2020-2021学年南阳市高二年级上册期末数学试卷(理科)(含解析)

2020-2021学年南阳市高二上学期期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.（）分）

1.己知点P是抛物线y2=以上一点，设点P到此抛物线的准线的距离为到直线x+2y-12=。

的距离为d2,则di+d?的最小值是（）

A.5B.4C.yV5D.

2.已知下列命题：

①命题“若则X2-3X+200”的逆否命题是“若--3X+2=0,则X=1"；

②命题p：Vx€/?,x2+x+10>则-ip：3x6/?,x2+x+1=0；

③若pvq为真命题，则p,q均为真命题；

④“X>2”是一3x+2>0”的充分不必要条件.

其中，真命题的个数有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

3.中国古代数学名著佛丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里.”

意思是：现有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续行走7日，共

走了700里.若该匹马连续按此规律行走，则它在第8天到第14天这7天时间所走的总里程为（）

A.350里B.1050里C.爱里D..誓里

4.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来

增加利润，已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利

润在320元以上，销售价每件应定为（）

A.12元B.16元

C.12元到16元之间D.10元到14元之间

5.在等比数列｛an｝中，已知%+。2=-|"+a5=12,贝।擞列是（）

A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列

6.在A4BC中，已知a=6,b=4,C=120°,则smB的值是（）

7.双曲线-y2=i的顶点到其渐近线的距离等于（）.

B..

C.1D.也

2

8.如图，在正方体ABC。一4当6。［中，当。与平面AC%所成的角为a,

为。与BC所成的角为/?,则cos(a-0)=()

7

B•孚

C.它

2

D.渔

2

9.如图，一条河的两岸平行，河的宽度感=一艘客船从码头想出发匀速驶往河对岸的码

头殿.

已知M网=大小，水流速度为翦km",若客船行驶完航程所用最短时间为毓分钟，则客船在静水

中的速度大小为

10.设久，外分别是双曲线/—乙=1的左、右焦点，尸是双曲线上一点，且满足F&_L尸鸟，则

3

।丽H恒।的值是()

A.6也B.0C.12D.6

11.下列命题：

⑴“若am?>bm2,则a>b”的否命题；

(2)“全等三角形面积相等”的逆命题；

(3)“若a>1,则关于x的不等式a/>0的解集为R”的逆否命题；

其中正确命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

12.椭圆*+，=1(0<b<2遮)与渐近线为x±2y=0的双曲线有相同的焦点Fi，F2,P为它们的

一个公共点，且N&PF2=90。，则椭圆的离心率为()

A.—B.叵C.回D.西

6666

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.在AABC中，若AB=小，AC=1,ZC=p贝ijBC=.

14.12已知数列他｝为等差数列,S*为其前万项和，且町+%,=2,则Sgo=

15.不等式X；J<0对任意xeR恒成立，则实数a的取值范围是.

16.若过点P(5,—2)的双曲线的两条渐近线方程为x-2y=0和x+2y=0,则该双曲线的实轴长为

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.设命题p：函数/(X)=x3-ax-1在区间［一1,1］上单调递减；命题q：函数y=ln(x2+ax+1)的

定义域为R.若命题P或q为假命题，求a的取值范围.

18.设数列｛诙｝的前n项和为%,若5=2an-劭，且%,a2+1>。3成等差数列.

(I)求数列｛a.｝的通项公式；

(H)若十++—求点的最大值.

'/Qia2a3an65

19.在△ABC中，角4、B、C的对边分别是a、b、c,若b-[c=acosC

(1)求角A

(2)若4(b+c)=3bc,a=28,求△ABC的面积S.

20.过抛物线y2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为加直线，交抛物线

于4,B两点，点4在x轴上方.

(1)当线段48中点的纵坐标是2时，求抛物线的方程；

(2)求黑的值・

21.如图，四棱锥P-4BCD,三角形ABC为正三角形，边长为2,ADA.DC,AD=1,P。垂直于平

面4BCD于。，。为4C的中点.

(1)证明PA1B0；

(2)证明。。〃平面P4B；

(3)若PD=遍，直线PD与平面P4C所成角的正切值.

22.如图，在圆。：久？+y2=4上任取一点p,过点P作％轴的垂线段PD,。为垂足.设M为线段PD的

中点.

(I)当点P在圆。上运动时，求点M的轨迹E的方程；

(II)若圆。在点P处的切线与x轴交于点N,试判断直线MN与轨迹E的位置关系.

参考答案及解析

1.答案：c

解析：解：•・•点P到抛物线y2=4x的准线的距离为di等于P到抛物线必=4x的焦点的距离|PF|,

则四+dz的最小值即为F到直线x+2y-12=0的距离.

由抛物线y2=4x得F(1,O),

,"、-Iixi+2xo-i2|_llsZS

"<al+a2)min-----•

故选：c.

直接把P到准线的距离转化为P到抛物线焦点的距离，求焦点到直线支+2y-12=0的距离得答案.

本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了数学转化思想方法，是基础题.

2.答案：B

解析：

①根据逆否命题的意义即可得出；

②利用非命题的意义即可得出；

③若pvq为真命题，贝防与q至少有一个为真命题；

④由于x>2n(%-l)(x-2)>0,而反之不成立，再利用充分必要条件即可判断出.

本题考查了简易逻辑的有关知识，属于基础题.

解：①根据逆否命题的意义可得：命题“若x#1,贝一3x+2X0”的逆否命题是“若M一3x+

2=0,则x=1",正确；

22

②命题p：Vxe/?,x+x+1^0,利用非命题的意义可得：-1P:3xG/?,x+x+1=0,正确；

③若pvq为真命题，则p与q至少有一个为真命题，因此③是假命题；

(4)vx>2=>(x-l)(x-2)>0,而反之不成立，“x>2”是“/一3x+2>0”的充分不必要

条件.

综上可知：只有①②④正确.

故选：B.

3.答案:C

解析：解：设该匹马第一日走％里，

•••马行走的速度逐渐减慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续行走7日，共走了700里，

•••人；了)=700,解得％=350Xig,

2

••・该匹马连续按此规律行走，则它在第8天到第14天这7天时间所走的总里程为：

S14-700=吧骂提,700=3俚).

1——32

2

故选：C.

设该匹马第一日走由里，利用等比数列前n项和公式求出％,由此利用等比数列前71项和公式能求出

该匹马连续按此规律行走，则它在第8天到第14天这7天时间所走的总里程.

本题考查等比数列的第8项至第14项的和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性

质的合理运用.

4.答案：C

解析：

本题考查了一元二次不等式的实际应用，属于基础题.

设销售价定为每件万元，利润为y，根据题意可得利润的函数解析式.由题意可得关于x的一元二次不

等式，解不等式即可求得每件销售价的范围.

解：设销售价定为每件x元，利润为y,

则y=(X-8)[100-10(x-10)]

依题意,得(％-8)口00-10(*-10)]>320

即/-28%+192<0,解得12<x<16

所以每件销售价应定为12元到16元之间，

故选：C

5.答案：C

解析：解：由已知得公比q满足：q3=^J=-8,所以q=—2,

而a1+a2——的=-所以a】=p

故数列也“｝是摆动数列，

故选：C.

由已知得公比q满足：勺3=霭=-8,解得q,即可得出结论.

本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

6.答案：B

解析：解：•••在△ABC中，已知a=6,b=4,C=120°,

由余弦定理可得c?=a2+b2—2abcosC=62+42—2x6x4cosl20°=76,

•••c=5/76-

bc,

sinBsinC

故选B.

由余弦定理求得c的值，再由正弦定理求得sinB的值.

本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.

7.答案：B

解析：x2-y2=1的渐近线方程为y=±尤，顶点坐标为(±1,0)，点(±1,0)到y=±x的距离为

|±1|_1_V2

飞一飞一亏

8.答案：B

解析：解：根据正方体4BC。-&B1GD1中，根据三垂线定理：

由于：ByD1ADr,BrD1DXC,

故_L平面4CDi，所以成的角为a=],

为。与BC所成的角为£,

设正方体的棱长为1,所以当。=b，DC、=近,

故cos/?=故sin。=争

cos(a-0)=cos(^-°)=sinjS=y-

故选：B.

直接利用线面夹角和线线夹角的应用，三角函数的值的应用求出结果.

本题考查的知识要点：线面夹角和线线夹角的应用，三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能

力和数学思维能力，属于基础题.

9.答案:B

解析：试题分析：河宽0.6km,悭阚=Jkm,船航行的和速度为上=：］财，和速度在垂直河岸的方

向上的分速度为晞=1©读”=籁，沿河岸方向的分速度为%=耐二磅=窗，因为水速为2所以

船在静水中的速度啰=腐副%—=獭显

考点：解三角形的应用题

点评：正确理解本题中船的航行方向即速度方向是前提条件，然后将速度分解到河流方向与垂直河

岸方向，因此就能得到静水中沿河流方向与垂直河流方向的分速度各为多少，从而求得静水中的航

速，学生对本题的题意理解有一定困难

10.答案:D

解析：双曲线“2—匕=1中，a2=1,b2-3,可得©2=&2+炉=4

3

•••双曲线的左、右焦点分别为0(一2,0),F2(2,0)

•・•点P是双曲线上一点，二||所|一|所||=2a=2...(1)

-PF1_LPF2,I所|2+|而|2=|钻|2=16...(2)

将(1)平方，得(I若I-I耐1)2=I所|2+|祐|2-2|所||嗝|=4…(3)

用(2)减去(3),得2|所I•I讯I=12,所以I丽j|而1=6

故选£>.

11.答案：B

22

解析：解：(1)“若a—>bm,则a>b"的否命题为"若am?<bm,则a<b"为真命题，故(1)

正确；

(2)“全等三角形面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”为假命题，故(2)错误；

(3)”若。>1,则关于％的不等式a/NO的解集为R”为真命题，其逆否命题也为真命题，故(3)正

确；

故选：B.

根据四种命题的定义，写出对应的命题，可判断(1)(2),根据互为逆否的两个命题真假性相同，可

判断(3).

本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，不等式的性质，难度中档.

12.答案：C

解析：解：设F/2=2C,在双曲线中，£=±a2+b2=c2,得a2=（.不妨设p在第一象限，则由

椭圆的定义得P&+PF2=4遮，由双曲线的定义得尸&-PF2=2a=tc又NF/F2=90°:.喈+

P母=4C2,48+”C2=8C2,解c=VTU，.「=£=华=回.

5a2V36

故选C

由渐近线为x±2y=0,得出双曲线中的实轴长与半焦距的关系=9，再结合椭圆和双曲线的定

义，列出关于P0,PF2,&&的关系式，解出c的值，代入离心率公式计算.

本题是椭圆和双曲线结合的好题.要充分认识到PF],PF2,&F2在两曲线中的沟通作用.

13.答案：3

解析：解：设8c=x（x>0）,

由余弦定理得，AB2=AC2+BC2-2AC-BCcos^C,

因为48=b，AC=1,4c=g,

所以7=1+M-2x1xxxcosg,化简得/一x-6=0,

解得x=3或x=—2（舍去），即BC=3,

故答案为：3.

先设BC=x,根据余弦定理列出方程，再把数据代入化简后求出BC的值.

本题考查正弦、余弦定理的应用，此题若用正弦定理计算麻烦，选择余弦定理是解题的关键.

14.答案:100

解析：解：由题意知：

故答案是100.

10°（"+"00）小+ag

5100==50（9）=50x2=100

1、,2

解析：解：,•,|竽；1=a/+ax-1<0对任意xeR恒成立，

I1x+II

，当a=0时，—1<0对任意％GR恒成立；

当"。时，应有｛建：2_4ax（—l）<0.

解得：-4<a<0；

综上所述，实数a的取值范围是（-4,0].

故答案为：(—4,0］.

利用行列式的意义，将不等式I?X：11<0对任意XeR恒成立，转化为a/+ax-1<0对任意

x€R恒成立，通过对参数a分类讨论，解之即可.

本题考查函数恒成立问题，考查行列式的意义与不等式的解法,对参数a分类讨论是解决问题的关键,

属于中档题.

16.答案:6

解析：解：设所求的双曲线方程为您一句^="4力0),

将P(5,-2)代入，得;1=9,

x2—4y2=9,：.a=3,实轴长2a=6,

故答案为：6.

利用共渐近线双曲线系方程设为/-4y2=4。片0),求得;I,再求2a.

利用共渐近线双曲线系方程可为解题避免分类讨论.

17.答案：解：由函数/(%)=/一以一1在区间［-1,1］上单调递减；得/。)=3%2一(1<0的解集包

含集合［—1,1］,

a>3,故命题p为真时，a>3；

由函数y=ln(M+ax+1)的定义域为R,得△=a2-4<0,即-2<a<2,

故命题q为真时，—2<a<2.

由复合命题真值表知，若命题p或q为假命题，则命题p、q都为假命题，

■/a<3一

贝也、，前"。=aW-2或2<a<3,

(a>2或a<-2

故a的取值范围是a<-2或2<a<3.

解析：先求出组成复合命题的简单命题的为真时a的取值范围，由复合命题真值表知，若命题p或q为

假命题，则命题p、q都为假命题，由此求出a的取值范围.

本题考查了复合命题的真假判断，考查了函数的单调区间的判定及不等式的恒成立问题，解题的关

键是求得组成复合命题的简单命题的为真时a取值范围.

18.答案：解：(1)由已知5„=2%—%,

所以外,=Sn-Sn-i-2an-2an_x(n>2),

SjJi(n22),从而a?~2a］，a?—4a1，

又因为a2+1>43成等差数列，即%+a3=2(a2+1)>

所以的+4al=2(2%+1),解得%=2,

所以数列｛a“｝是首项为2,公比为2的等比数列，

故％=2%

(口)因为？+]+*+…+]〈景

所以打/3+…+9<景

即1一条<H，所以2n<65,

26=64<65,27=128>65,

所以n的最大值为6.

解析：本题考查等差数列和等比数列的综合应用，属于中档题.

(I)根据已知条件结合即=Sn-Sn_i得到an=2an-i(n22),结合已知条件求出的,即可得解;

(11)可得1一味<景即可得解.

19.答案：解：(1)由正弦定理得：sinB-^sinC=sinAcosC,

又rsinB=sin(?l+C)

1

:.sin(A+C)--sinC=sinAcosC

BPcosAsinC=|smC,

又•・,sinCH0

1

・•・cosA=-

2

又・・,4是内角

AA=60°.

(2)由余弦定理得：Q?=/+c2-2bccosA=h24-c2-be=(6+c)2-3bc,

：・(b+c)2-4(b+c)=12得：b+c=6

・•・be=8,

-S=-besinA=-x8x—=2A/3.

222

解析：(1)由正弦定理化简已知可得：sinBsinC=sinAcosC,结合三角形内角和定理及三角函数

恒等变换的应用化简可得cosA=%结合4为内角，即可求4的值.

(2)由余弦定理及已知可解得：b+c=6,从而可求儿=8,根据三角形面积公式即可得解.

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理及三角函数恒等变换的

应用，熟练掌握相关公式定理是解题的关键，属于中档题.

20.答案：解：⑴设4%yi)B(洛丫2)，抛物线y2=2px(p>0)焦点F©,0),

2P2PN

直线力B：%=y+p

\Xy+5，有y2_2py_p2=0,

—2px

由4B的中点的纵坐标是2,yi+y2=2p=4,即p=2,

可得抛物线的方程y2=4x；

x_v_|_p

2,有y2-2py-p2=0，

{y2=2px

-

可得yi=(V2+l)p,y2=(1V2)p,

由抛物线定义可得嚣=捐=弊=篝=3+2夜.

|BF|yzP兆+p22-V2

2P+2

解析：(1)求得抛物线的焦点，设直线48：x=y+3联立抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标

公式，可得p，进而得到所求抛物线方程；

(2)设直线力B：x=y+^,联立抛物线方程，解方程可得交点A,B的纵坐标，再由抛物线的定义,

化简即可得到所求比值.

本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查方程

思想和运算能力，属于中档题.

21.答案：证明：(1)•••三角形4BC为正三角形，。为4c的中点.

・•・BOLAC,

vPOL^ABCD,8。u平面ABC。，

・•・BO1PO,

又POu平面P",4Cu平面PAC,POnAC=O,

・・・B。_L平面P/C,・・・PAu平面PAC,

・•・PA1BO.

(2)・・・4O1C。，。是4C的中点，

.・.OD=AO=^AC=1,又40=1,

.•・△40D是等边二角形，又△4BC是等边二角形,

Z.OAD=^BAC=60°,.-.DO//AB,又ABu平面/MB,D。U平面PA8,

•••D。〃平面PAB.

(3)过。做OF垂直AC于尸，连接PF.

•••PO，平面4BCD,DFu平面力BCD,

POA.DF,又。01AC,POu平面PAC,ACu平面PAC,POCtAC=0,

DF_L平面P4C,二NDP尸为直线PD与平面PAC所成角.

•••CD=y/AC2-AD2=A/31DF=笠券=?，PF=y/PD2-DF2=亨，

tanz.DPF=—=—.

PF7

即直线P。与平面PAC所成角的正切值为先.

7

解析：(1)由尸。，底面4