2021-2022学年辽宁省沈阳134中九年级（上）期末数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年辽宁省沈阳134中九年级（上）期末数学

试卷

1.2020是不平凡的一年，新冠疫情席卷着全球，截至2020年4月30日，全球累计报告

新冠肺炎确诊病例接近300万例，“300万”用科学记数法可以表示为（）

A.0.3x107B.3x106C.3x105D,3x107

2,下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

3.下列计算正确的是（）

A丫7.vv7224

71..入«入—入B.(―3x)=—9x

C.x3-x3=2好D.（%3）2=

4.如图，已知直线。〃b,直线c与直线a,b分别交于点4

B若41=54。,则N2等于（）

A.126°

B.134°

C.136°

D.144°

5.下表是沈阳市七个区今年某日最高气温（久）的统计结果:

县（区）皇姑区和平区浑南区沈河区铁西区沈北新区苏家屯区

气温（°C）26262525252322

则该日最高气温（冤）的众数和中位数分别是（）

A.25,25B.25,26C.25,23D.24,25

6.不等式组｛）一：2的解集是（）

A.%>3B.%<4C.%<3

7.如图所示，该几何体的左视图是（）

正面

A.

B.

8.下列事件属于必然事件的是（）

A.打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”

B.若原命题成立，则它的逆命题一定成立

C.一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小

D.在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数

9.为推进垃圾分类，推动绿色发展.某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行

垃圾分类.用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，

两种型号机器人的单价和为140万元.若设甲型机器人每台x万元，根据题意，所

列方程正确的是（）

.360480c360480

A.——=------B.------=——

x140-x140-xx

360«480

C.—+—=140D.------140=—

XXx-----------x

10.如图，菱形4BCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点4、。在x轴上方，对角

线BD的长是点E（-2,0）为BC的中点，点P在菱形力BCD的边上运动.当点

F（0,6）到EP所在直线的距离取得最大值时,点P恰好落在的中点处,则菱形48C。

的边长等于（）

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11.若SF在实数范围内有意义，则X的取值范围为.

12.如果关于光的一元二次方程/-4x+k=。有实数根，那么k的取值范围是

13.在平面直角坐标系中，点48的坐标分别是4(4,2),8(5,0),以点。为位似中心,

相似比为把AAB。缩小，得到AaiBi。，则点4的对应点4的坐标为

14.如图，BD是矩形4BCD的对角线，在和BD上分

别截取BE,BF,使BE=BF；分别以E,尸为圆心，

以大于［EF的长为半径作弧,两弧在N4BD内交于点

G,作射线BG交4D于点P,若2P=3,则点P到BD

的距离为.

15.如图，在平面直角坐标系中，等边AOAB和菱形

OCDE的边。4,。£者B在x轴上，点C在0B边上，

S^ABD=V3,反比例函数y=§(久＞0)的图象经过

点B,贝狄的值为.

16.折叠矩形纸片48CD时，发现可以进行如下操作:①把△2DE翻

折，点4落在DC边上的点尸处，折痕为OE,点E在4B边上；②

把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段4E上的点

“处，折痕为DG,点G在BC边上，若4B=4D+2,EH=1,

贝柄。=.

17.计算：|—V21+(-)-1—y/6+y/3-2cos60。.

18.在一个不透明的盒子中装有4张卡片，4张卡片的正面分别标有数字1,2,3,4,

这些卡片除数字外都相同，将卡片搅匀.

(1)从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是一；

(2)先从盒了中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，求抽

取的2张卡片标有数字之和大于4的概率.(请用画树状图或列表等方法求解).

19.如图，"=8,分另似4、C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和

D.依次连接力、B、C、D,连接BD交AC于点0.

(1)判断四边形4BCD的形状并说明理由；

(2)求BD的长.

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20.某公司共有400名销售人员，为了解该公司销售人员某季度商品销售情况，随机抽

取部分销售人员该季度的销售数量，并把所得数据整理后绘制成如下统计图表进行

分析.

频数分布表：

组别销售数量(件)频数频率

A20<%<4030.06

B40<x<6070.14

C60<x<8013a

D80<%<100m0.46

E100<%<12040.08

合计b1

请根据以上信息，解决下列问题：

(1)频数分布表中，a=,b-；

(2)补全频数分布直方图；

(3)如果该季度销量不低于80件的销售人员将被评为“优秀员工”，试估计该季度

被评为“优秀员工”的人数.

BCDE

21.某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区2C的坡

度i为1：2,顶端C离水平地面4B的高度为10小，从

顶棚的。处看E处的仰角a=18。30',竖直的立杆上

。、。两点间的距离为4zn,E处到观众区底端力处的

水平距离4F为3m.求：

(1)观众区的水平宽度2B；

(2)顶棚的E处离地面的高度EF.(s出18。30'«

0.32,tcml8°30,-0.33,结果精确到0.1小)

22.如图，4B是。。的直径,力C是。。的切线，切点为4

BC交。。于点D,点E是AC的中点.

(1)试判断直线DE与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若。。的半径为2,=50°,AC=4.8,求图中

阴影部分的面积.

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23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-|尤+4的图象与x轴和y轴分别相交于

4、B两点.动点P从点力出发，在线段4。上以每秒3个单位长度的速度向点。作匀

速运动，到达点。停止运动，点4关于点P的对称点为点Q,以线段PQ为边向上作正

方形PQMN.设运动时间为t秒.

(1)当t秒时，点Q的坐标是;

(2)在运动过程中，设正方形PQMN与AAOB重叠部分的面积为S,求S与t的函数表

达式；

(3)若正方形PQMN对角线的交点为7,请直接写出在运动过程中。T+PT的最小值.

24.(1)问题发现

如图1,在△04B和AOCD中，0A=OB,0C=OD,/.AOB=/.COD=40°,连接

AC,BD交于点M.填空：

①熊的值为；

②乙4MB的度数为.

(2)类比探究

如图2,在AOAB和△OCD中，Z.AOB=ZCOD=90°,/04B=NOCD=30。，连

接AC交BD的延长线于点M.请判断空的值及乙4MB的度数，并说明理由；

(3)拓展延伸

在(2)的条件下，将AOCD绕点。在平面内旋转，AC,BD所在直线交于点M,若0D=

25.已知抛物线y=a(x—1—2,顶点为4,且经过点B(—1,2)，点*,2).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,直线力B与无轴相交于点M,y轴相交于点E,抛物线与y轴相交于点F,在

直线2B上有一点P,若乙OPM=々MAF,求APOE的面积；

(3)如图2,点Q是折线A—B—C上一点，过点Q作QN〃y轴，过点E作EN〃久轴，

直线QN与直线EN相交于点N,连接QE,将△QEN沿QE翻折得至QEN〉若点助

落在x轴上，请直接写出Q点的坐标.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：300万=3000000=3X106.

故选：B.

用科学记数法表示较大的数时，一般形式为ax10%其中1<|a|<10,n为整数，且几

比原来的整数位数少1,据此判断即可.

此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为aX10",其中1<|a|<10,

确定a与n的值是解题的关键.

2.【答案】B

【解析】解：4、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；

8、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

。、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意.

故选：B.

根据轴对称图形、中心对称图形的定义即可判断.

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形：如果一个图形沿着一

条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平

面内，如果把一个图形绕某一点旋转180。，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这

个图形就叫做中心对称图形.

3.【答案】D

【解析】解：4、x7-x=x6,故此选项错误；

B、(-3%2)2=9%4,故此选项错误；

C、婷./=久6,故此选项错误；

D、(%3)2=x6,故此选项正确；

故选：D.

直接利用同底数累的乘除运算法则以及幕的乘方运算法则分别化简得出答案.

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此题主要考查了同底数幕的乘除运算以及塞的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题

关键.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

此题主要考查了平行线的性质，正确得出43的度数是解题关键.

直接利用平行线的性质得出43的度数，再利用补角的性质得出答案.

【解答】

z3=zl=54°,

N2=180°-54°=126°.

故选：A.

5.【答案】A

【解析】解：该日最高气温的众数是25久，中位数是25K,

故选：A.

根据众数和中位数的概念求解可得.

本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握中位数的概念.

6.【答案】D

【解析】

【解答】

k-3>0①

：（2%-8<0

由①得：%>3,

由②得：x<4,

则不等式组的解集为3<xW4,

故选：D.

【分析】

此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可.

7.【答案】B

【解析】解：从左边看是一个矩形，中间有两条水平的虚线，

故选：B.

根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案.

本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图.

8.【答案】C

【解析】解：4、打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”，是随机事件，不合题

忌；

B.若原命题成立，则它的逆命题一定成立，是随机事件，不合题意；

C、一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小，是必然事件，符合题意；

。、在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数，是随机事件，不合题意；

故选：C.

直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案.

此题主要考查了随机事件以及必然事件的定义，正确把握相关定义是解题关键.

9.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键正确找出等量关系，列出分式方程.

设甲种型号机器人每台的价格是x万元，根据“用360万元购买甲型机器人和用480万元

购买乙型机器人的台数相同”，列出关于久的分式方程.

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【解答】

解：设甲型机器人每台万万元，则乙型机器人每台(140-%)万元,

根据题意，可得：出=妥，

x140-x

故选：A.

10.【答案】A

【解析】解：如图1中，当点P是的中点时，作FG1PE于G,连接EF.

•・•£(-2,0),F(0,6),

OE=2,OF=6,

・•・EF=V22+62=2VTU,

•・•WE=90°,

・•・FG<EF,

・•・当点G与E重合时，FG的值最大.

如图2中，当点G与点E重合时，连接ZC交8。于H,PE交BD于J.设BC=2a.

PA=PB,BE=EC=a,

:.PE11AC,BJ=JH,

••・四边形力BCD是菱形，

•••ACLBD,BH=DH=—,Bl=—,

376

・•・PE1BD,

•••ABJE=乙EOF=乙PEF=90°,

•••Z-EBJ=Z.FEO,

•••△BJE~AEOF,

,里_肛

"EFEO9

Vio

._E_=工，

"2yfW2

5

a=~,

BC=2a=—,

3

故选：A.

如图1中，当点P是48的中点时，作FG1PE于G,连接EF.首先说明点G与点F重合时，

FG的值最大，如图2中，当点G与点E重合时，连接4C交8。于H,PE交BD于J.设BC=2a.

利用相似三角形的性质构建方程求解即可.

本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知

识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中

考选择题中的压轴题.

11.【答案】%>2

【解析】

【分析】

此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数.

根据二次根式有意义的条件可得％-2>0,再解即可.

【解答】

解：由题意得：x-2>0,

解得：x>2,

故答案为：%>2.

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12.【答案】fc<4

【解析】

【分析】

此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0,方程有两个不相等的实数根；根的判

别式的值等于0,方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0,方程没有实数根.根

据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0,列出关于k的不等式，求出不等式的

解集即可得到k的范围.

【解答】

解：根据题意得：Zi=16—4k20,

解得：fc<4.

故答案为k<4.

13.【答案】（2,1）或（一2,-1）

【解析】

【分析】

本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中

心，相似比为鼠那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

根据位似变换的性质计算即可.

【解答】

解：以点。为位似中心，相似比为土把△力B。缩小，点4的坐标是4（4,2）,

则点4的对应点&的坐标为（4x|,2x｝或（一4x|,-2x|）,即（2,1）或（一2,-1）,

故答案为：（2,1）或（—2,—1）.

14.【答案】3

【解析】解：结合作图的过程知：BP平分N4BD,

•••NA=90°,AP=3,

・••点P到BD的距离等于力P的长，为3,

故答案为：3.

首先结合作图的过程确定BP是N4BD的平分线，然后根据角平分线的性质求得点P到BD

的距离即可.

本题考查了尺规作图的知识及角平分线的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是根据

图形确定8尸平分乙480.

15.【答案】V3

【解析】

【分析】

本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等边三角形的性质，菱形的性质，同底等高

的三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键.

连接由△。力B是等边三角形，得到乙40B=60。，根据平行线的性质得到NDE。=

乙4OB=60°,推出△DE。是等边三角形，得至！UDOE=Z.BAO=60°,得至l]0D〃4B,

求得SABDO=SAAOD，推出S-OB=S*BD=百，过B作1。4于“，由等边三角形的

性质得到。求得SAOBH=?，于是得到结论.

【解答】

解：连接OD,

是等边三角形，

:.Z-AOB=60°,

•・•四边形OCDE是菱形，

DE//OB,

•••4DEO=乙AOB=60°,

・•.△DE。是等边三角形，

・•・乙DOE=乙BAO=60°,

・•.OD//AB,

**•S^BDO=S^AOD,

四边形

,•SABDO=+S^ABD=S^BDO+S^AOB,

•••^LAOB~^LABD~遮,

过B作B”104于H,

・•.OH=AH,

c_V3

，•、AOBH=~9

•・,反比例函数y=-(%>0)的图象经过点B,

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k的值为遮,

故答案为旧.

16.【答案】3+2V3

【解析】解：设久，贝iMB=x+2,

H\

E\

B-G---------C

•.•把△ADE翻折，点4落在DC边上的点F处，

DF=AD,EA=EF,ADFE=zX=90°,

.•.四边形力EFD为正方形，

•••AE=AD=x,

•.•把△CDG翻折，点C落在直线4E上的点H处，折痕为DG,点G在BC边上，

DH—DC=x+2,

•・•HE=1,

AH=AE-HE=x-l,

在RtAADH中，•••AD2+AH2=DH2,

■■X2+（X—I）2=（X+2）2,

整理得/—6x—3=0,解得%]=3+2-\/3,x2—3—2日（舍去），

即2。的长为3+2V3.

故答案为3+2V3.

设4。=X,贝l|4B=x+2,利用折叠的性质得。F=AD,EA^EF,乙DFE=Z71=90°,

则可判断四边形4EFD为正方形，所以2E=AD=x,再根据折叠的性质得。"=DC=

2

x+2,则AH=AE-HE^x-1,然后根据勾股定理得到/+（久_1）2=（x+2）,

再解方程求出工即可.

本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和

大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了矩形的性质和勾股定理.

17.【答案】解：原式=V2+2—A/64-3—2x1

=V2+2—V2-1

=1.

【解析】根据绝对值的意义、二次根式的除法法则、负整数指数塞的意义和特殊角的三

角函数值进行计算.

本题考查了二次根式的混合运算：先进行二次根式的乘除运算，然后把二次根式化为最

简二次根式，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二

次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

18.【答案】解：(1)|.

(2)根据题意列表得：

1234

1345

2356

3457

4567

由表可知，共有12种等可能结果，其中抽取的2张卡片标有数字之和大于4的有8种结果,

所以抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率为*=|.

【解析】

【分析】

本题考查概率公式，列表法求概率，属于基础题.

(1)直接利用概率公式计算可得；

(2)用列表法将所有等可能的结果一一列举出来即可，找到符合条件的结果数，再利用

概率公式计算.

【解答】

解：(1)从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是为：=g

4z

故答案为|.

(2)见答案.

19.【答案】解:(1)四边形4BCD为菱形；

由作法得ZB=AD=CB=CD=5,

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所以四边形4BCD为菱形；

(2)•••四边形4BCD为菱形，

OA=OC=4,OB=OD,AC1BD,

在RtAAOB中，OB=V52-42=3>

BD=20B=6.

【解析】本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形(平行四边形+一组

邻边相等=菱形)；四条边都相等的四边形是菱形.也考查了菱形的性质.

(1)利用作法得到四边相等，从而可判断四边形力BCD为菱形；

(2)根据菱形的性质得04=0C=4,0B=0D,AC1BD,然后利用勾股定理计算出。B,

从而得到BD的长.

20.【答案】解:(1)0.26；50；

(2)根据题意得：m=50x0.46=23,

(3)根据题意得：400x(0.46+0,08)=216,

则该季度被评为“优秀员工”的人数为216人.

【解析】

【分析】

此题考查了频数分布直方图，用样本估计总体，以及频数分布图，弄清题中的数据是解

本题的关键.

(1)由频数除以相应的频率求出b的值，进而确定出a的值即可；

(2)补全频数分布直方图即可；

(3)求出不低于80件销售人员占的百分比，乘以400即可得到结果.

【解答】

解：⑴根据题意得：6=3+0.06=50,a=g=0.26；

故答案为0.26；50；

(2)见答案;

(3)见答案.

21.【答案】解：(1)•••观众区4C的坡度i为1：2,顶端C离水平地面的高度为10爪,

AB=2BC=20m,

答：观众区的水平宽度为20小；

(2)作CM1EF于M,DN1EF于N,

则四边形MF8C、MCDN为矩形，

.・.MF=BC=10m,MN=CD=4m,DN=MC=BF=20+3=23m,

在RtAEND中,tan乙EDN=黑

则EN=DN-tan乙EDN-7.59m,

EF=EN+MN+MF=7.59+4+10-21.6m,

答：顶棚的E处离地面的高度£7哟为21.6m.

【解析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角

俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.

(1)根据坡度的概念计算；

(2)作CM1EF于M,DN工EF于N,根据正切的定义求出EN,结合图形计算即可.

22.【答案】解:(1)直线DE与。。相切.理由如下：

连接。E、OD,如图，

••・AC是。。的切线，

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AB1AC,

・•・/.OAC=90°,

•・•点E是AC的中点，。点为AB的中点,

・•.OE//BC,

zl=Z-B,z2=43,

•・,OB=OD,

乙B=z_3,

•••zl=z_2,

在△AOE和ADOE中

OA=OD

Z1=z2,

OE=OE

AOE=ADOE,

・•・乙ODE=^OAE=90°,

・•・OD1DE,

・•・DE为。。的切线；

(2)・・•点E是AC的中点，

AE=-AC=2.4,

2

•••AAOD=2(B=2x50。=100°,

・•・图中阴影部分的面积=24x2x24-*=4.8-凯

【解析】（1）连接。E、。。，如图，根据切线的性质得NOZC=90°,再证明44。石三八。。《

得到NODE=/.OAE=90°,然后根据切线的判定定理得到DE为O。的切线；

（2）先计算出乙4。。=2乙B=100%利用四边形的面积减去扇形的面积计算图中阴影部

分的面积.

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切

点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了圆周角定理和扇形的面积公式.

23.【答案】（4,0）

【解析】解：（1）令y=0,

2

••・——x+4=0,

3

•,•%=6,

•••4(6,0),

当t秒时，AP=3x：=l,

OP=OA-AP=5,

P(5,0),

由对称性得，Q(4,0)；

故答案为(4,0)；

(2)当点Q在原点。时，。4=6,

-.AP=工。4=3,

2

••・t=3+3=1,

①当0<tWl时，如图1,令％=0,

••・y=4,

・•・8(0,4),

OB=4,

•・Y(6,0),

图1

OA=6,

rip?

在出△408中，tanZ^B=-=-

由运动知，AP=33

・•・P(6-3t,0),

Q(6—6t,0),

••・PQ=AP=3t,

•・・四边形PQMN是正方形,

・•.MN//OA,PN=PQ=33

pDPD_2

在RtA/lPD中，tanzOTlB^-3t—3

PD=2t,

DN=t.

•・•MN//OA

•••Z-DCN=Z-OAB,

ci,DNt2

tan乙DCN=—=—=一

CNCN3

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3

,S二S正方形PQMN_

②当1<t后时,

3

CN=A

矩形

•••S=SOENP—S&CDN=3tx(6-3t)-|tx|t=-食2+18t;

2

③当g<tW2时，如图3,s=S^OBDP=j(2t+4)(6-3t)=-3t+12；

(3)如图4,由运动知，P(6-3t,0),Q(6-Gt,0),

•••M(6—6t,3t),

・••T是正方形PQMN的对角线交点，

Q3

・•・T(6--t,-t),

・•・G(0,6),

•••OG=6,

•••4(6,0),

AG=6A/2,

在R"AOG中，OZ=6=OG,

・•・^OAG=45°,

PN1x轴，

•••4APN=90°,

•••4ANP=45°,

•••乙TNA=90。，

即：TNLAG,

•••7正方形PQMN的对角线的交点，

•••TN=TP,

•••OT+TP=OT+TN,

•・•点。，T,N在同一条直线上(点Q与点。重合时)，且。Nl4G时，OT+TN最小，

即：OT+TN最小，

SAOAG=^OAxOG=|AGXON,

ON=2=/2.

AG3A

即：OT+PT的最小值为3a.

(1)先确定出点4的坐标，进而求出AP,利用对称性即可得出结论；

(2)分三种情况，①利用正方形的面积减去三角形的面积，②利用矩形的面积减去三角

形的面积，③利用梯形的面积，即可得出结论；

(3)先确定出点r的运动轨迹，进而找出07+PT最小时的点T的位置，即可得出结论.

此题是一次函数综合题，主要考查了正方形的面积，梯形，三角形的面积公式，正方形

的性质，勾股定理，锐角三角函数，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键，找出

点T的位置是解本题(3)的难点.

24.【答案】⑴①1;@40°

(2)类比探究

如图2,=V3,乙4MB=90。，理由是：

RtACOD中,ADCO=30°,^DOC=90°,

...—=tan30°=—,

oc3

同理得：竺=1丽30。=遮，

OA3

...—,\D

ocoaoA

•••^AOB=(COD=90°,\

•••Z-AOC=Z-BOD,

A图B

第24页，共29页3

AOC-LBOD,

.•.丝=生=A^CAO=乙DBO,

BDOD

在4AMB中，乙4MB=180°-(4MAB+乙4BM)=180°-(^OAB+AABM+ZDBO)=

90°；

(3)拓展延伸

AC的长为3旧或2遍.

【解析】解：(1)问题发现

①如图1,^AOB=/.COD=40°,

•••Z-COA=乙DOB,

OC=OD,OA—OB,

•••△C04三△DOB(SAS),

•••AC=BD,

AC«

••・——=1,

BD

②•.•△co力三ADOB,

•••Z-CAO=(DBO,

vZ-AOB=40°,

・•.Z.OAB+AABO=140°,

在^AMB中，UMB=180°-^CAO+Z.OAB+乙ABD)=180°-(乙DBO+^OAB+

乙ABD)=180°-140°=40°,

故答案为：①1;(2)40°;

(2)见答案

(3)拓展延伸

①点C与点M重合时，如图3,同理得：AAOCsABOD,

：.LAMB=90°,—=V3,

BD

设=%,贝Ij/C=V3x,

RtLCOD^P，乙。CD=30。，OD=1,

CD=2,BC=%—2,

RM/OB中，Z-OAB=30°,OB=V7,

AB=2OB=2V7，

在RtAAMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

(V3x)2+(%-2)2=(2夕齐

2

x—x—6=0,C

(%-3)(%+2)=0,7左低

=3,x2——2,

"AC=3次；Z4-5

②点C与点M重合时，如图4,同理得：乙4MB=90。，

V3,

设=x,贝！J/C=V3x,

在RtZkAMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

(V3x)2+(%+2)2=(2行＞

%2+%—6=0,

(x+3)(x-2)=0,

X1——3,%2=2,

AC=2V3；

综上所述，4C的长为3百或2g.

(1)①证明ACOA三△DOB(sas),^AC=BD,比值为1；

②由△C04三ADOB,得NC4。=NDB。，根据三角形的内角和定理得："MB=180°-

(乙DBO+40AB+乙48。)=180°-140°=40°；

(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△40C-AB0D,则黑=照=遮，由全等三角形

DUOD

的性质得N4MB的度数；

⑶正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况:如图3和4,同理可得：△AOC-ABOD,

则乙4MB=90°