2020-2021学年南平市高二年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年南平市高二上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.设复数z的共粗复数5=捻，则在复平面内z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.下列命题中，真命题的个数是.（）

①命题”若p,则q”的否命题是“若p,则飞”；

@xyK10是x45或y力2的充分不必要条件；

③已知命题p,q,若“pAq”为假命题，则命题p与q一真一假：

④线性相关系数r的绝对值越接近1,表示两个变量的相关性越强.

A.1B.2C.3D.4

3.已知向量五=（a1）,b=（4,n）.则n=2是五〃方的（）条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分又不必要

4.如图，已知椭圆C的中心为原点。，?（一2遍,0）为C的左焦点，P为C

上一点，满足|OP|=|。可且俨川=4,则椭圆C的方程为（）/

若函数"%）=蜻-数有大于零的极值点，贝或

A.a<1B.a>1C.a>--D.a<--

6.已,知平面a的一个法向量五=（x,2y-1,-［）,又E=（一1,2,1），^=（3卷,一2）且方，下在a内，则

a=(

5252

7.已知函数一：/+4,当/'(X)取得极值时，X的值为()

A.—1,1,0B.—1,1C.—1,0D.0,1

8.圆C：+y2-i0y+16=0上有且仅有两点到双曲线接一，=l(a>0,b>0)的一条渐近线

的距离为1,则该双曲线离心率的取值范围是()

A.(V2,V5)B.(|)|)C.(：,|)D.(V5,V2+1)

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.下列说法正确的是()

A.从一批含有10件合格品、3件不合格品的产品中随机地逐个抽取，抽出后的产品不放回，则

直到第二次才取到合格品的概率为最

40

B.某种动物活到20岁的概率是0.8,活到25岁的概率是0.4,则现龄20岁的这种动物活到25岁的

概率为0.4

C.甲、乙、丙3人独立地破译某个密码，每人译出密码的概率均为0.25,则密码被译出的概率

是玄

D.如果某种报警器的可靠性为80%,那么安装2只这样的报警器能将可靠性提高到96%

2

10.已知双曲线C：y2=1®>0)的左、右焦点分别为a,尸2,P为双曲线C右支上的动点，过P

作两渐近线的垂线，垂足分别为45若圆。-2)2+丫2=1与双曲线67的渐近线相切，贝女)

A.双曲线C的离心率e=*

3

B.当点P异于顶点时，AP&F2的内切圆的圆心总在直线x=2-遮上

C.|P*•|P8|为定值

D.|4B|的最小值为科

11.设无)，g(x)都是单调函数，其导函数分别为f'(x),g'(x),/i(x)=/(x)-5(x).下列命题中

正确的是()

A.若((%)>0,“(%)>0,则九(%)单调递增

B.若/'(%)>0,g'(x)<0,则八(%)单调递增

C.f(x)<0,g'Q)>0,则h(x)单调递减

D.若/'(%)<0,“(%)<0,则无(%)单调递减

12.己知函数f(%)=x|%],则下列命题中正确的是()

A.函数/(sinx)是奇函数，且在上是减函数

B.函数sin(/■(久))是奇函数，且在(-另)上是增函数

C.函数-cosx)是偶函数，且在(0,1)上是减函数

D.函数cos(/(x))是偶函数，且在(一1,0)上是增函数

三、单空题(本大题共4小题，共20・0分)

13.已知i是虚数单位，则复数含=.

14.已知向量1=(1,3),b=(4,/c),若aJ.0—E),则k=.

15.已知抛物线y=4b/的焦点为F,4、B为抛物线上两点，若而=3而，。为坐标原点，则4AOB

的面积为.

16.已知函数=Inx+(e—a)x+b,其中e为自然对数的底数，若不等式/(久)<0恒成立，则押

最大值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.设命题p：函数g(x)=(a-|尸是R上的减函数，命题q：函数/(%)=lgg2-％+白。)的定义域

Z1O

为R,若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围.

19.拟用长度为I的钢筋焊接一个如图所示的矩形框架结构(钢筋体积、D

焊接点均忽略不计)，其中G、H分别为框架梁MN、CD的中点，

MN//CD,设框架总面积为5平方米，BN=2CN=2x米.M

(1)若S=18平方米，且，不大于27米，试求CN长度的取值范围；

(2)若，=21米，求当CN为多少米时，才能使总面积S最大，并求最大值.

20.如图，已知直三棱柱4BC-Ci中，AB^AC,。为BC的中点.

(I)求证：平面BBiGC；

(II)求证:&B〃平面4CQ

21.阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象：

现象(1)：光线经平面镜反射满足入射角与反射角相等(如图)；

现象(2)；光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点(如图).

试结合，上述事实现象完成下列问题：

(I)有一椭圆型台球桌，长轴长为2a,短轴长为2b.将一放置于焦点处的桌球击出.经过球桌边缘的

反射(假设球的反射充全符合现象(2)),后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为S,求S的值

(用a,b表示)；

(II)结论：椭圆W+4=1上任点P(xo，yo)处的切线的方程为誓+瞪=1•记椭圆C的方程为c：兰+

y2=i,在直线x=4上任一点M向椭圆C引切线，切点分别为A,B.求证：直线/必恒过定点：

(HI)过点7(1,0)的直线1(直线2斜率不为0)与椭圆C：9+y2=1交于P、Q两点，是否存在定点S(s,0),

使得直线SP与SQ斜率之积为定值，若存在求出S坐标；若不存在，请说明理由.

22.已知函数f(%)=x—alnx+Q—l(a>0),g(%)=x(x2—16)4-%2(%—Znx)+.

(1)讨论函数/(X)在(，+8)上的单调区间；

(2)求证：g(4>-20.

参考答案及解析

1.答案：A

解析：解：•••3=椅=濡匕=1­，

・•・z=1+i.

则在复平面内Z对应的点的坐标为(1,1),位于第一象限.

故选：A.

利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，

是基础题.

2.答案：B

解析：解：①命题“若p,贝叼”的否命题是“若"，则飞"，故①错；

@x=5且y=2是xy=10的充分不必要条件，由等价性可得xy丰10是x力5或yK2的充分不必要

条件，故②对；

③已知命题p,q,若“p/\q"为假命题，则命题p或q为假命题，故③错；

④线性相关系数r的绝对值越接近1,表示两个变量的相关性越强，故④对.

其中正确的命题个数为2.

故选：B.

由命题的否命题为既对条件否定，又对结论否定，即可判断①；

由命题的等价命题：％=5且、=2是町/=10的充分不必要条件，即可判断②；

运用复合命题的真假，即可判断③；

线性相关系数r的绝对值越接近1,表示两个变量的相关性越强，即可判断④.

本题考查命题的真假判断，主要是四种命题、充分必要条件的判断和复合命题的真值表、两个变量

的相关性判断，考查判断能力，属于基础题.

3.答案：A

解析：

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量共线的等价条件是解决本题的关键.

根据向量共线的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.

解：若n=2,则向量2=(2,1),石=(4,2)，满足方=2五，则方〃坂，即充分性成立，

若五〃万，贝Ij4—n2=o,解得n=±2,故必要性不成立，

即n=2是五〃坂的充分不必要条件，

故选：A.

4.答案：C

解析:

本题主要考查椭圆的定义以及性质，属基础题.

首先利用内角和定理得到APFF'为直角三角形，再由椭圆的定义求出a的值，则椭圆方程可得.

解：依题意，设椭圆方程为三+3=l(a>b>0),右焦点为F',连接PF',由己知，半焦距c=2强,

a2b2

又由|OP|=\OF\=|。尸'|知，乙PFF'=4OPF,4OF'P=Z.OPF',

所以4PFF'+乙OF'P=Z.OPF+/.OPF',

由三角形内角和定理得，

乙OPF+乙OPF'=90°,

所以"PF'=90°,

所以APFF'为直角三角形.

在直角APFF'中，

\PF'\=J\FF'\2-\PF\2=J(4V5)2-42=8,

由椭圆的定义可知2a=\PF\+\PF'\=4+8=12,a=6,

于是匕2=a2-c2=62—(2A/5)2=16,

故所求椭圆方程为1+1=1.

3616

故选c.

5.答案：B

解析：解：由题意可得，/。）=/一。=0有大于0的根，

当QWO时，广。）>0恒成立，/（%）在R上单调递增，没有极值；

当。>0时，当%>配口时，f（x）>0,/（%）单调递增，当x〈）a时，fz（x）<0,函数单调递减,

故当汽="。时，函数取得极小值，

由题意可得，仇a>0,

故a>1.

故选：B.

由题意可得，（（久）=靖-Q=0有大于0的根，结合导数与单调性的关系可求.

本题主要考查了利用导数研究函数的极值，属于基础试题.

6.答案：C

—X+2(2y—1)—^=0

27

解析：解：由题意可得=0即・解得x=_*y=­

=03x+i(2y-l)+|=0)52

故选：C.

f-x2(2y-l)-l=0

由题意可得出2=。+

,解得即可.

la-c=0[3%+i(2y-l)+i=0

本题考查了线面垂直的性质、向量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础题.

7.答案：B

解析：

本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，是中档题.

利用函数的导数求出极值点，判断导函数的符号，推出结果即可.

解：函数/'（X）=-13+%

所以/'（X）=X，—令（（刀）=0,解得X=±1,

工”-8,-1)时，f(X)>0,

时，<(X)<0,

xe(L+8)时，/(x)>0,

所以x=±l时，函数取得极值.

故选：B.

8.答案：C

解析：

本题考查双曲线的离心率e的取值范围，考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于

中档题.

由圆的方程求出圆心坐标与半径，写出双曲线的一条渐近线方程，由题意可得圆心到双曲线渐近线

的距离大于2且小于4,由此列式求解双曲线离心率的取值范围.

解：圆C：/+丫2-10丫+16=0可化为"+(y-5)2=%圆心以0,5),半径为3,

••・圆C：x2+y2-10y+16=。上有且仅有两点到双曲线卷一《=l(a>0,b>0)的一条渐近线的距

离为1，

•••圆心到双曲线渐近线的距离大于2且小于4,

由对称性不妨取双曲线箕-g=l(a>O,b>0)的一条渐近线为y=豪，即抗一ay=0,

.••2〈点*<4,即2<皿<4,

Va2+b2c

解得9<£<3.即双曲线离心率的取值范围是

故选C.

9.答案：ACD

解析：解：对于从从一批含有10件合格品、3件不合格品的产品中随机地逐个抽取，抽出后的产品

不放回，则直到第二次才取到合格品的概率P=2x^=3,故A正确；

对于B：某种动物活到20岁的概率是0.8,即PG4)=0.8,活到25岁的概率是0.4,P(B)=0.4,

在活到20岁的条件下，活到25岁的概率为条件概率，故：P=^=黑=》，故8错误；

了(A)U.oZ

对于C：甲、乙、丙3人独立地破译某个密码，每人译出密码的概率均为0.25,所以P(甲)=P(乙)=P(

丙)=；,则甲、乙、丙都破译不了的概率为1一：=：,

444

故破译的概率为1一(/3=看，故C正确:

对于D：如果某种报警器的可靠性为80%,不可靠性为1-80%=20%,故那么安装2只这样的报警

器能将可靠性提高到1一(0.2)2=96%,故。正确.

故选：ACD.

直接利用分步原理的应用，条件概率，对立事件的应用，相互对立事件的应用判断4、B、C、。的结

论.

本题考查的知识要点：分步原理的应用，条件概率，对立事件的应用，相互独立事件，主要考查学

生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

10.答案：ACD

解析：解：双曲线的渐近线的y=圆与渐近线相切，所以禺=1,所以a=b，c=2,所

以e=2,A正确.

3

设，APaFz内切圆与X轴相切与点M,则|&M|-|F2M|=2a,故M的横坐标a,,记内心为N,则NM

垂直于x轴，

所以内切圆的方程为x=a=8,B错误.

设PQo/o)为双曲线上任一点，则它到两渐近线的距离I?'FBI口篇：；

IP411PBi=即啕,C正确.

44

=_V3

过P(xo,yo)与渐近线垂直的方程分别与渐近线组成方程组求出交点坐标.y一~TX得交

.y-y0=y/3(x-x0)

点A：(沁一点y°，一、%o+

同理得B(%+先。,枭。+/)，所以|m=］济+褐=7|之|，力正确

故选：ACD.

利用点到线的距离求出a,可求离心率，利用切线长定理可出内心所在直线方程，点到线距离证明定

值，利用方程组解出交点坐标求出的距离的最小值.

本题考查双曲线的性质，考查离心率的求法，考查数学运算和直观想象的核心素养，属于中档题

11.答案：BC

解析：解：对于“乃,g(x)都是单调函数，其导函数分别为尸(x),g'(x),/i(x)=/(x)-5(x),

所以九'(X)=f(x)_g'G),

①当((x)>0,“(x)<0时，-g'(x)>0,

故"Q)=/(x)-/(%)>0,所以函数hQ)为单调递增函数;故B正确,

②当尸(x)<0,g'(x)>0时,-g'(x)<0,

故/i'(x)=f'(x)—g'(x)<0,所以函数九(乃为单调递减函数；故C正确，

③对于4和。,由于f(x)>0,g'(x)>0,和(。)<0,g'(x)<0,

不能判定h'(x)的正负，则九。)的单调性不能确定，故A和。错误.

故选：BC.

直接利用函数的导数的运算判断函数的单调性，进一步确定结果.

本题考查的知识要点：函数的导数和单调性的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能

力，属于基础题.

12.答案：BCD

解析：

根据题意，由/(乃的解析式分析/(x)的奇偶性和单调性，由此依次分析选项中函数的奇偶性和单调

性，综合可得答案.

本题考查复合函数的单调性的判断，涉及函数奇偶性的判断，属于中档题.

解：根据题意，/(x)=x|%|=仔:-°C，则/Q)为奇函数且在R上为增函数，

依次分析选项：

对于4对于/(sinx),其定义域为R,/[sin(-x)]=/(-sinx)=-/(sin%),则/'(sin%)为奇函数，

设t=sinx,在(一1彳)上，t=sinx为增函数，/(%)也是增函数，则/'(sinx)在(一另)上是增函数，A

错误，

对于B,对于sin[f(x)],其定义域为R,sin[/(-x)]=sin[-/(%)]=-sin[/(%)],贝！Jsin[f(x)]为奇函

数，

设t=f(x),在(-：,｝上，/(x)为增函数，且一]<t<：,y=sinx在(-；,[)上也是增函数，则函数

sin[/(x)]在(一上是增函数，8正确；

对于C,对于/(cosx),其定义域为R,/[cos(-x)]=/(cosx),则/(cosx)为偶函数，

设£=85%,在区间(0,1)上，t=cosx为减函数，而f(x)是增函数，则函数/(COSX)在(0,1)上是减函

数，c正确；

对于D,对于cos[f(x)],其定义域为R,有cos[/(-x)]=cos[-/(x)]=cos[/(x)],cos[/(x)]为偶函

数，

设t=f(x),在(一1,0)上，/1(%)为增函数且一1<t<0,y=cosx在(-1,0)也是增函数,则cos[/(x)]

在(一1,0)上是增函数，正确，

故选：BCD.

13.答案:i

密笈士匚ATJ1+i_(l+i)(l+i)

解析：解：H=(I)(l+i)

_l+2i+22

-2

=i.

故答案为：i.

先把含的分子分母同时乘以分母的共舸复数，得到晨:黑,再由复数的乘除运算法则进行计算.

本题考查得复数的代数形式的乘除运算，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答.

14.答案：2

解析：解：•••向量方=(L3),A=(4,/C),al(a-b)，

■■a■(a—b)=a2—a-b=10—(4+3k)=0，

解得k=2,

故答案为：2.

由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得k的值.

本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题.

15.答案：鉴

576

解析：解：抛物线标准方程为M=⑤，故”0,务设4B方程为”依+看

(_,V3

联立方程组?一茄，消去y可得：4由x2-kx—m=0,

y=4A/3X248

设%)，8。2，、2)，则=-白，X1+%2=矗=等，

AF—3FB，,,,=-3%29

不妨设4在第一象限，k>0,则%2=一三，

N4o

于是SMOB=1X1。尸1x|xx-x2|=|x^|xi=^.

故答案为：包.

化标准方程，求出F坐标，设直线ZB效率为k,联立方程组消元，根据万=3而可得4B两点的横

坐标的关系，利用根与系数的关系求出4B横坐标，代入三角形面积公式即可求出答案.

本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.

16.答案：-

e

解析：解：/'(%)=q+e-Q=x+(r)"(%>0),①当e-a>0时,/'(%)>0恒成立，即f(%)在(0,+8)

单调递增，没有最大值，不符合不等式/(%)V0恒成立；

②当e-a<0时,即Q>■<'(%)=0得，％=士,xG(。,±)，尸(%)>0,%e(±,+8),f'(x)<0,

所以xG(0,+8),/(x)极大值=f(x)max=/(W)=1nq—1+b=Tn(a—e)—1+b,由题意得

/(%)<0,所以b<In(a一e)+1

所以勺S皿恒成立，转化为求。(吟=/卫。>6)的最大值，g'(x)=匕号瞥2

令H(x)=e—(%—e)ln(x—e),x>e,所以“'(x)=-ln(x—e)—1,令H'(x)=0得，％=e+}

当工€(巳6+})时，Hz(x)>0,”(%)单调递增，x€(e+},+8)时，”(x)单调递减，

所以H(e+》表大值=e+%且x->e时，H(x)>0,W(2e)=0,所以g(x)在区间(e,2e)上单调递增，

在(2e,+8)上单调递减，即以乃的最大值是g(2e)=嘤=%综上可得T的最大值为：

故答案为：

e

先求/。)的导数，然后对a讨论使不等式/(x)<o恒成立，只需要/(X)的最大值小于零即可，求出

In—,再令函数等于右边，求右边函数的单调性，进而求出2最大值.

aa

考查用导数研究函数的最值问题，属于中难题.

17.答案：解：由命题p：函数g(x)=(a-|)x是R上的减函数，［0<a-|<l,解得|<a<|.

由命题q：当aW0时，函数/"(x)=lg(a%2-x+^a)的定义域不为R,应舍去；

当a>0时，要使函数/'(%)=lg(ax2-x+白。)的定义域为R,即对任意实数都满足a/一万+2a>0,

lo16

则必有△<(),即l-4ax±a<0,又a>0,解得a>2.

16

由已知“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，等价于«真土或［之真

"q真(q真

P真

由得至或<a<2；

-iQ真

由真得到a?!.

(q真2

综上可知：a的取值范围是：|<aW2或a2去

解析：【试题解析】

先化简命题p、q,再根据“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，等价于1Pt或真

Jq真(q真

进而可求出a的取值范围.

本题考查了函数的性质和复合命题的真假，充分理解性质及判断方法是解决问题的关键.

18.答案：解：(I)••・圆Q：/+y2=5与抛物线C2：x2=2py(p>0)在第一象限内的交点为R(2,m),

4+m2=5，

vm>0,

Am=1,

(2,1)代入公=2py,可得p=2,

・・・抛物线C2的方程为/=4y；

(11)设「(沏,：就)(0<.<2),则

由y=可得"=

二直线1的斜率%=]o，

二直线/的方程为y-:诏=^Xo(x-x0),即2xo%-4y-=0,

•・•点。到直线l的距离为d=：W，

•・"(x)T+在(0,2)上递增，

JXOXO

0<d<-

2

•­-SAOAB=J\AB\d=V5^-d=J_(d2_|)2+g

3

A。<

解析：（I）利用圆Cl：M+y2=5与抛物线C2：/=2py（p>0）在第一象限内的交点为R（2,m）,即

可求m的值及抛物线C2的方程；

（n）求出直线/的方程，可得点。到直线/的距离d,确定d的范围，进而表示出面积，即可求出AOAB

的面积的取值范围.

本题考查抛物线方程，考查抛物线的切线方程，考查三角形面积的计算，属于中档题.

19.答案：解：（1）设AB=y米，BC=3x米，D

框架总面积为3xy,

框架总长度为3y+7x米，

故27（每写出一个给2分）…（4分）

所以有竺+7xW27,

X

故7——27x+18<0,

解得岸XW3；...(7分)

(2)由(1)知3y+7x=21,

即y=7—^x(0<x<3)...(10分)

S=3盯=3x(三巧

=7(-x2+3%)=7[-(x-1)24-曰...(12分)

故当工=|时，S有最大值日平方米...（14分）

答：（1）满足条件的CN长度的取值范围为停,3］单位米.

（2）当CN=|米时，框架的总面积最大，最大值中平方米...（16分）

（备注：没有范围的扣（2分），二次函数没有配方的或没有指明对称轴的扣（2分），

答中没有单位的扣2分）

解析：（1）设4B=y米，BC=3x米，求得框架的总面积和总长度，根据题意得到不等式组，即可得

到所求长度的范围；

（2）运用矩形的面积公式，可得面积S的二次函数，配方即可得到所求最大值和所求长度.

本题考查函数模型在实际问题中的运用，考查二次函数的最值和二次不等式的解法，考查化简整理

的运算能力，属于中档题.

20.答案：证明：（1）在直三棱柱48。一4/1（；1中，Cqi平面4BC,

因为4Du平面4BC,所以51AD.

因为AB=4C,。为BC中点，所以力DISC.

因为BCu平面BBiGC,Ct?】u平面BBiGC,BCnCCX=C,

所以ZD1平面B81GC；

(口)连接4也，设AiCn4Ci=E,连接DE.

因为在直三棱柱4BC-&B1G中，四边形/L41cle为平行四边形，

所以E为41c中点.

因为。为BC中点，所以DE〃4A

因为DEu平面AQD,C平面AC1。，

所以&B〃平面4Ci>

解析：本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力，属

于中档题.

(I)由CGJ•平面4BC.可证CCi14。，由4B=4C,。为BC中点，可证AC_LBC,即可证明AD_1_平

面BBiGC

(n)连接&C,设&cn4cl=E,连接。E.可得E为&C中点，由。为BC中点，可证DE〃A】B,即可

证明〃平面4GD.

21.答案：解：(I)记c=V^F,因为桌球第一次与球桌的边缘的接触点可能他也长轴的两个端

点及这两个端点外的任一点三种情况，

所以，S=2(a—c)或S