、另一半的路程使用速度L；乙用一半的时

间使用速度修、另一半的时间使用速度丫2；关于甲乙二人从4地到达8地的路程与时间

的函数图象及关系，有图中4个不同的图示分析.其中横轴r表示时间，纵轴s表示路程,

其中正确的图示分析为()

:建：

'A.『2A

⑴⑵(3)(4)

A.图(1)B.图(1)或图(2)

C.图(3)D.图(4)

29.如图，六边形A8CQEF中，/A=NB=NC=/D=/E=/F,且AB+BC=11,FA-

CD=3,则8C+QE=______.

E_____E

RC

30.已知“、6均为正数，且Ja2+b2、74a2+b2'Ja2+4b2是一个三角形的三条边的长，

求这个三角形的面积.

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.）

1.16的算术平方根是（）

A.4B.±4C.2D.±2

【分析】根据算术平方根的定义进行判断即可.

解：：42=16,

；.16的算术平方根为4,

故选：A.

【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是解决问题的关键.

2.下列四组数，是勾股数的是（）

A.晟，—,£B.3,4,5C.炳,日，代D.32,42,52

OTCD

【分析】根据勾股数的定义：有6、C,三个正整数，满足。2+乒=02,称为勾股数.由

此判定即可.

解：A、（2）2+（1）2#（1）2,不是勾股数，不符合题意；

345

B、32+42=52,是勾股数，符合题意；

C、（F）2+（t）2#（75）2,不是勾股数，不符合题意；

D、（32）2+（42）2工（52）2,不是勾股数，不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键.

3.已知则下列四个不等式中，不成立的是（）

A.a+2<b+2B.2a<2bC.2a-1>2b-1D.--a>--b

22

【分析】根据不等式的性质逐一进行判断即可.不等式的性质：①不等式的两边同时加

上（或减去）同一个代数式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）

同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不

等号的方向改变.

解：A.'：a<b,

.•.4+2<b+2,故本选项不符合题意；

：・2a<2b,故本选项不符合题意；

C.•:a〈b,

：.2a-l<2/7-1,故本选项符合题意；

D.

4a>4b，故本选项不符合题意；

22

故选：C.

【点评】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是掌握不等式的性质.

4.如图，将长方形纸片ABC。沿对角线5。折叠，点C的对应点为E,若NC3O=35°,

则NAFB的度数为()

F.

【分析】根据折叠的性质，可以得到NEBC的度数，然后再根据平行线的性质即可求解.

解：由折叠的性质得到，NEBD=NCBD,

VZCBD=35°,

：.ZEBC=2ZCBD=10°,

•:AD//BC,

・・.NAFB=NEBC=70°,

故选：A.

【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质及折叠的性质是解题的关键.

5.一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是

()

_I11

01234

A.x》3B.x>3C.D.x>l

【分析】由数轴知且x>3,再确定其公共部分即可.

解：由数轴知且x>3,

其公共部分为x>3,

故选：B.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知

“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

6.下列各式计算正确的是()

A.2T+2&=4捉B.273*V3=2C.扬+«=3D.7(-3)2=±3

【分析】根据二次根式的加减法则、除法法则及二次根式的性质逐一求解即可.

解：A.2y与2M不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；

B.273-V3=V3>此选项错误，不符合题意；

C.扬+、行=折7§=«=3,此选项计算正确，符合题意；

D.{(-3)2=1-31=3,此选项错误，不符合题意；

故选：C.

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺

序和运算法则.

7.在数学竞赛中，某校10名学生参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列

说法正确的是()

♦人数

分数

A.众数是90分B.中位数是95分

C.平均数是95分D.方差是±5

【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式,

求出答案.

解：4、众数是90分，人数最多，说法正确，符合题意；

B、中位数是90分，说法错误，不符合题意；

a平均数是1X100+2X95+5X+男(分)，说法错误，不符合题意；

10

D、方差是工X[(85-91)2X2+(90-91)2X5+(100-91)2+2(95-^1)2]=19,说法

错误，不符合题意;

故选：A.

【点评】此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、方差，关键

是能从统计图中获得有关数据，求出众数、中位数、平均数、方差.

8.如图，ZVIBC中，ZC=90°,NA=30°,A8的垂直平分线交AC于Z),交A2于E,

C.8D.6

【分析】先由直角三角形的性质求出NABC的度数，由AB的垂直平分线交4c于。，交

AB于E,垂足为E,可得BD=AD,由NA=30°可知/ABO=30°,故可得出/DBC

=30°,根据C£>=2可得出8。的长，进而得出AQ的长.

ZA=30°,

AZABC=60°.

的垂直平分线交AC于。，交A8于E,

：.AD=BD,DELAB,

.../A8Q=/A=30°,

AZDBC=30°,

VCD=3,

:.BD=2CD=6,

：.AD=6.

故选：D.

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质.熟练掌

握直角三角形的性质是解题的关键.

9.如图，已知点尸到BE、BD、AC的距离恰好相等，则点尸的位置:

①在NB的平分线上；

②在/D4C的平分线上；

③在NECA的平分线上；

④恰是48,ADAC,NECA三个角的平分线的交点.

上述结论中，正确结论的个数有（）

D.4个

【分析】利用角平分线性质的判定定理分析.由已知点P到BE,BD,AC的距离恰好相

等进行思考，首先到到两边距离相等，得出结论，然后另外两边再得结论，如此这样，

答案可得.

解：由角平分线性质的逆定理，可得①②③④都正确.

故选：D.

【点评】此题主要考查角平分线性质的判定定理：到角的两边距离相等的点在角的平分

线上.做题时，可分别处理，逐个验证.

10.若代数式4万工在实数范围内有意义，则一次函数y=a-2）x-k+2的图象可能是（）

【分析】根据代数式J五在实数范围内有意义和一次函数的定义，可以求得4的取值范

围，然后即可得八2和2-k的正负，从而可以一次函数y=a-2）x-k+2的图象经过

的象限.

解：；代数式J三在实数范围内有意义，

；.2-k2Q,

解得kW2,

:一次函数y=（&-2）x-%+2中，Z-2W0,

：.k<2,

：.k-2<0,2-k>0,

；.一次函数y=d-2）x-X+2的图象经过第一、二、四象限，

故选：C.

【点评】本题考查一次函数的图象，二次根式有意义的条件，解答本题的关键是求出k

的取值范围，利用一次函数的性质解答.

11.已知直线y=3x与y=-2x+6的交点为（-1,a）,则方程组“一0的解为（）

ly+2x-b=0

Afx=-lcfX=-lc/X=1cfX=1

A.\B.\C.《D.\

ly=-3\y=3ly=-3Iy=3

【分析】先把（-1,«）代入y=3x可确定交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相

应的一次函数图象的交点坐标求解.

解：把（-1,a）代入>=3X得。=-3,

所以方程组修-“=。的解为卜I".

y+2x-b=0（y=-3

故选：A.

【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个

方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数

式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标.

12.有两段长度相等的路面，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工，甲、乙两个施工队

铺设路面的长度y（米）与施工时间x（时）的函数关系的部分图象如图所示.下列四种

说法：

①施工2小时，甲队的施工速度比乙队的施工速度快；

②施工4小时，甲、乙两队施工的长度相同；

③施工6小时，甲队比乙队多施工了10米；

④如果甲队施工速度不变，乙队在施工6小时后，施工速度增加到每小时12米，结果两

队同时完成铺设任务，则路面铺设任务的长度为120米.

其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可

以解答本题.

解：由图象可得，

施工2小时，甲队的施工速度比乙队的施工速度慢，故①错误；

甲的施工速度为：60+6=10（米/时），当2WxW6时，乙的施工速度为：（50-30）-?

（6-2）=5（米/时），

施工4小时，甲队施工10X4=40（米），乙队施工30+5义（4-2）=40（米），故②

正确；

施工6小时，甲队比乙队多施工了60-50=10（米），故③正确；

设路面铺设任务的长度为s米，

s_s-50

-----=-----------HO,

1012

解得，s=110，

即路面铺设任务的长度为110米，故④错误；

故选：B.

【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质

和数形结合的思想解答.

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分.）

13.点M（5,3）关于x轴对称的点是点N,则点N的坐标是⑸-3）.

【分析】利用关于x轴对称的点的坐标特点可得答案.

解：点M（5,3）关于x轴对称点N的坐标是（5,-3）,

故答案为：（5,-3）.

【点评】此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，关键是掌握关于x轴的对称点的坐

标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数.

14.不等式-3x>6的解是x<-2.

【分析】系数化为1即可求解.

解：系数化为1得：xV-2.

故答案是：xV-2.

【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要

改变符号这一点而出错.

解不等式要依据不等式的基本性质：

(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；

(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；

(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.

15.等腰三角形周长为17,其中一边长为5,则该等腰三角形的底边长为5或7.

【分析】题目给出等腰三角形有一条边长为5,而没有明确腰、底分别是多少，所以要进

行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

解：当腰长为5时，底边长为17yX5=7,三角形的三边长为5,5,7,能构成三角形;

当底边长为5时，腰长为(17W)+2=6,三角形的三边长为6,6,5,能构成三角形;

所以等腰三角形的底边为5或7.

故答案为5或7.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的

题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解

答，这点非常重要，也是解题的关键.

16.如图，某人在B处通过平面镜看见在3正上方5aw处的A物体，己知物体A到平面镜

的距离为6cvn,则8点到物体A的像A'的距离是13cm.

【分析】根据平面镜成像的性质得到A/T的长，然后利用勾股定理解答即可.

解：连接AB,如图:

TA在8正上方，

・・・NA=90°,

根据勾股定理，得火B=｛处，2+AB2==I22+52=13(m),

故答案为：13.

【点评】本题考查勾股定理应用，涉及平面镜成像，解题的关键是掌握平面镜成像的性

质，能熟练运用勾股定理.

17.如图，已知NAOB=60°，点P在边0A上，0P=14,点N在边0B上，PM=PN,

【分析】作于C,根据等腰三角形的性质求出MC,根据直角三角形的性质求

出0C,计算即可.

解：过点P作PULOB,垂足为C,

：.MC=NC=—MN=2,

2

VZAOB=60Q,

・・・NOPC=30°,

：.OC=—OP=1,

2

：.OM=OC-MC=5,

故答案为：5.

【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30°

角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.

18.如图，已知△ABC中，NA=a，点8、C、M在一条直线上，NABC和N4CM两角的

平分线交于点P，NPBC和NPCM两角的平分线交于点B,NP2BC和/P2cM两角的

平分线交于点心，以此类推，…则/P202I,的度数是—品厂&_.

【分析】根据三角形的外角的性质，得NPi=NPCM-NP/C,根据角平分线的定义和

三角形的外角的性质，得NPCM-(NACM-NABC)=NA；同理，得N

PI=NP2,NP3=5NP2,P"=±P_i.

22

解：和NACM两角的平分线交于点P”

：.ZPi=ZPiCM-AP\BC=—(AACM-ZABC)=—ZA=—Q.

222

同理，得NP2==NPI=3产a,NP3二NP2=(《)3a,

22’22

易知，^2021=-^2027a,

故答案为：^2Fa-

【点评】此题综合运用了三角形的外角的性质、三角形的内角和定理以及角平分线定

义.注意结论：三角形的一个内角的角平分线和不相邻的一个外角的平分线相交所成的

锐角等于第三个内角的一半.

三、解答题(本大题共8题，满分78分)

19.计算：

⑴国卢Mx仃

（2（2&+1）（2&-1）.

【分析】（1）先化简各二次根式，计算二次根式的乘法，再计算分子上的加法，继而约

分即可；

（2）利用平方差公式计算即可.

解：（1）原式=?绰逃-3加

书3也

=5-3&；

（2）原式=（2后）2-I2

=8-1

=7.

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺

序和运算法则.

’5x>3x-6①

20.解不等式组|3x+l”,并写出它的所有整数解.

£2yL<x+l②

【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组

的解集，进而求出整数解即可.

解：由①得：X》-3,

由②得：x<\,

不等式组的解集为-3Wx<l,

则不等式组的所有整数解为-3,-2,-1,0.

【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握

不等式组的解法是解本题的关键.

21.如图，已知NA=ND=90°,E、尸在线段2c上，DE与AF交于点。，且AB=£>C,

BE=CF.

求证：NB=NC.

I)

I)

BE

【分析】由BE=CF,得BF=CE,即可用HZ,证明Rt^ABF^Rt/\DCE,即得NB=/C.

解：＜BE=CF,

：.BE+EF=CF+EF,即BF=CE,

在RtAABF和RtADCE中，

|AB=DC

IBF=CE'

/.Rt/\ABF^Rt/\DCE(HL),

：.ZB=ZC.

【点评】本题考查三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理.

22.用A、B两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原

料的价格如表：

A种原料B种原料

维生素C的含量(单位/千克)

若配制这种饮料10千克，一共含有4000单位的维生素C,请求出所需A种、8种原料

分别多少千克？

【分析】设所需A种原料x千克，B种原料y千克，根据“配制这种饮料10千克，一共

含有4000单位的维生素C”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结

论.

解：设所需A种原料x千克，B种原料y千克，

x+y=10

依题意得:

600x+100y=4000,

解得:

[y=4

答：所需A种原料6千克，B种原料4千克.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组

是解题的关键.

23.如图，点尸在线段A8上，点E,G在线段C。上，FG//AE,Z1=Z2.

(1)求证：AB//CD；

（2）若BC平分NAB。，ZD=112°,求NC的度数.

【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可进行证明；

（2）根据3c平分NASD,ZD=112°,即可求NC的度数.

解：（1）证明：U：FG//AE,

：.ZFGC=Z2,

VZ1=Z2,

：.Zl=ZFGC,

:.AB〃CD：

（2）•:AB〃CD,

：.ZABD+ZD=180°,

VZ£>=112°,

・・・NA3O=180°-112°=68°,

TBC平分NA8。，

.•./A8C=/NABQ=34°,

■:AB//CD,

，NC=NA8C=34°.

所以NC的度数为34°.

【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与

性质，并熟练运用.

24.某校开展了以“追梦新时代”为主题的读书活动，并对本校八年级学生12月份“阅读

该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有

随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示.

所抽取该校八年级学生12月份“读书量”的统计图

（1）求出随机被抽查的学生总数，并补全不完整的条形统计图；

（2）填写本次所抽取学生12月份“读书量”的中位数为4本,众数为3本;

（3）求本次所抽取学生12月份“读书量”的平均数.

【分析】（1）根据5本的人数和所占的百分比求出总人数，再减去其它的人数，求出读

4本的人数，继而补全不完整的条形统计图；

（2）根据中位数和众数的定义解答即可，一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序

排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；一组数据

中出现次数最多的数据叫做众数;

（3）根据平均数的定义即可得出答案.

解：（1）随机被抽查的学生总数为：6+10%=60（人），

读4本的人数为：60-3-18-21-6=12（人）；

补图如下:

所抽取该校八年级学生12月份“读书量”的统计图

（2）本次所抽取学生12月份“读书量”的中位数为4本,

故答案为：4；3；

(3)—X(3+18X2+21X3+12X4+6X5)=3(本)，

答：本次所抽取学生12月份“读书量”的平均数为3本.

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统

计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；

扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

25.某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲乙

两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元，经过协商，甲旅行社表示可以给

予每位游客七五折优惠乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客

八折优惠若单位参加旅游人数为x人，甲乙两家旅行社支付的费用分别为yi和”元.

(1)写出yi,丫2与x的关系式；

(2)该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？

【分析】(1)根据甲、乙旅行社的不同的优惠方案，可求出函数关系式，

(2)分情况讨论，得出人数的取值范围，进而确定当人数在什么范围选择哪个旅行社.

解：(1)y!=200X75%Xx=150A-,(10WxW25),”=200X80%(x-1)=160x760,

(10WxW25)

(2)①当yi="时，B|J：150x=160x-160,

解得，x=16,

②当yi>y2时，即：150X>160A-160,

解得，x<16,

③当yi<y2时，即：150x<160x-160,

解得，x>16,

答：当10<x<16时，乙旅行社费用较少，当x=16,时，两个旅行社费用相同，当16

<后25时，甲旅行社费用较少.

【点评】考查一次函数的应用，正确地求出函数关系式是正确解答的关键，分情况讨论

是函数问题常用的方法.

26.问题情境：如图①，在△48。与△C4E中，BD=AE,ZDBA=ZEAC,AB=AC,易

证：△ABO0△C4E.(不需要证明)

特例探究：如图②，在等边△ABC中，点。、E分别在边BC、AB±,且BD=AE,AD

与CE交于点F.求证：△A3。也△CAE.

归纳证明：如图③，在等边aABC中，点£>、E分别在边CB、8A的延长线上，且

AE.ZVIB力与△C4E是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由.

拓展应用：如图④，在等腰三角形中，48=AC,点。是AB边的垂直平分线与AC的交

点，点。、E分别在08、B4的延长线上.若BO=AE,ZBAC=50°,ZAEC=32°,

求NBA。的度数.

【分析】特例探究：利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是60°的性质推知48

=4C,/O54=NEAC=60°,然后结合已知条件BD=AE,利用全等三角形的判定定

理SAS证得△A3。丝△CAE.

归纳证明：△A3。与△CAE全等.利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是60°

的性质以及三角形外角定理推知AB=AC,ZDBA=ZEAC=\20°,然后结合已知条件

BD=AE,利用全等三角形的判定定理SAS证得

拓展应用：利用全等三角形(/XAB。名△CAE)的对应角/BD4=/AEC=32°,然后由

三角形的外角定理求得NBA。的度数.

【解答】特例探究：

证明：:△ABC是等边三角形，

；.AB=AC,ZDBA=ZEAC=60°,

'AB=CA

在△AB力与△C4E中，＜ZDBA=ZEAC-

BD=AE

.♦.△AB。0△CAE(SAS)；

解：归纳证明：△ABO与△CAE全等.理由如下：

•.,在等边△4BC中，AB=AC,N4BC=NBAC=60°,

.•.NOBA=NEAC=120°.

'AB=CA

在△A3。与△C4E中，＜NDBA=NEAC，

BD=AE

:.AABDmACAE(SAS)；

拓展应用：..•点0在48的垂直平分线上，

；.OA=OB,

...NOBA=/BAC=50°,

：.ZEAC=ZDBE.

'AB=CA

在△AB。与△CAE中，，ZDBA=ZEAC)

BD=AE

.♦.△ABO丝/XCAE(SAS),

，NBD4=/AEC=32°,

；.NBAD=NOBA-NBDA=18°.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的

性质等知识点.在证明两个三角形全等时，一定要找准对应角和对应边.

27.如图，直线小y=fcc+8与y轴交于点B(0,3),直线加y=-2x-1交y轴于点A,

交直线公于点尸(-1,Z).

(1)求左、6和，的值；

(2)求△ABP的面积；

(3)过动点。(a,0)作x轴的垂线与直线/i、h,分别交于M、N两点，且MV<4.

①求”的取值范围；

②当△4WP的面积是△AM8的面积的！■时，求MN的长度.

【分析】(1)可先求得P点坐标，再由8、P两点的坐标，解方程组可得出答案；

(2)由三角形面积公式可得出答案；

(3)①用。可分别表示出M,N的坐标，则可表示出MN的长，由条件可得到关于a的

不等式，则可求得。的取值范围；

9

②由条件可知点M应在y轴左侧，当点M在线段尸8上时，则可知争WB,则

可求得M点到y轴的距离：当点M在线段8尸的延长线上时则可知&APM=SA”B,可求

得“到y轴的距离；再利用①中MN的长可求得答案.

解：(1)：点尸(-1,r)在直线直线£上，

：.t=-2X(-1)-1=1,

即P(-1,1),

把8、P的坐标代入可得

f_k+b=l

1b=3

解得4=2,

lb=3

At=1,k=2,b=3;

(2),・,直线y=-2x-1交y轴于点A,

AA(0,-1),

VP(-1,1),(0,3),

••SAPAB4ABX1=1X4=2;

(3)①轴，

：.M,N的横坐标为a,

设M、N的纵坐标分别为V”和加，由(1)可知直线/i的函数表达式为y=2x+3,

.".yni—2a+3,yn--2a-1,

当MN在点P左侧时，此时a<-\,

则有MN=yn-ym=-2a-\-(2a+3)=-4a-4,

■:MN<4,

：,-4a-4<4,解得a>-2,

,此时-2<a<-1；

当MV在点P的右侧时，此时a>-1,

贝!］有MN=ym-y”=2a+3-(-2a-1)=4a+4,

'：MN<4,

.•.4a+4V4,解得a<0,

，止匕时-l<a<0；

当4=-1时，也符合题意，

综上可知当-2<。<0时，MN<4；

②由（2）可知SAAPB=2,

由题意可知点M只能在y轴的左侧，

当点M在线段BP上时，过点M作轴于点C,如图1

1A4

即2MC=—,

233

解得MC=—,

3

.•.点M的横坐标为-即。=2

3

84

.".MN—4a+4—-9+4=一；

33

当点M在线段8P的延长线上时，过点M作MQLy轴于点。，如图2,

SAABM—2S&APB=4,

：.—AB-MD=4,即2MD=4,

2

解得MD=2,

...点用的横坐标为-2,

：.MN=-