2022年山东省潍坊市高密四中高考数学模拟试卷（一模）（学生版+解析版）

2022年山东省潍坊市高密四中高考数学模拟试卷（一模）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.（5分）已知"={3,5},/V={xGZ|^|<0},MUN=（）

A.{3,5}B.{2,3,4,5}C.{3,4,5}D.{2,5）

2.（5分）复数z满足（2-i）z=3+4i（i为虚数单位），则复数z的模等于（）

近L广L

A.—B.V5C.2V5D.4>/5

3.（5分）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排

1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）

A.120种B.90种C.60种D.30种

7TQ

4.（5分）若cos（——a）=F，贝！Jsin2a=（）

45

7117

A.—B.一C.--pD.—TTF

255525

5.（5分）已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该

圆柱的体积为（）

37rnTC

A.TEB.—C.一D.一

424

6.（5分）已知各项均为正数的等比数列{“”}的前4项和为15,且公=3。3+4（71,则。3=（）

A.16B.8C.4D.2

7.（5分）已知△4BC是边长为1的等边三角形，点。、E分别是边AB、8c的中点，连接

OE并延长到点F,使得QE=2EF,则齐••辰的值为（）

51111

A.—QB•-C.-D.—

8488

8.（5分）定义在R上的奇函数y=f（x）满足/（3）=0,且当x>0时，不等式/（x）>

-xf（x）恒成立，则函数g（x）—xf（JC）+收仅+1］的零点的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得（）分，部分选对的得2分。

（多选）9.（5分）为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从两个班各抽取7位同

学分成甲、乙两组参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，则下列描述正确的有

)

f频数

3-

2------------

O345678910得分

甲组

A.甲、乙两组成绩的平均分相等

B.甲、乙两组成绩的中位数相等

C.甲、乙两组成绩的极差相等

D.甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差

(多选)10.(5分)已知函数f(x)=Asin(3x+(p)(A>0,3>0,|cp|V*)的部分图象

如图所示，下列说法正确的是()

A.函数y=/(x)的图象关于点(一90)对称

B.函数y=/(x)的图象关于直线l=一驾对称

C.函数y=/(x)在［—冬，-单调递减

7T

D.该图象向右平移一个单位可得y=2sin2x的图象

6

X2y2

(多选)11.(5分)已知尸1,尸2分别是双曲线"一*=1(4>0,6>0)的左、右焦点，

a2炉

A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若|P尸1|=2|P尸2|且aPFi尸2的最小内角为30°,则

()

A.双曲线的离心率6

B.双曲线的渐近线方程为y=±&x

C./以22=45°

D.直线x+2y-2=0与双曲线有两个公共点

（多选）12.（5分）正方体ABCO-481。。中，E是棱。£>1的中点，/在侧面CD£»i。

上运动，且满足以尸〃平面4BE.以下命题正确的有（）

A.侧面CO。上存在点F,使得BiFJLCDi

B.直线与直线BC所成角可能为30°

C.平面4BE与平面CDDICI所成锐二面角的正切值为2四

V5

D.设正方体棱长为1,则过点E、F、A的平面截正方体所得的截面面积最大为三

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）已知向量a=（1,1,0）,b=（-1,0,2）,且Za+b与2a—b互相垂直，则

k=.

14.（5分）Q+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幕项的系数之和为32,则〃=.

15.（5分）已知/（x）为偶函数，当x<0时，f（x）—In（-x）+3x,则曲线y=/（x）在

点（1,-3）处的切线方程是.

16.（5分）《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其

一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四

棱锥）和一个鳖膈（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵ABC-AIBICI

中，BB\=BC=2®AB=2,AC=4,且有鳖腌CL和鳖腌CLABC,现将鳖腌

Ci-ABC沿线BC\翻折，使点C与点B\重合，则鳖腌Ci-ABC经翻折后，与鳖嚅Ci

-拼接成的几何体的外接球的表面积是.

四、解答题：本题包括6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)△ABC中，。是8C上的点，AO平分/2AC,△A8D面积是△AZJC面积的2

倍.

(2)若40=1,DC=节,求2。和AC的长.

18.(12分)已知数列｛〃”｝是等比数列，其前"项和为S”,且—+i=2S"+3(neN*).

(1)求数列伍”｝的通项公式；

(2)若bn~\og3Cln»令Cn—Cln*bm求数列｛Cn｝的前〃项和Tn.

19.(12分)第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕，本次冬季奥运会共设7

个大项，15个分项，109个小项.为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某大学进

行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为10〃(nGN*),统计得到以下2X2列联

表，经过计算可得片心4.040.

男生女生合计

了解6n

不了解5n

合计10A?10n

(1)求〃的值，并判断有多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别

有关；

(2)①为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不理解

冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少

抽到一名女生”的概率；

②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对冬季

奥运会项目了解的人数为X,求X的数学期望.

附表：

P(心》ko)0.100.050.0250.0100.001

to2.7063.8415.0246.63510.828

2

附.2_____Mad-bc)______

PIJ-K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)-

20.(12分)三棱锥P-ABC中，三角形ABC为等腰直角三角形，NABC=90°,侧面以C

为等边三角形，PB=6AB.

(1)求证：PB1AC；

PT

(2)若侧棱PT上有一动点T,设而=2(0<A<1),当人为何值时，直线TA与平面

P8C所成的角最大？

1

21.(12分)己知函数f(x)=--x-^alnx.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若f(x)存在两个极值点xi,%2,证明："")一""2)<a-2.

xt-x2

x2

22.(12分)已知A,B分别为椭圆E：—+y2=l(a>l)的左、右顶点，G为E的上顶点,

*

AG'GB=8.P为直线x=6上的动点，以与E的另一交点为C,PB与£的另一交点为D

(1)求E的方程；

(2)证明：直线CO过定点.

2022年山东省潍坊市高密四中高考数学模拟试卷(一模)

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.(5分)已知M={3,5},N={x&Z\^<0],MUN=()

A.{3,5}B.{2,3,4,5}C.{3,4,5}D.{2,5}

【解答]解：M={3,5},Af={xeZ|^|<0)=UGZ|2<x^5}={3,4,5),

/.MUN={3,4,5}.

故选：C.

2.(5分)复数z满足(2-/)z=3+4i(i为虚数单位)，则复数z的模等于()

A.yB.V5C.2V5D.4V5

【解答】解：(2-i)z=3+4i,

(3+40(2+0_211

,~(2-i)(2+i)一百+T''

•••|z|=J(|)2+([)2=遮.

故选:B.

3.(5分)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排

1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()

A.120种B.90种C.60种D.30种

【解答】解：因为每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆

安排3名，

甲场馆从6人中挑一人有：Cl=6种结果；

乙场馆从余下的5人中挑2人有：量=10种结果；

余下的3人去丙场馆；

故共有：6X10=60种安排方法；

故选：C.

n&

4.(5分)右cos(—―a)=F，贝(Jsin2a=()

【解答】解：法1。：—「Tt。）=|Q，

7T7T27197

Asin2a=cos(——2a)=cos2(——a)=2cos(—―a)-1=2X25-I=-25'

244

,n号(sina+cosa)=1,

法2°：*/cos(——a)

4

1.9

(l+sin2a)=西,

97

♦・sin2a=2x—1

F'

故选：D.

5.（5分）已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该

圆柱的体积为（）

【解答】解：•••圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,

,该圆柱底面圆周半径/-=J12-（1）2=亨，

.•.该圆柱的体积：V=Sh=itx（^）2x1=^.

故选：B.

6.（5分）已知各项均为正数的等比数列｛a“｝的前4项和为15,且公=3如+40,则43=（）

A.16B.8C.4D.2

【解答】解：设等比数列｛小｝的公比为q(夕＞0),

则由前4项和为15,且。5=3a3+4。1,有

23

(ar++a^q+atq=15.(ar=1

Qq4=3ad+4%*=2，

2

/.a3=2=4.

故选：C.

7.（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点£＞、E分别是边A3、8c的中点，连接

DE并延长到点凡使得。E=2ER则”♦应7的值为（)

【解答】解：如图,

VD.E分别是边AB、BC的中点，且。E=2EF,

：.AF-BC=(<AD+DF)-BC=(一城+怖法).BC

=(_*盛+泳)-BC=(-^BA+^BC-^BA)■BC

qTRTTqTTRTC-»To

=(-^BA+^BC)-BC=-^BA-BC+^BC2=~1\BA\­|BC|co$60°+Xl2

5”《1,31

=-x1x1x5+才=6.

74Z4,o

故选：c.

8.(5分)定义在R上的奇函数y=/(x)满足/(3)=0,且当x>0时，不等式/(x)>

-xf(x)恒成立，则函数g(x)=xf(x)+/g|x+l|的零点的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：定义在R的奇函数/(x)满足：

f(0)=0=f(3)=/(-3),

且/(-x)=-f(x),

又x>0时，f(x)>-xff(x),即/(x)(%)>3

：.[xf(x)]>>0,函数〃(x)=xf(x)在x>0时是增函数，

又力(-x)=-xf(-x)=xf(x),:.h(x)=xf(x)是偶函数；

・・・xV0时，h(x)是减函数，结合函数的定义域为R,且/(0)=/(3)=/(-3)=0,

可得函数)，1=耳1(%)与*=-/g|x+l|的大致图象如图所示，

，由图象知，函数g(x)=xf(x)+/g|x+l|的零点的个数为3个.

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

（多选）9.（5分）为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从两个班各抽取7位同

学分成甲、乙两组参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，则下列描述正确的有

（）

甲组乙组

A.甲、乙两组成绩的平均分相等

B.甲、乙两组成绩的中位数相等

C.甲、乙两组成绩的极差相等

D.甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差

【解答】解：因为巳*（4+5+6+6+7+7+8）<巳><（5+5+5+6+7+8+9）,

所以甲组成绩的平均分小于乙组成绩的平均分，

甲、乙两组成绩的中位数均为6,

甲、乙两组成绩的极差均为4,

甲组的成绩比乙组的更加稳定，所以甲组成绩的方差小于乙组成绩的方程.

故选：BCD.

（多选）10.（5分）已知函数/（X）=Asin（3x+（p）（A>0,3>0,|cp|<^）的部分图象

如图所示，下列说法正确的是（)

A.函数y=/(x)的图象关于点(一?0)对称

B.函数)，=/(x)的图象关于直线犬=一驾对称

C.函数y=/(x)在[—呈，一自单调递减

TT

D.该图象向右平移一个单位可得)，=2sin2x的图象

6

【解答】解：由函数的图象可得4=2,由工•二=巴一三，解得3=2.

40)312

再根据最值得2x$+(p=2内r+刍，AwZ；

又即|V，，得＜p=g，得函数/(x)=2sin⑵+卜),

当工=一看时，f(x)=0,故A正确；

当冗=一驾时，/(X)=-2,是最值，故5正确；

XE[-f-4]'则2x+?q-7T,0],

函数/(x)=2sin⑵+3)不单调，故C错误；

函数f(x)=2sin(2x4-5)的图象向右平移三个单位可得y=2sin(2x-S4-=2sin2x

o635

的图象，故。正确.

故选：ABD.

x2y2

(多选)11.(5分)已知乃，F2分别是双曲线二一三=1(。＞0,b＞0)的左、右焦点，

a2b2

4为左顶点，P为双曲线右支上一点，若|尸人|=2|P放|且△PF1F2的最小内角为30°,则

)

A.双曲线的离心率百

B.双曲线的渐近线方程为丫=士近x

C.ZB4F2=45C

D.直线x+2y-2=0与双曲线有两个公共点

x2y2

【解答】解：Fi,故分别是双曲线二一三=1（〃>0,fo>0）的左、右焦点，A为左顶

a2匕2

点，户为双曲线右支上一点，若|PB|=2|PF2|且△PF1F2的最小内角为30°,如图，三角

形△PF1F2是直角三角形，并且一=2ctan30。，可得：e=遍，所以A正确；

a

—=y/3,—=可得

aa

渐近线方程：y=士应x,所以8正确；

直线x+2y-2=0与双曲线的渐近线不平行,所以直线与双曲线由2个交点，所以。正确；

故选：ABD.

（多选）12.（5分）正方体ABC。-AIBICIOI中，E是棱。0I的中点，/在侧面CDCiCi

上运动，且满足BiF〃平面4BE.以下命题正确的有（）

A.侧面8D1C1上存在点凡使得BiFLCDi

B.直线B尸与直线BC所成角可能为30°

C.平面4BE与平面CDDICI所成锐二面角的正切值为2近

V5

D.设正方体棱长为1,则过点E、尸、A的平面截正方体所得的截面面积最大为5•

【解答】解：取。。1中点M,C1C中点N,连接BiM,BiN,MN,

易证8iN〃4E,MNaMB,

从而平面BiMN〃平面AiBE,

所以点尸的运动轨迹为线段MN,

取尸为中点，

因为△B1MN是等腰三角形,

所以BiFLMN,

又因为A/N〃C£>1,

所以劭

故A正确；

设正方体棱长为a,

当点尸与点M或点N重合时，直线Bi尸与直线BC所成角最大,

1

7v%=

止匕时tcm/CiBi/=tan30°f

所以B错误;

平面BiMN〃平面A18E,

取F为MN中点，则MV_LC1F,MNLBiF,

：.ZB\FC\即为平面BiMN与平面CDD\C\所成的锐二面角，

tan^BrFCr=%%—2或，

所以C正确；

当尸为C1E与交点时，易知截面为菱形AGCiE（G为8B1中点）,

因为正方体棱长为1,

所以AC]=6,EG=V2,

此时截面面积可以为一V6，

2

故。错误.

故选：AC.

1乌

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(5分)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ZQ+Z?与2Q—h互相垂直，则

【解答】解：•向量日=(1,1,0),力=(-1,0,2),

Aka+b=(左-1,k,2),

2a-b=(3,2,-2),

・・・3+:与堤一5互相垂直，

:.(fca+h)-(2a-6)=3(&-1)+2%-4=0,

解得k=I.

7

故答案为：

14.(5分)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幕项的系数之和为32,则。=3.

【解答】解：设/(X)=(。+无)(l+x)4=〃0+〃]]+〃23+…+〃5/，

令X=l,则〃0+〃1+。2+…+。5=/(1)=16(〃+1),①

令X=-1,则40-41+〃2-…-45=/(-1)=0.②

①-②得，2(〃1+。3+〃5)=16(a+1),

所以2X32=16(a+1),

所以。=3.

故答案为：3.

15.(5分)己知/(x)为偶函数，当xVO时，/(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在

点(1,-3)处的切线方程是2x+y+l=0.

【解答】解：/(x)为偶函数，可得/(-x)=f(x),

当x<0时，f(x)=ln(-x)+3x,即有

i

x>0时，f(x)—Inx-3x,f(x)=--3,

可得f(1)—Ini-3=-3,f'(1)=l-3=-2,

则曲线y=/(x)在点(1,-3)处的切线方程为y-(-3)=-2(x-1),

即为2x+y+l=0.

故答案为：2x+y+\=0.

16.(5分)《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其

一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四

棱锥)和一个鳖膈(四个面均为直角三角形的四面体).在如图所示的堑堵A8C-481cl

中，BB\=BC=2®AB=2,AC=4,且有鳖臊Ci-ABBi和鳖腌CLABC,现将鳖席

Ci-ABC沿线BC\翻折，使点C与点Bi重合，则鳖席Ci-ABC经翻折后，与鳖膈Ci

-ABBi拼接成的几何体的外接球的表面积是吗.

【解答】解：鳖席。-4BC经翻折后，与鳖席G-4881拼接成的几何体如图,

该几何体是三棱锥，由已知求得底面三角形A'BiA是边长为4的正三角形，

侧棱CB11底面4'B\A,

设B1A的外心为M,过M作底面垂线，取CiBi的中点N,过N作C181的垂线,

使两垂线相交于点O,则O为拼接成的几何体的外接球的球心.

=|x2百=竽，则外接球的半径R满足R2=（等/+（V3）2=学

.♦.拼接成的几何体的外接球的表面积为4兀x竽=竽.

1007T

故答案为：一~一.

四、解答题：本题包括6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）△A8C中，。是8c上的点，AZ）平分N8AC,△A8Q面积是△AOC面积的2

倍.

,、sinB

⑴求嬴？

(2)若AZ)=1,DC=¥，求BD和AC的长.

【解答】解：（1）如图，过A作4EJ_BC于E,

1

..SAABD2BDXAE、

・----------=7--------------=2

S—DC-DCXAE

：.BD=2DC,

〈A。平分N84C,

・・・N8AO=NOAC,

BDADADxsin乙BAD

在△A3Q中,/.sinZB=

sinZ-BADsin^B'BD~

DCADADxsinZ.DAC

在△AOC中,/.sinZC=

sinZ.DACsinZ-C"DC

sinZ-BDC

…6分

sinz.CBD2

/o

(2)由⑴知，BO=2DC=2x与=叵

过。作DMLAB于M,作DNVAC于N,

平分/BAC,

：.DM=DN,

1

.S44BD2ABXDMc

S^ADC-ACXDN

：.AB=2ACf

令AC=x,则AB=2x,

*：ZBAD=ZDACf

：.cosZBAD=cosADAC,

(2乃2+12(伪2/+12一喙)2

•••由余弦定理可得:

2x2xxl-2xxxl

♦・X=1,

・・・AC=1,

・・・8。的长为a，AC的长为1.

18.（12分）已知数列｛〃〃｝是等比数列，其前〃项和为S〃，且a〃+i=2S〃+3（吒N*）.

（1）求数列｛期｝的通项公式；

（2）若foi=log3a仁,令Cn=dn9bn,求数列｛Cn｝的刖〃项和Tn.

【解答】解：（1）因为｛即｝为等比数列，所以设其公比为必

因为a〃+i=2S〃+3,①

当时,cin—25/2-1+3,②

由①-②，得。〃+1-。〃=2=2。〃，

解得q=%.=3.

当〃=1时，a2=2m+3,则。1=3,

所以｛〃”｝的通项公式为an=QiqnT=3n.

n

(2)因为bn=\og3an=nf则=n-3,

7；=3+2x32+…+几x3%③

37；=32+2x3?+…+几x3n+1,④

由③-④，得一2〃=3+32+33+…+3〃一九・3n+1,

n+1n+1

_13-3n+1._3+(2n-l)3

Tn--2(3-3--n31---------4---------，

所以数列｛cn｝的前“项和7；=3+(2",1)30+1.

19.(12分)第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕，本次冬季奥运会共设7

个大项，15个分项，109个小项.为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某大学进

行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为10〃（“6N*）,统计得到以下2X2列联

表，经过计算可得K2P4.040.

男生女生合计

了解6n

不了解5n

合计]0n10〃

(1)求〃的值，并判断有多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别

有关；

(2)①为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不理解

冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少

抽到一名女生”的概率；

②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对冬季

奥运会项目了解的人数为X,求X的数学期望.

附表：

P0.100.050.0250.0100.001

ko2.7063.8415.0246.63510.828

2

_____n(ad-bc)______

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).

【解答】解：(1)2X2的列联表如下:

男生女生合计

了解6n5n11n

不了解4〃5n9n

合计10〃10/220〃

2

20nx(6nx5n-4nx5n)_20rl〜0

10nxl0nxllnx9n=西=4.U4U,

因为〃6N*,

所以〃=20,

'：P(公23.841)=0.05,

因此，有95%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关;

(2)①采用分层抽样的方法从抽取的不理解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，这

9人中男生的人数为4,女生的人数为5,

4

再从这9人中抽取3人进行面对面交流,“至少抽到一名女生”的概率为1=1-84=

20

21:

②由题意可知X〜B（10,为,

故E(X)=10x/=学.

20.（12分）三棱锥P-ABC中，三角形ABC为等腰直角三角形，ZABC=90°,侧面必C

为等边三角形，PB=V3AB.

(1)求证：PBVAC-,

PT

（2）若侧棱P7上有一动点T,设而=A（0<2<1）,当人为何值时，直线TA与平面

P8C所成的角最大?

【解答】（1）证明：取4c的中点M,连接尸M,BM,由AB=AC,则MB_LAC,由外

=PC,则AULPM,

又PMCMB=M,故4CJ•平面PBM,又平面PBM,.,.PB1AC;

（2）解：•••AC_L平面以点M为坐标原点，MA,所在直线分别为x,y轴,

过点M且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，

设AB=2,则PB=26，AC=V2AB=2y[2,PM=VP42-AM2=V6>

又MB=\AC,COSZBMP=吗㈱/2=一堂,

则P(0,-V2,2),B(0,y/2,0),A(V2,0,0),C(-V2,0,0),

故而=(0,2VL-2),AP=(-V2,-V2,2),由已知而=XPB=(0,2夜入，-2人),

则石=12+(2伍-71)2+Q—24)2="2/12-164+8,

设平面P8C的一个法向量为蔡=(尤，y,z),

..二•呀缶+历=0,令尸1,可得£=(-],1,V2),

n-PB=2V2y-2z=0

设直线TA与平面P8C所成的角为6,

.八一)工\AT-n\2/2收

sin0—|cos<AT,n>|=-4--1=-.=--------=—.=>

|4T|x|n|2J322-42+2x71+1+22^3(1-^)+1

由0<入<1,故当人=5时，sin。最大，即直线窗与平面P8C所成的角最大，

综上当入=|时，直线左与平面P8C所成的角最大.

1

21.(12分)已知函数/(x)=--x+alnx.

(1)讨论了(工)的单调性；

/(X1)/(%2)

(2)若f(x)存在两个极值点xi,X2,证明：~<a-2.

X1-X2

【解答】解：(1)函数的定义域为(0,+8),

函数的导数f(%)=—/一1+三=一正箸

设g(x)=/-ax+\,

当“WO时，g(x)>0恒成立，即/(x)V0恒成立，此时函数/(x)在(0,+8)

上是减函数，

当“>0时，判别式△=/-4,

①当0<“W2时，△★(),即g(x))0,即/(x)W0恒成立，此时函数/(x)在(0,

+°°)上是减函数，

②当a>2时，x,f(x),f(x)的变化如下表：

(0,a-Va2-4a-Va2-4a+Va2-4a+Va2-4

X(--------,(,+

2222

a-y/a2-4

--------)a+Va2-4°°)

2------------------)

2

f'(X)-0+0-

f(x)递减递增递减

综上当aW2时，f（x）在（0,+8）上是减函数,

,a->Ja2-4_a+Va2-4

当a>2时，在(0,---------),和(------------+8）上是减函数,

22

,a-y/a2-4a+Va2-4

贝IJ(一-一）上是增函数.

2

(2)由(1)知a>2,不妨设xi〈x2,则0<xi<l<X2,xix2=l,

1

则/(xi)-f(X2)=(X2-xi)(H-----)+〃Unx\-hm)=2(X2-xi)+〃Cbm-lnx2),

X1X2

则」(久I)-f(%2)=2a(lnx^lnx^

xx

%1-X2——l-2，

则问题转为证明如"1一mgvi即可，

Xl-X2

即证明lnx\-lnxi>x\-xi,

1i

贝!Jlnx\-In—>x\-----,

%iX1

即bm+lnjc\>x\——,

xi

即证2//tn>xi—」•在(0,1)上恒成立，

X1

设/i(x)=2配c-x+泉(0<%<l),其中〃(1)=0,

求导得“(%)=--i-4=-x2-2^+1=-^zj^<0>

LL

xxXX乙

则h(x)在(0,1)上单调递减，

：.h(x)>h(1),