2024年中考数学考前冲刺复习专题08新函数图象与性质探究(含答案)

专题08新函数图象与性质探究题型解读了解和掌握新函数的图象和性质出题形式和考试方向；学会运用新函数的相关性质进行研究；了解和掌握含绝对值的新函数、分段函数及与函数结合的实际应用是本专题知识点的关键．新函数图象与性质的探究题型既考查学生对于函数图象与性质的理解，又考查学生对实际问题和几何图形的分析能力以及作图能力，新函数图象与性质的探究题大致可归纳为3种类型：（1）函数图象的变形；（2）实际情景中新函数图象与性质的探究；（3）与几何结合的新函数的图象与性质．本专题主要对新函数图象探究题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型．模型01新函数问题通过对以往函数的学习，在所学函数的基础上构建新的函数形式，对对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用．考查学生对函数图象、函数性质以及与函数图象结合的相关知识的综合掌握和运用，充分体现了数学与图形结合的密切联系，属于中考的一种常考题型．模型02函数与几何结合问题函数与几何结合的模型，主要是为了研究几何中角度、线段长度或则图形面积等通过常规方式不容易求解对应数量时，我们借助函数模型进行探究．在解题中抽象出对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用，综合考查学生对几何有关图形性质、定理知识以及函数的图象等知识的综合掌握和运用能力．模型03函数实际应用问题函数的实际应用问题中通过对实际情景问题中抽象出对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用．考查学生对几何有关图形性质、定理知识以及函数的图象等知识的综合掌握和运用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，属于中考的一种常考题型．模型构建模型01新函数问题考｜向｜预｜测新函数问题该题型近年主要以解答题型出现，解决这类问题的关键是对初中阶段学习的一次函数、反比例函数、二次函数的定义图象和性质充分了解，然后结合几类函数的图形和性质特点进行演变分析．在所学函数的基础上构建新的函数形式，对对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用．答｜题｜技｜巧第一步：观察新函数特点（表达式特点、图象特点），结合所学基本函数特征进行分析；第二步：确定函数图象（注意列表、描点、）；第三步：结合函数性质进行研究（对称性、增减性、最值）；第四步：对对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用；例1．（2023·广西）1．中考新考法：注重过程性学习，某数学小组在研究函数时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下：…123……3461…

(1)①与的几组对应值如下表，请补全表格；②在上图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象；(2)我们知道，函数的图象是由二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到的．类似地，请直接写出将的图象经过怎样的平移可以得到的图象；(3)若一次函数的图象与函数的图象交于两点，连接，求的面积．模型02函数与几何结合问题考｜向｜预｜测函数与几何结合问题主要是借助函数模型进行探究几何问题，对实际几何问题中抽象出对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用．该题型在考试中主要以解答题的形式出现，具有一定的难度，除了考查学生对几何有关图形性质、定理知识外，对函数的图象与性质等也需要真正理解，充分体现了数学与实际生活的密切联系，属于中考的一种常考题型．答｜题｜技｜巧第一步：理解题意，找到实际情境的数学模型；第二步：从学过的基础函数入手，建立函数关系；第三步：利用函数的性质，从特殊到一般的探究学习；第四步：按照题意设计灵活运用所学知识逐次解决问题；例1．（2023·湖南）2．【教材再现】：北师大版九年级上册数学教材第122页第21题：“怎样把一块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考．（1）若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形，，，根据“相似三角形对应的高的比等于相似比”可以求得此时正方形的边长是________．【问题解决】：若木板是面积仍然为的锐角三角形，按照如图（乙）所示的方式加工，记所得的正方形的面积为，如何求的最大值呢？某学习小组做了如下思考：设，，边上的高，则，，由得：，从而可以求得，若要内接正方形面积最大，即就是求的最大值，因为为定值，因此只需要分母最小即可．（2）小组同学借鉴研究函数的经验，令．探索函数的图象和性质：①下表列出了与的几组对应值，其中________．…1234……44…②在如图（丙）所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象；③结合表格观察函数图象，以下说法正确的是A．当时，随的增大而增大．B．该函数的图象可能与坐标轴相交．C．该函数图象关于直线对称．D．当该函数取最小值时，所对应的自变量的取值范围在之间．模型03函数实际应用问题考｜向｜预｜测函数实际应用问题通过对实际情景问题中抽象出对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用．考查学生对几何有关图形性质、定理知识以及函数的图象等知识的综合掌握和运用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，属于中考的一种常考题型．答｜题｜技｜巧第一步：理解题意，找到实际情境的数学模型；第二步：从学过的基础函数入手，建立函数关系；第三步：利用函数的性质，从特殊到一般的探究学习；第四步：按照题意设计灵活运用所学知识逐次解决问题；例1．（2023·四川）3．赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（

）

A． B． C． D．例2．（2023·山东）4．【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度流水时间010203040水面高度（观察值）302928.12725.8任务1：分别计算表中每隔水面高度观察值的变化量．【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀任务2：利用时，；时，，求出h关于t的函数解析式；【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值与表中观察值偏差的平方和记为w；w越小，偏差就越小；任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值；（2）请确定经过的一次函数解析式的w值，使得w的值最小；【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．强化训练（2023·南京）5．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米．（2023·湖北）6．在2024年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度（单位：米）与飞行的水平距离（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为米．（2023·上海）7．平面直角坐标系中，在轴上，且到一条抛物线的顶点及该抛物线与轴的交点的距离之和最小的点，称为这条抛物线与轴的“亲密点”，那么抛物线与x轴的“亲密点”的坐标是．（2023·内蒙古）8．有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽米，拱桥的最高点到水面的距离是米，如图建立直角坐标平面，如果水面上升了米，那么此时水面的宽度是米．（结果保留根号）（2023·陕西）9．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)函数的自变量x的取值范围是；(2)如表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m=，n=．x…-1023…y…m0n32…(3)在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象（注：图中小正方形网格的边长为1）．(4)结合函数的图象，解决问题：当函数值时，x的取值范围是：．（2023·广东）10．如图1，平行四边形中，，，连接，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发沿折线运动，设点P运动时间为x秒，的面积为，(1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；(3)的函数图象如图2所示，当时请直接写出x的取值范围．（结果保留一位小数，误差小于0.2）（2023·河北）11．【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．【问题解决】(1)若水池2的面积随长度的增加而减小，则长度的取值范围是_________（可省略单位），水池2面积的最大值是_________；(2)在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_________，此时的值是_________；(3)当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是_________；(4)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值；(5)假设水池的边的长度为，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积关于的函数解析式为：．若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求的值．（2023·山西）12．小明在课余时间，找了几副度数不同的近视镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小．此时他测量了镜片到光斑的距离，得到如下数据：镜片度数y/度…400625800m…镜片到光斑的距离x/m…0.250.160.1250.10…（x表示镜片到光斑的距离，y表示镜片的度数）为了进一步研究镜片度数y与镜片到光斑的距离x间的关系，小明借助计算机绘制了表示变量间关系的图象，并给出了它们的关系式，如图：

(1)m的值是______；(2)小亮的眼镜是近视200度，用小亮的眼镜做实验的话，请写出其镜片到光斑的距离，并解释你是怎样得出这一结论的；(3)根据图表中的信息，发现随着x的逐渐变大，y的变化趋势是________；(4)你来预测一下，如果是一副平光镜（近视度数为0），会不会有光斑存在？（直接写结论，无需解释）（2023·河南）13．跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．(1)c的值为__________；(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h；②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；(3)若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．（2023·江苏）14．乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据：水平距离/竖直高度/

(1)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；②求满足条件的抛物线解析式；(2)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为，球网高为．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．通关试练15．如图，将水以匀速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面圆柱体的容器中，请找出容器内水的高度h和时间t变化关系的图象(

)

A．

B．

C．

D．

16．如图1，水钟在中国又叫做“刻漏”，在小学科学课制作《我们的水钟》时，学生制作了如图2所示的简易水钟：瓶子内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从瓶盖的小孔均匀漏出，瓶身上有刻度，学生可根据瓶中水面的位置计算时间．若将此简易水钟的瓶子近似看作圆柱，用x表示漏水时间，y表示水面到瓶盖的高度，下列图象适合表示y与x之间关系的是（

）

A．

B．

C．

D．

17．如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②．若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（

）A．24 B．12 C．18 D．2118．【探究】在“动点与函数”的活动课上，老师提出了如下问题：如图1，在矩形中，，，连接，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间秒，的面积为，请直接写出关于的函数表达式以及自变量的取值范围．【尝试】小邕学习函数时，常常利用“数形结合”的数学思想，因此在这道题的基础上，他想在平面直角坐标系中（图2）画出这个函数的图象，请你按照小邕的思路画出图象，并结合函数图象写出函数的性质（写出一条即可）．【应用】进一步思考：结合函数图象，写出的面积为4时的值．19．如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地面竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为d米．(1)求上边缘抛物线的函数解析式；(2)下边缘抛物线与x轴交点B的坐标为；(3)若米，则灌溉车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由．20．在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6米，距地面均为1米，绳的最高点距离地面的高度为4米，以水平地面为轴，垂直于地面且过绳子最高点的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图．(1)求抛物线的函数表达式；(2)身高为1.57米的小明此时进入跳绳，他站直时绳子刚好通过他的头顶，小明与甲的水平距离小于小明与乙的水平距离，求小明离甲的水平距离．21．综合与实践．【问题情境】“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图（a）所示的液体漏壶，该漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．

【实验观察】下表是实验记录的圆柱容器液面高度与时间的数据：时间12345圆柱容器液面高度610141822【探索发现】（1）请你根据表中的数据在图（b）中描点、连线，用所学过的一次函数的知识确定与之间的函数表达式；【结论应用】（2）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱容器液面高度达到时是几点？22．阅读与思考请仔细阅读材料，并完成相应的任务．利用数学知识求电阻的阻值数学和物理的关系十分密切，数学是表达物理概念、定律简明而准确的语言，同时，数学为物理提供了计量、计算的工具和方法．例如：已知两个电阻和串联后的总电阻为，并联后的总电阻为，求这两个电阻的阻值各是多少．根据串联电路中电阻之间的关系，得①根据并联电路中电阻之间的关系，得②把①代入②，得③以上问题也可以通过以下两种数学方法求解．方法：设的阻值为，则的阻值为根据③可将问题转化为是否有正数解的问题．方法：设两个电阻的阻值分别为和，则根据③，得根据③，得所以同时满足要求的正数和的值可以看成反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限内的交点坐标．任务：(1)已知两个电阻和串联后的总电阻为，并联后的总电阻为，请你借助“方法”，求这两个电阻的阻值各是多少．(2)是否存在两个电阻和，使串联后的总电阻为，并联后的总电阻为？小明借助“方法”解答如下：假设存在，设这两个电阻的阻值分别为和，根据①，得______．根据③，得______．在如图所示的直角坐标系中，小明分别画出了满足条件的反比例函数和一次函数的图象．观察图象可知，______填“存在”或“不存在”满足条件的两个电阻．23．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知OB=28m，AB=8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离=水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表：s/m…912151821…h/m…4.24.854.84.2…(1)根据表中数据预测足球落地时，s=m；(2)求h关于s的函数解析式；(3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m/s，最大防守高度为2.5m；背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m．①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明；②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．24．在学了一次函数后，小星准备利用已有知识，参照学习一次函数的过程与方法，探索函数的图象与性质．(1)列表：01232m01n3其中_____________，_____________．(2)描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数图象．(3)（a）设函数图象与轴、轴分别交于A，B两点，则下列说法正确的是______________（填序号）．①y随着的增大而增大；②函数图象是一个轴对称图形；③该函数有最小值0；④（b）根据绘制的函数图象，直接写出不等式的解集：_____________．（2023·山东）25．【问题背景】综合实践活动课上，老师给每个小组准备了一张边长为的正方形硬纸板，要求用该硬纸板制作一个无盖的纸盒．怎样制作能使无盖纸盒的容积最大呢？【建立模型】如图1，小慈所在小组从四个角各剪去一个边长为的小正方形，再折成如图2所示的无盖纸盒，记它的容积为．任务1

请你写出关于的函数表达式．【探究模型】为了直观反映无盖纸盒的容积随的变化规律，小慈类比函数的学习进行了如下探究．任务2

①列表：请你补充表格中的数据．02.557.51012.51501562.51687.5312.50②描点：把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．③连线：用光滑的曲线按自变量从小到大的顺次连结各点．【解决问题】画完函数的图象后，小慈所在的小组发现，在一定范围内随的增大而增大，在一定范围内随的增大而减小．任务3

利用函数图象回答：当为何值时，小慈所在小组设计的无盖纸盒的容积最大？最大值为多少？

参考答案1．(1)见解析，(2)向左平移1个单位，向上平移2个单位(3)【分析】本题主要考查的是反比例函数的图象与性质，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．（1）求出时的函数值，利用描点法画出函数图象即可；（2）根据平移的方式即可解答；（3）根据函数的图象即可解答；【详解】（1）当时，，补全表格为：…123……3461…图象如下：

（2）的图象向左平移1个单位，向上平移2个单位可以得到的图象；（3）一次函数的图象，如图，可知，∴的面积为．

2．（1）；（2）①；②见解析；③D【分析】（1）利用勾股定理以及面积法求得各边长和斜边上的高，设正方形的边长为，根据，利用“相似三角形对应的高的比等于相似比”列式计算即可求解；（2）①将代入计算即可求解；②描点、连线，即可画出图象；③结合表格观察函数图象即可判断．【详解】解：（1）作交于点N，交于点M，设正方形的边长为，则，∵，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得，此时正方形的边长是，故答案为：；解：（2）①当时，，故答案为：；②描点、连线，图象如图所示，③由图可知：A.当时，随的增大，先减小后增大，原说法错误；B.a不能为零，可知与y轴无交点，a为正数可知，,与横轴无交点，即该函数的图象不可能与坐标轴相交，原说法错误；C.该函数图象没有对称轴，原说法错误；D.当，函数值先减少后增加，故当该函数取最小值时，所对应的自变量的取值范围在之间，说法正确．故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，函数的图象和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．3．B【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，，是半径，且，，在中，，，解得：，故选B

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键．4．任务1：，，，；任务2：；任务3：（1）；（2）当时，w的最小值为0.038；任务4：将零刻度放在水位最高处，在容器外壁每隔标记一次刻度，就代表时间经过了10分钟【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式，一次函数和二次函数的性质，方差的计算，是解题的关键．任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可；任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，利用时，；时，，由待定系数法求解；任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，结合观察值再求w值；（2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值，即得；任务4：根据优化后的高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可．【详解】任务1：变化量分别为：，，，，∴每隔水面高度观察值的变化量为：，，，．任务2：设水面高度h与流水时间t的函数解析式为，∵时，，时，；∴，解得：，∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为；任务3：（1）；（2）设：，则∴当时，w有最小值为0.038；任务4：由任务3知，优化后的函数解析式为．∴时间刻度方案要点为，零刻度放在水位最高处，在容器外壁向下每隔标记一次刻度，就代表时间经过了10分钟．∵时，，∴最大量程为294分钟．5．【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，如图，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和可求出为的一半，为2米，抛物线顶点C坐标为，点A坐标为，通过以上条件可设顶点式，代入A点坐标，可得，解得：，所以抛物线解析式为，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把代入抛物线解析式得出：，解得：，所以水面宽度为米，故答案为：．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．6．12【分析】本题主要考查了二次函数图象与轴的交点，令，求出x的值，再判断答案．【详解】解：当时，，整理，得，解得，（舍），所以小康这次实心球训练的成绩是12米．故答案为：12．7．【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，求得抛物线的顶点坐标和与轴的交点，然后根据题意求得顶点关于轴的对称点，进一步求得过对称点和与轴的交点的直线解析式，即可求得“亲密点”的坐标．【详解】解：，抛物线开口向上，顶点为，顶点关于轴的对称点为，当时，，抛物线与轴的交点为，设直线的解析式为，代入得，，解得，直线的解析式为，令，则抛物线与轴的“亲密点”的坐标是，故答案为：．8．【分析】本题考查了二次函数的应用，设该抛物线的解析式是，由题意结合图象可知，点在函数图象上，求出解析式，然后把代入即可求解，准确理解题意，并能够用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．【详解】设该抛物线的解析式是，由题意结合图象可知，点在函数图象上，代入得：，解得：，∴该抛物线的解析式是，则水面上升了米，此时，∴，解得：，则此时水面的宽度是米，故答案为：．9．(1)x≠1(2)，-1(3)见解析(4)1＜x＜3【分析】(1)直接根据分式有意义的条件求解；(2)把和代入即可求解；(3)在坐标系中直接描点并画出图象即可；(4)观察图象即可求解．【详解】（1）由分式的分母不为0得：，∴x≠1；故答案为：x≠1．（2）当x=-1时，y=+1=，当x=时，y=+1=-1，∴m=，n=-1，故答案为：，-1．（3）如图：（4）观察函数图象，可知：当函数值+1＞时，x的取值范围是1＜x＜3，故答案为：1＜x＜3．【点睛】本题考查了函数及函数图象，读懂表格是解题的关键．10．(1)(2)图见解析，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大．(3)或【分析】（1）分两种情况：当点P由运动时，即；当点P由运动时，即；利用三角形面积公式求出函数解析式即可；（2）用描点法作出函数的图象即可；（3）利用图象法求解即可．【详解】（1）解：由勾股定理，得，∵平行四边形，∴，当点P由运动时，即，，即；当点P由运动时，即，过点A作于E，过点B作交延长线于F，如图，∵，∴，∴，∵平行四边形，∴，∵，，∴四边形是矩形，∴，，即；综上，关于x的函数表达式为．（2）解：如图所示：由图可得：当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大．（3）解：由图象可得：当时，或．【点睛】本题考查动点函数图象，求动点函数解析式，利用图象法求不等式解集，一次函数与反比例函数交点问题，矩形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形的面积．11．(1)；9(2)C，E；1，4；(3)或(4)(5)【分析】（1）将函数解析式化为顶点式即可解决问题；（2）交点即为面积相等的点，联立方程组，求出交点坐标即可；（3）观察函数图象，结合点C，点E的坐标可得结论；（4）求出面积差的函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；（5）根据面积相等列出一元二次方程，依据，求出b的值即可．【详解】（1）∵∴抛物线的顶点坐标为（3，9），对称轴为x=3，∵水池2的面积随长度的增加而减小，∴长度的取值范围是；水池2面积的最大值是9；故答案为：；9；（2）由图象得，两函数交于点C，E，所以，表示两个水池面积相等的点是C，E；联立方程组解得，∴x的值为1或4，故答案为：C，E；1或4（3）由（2）知，C（1，5），E（4，8），又直线在抛物线上方时，或，所以，水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或，故答案为或；（4）在范围内，两个水池面积差，∵∴函数有最大值，∵∴当时，函数有最大值，为即，当时，面积差的最大值为（5）∵水池3与水池2的面积相等，∴，整理得，∵有唯一值，∴解得，【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解答本题的关键．12．(1)1000(2)(3)y逐渐变小(4)不会有光斑存在【分析】（1）将代入求解即可；（2）将代入求解即可；（3）根据图表中的信息求解即可；（4）根据图表中的信息求解即可．【详解】（1）将代入得，∴；（2）将代入得，解得∴其镜片到光斑的距离为；（3）根据图表中的信息可得，随着x的逐渐变大，y逐渐变小；（4）根据图表中的信息可得，如果是一副平光镜（近视度数为0），不会有光斑存在．【点睛】本题主要考查了用表格和图象表示函数关系、图像的信息获取能力，根据数据找函数关系是解题的关键．13．(1)66(2)①基准点K的高度h为21m；②b＞；(3)他的落地点能超过K点，理由见解析．【分析】（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66；（2）①由a＝﹣，b＝，知y＝﹣x2+x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m；②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣×752+75b+66＞21，即可解得答案；（3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点．【详解】（1）解：∵起跳台的高度OA为66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，故答案为：66；（2）解：①∵a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+66，∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，∴y＝﹣×752+×75+66＝21，∴基准点K的高度h为21m；②∵a＝﹣，∴y＝﹣x2+bx+66，∵运动员落地点要超过K点，∴当x＝75时，y＞21，即﹣×752+75b+66＞21，解得b＞，故答案为：b＞；（3）解：他的落地点能超过K点，理由如下：∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，∴抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，∵36＞21，∴他的落地点能超过K点．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．14．(1)①；；②(2)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数图象的平移；（1）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当时，；②待定系数法求解析式即可求解；（2）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，根据题意当时，，代入进行计算即可求解．【详解】（1）①观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为，又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是，当时，，∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；故答案为：；．②设抛物线解析式为，将代入得，，解得：，∴抛物线解析式为；（2）∵当时，抛物线的解析式为，设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为，∴平移后的抛物线的解析式为，依题意，当时，，即，解得：．答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为．15．C【分析】先观察容器的形状，再分析水面上升的速度，据此选择合适的函数图像即可．【详解】解：因为圆柱上下一样粗，所以水面上升的高度h随注水时间t的增大而匀速增大．故选：C．【点睛】本题主要考查函数图像的知识，根据h随t的变化情况判断相应的函数图像是解决本题的关键．16．A【分析】设瓶子的体积为V，瓶底面积为S，a表示单位时间滴水量，则可得y关于x的函数关系式，从而可作出判断．【详解】解：设瓶子的体积为V，瓶底面积为S，a表示单位时间滴水量，则，即,上式中，V、S、a都是常数，则y是x的一次函数关系式，且，则其图象是A选项中的图象；故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，根据题意得到函数关系式是解题的关键．17．A【分析】根据图像，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需，满过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；设“几何体”下方圆柱的高为，根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据圆柱的体积公式得，再解方程即可求解．【详解】解：根据函数图像得到圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：，这段高度为：，设匀速注水的水流速度为，则，解得，即匀速注水的水流速度为；“几何体”下方圆柱的高为，则，解得，所以“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据题意得，解得，即“几何体”上方圆柱的底面积为，故选：A．【点睛】本题考查了函数图像的应用：把分段函数图像中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题是解决本题的关键．18．探究：；尝试：见解析；应用：或【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、一次函数的应用、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．探究：由矩形的性质和勾股定理得出，从而得出，分两种情况：当时，点在上；当时，点在上，利用三角形面积公式分别求解即可；尝试：根据探究得出的解析式画出函数图象，再根据函数图象写出性质即可；应用：当时，令，则，当时，由图可得，即可得出答案．【详解】解：探究：四边形是矩形，，，，，，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，设运动时间秒，当时，点在上，且，如图，作于，，，的面积为，当时，点在上，且，，，，的面积为；综上所述：关于的函数表达式为；尝试：画出函数图象如图所示：，由图象可得：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，的最大值为；应用：当时，令，则，解得：，当时，由图可得，的面积为4时的值为或．19．(1)(2)(3)能，理由见解析【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题；（2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，可得点的坐标．（3）根据米，米，米，可求得点的坐标为，当时，求出的值，再与比较，从而得出答案．【详解】（1）解：由题意得：是上边缘抛物线的顶点，设，又∵抛物线过点，∴，解得：，∴上边缘抛物线的函数解析式为，（2）∵对称轴为直线，∴点的对称点为，∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，当时，，解得(舍去)，∴点的坐标为，故答案为：；（3）∵米，米，米，∴点的坐标为，当时，，当时，随的增大而减小，∴灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带．20．(1)(2)【分析】（1）在平面直角坐标系中找出抛物线经过的点的坐标，利用待定系数法求解；（2）将代入抛物线的函数表达式，求出对应的x的值，再根据“小明与甲的水平距离小于小明与乙的水平距离”得出小明所在位置的横坐标，即可求解．【详解】（1）解：由题意知，抛物线经过点，，，即，，，设抛物线的函数表达式为，则，解得，抛物线的函数表达式为；（2）解：将代入，得，解得，小明与甲的水平距离小于小明与乙的水平距离，，，小明离甲的水平距离为．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，正确求出抛物线的函数表达式．21．（1）图象见解析，；（2）当圆柱容器液面高度达到时是【分析】（1）根据表格得描点，连线，即可得函数的图象，由图象可知该函数是一次函数，设该函数的表达式为，根据点