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文档简介

浙江省宁波市宁波十校2023-2024学年高考数学倒计时模拟卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若复数满足,则()A. B. C.2 D.2.若,则下列关系式正确的个数是()①②③④A.1 B.2 C.3 D.43.设a=log73,,c=30.7,则a,b,c的大小关系是()A. B. C. D.4.已知数列是以1为首项,2为公差的等差数列,是以1为首项,2为公比的等比数列,设,,则当时,的最大值是()A.8 B.9 C.10 D.115.已知是过抛物线焦点的弦,是原点,则()A.-2 B.-4 C.3 D.-36.某高中高三(1)班为了冲刺高考,营造良好的学习氛围,向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上,小王,小董,小李各写了一幅书法作品,分别是:“入班即静”,“天道酬勤”,“细节决定成败”,为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的,班主任对三人进行了问话,得到回复如下:小王说:“入班即静”是我写的;小董说:“天道酬勤”不是小王写的,就是我写的;小李说:“细节决定成败”不是我写的.若三人的说法有且仅有一人是正确的,则“入班即静”的书写者是()A.小王或小李 B.小王 C.小董 D.小李7.已知,则()A. B. C. D.28.已知的垂心为,且是的中点,则()A.14 B.12 C.10 D.89.是的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.已知集合,,,则集合()A. B. C. D.11.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F且EF=,则下列结论中错误的是()A.AC⊥BE B.EF平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值 D.异面直线AE,BF所成的角为定值12.某四棱锥的三视图如图所示,该几何体的体积是()A.8 B. C.4 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知为偶函数,当时,,则__________.14.已知椭圆:的左,右焦点分别为,,过的直线交椭圆于,两点,若,且的三边长,,成等差数列,则的离心率为__________.15.函数在区间(-∞,1)上递增,则实数a的取值范围是____16.若,则______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率为,且过点.为椭圆的右焦点,为椭圆上关于原点对称的两点,连接分别交椭圆于两点.⑴求椭圆的标准方程;⑵若,求的值;⑶设直线,的斜率分别为,,是否存在实数,使得,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.18.(12分)武汉有“九省通衢”之称,也称为“江城”,是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.(1)为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况,从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人,制成了如图的频率分布直方图:现从年龄在内的游客中,采用分层抽样的方法抽取10人,再从抽取的10人中随机抽取4人,记4人中年龄在内的人数为,求;(2)为了给游客提供更舒适的旅游体验,该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量(单位:万人)都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表:劳动节当日客流量频数(年)244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率,且每年劳动节当日客流量相互独立.该游船中心希望投入的型游船尽可能被充分利用,但每年劳动节当日型游船最多使用量(单位:艘)要受当日客流量(单位:万人)的影响,其关联关系如下表:劳动节当日客流量型游船最多使用量123若某艘型游船在劳动节当日被投入且被使用,则游船中心当日可获得利润3万元;若某艘型游船劳动节当日被投入却不被使用,则游船中心当日亏损0.5万元.记(单位:万元)表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润,的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大,问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘型游船才能使其当日获得的总利润最大?19.(12分)已知函数(1)已知直线:,:.若直线与关于对称,又函数在处的切线与垂直,求实数的值;(2)若函数,则当,时,求证:①;②.20.(12分)已知函数(是自然对数的底数,).(1)求函数的图象在处的切线方程;(2)若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围;(3)若函数在区间上有两个极值点,且恒成立,求满足条件的的最小值(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值).21.(12分)如图,在四棱锥中,平面ABCD平面PAD,,,,,E是PD的中点.证明:;设,点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为,求二面角的余弦值.22.(10分)如图所示,在四面体中,,平面平面,,且.(1)证明:平面;(2)设为棱的中点,当四面体的体积取得最大值时,求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的计算公式计算.【详解】解:由题意知,,,∴,故选:D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法.2、D【解析】

a,b可看成是与和交点的横坐标,画出图象,数形结合处理.【详解】令,,作出图象如图,由,的图象可知,,,②正确;,,有,①正确;,,有,③正确;,,有,④正确.故选:D.【点睛】本题考查利用函数图象比较大小,考查学生数形结合的思想,是一道中档题.3、D【解析】

,,得解.【详解】,,,所以,故选D【点睛】比较不同数的大小,找中间量作比较是一种常见的方法.4、B【解析】

根据题意计算,,,解不等式得到答案.【详解】∵是以1为首项,2为公差的等差数列,∴.∵是以1为首项,2为公比的等比数列,∴.∴.∵,∴,解得.则当时,的最大值是9.故选:.【点睛】本题考查了等差数列,等比数列,f分组求和,意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.5、D【解析】

设,,设:,联立方程得到,计算得到答案.【详解】设,,故.易知直线斜率不为,设:,联立方程,得到,故,故.故选:.【点睛】本题考查了抛物线中的向量的数量积,设直线为可以简化运算,是解题的关键.6、D【解析】

根据题意,分别假设一个正确,推理出与假设不矛盾,即可得出结论.【详解】解:由题意知,若只有小王的说法正确,则小王对应“入班即静”,而否定小董说法后得出:小王对应“天道酬勤”,则矛盾;若只有小董的说法正确,则小董对应“天道酬勤”,否定小李的说法后得出:小李对应“细节决定成败”,所以剩下小王对应“入班即静”,但与小王的错误的说法矛盾;若小李的说法正确,则“细节决定成败”不是小李的,则否定小董的说法得出:小王对应“天道酬勤”,所以得出“细节决定成败”是小董的,剩下“入班即静”是小李的,符合题意.所以“入班即静”的书写者是:小李.故选:D.【点睛】本题考查推理证明的实际应用.7、B【解析】

结合求得的值,由此化简所求表达式,求得表达式的值.【详解】由,以及,解得..故选:B【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值,考查二倍角公式,属于中档题.8、A【解析】

由垂心的性质,得到,可转化,又即得解.【详解】因为为的垂心,所以,所以,而,所以,因为是的中点,所以.故选:A【点睛】本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.9、B【解析】

分别判断充分性和必要性得到答案.【详解】所以(逆否命题)必要性成立当,不充分故是必要不充分条件,答案选B【点睛】本题考查了充分必要条件,属于简单题.10、D【解析】

根据集合的混合运算,即可容易求得结果.【详解】,故可得.故选:D.【点睛】本题考查集合的混合运算,属基础题.11、D【解析】

A.通过线面的垂直关系可证真假;B.根据线面平行可证真假;C.根据三棱锥的体积计算的公式可证真假;D.根据列举特殊情况可证真假.【详解】A.因为,所以平面,又因为平面,所以,故正确;B.因为,所以,且平面,平面,所以平面,故正确;C.因为为定值,到平面的距离为,所以为定值,故正确;D.当,,取为,如下图所示:因为,所以异面直线所成角为,且,当,,取为,如下图所示:因为,所以四边形是平行四边形,所以,所以异面直线所成角为,且,由此可知:异面直线所成角不是定值,故错误.故选:D.【点睛】本题考查立体几何中的综合应用,涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算,难度较难.注意求解异面直线所成角时,将直线平移至同一平面内.12、D【解析】

根据三视图知,该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥,画出图形,结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积.【详解】根据三视图知,该几何体是侧棱底面的四棱锥,如图所示:结合图中数据知,该四棱锥底面为对角线为2的正方形,高为PA=2,∴四棱锥的体积为.故选:D.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积,由三视图正确复原几何体是解题的关键,考查空间想象能力.属于中等题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

由偶函数的性质直接求解即可【详解】.故答案为【点睛】本题考查函数的奇偶性,对数函数的运算,考查运算求解能力14、【解析】

设,,,根据勾股定理得出,而由椭圆的定义得出的周长为,有,便可求出和的关系,即可求得椭圆的离心率.【详解】解:由已知,的三边长,,成等差数列,设,,,而,根据勾股定理有:,解得:,由椭圆定义知:的周长为,有,,在直角中,由勾股定理,,即:,∴离心率.故答案为:.【点睛】本题考查椭圆的离心率以及椭圆的定义的应用,考查计算能力.15、【解析】

根据复合函数单调性同增异减,结合二次函数的性质、对数型函数的定义域列不等式组,解不等式求得的取值范围.【详解】由二次函数的性质和复合函数的单调性可得解得.故答案为:【点睛】本小题主要考查根据对数型复合函数的单调性求参数的取值范围,属于基础题.16、【解析】

直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数,进一步求出的值.【详解】解:若,则,即,所以.故答案为:.【点睛】本题考查的知识要点:定积分的应用,被积函数的原函数的求法,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)(3)【解析】试题分析:(1);(2)由椭圆对称性,知,所以,此时直线方程为,故.(3)设,则,通过直线和椭圆方程,解得,,所以,即存在.试题解析:(1)设椭圆方程为,由题意知:解之得:,所以椭圆方程为:(2)若,由椭圆对称性,知,所以,此时直线方程为,由,得,解得(舍去),故.(3)设,则,直线的方程为,代入椭圆方程,得,因为是该方程的一个解,所以点的横坐标,又在直线上,所以,同理,点坐标为,,所以,即存在,使得.18、(1);(2)投入3艘型游船使其当日获得的总利润最大【解析】

(1)首先计算出在,内抽取的人数,然后利用超几何分布概率计算公式,计算出.(2)分别计算出投入艘游艇时,总利润的期望值,由此确定当日游艇投放量.【详解】(1)年龄在内的游客人数为150,年龄在内的游客人数为100;若采用分层抽样的方法抽取10人,则年龄在内的人数为6人,年龄在内的人数为4人.可得.(2)①当投入1艘型游船时,因客流量总大于1,则(万元).②当投入2艘型游船时,若,则,此时;若,则,此时;此时的分布列如下表:2.56此时(万元).③当投入3艘型游船时,若,则,此时;若,则,此时;若,则,此时;此时的分布列如下表:25.59此时(万元).由于,则该游船中心在2020年劳动节当日应投入3艘型游船使其当日获得的总利润最大.【点睛】本小题主要考查分层抽样,考查超几何分布概率计算公式,考查随机变量分布列和期望的求法,考查分析与思考问题的能力,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题.19、(1)(2)①证明见解析②证明见解析【解析】

(1)首先根据直线关于直线对称的直线的求法,求得的方程及其斜率.根据函数在处的切线与垂直列方程,解方程求得的值.(2)①构造函数,利用的导函数证得当时,,由此证得.②由①知成立,整理得成立.利用构造函数法证得,由此得到,即,化简后得到.【详解】(1)由解得必过与的交点.在上取点,易得点关于对称的点为,即为直线,所以的方程为,即,其斜率为.又因为,所以,,由题意,解得.(2)因为,所以.①令,则,则,且,,时,,单调递减;时,,单调递增.因为,所以,因为,所以存在,使时,,单调递增;时,,单调递减;时,,单调递增.又,所以时,,即,所以,即成立.②由①知成立,即有成立.令,即.所以时,,单调递增;时,,单调递减,所以,即,因为,所以,所以时,,即时,.【点睛】本小题考查函数图象的对称性,利用导数求切线的斜率,利用导数证明不等式等基础知识;考查学生分析问题,解决问题的能力,推理与运算求解能力,转化与化归思想,数形结合思想和应用意识.20、(1);(2);(3).【解析】

(1)利用导数的几何意义计算即可;(2)在上恒成立,只需,注意到;(3)在上有两根,令,求导可得在上单调递减,在上单调递增,所以且,,,求出的范围即可.【详解】(1)因为,所以,当时,,所以切线方程为,即.(2),.因为函数在区间上单调递增,所以,且恒成立,即,所以,即,又,故,所以实数的取值范围是.(3).因为函数在区间上有两个极值点,所以方程在上有两不等实根,即.令,则,由,得,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,解得且.又由,所以,且当和时,单调递增,当时,单调递减,是极值点,此时令,则,所以在上单调递减,所以.因为恒成立,所以.若,取,则,所以.令,则,.当时,;当时,.所以,所以在上单调递增,所以,即存在使得,不合题意.满足条件的的最小值为-4.【点睛】本题考查导数的综合应用,涉及到导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、极值点,不等式恒成立等知识,是一道难题.21、(1)见解析;(2)【解析】

(1)由平面平面的

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