2021-2022学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2021-2022学年江苏省南京市鼓楼区九年级第一学期期末数学试

卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰

有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）

1.平面内，O。的半径为3,若点P在。。外，则OP的长可能为（）

A.4B.3C.2D.1

2.一元二次方程N+2X=-1的根的情况是（）

A.没有实数根B.有一个实数根

C.有两个不相等的实数根D.有两个相等的实数根

3.下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（）

A.正方体集装箱的体积即3棱长外”

B.高为14,”的圆柱形储油罐的体积底面圆半径X,*

C.妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤

D.小莉驾车以108切?修的速度从南京出发到上海，行驶动，距上海）历"

4.如图，D,E分别是的边AB,AC上的点，迪•=5，DE//BC,若的周长

AB3

为6,则△A3C的周长等于（）

A.24B.18C.12D.9

5.在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其

他外力的作用，那么它们的落地时间相同.物体的下落距离（/«）与下落时间/（s）之

间的函数表达式为/?=微处2.其中g取值为9.8/M/S2.小莉进行自由落体实验，她从某建

筑物抛下一个小球，经过4s后落地，则该建筑物的高度约为（）

A.98mB.78.4mC.49mD.36.2m

6.平面直角坐标系内，已知点A（1,0）,B（5,0）,C（0,Z）.当f>0时，若NACB

最大，则/的值为（)

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直

接填写在答题卡相应位置上)

7.若三则为"=_____.

y3y

8.点C是线段48的黄金分割点(AOBC),若A8=2a〃，则AC=cm.

9.某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由4.86万辆提升至6万辆，设平均每次增产的

百分率是x,可列方程为.

10.一个圆锥的底面圆半径是1,母线长是3,沿着一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到

一个扇形，则这个扇形的圆心角度数为

11.将二次函数y=/+2x-2的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位，得到的新图

象函数的表达式为.

12.有3个样本如图所示，关于它们的离散程度有下列几种说法：①样本1与样本3的离散

程度相同；②样本2的离散程度最小；③三组数据的离散程度从小到大依次为：样本2、

样本3、样本1.正确的序号为.

样本1:---

159

样心：

34o67

祥种:

13.如图，AB是。。的直径，弦CQ_LAB于点E,若BE=5,CD=6,则0A长为

14.分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，边长为半径画弧得到的曲边三角形叫莱洛三角

形.如图，等边8c的边长为2a”，则图中阴影部分的面积为。样.

15.如图，夜晚路灯下，小莉在点。处测得自己影长在点G处测得自己影长CG

=3如E、£»、G、B在同一条直线上.已知小莉身高为1.6如则灯杆4B的高度为m.

16.△A8C中，AB=AC=13,BC=24,点/是aABC的内心，点。是△ABC的外心，则

01=.

三、解答题(本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤)

17.解下列一元二次方程.

(1)/=-3x；

⑵/-4扬+8=0.

18.已知二次函数)，=*2-(m+2)x+2m(，”为常数).

(1)求证：不论机取何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点；

(2)若机=0,当x时，y随x的增大而减小.

19.如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距

离已知某一时刻BC在地面的影长CN=1.5m,AC在地面的影长CM=4.5〃?，

求窗户的高度.

20.近日，“复旦学霸图书馆”新闻引发网友热议，其中，“风雨无阻爱学习”的潘同学一

年时间图书馆打卡301次，更是成为众多学子膜拜的对象.某大学图书馆为了更好服务

学子，对某周来馆人数进行统计，统计数据如下（单位：人）：

时间周一周二周三周四周五周六周日

人数65055071042065023203100

（1）该周到馆人数的平均数为人、众数为人、中位数为人；

（2）周一至周五到馆人数相差不多，用这五天的数据估算该周的平均数合适吗？为什

么？

（3）选择合适的数据，估算该校一个月的到馆人数（一个月按30天计）.

21.“三孩”政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划（假定生男生女的概率相同）：

（1）甲家庭已有一个男孩和一个女孩，准备再生一个孩子，则第三个孩子是男孩的概率

是;

（2）乙家庭没有孩子，准备生三个孩子，求至少有两个孩子是女孩的概率.

22.已知关于x的一元二次方程"2+法+'=0（a、b、c是常数，。#0）的两个实数根分别

jbc

为Xl,XI,证明：X\+X2—-—,X1*X2——.

aa

23.图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4,〃.以。为原点，OA所在直线为

x轴建立直角坐标系，若点P的坐标为（3,2）.

（1）求拱桥所在抛物线的函数表达式：

（2）因降暴雨水位上升1,小此时水面宽为多少？（结果保留根号）

24.如图，48是。。的弦，4c是。。的切线，AB^AC,BC交。。于点。，E是研的中点.

（1）求证：ZC=ZE；

（2）判断四边形4CCE的形状，并说明理由.

25.定义：我们把三边之比为1：&：、石的三角形叫做奇妙三角形.

（1）初步运用

如图是7X2的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）,请分别在图①、图②中画出

顶点在格点上最小、最大的奇妙三角形；

所画三角形中最大内角度数为

（2）再思探究

如图③，点A为坐标原点，点C坐标（2,2）,点。坐标（7,1）,在坐标平面上取一

点8（见2）,使得A8平分NCAO,直接写出“的值并说明理由.

26.某商店销售甲、乙两种礼品，每件利润分别为20元、10元，每天卖出件数分别为40

件、80件.为适应市场需求，该店决定降低甲种礼品的售价，同时提高乙种礼品的售价.售

卖时发现，甲种礼品单价每降1元可多卖4件，乙种礼品单价每提高1元就少卖2件.若

每天两种礼品共卖出140件，则每天销售的最大利润是多少？

（1）分析：设甲种礼品每件降低了x元，填写下表（用含x的式子表示，并化简）；

调价后的每件利润调价后的销售量

甲种礼品20-x

乙种礼品

(2)解答：

27.问题呈现：探究二次函数y=-x(x-3)+m(其中0Wx<3,加为常数)的图象与一次

函数y=x+2的图象公共点.

问题解决：

⑴问题可转化为：二次函数)=-x(x-3)(0WxW3)的图象与一次函数尸的

图象的公共点.

(2)在下列平面直角坐标系中画出y=-x(x-3)(0WxW3)的图象.

(3)请结合(2)中图象，就〃?的取值范围讨论两个图象公共点的个数.

问题拓展：若二次函数尸(其中1<后之，〃，为常数)的图象与一次函数尸-

标+2的图象有两个公共点，则〃7的取值范围为.

()

参考答案

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰

有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）

1.平面内，。0的半径为3,若点尸在。0外，则0P的长可能为（）

A.4B.3C.2D.1

【分析】根据题意可以求得0尸的取值范围，从而可以解答本题.

解：的半径为3,点尸在夕卜，

:.OP>3,

故选：A.

2.一元二次方程N+2X=-1的根的情况是（）

A.没有实数根B.有一个实数根

C.有两个不相等的实数根D.有两个相等的实数根

【分析】先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判

断方程根的情况.

解：方程化为N+2X+1=0,

：A=22-4X1=0,

方程有两个相等的实数根.

故选：D.

3.下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（）

A.正方体集装箱的体积”再棱长初？

B.高为14,”的圆柱形储油罐的体积）7M3,底面圆半径

C.妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤

D.小莉驾车以108切?修的速度从南京出发到上海，行驶劝，距上海）历"

【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可.

解：A.正方体集装箱的体积/六棱长X,%则）,=》3,故不是二次函数；

B.高为14根的圆柱形储油罐的体积）憎3,底面圆半径xm,则y=14nx2,故是二次函数；

C.妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量〉斤，单价为x元/斤，则），=毁，故不是二次函

X

数；

。.小莉驾车以108km〃7的速度从南京出发到上海，行驶x/7,距上海）依小则＞=南京与

上海之间的距离-108x,故不是二次函数.

故选：B.

4.如图，D,E分别是的边AB,AC上的点，坦」，DE//BC,若的周长

AB3

为6,则△A3C的周长等于（）

A.24B.18C.12D.9

【分析】根据OE〃BC,得△AOEsaABC,则有胆E•普.从而得出答案.

CAABC皿3

解：'：DE//BC,

：.LADEs△ABC,

.“ADE二AD

,△ABC福3

•..△AOE的周长为6,

...△48C的周长为18,

故选：B.

5.在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其

他外力的作用，那么它们的落地时间相同.物体的下落距离/?（，〃）与下落时间r（s）之

间的函数表达式为/7=/凡其中g取值为9.8曲52.小莉进行自由落体实验，她从某建

筑物抛下一个小球，经过4s后落地，则该建筑物的高度约为（）

A.98/nB.78.4机C.49mD.36.2m

【分析】把，=4代入可得答案.

解：把f=4代入得，

力=工乂9.8X42=78.4，〃.

2

故选：B.

6.平面直角坐标系内，己知点4(1,0),B(5,0),C(0,r).当1>0时，若NAC5

【分析】先确定过4、8两点的。加与y轴相切与点。时NAC3最大，再利用圆的有关

知识求出OC的长即可.

解：如图①，作过A、8两点的OM与y轴相切与点C,

*.•ZACB<ZAPBf

/APB=/ACB,

：.ZACB<ZACB,

・・・OM与y釉相切与点C时，NAC8最大.

如图②，作连接OM、M4、MB,

YOM与》轴相切与点C,

：.ZOCM=90°,

'/A(1,0),B(5,0),

・・・A3=4,

：.AH=—AB=2

2f

・・・OH=1+2=3,

/.MC=MA=MB=3,

MH=V32-22=V5,

：.

：•t二

故选：c.

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直

接填写在答题卡相应位置上)

7.若三=4，则为"=.

y3y-3-

【分析】由三=3,可以假设x=2Z,y=3k,(ZWO)代入计算即可解决问题.

y3

解：•三="，

y3

,可以假设x=2Z,y=3k,(krO)

・一切2卜+3k5k5

y3k3k3

故答案为。■.

o

8.点C是线段AB的黄金分割点(AOBC),若AB=2cm,则AC=_(V5-IJcm.

【分析】根据黄金分割的定义得到AC=豆二A/1B,把AB=2CV/!代入计算即可.

2

解：•••点C是线段AB的黄金分割点(AOBC),

—1

・・.AC=^_

2

而AB=2cm,

.\AC=^-^~-X2=(A/R-1)cm.

2

故答案为(娓-1).

9.某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由4.86万辆提升至6万辆，设平均每次增产的

百分率是X,可列方程为4.86(l+x)』6.

【分析】设平均每次增产的百分率是x,那么第一次增产后的产量是原来的(1+x)倍，

那么第二次增产后的产量是原来的(1+x)2倍，根据题意列方程解答即可.

解：设平均每次增产的百分率是x,根据题意可得：

4.86(1+x)2=6.

故答案为：4.86(1+x)2=6.

10.一个圆锥的底面圆半径是1,母线长是3,沿着一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到

一个扇形，则这个扇形的圆心角度数为120°.

【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形

的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到然后解关于0的方程即可.

解：设扇形的圆心角为,

根据题意得史上3=2巾1,

180

解得9=120.

故答案为120.

11.将二次函数)，=/+2r-2的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位，得到的新图

象函数的表达式为y=(x+2)2-2或y=N+4x+2.

【分析】根据函数图象“左加右减，上加下减”可得答案.

解：由“左加右减，上加下减”知：将抛物线y=N+Zr-2=(x+1)2-3的图象向左平

移1个单位，再向上平移一个单位，则新的抛物线函数解析式为y=(x+1+l)2-3+1,

即y—(x+2)2-2或y=xi+^x+2.

故答案是：y—(x+2)2-2或y=/+4x+2.

12.有3个样本如图所示，关于它们的离散程度有下列几种说法：①样本1与样本3的离散

程度相同；②样本2的离散程度最小；③三组数据的离散程度从小到大依次为：样本2、

样本3、样本1.正确的序号为②③.

样本1:__-

159

样心：

~n67

样本3：i•一・，―••一

13579

【分析】根据离散程度的定义一一判断即可.

解：样本2的离散程度最小；三组数据的离散程度从小到大依次为：样本2、样本3、样

本1.

故②③正确，样本1的离散程度比样本3的离散程度大，故①错误，

故答案为：②③.

13.如图，AB是。。的直径，弦CDLAB于点E,若BE=5,CD=6,则0A长为3.4.

【分析】设OA=OC=r,在RtZ^OCE中，根据OGnEG+OE2,可得3=33+(5-r)2,

求出r,即可解决问题.

解：设OA=OC—OB—r,

'CABA.CD,

：.CE=DE=—CD=3,

2

在RtZSOCE中，00=£。+0口,

.•.3=33+(5-r)2,

；.OA=3.4,

14.分别以等边AABC的三个顶点为圆心，边长为半径画弧得到的曲边三角形叫莱洛三角

形.如图，等边AABC的边长为2“〃，则图中阴影部分的面积为(2TT-3^)cm1.

H

【分析】其面积=三块扇形的面积相加，再减去三个等边三角形的面积.

解：过A作ADLBC于

u：AB=AC=BC=2cm,ZBAC=ZABC=ZACB=60Q,

VAD1BC,

：・BD=CD=lcm,AD==yf^cm,

：./\ABC的面积为•|BC・AO=J5cm2,

S.c=60冗><22=全加2,

3603

•"•5HIB=3X-|-H-3X^/3=cm2,

故答案为：（2n-3«）.

15.如图，夜晚路灯下，小莉在点。处测得自己影长DE=4机，在点G处测得自己影长DG

=3w，E、。、G、B在同一条直线上.已知小莉身高为1.6〃?，则灯杆AB的高度为64

【分析】根据题意抽象出相似三角形，利用相似三角形的性质列式计算即可.

解：-：CD//AB,

:.△ECDSXEAB、

,CD_ED1.6_4

••—,La、|nJ—,

ABEBAB4+3+BG

YFG//AB,

:.ADFGSADAB,

嚼带喈w

4-3

,解得8G=9,

4+3+BG3+BG

.1.63

••~—，

AB3+9

.\AB=6A（加）,

即灯杆A8的高度为6.4九

故答案为：6.4.

16.ZVIBC中，AB=AC=]3,BC=24,点/是△ABC的内心，点。是△ABC的外心，则

01=14.3

【分析】设8C边的中点为。，连接A。，根据等腰三角形的性质得到AOLBC,/DAB

=ZCAD,得到内心/和外心。都在直线A£＞上，根据勾股定理得到AO=5,设aABC

的内切圆半径为广，外接圆半径为R，则/。=。/+0。，根据勾股定理列方程得到R=16.9,

求得。。=11.9,根据三角形的面积公式得到r=2.4,于是得到结论.

解：设BC边的中点为。，连接A。，

•：AB=AC=13,

：.ADLBC,ZDAB^ZCAD,

•.•点0为AABC的外心，点/为AABC的内心,

二内心/和外心O都在直线AD上，

•：AB=AC=\3,8c=24,

：.BD=CD=\2,

-'•AD=VAB2-BD2=5）

设△ABC的内切圆半径为r,外接圆半径为R,则/0=。/+。£),

连接OB,在RlZiODB中，OO=R-5,OB=R,DB=\2,

由勾股定理得(R-5)2+122=R2,

.*.7?=16.9,

.•.OO=AO-A£>=16.9-5=11.9,

VSAA«C=—(AB+BC+AC)-r,

22

.BOAD24X5120/)

,,AB+BC+AC13+24+135.'

.•.r=Z)/=2.4,

.\/O=£)/+OD=2.4+l1.9=14.3.

故答案为：14.3.

三、解答题(本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤)

17.解下列一元二次方程.

(1)/=-3x；

(2)/-4&X+8=0.

【分析】(1)先整理成一般式，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于

x的一元一次方程，分别求解即可得出答案；

(2)利用公式法求解即可.

解：(1)•.•/=-3x,

.•・N+3x=0,

Ax(x+3)=0,

/.x=0或x+3=0.

Axi=0,X2=-3；

(2)Viz=l,b=-4c=8,

△=b2-44c=0，

2

.r--b±Vb-4ac-啦±0

2a2

J.X\=X2=2&.

18.已知二次函数y=N-(〃计2)x+2〃？(m为常数).

(1)求证：不论切取何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点；

(2)若,"=0,当xVI时,y随尤的增大而减小.

【分析】(1)令)=0得到关于X的二元一次方程，然后证明A=〃-4ac20即可；

(2)根据二次函数的性质作答.

【解答】(1)证明：当y=0时，x2-(w+2)x+2m—0.

'."b2-4ac=(m+2)2-8m=(.m-2)2^0,

...方程总有两个实数根，

二该二次函数的图象与x轴总有公共点；

(2)解：若机=0,y=/-2x=(x-1)2-I.

所以该抛物线的顶点坐标是(1,-1).

由于4=1>0,

所以当x<l时，y随x的增大而减小.

故答案是：<1.

19.如图，表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距

离BC=lrn.已知某一时刻BC在地面的影长CN=1.5加，4c在地面的影长CM=45〃，

求窗户的高度.

【分析】阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线BN与

4E仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出AB的长，

即窗户的高度.

解：'：BN//AM,

：.NCBN=NA,NCNB=NM,

:./\CBNs丛CAM,

•NC=BC

••而一而‘

.1.5_1

•♦,一而‘

解得：CA—3(w),

AB=3-1=2(相),

答：窗户的高度为2m.

20.近日，“复旦学霸图书馆”新闻引发网友热议，其中，“风雨无阻爱学习”的潘同学一

年时间图书馆打卡301次，更是成为众多学子膜拜的对象.某大学图书馆为了更好服务

学子，对某周来馆人数进行统计，统计数据如下（单位：人）：

时间周一周二周三周四周五周六周日

人数65055071042065023203100

（1）该周到馆人数的平均数为1200人、众数为650人、中位数为650人;

（2）周一至周五到馆人数相差不多，用这五天的数据估算该周的平均数合适吗？为什

么？

（3）选择合适的数据，估算该校一个月的到馆人数（一个月按30天计）.

【分析】（1）分别利用平均数、众数、中位数的定义求解即可；

（2）由于周六、周日比周一至周五到馆人数多得多，所以用周一至周五这五天的数据估

算该周的平均数不合适；

（3）用该周到馆人数的平均数乘以30即可.

解：（1）该周到馆人数的平均数为：—X（650+550+710+420+650+2320+3100）=1200

7

（人），

众数为650人，中位数为650人，

故答案为：1200,650,650；

（2）由于周六、周日比周一至周五到馆人数多得多，所以用周一至周五这五天的数据估

算该周的平均数不合适；

（3）估算该校一个月的到馆人数为：1200X30=36000（人）.

21.“三孩”政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划（假定生男生女的概率相同）：

（1）甲家庭已有一个男孩和一个女孩，准备再生一个孩子，则第三个孩子是男孩的概率

是4；

~2-

（2）乙家庭没有孩子，准备生三个孩子，求至少有两个孩子是女孩的概率.

【分析】（1）直接根据概率公式可得答案；

（2）画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出至少有两个孩子是女孩的结果数，

然后根据概率公式求解.

解：⑴第三个孩子是男孩的概率为焉;

故答案为，■;

（2）画树状图为：

男女

共有8种等可能的结果数，其中至少有两个孩子是女孩的结果数为4,

A1

所以至少有两个孩子是女孩的概率为

82

22.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=O（a、b、c是常数,a^O）的两个实数根分别

、、be

为XI,X2,证明：Xl+X2=---，XI•X2=—.

aa

【分析】利用求根公式表示出方程的两个根，进而求出两根之和与两根之积，即可即可

得证.

【解答】证明：•.•关于X的一元二次方程以2+法+c=0（以b、C是常数，4/0）的两个

实数根分别为M，X2,

‘当按时,X尸土近工Z,片土近五

2a2a

则盯+犯=_b+Vb2_4ac+-b-JbZ-dac=-b+Vb2_4ac_bRb2_4ac-

'2^2^2^2a

b

—，

a

22

Xl.x,=-b+7b-4ac.-b-Vb-4ac_（»）2-«b2-4ac）2_b2-（b2-4ac）_

2a2a4a4a

4acc

23.图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽45.以。为原点，OA所在直线为

x轴建立直角坐标系，若点P的坐标为（3,2）.

（1）求拱桥所在抛物线的函数表达式；

（2）因降暴雨水位上升1m此时水面宽为多少？（结果保留根号）

【分析】(1)根据题意和图象，可以设二次函数的交点式，然后将点P(3,2)代入求

出。的值，即可写出该抛物线的解析式；

(2)将)，=1代入(1)中的函数解析式，求出相应的x的值，然后作差，即可得到因降

暴雨水位上升1/M,此时水面宽.

解：(1)设拱桥所在抛物线的函数表达式为y=ax(x-4),

•.•点P(3,2)在该函数图象上，

；.2=3。(3-4),

解得〃=-£，

；.y=--x(x-4)=-—x2+—x,

333

即拱桥所在抛物线的函数表达式是y=-

(2)当y=l时，

.2.8

1----x2+—x

33f

解得X产生叵，X2二处国，

22__

..4+V10_4-V~m_4+77^-4+VI3_2Vm_r-

2~~222--V1U，

因降暴雨水位上升1m,此时水面宽为

24.如图，AB是。。的弦，AC是。0的切线，AB=AC,8c交。0于点。，E是源的中点.

(1)求证：NC=NE；

(2)判断四边形ACOE的形状，并说明理由.

AE

【分析】(1)根据等腰三角形的性质和圆周角定理可得结论;

(2)如图，连接40,连接4。并延长，交于点F,连接。F,分别证明OE〃4C,

AE//BC,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得结论.

【解答】(1)证明：,・・A3=AC,

:・/B=NC.

•AD=AD,

:./B=NE,

・・・NC=N£；

(2)解：四边形ACQE是平行四边形，理由如下:

如图，连接A。，连接AO并延长，交OO于点尸，连接OF,

TA尸是直径，

,/ADF=90°,

：.ZF+ZDAF=90°.

〈AC是。。的切线，A是切点，

：.ZCAF=90°.

・・・NCAD+NOA尸=90°.

：.ZCAD=ZF,

•・・N8和/尸都是众所对的圆周角,

：.ZB=ZF.

：.ZB=ZC=ZCAD=ZF.

•・・E是的中点，

二金=筋，

・・・/ADE=/EDB.

丁NAO8是△AOC的外角，

I.NADB=/C+/CAD=2NEDB.

:./EDB=/C.

：.DE//AC.

•:/E=/B.

：.ZC=NB=NEDB=NE,

J.AE//BC,

・.,AC〃ED,

・・・四边形ACDE是平行四边形.

25.定义：我们把三边之比为1：M：、石的三角形叫做奇妙三角形.

（1）初步运用

如图是7X2的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）,请分别在图①、图②中画出

顶点在格点上最小、最大的奇妙三角形；

所画三角形中最大内角度数为135°.

（2）再思探究

如图③，点4为坐标原点，点C坐标（2,2）,点。坐标（7,1）,在坐标平面上取一

点B（机，2）,使得AB平分/CAD,直接写出机的值并说明理由.

图1用2,

>'A

国a

【分析】（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形；直接利用相似三角形的

判定与性质得出尾翼三角形的最大角；

（2）相=4,利用网格结合勾股定理求出△ABC和△AOB各边的长.证明△ABCsaAOB,

直接利用相似三角形的性质即可得出结论.

解：（1）如图所示：

图①图②

由网格可得:

DE=1,EF=^12+12=V2)DF=V12+22=V5>

:.DE：EF：DF=T：&：娓,

.♦.△OEF的三边比为1：&：娓,

Afi=V32+l2=\^0,8C="+22=2诟AC=V12+72=5V2>

/•AB：BC：AC=1：yfo.*

•••△ABC的三边比为1：加：娓,

：.△AOCs"c&

:・/DEF=ZABC9

：.ZDEF=ZABC=45°+90°=135°.

故答案为：135；

(2)加=4,

BC=2,AC=^22+22=2V2>42+22=2V5,

BC：AC：AB—1：->y2：

.•.△ABC的三边比为1：J，：、而，

由网格可得：

80=正2+]2=技，AB=3+22=2而,12+72=5V2>

/.BD：AB：AD—1：y1Q.'

.•.△AOB的三边比为1：&：辰,

：.4BAC=NDAB,

平分NCAD

26.某商店销售甲、乙两种礼品，每件利润分别为20元、10元，每天卖出件数分别为40

件、80件.为适应市场需求，该店决定降低甲种礼品的售价，同时提高乙种礼品的售价.售

卖时发现，甲种礼品单价每降1元可多卖4件，乙种礼品单价每提高1元就少卖2件.若

每天两种礼品共卖出140件，则每天销售的最大利润是多少？

（1）分析：设甲种礼品每件降低了x元，填写下表（用含x的式子表示，并化简）；

调价后的每件利润调价后的销售量

甲种礼品20-x(4()+公)

乙种礼品2x(100-4x)

（2）解答：

【分析】（1）利用调价后甲种礼品每天的销售量=40+4X甲种礼品每件降低的价格，可

用含x的代数式表示出调价后甲种礼品的每天销售量，结合每天两种礼品共卖出140件,

可用含X的代数式表示出调价后乙种礼品每天的销售量，再利用调价后每件乙种礼品的

利润=10+(80-乙种礼品每天的销售量)+2,即可用含x的代数式表示出调价后每件

乙种礼品的利润；

(2)设每天的销售利润为y元，利用每天的销售利润=每件甲种礼品的销售利润X甲种

礼品的日销售量+每件乙种礼品的销售利润X乙种礼品的日销售量，即可得出y关于x的

函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题.

解：(1)•.•商店原来每天可售出甲种礼品40件，甲种礼品单价每降I元可多卖4件，

且甲种礼品每件降低了x元，

,每天销售甲种礼品(40+4x)件，

又•••每天两种礼品共卖出140件，

每天销售乙种礼品140-(40+4%)=(100-4%)件.

•.•商店原来每天可售出乙种礼品80件，乙种礼品单价每提高1元就少卖2件，且乙种礼

品每天的销售量为(100-4x)件，

乙种礼品单价提高8cH(=⑵一io)元，

•••调价后每件乙种礼品的利润为10+(2x-10)=2%元.

故答案为：(40+4x)；2%；(100-4%).

(2)设每天的销售利润为y元，则丫=(20-x)(40+4x)+2x(100-4x),

即)=-12(x-10)2+2000,

：-12<0,

.•.当x=10时，y取得最大值，最大值为2000.

答：每天销售的最大利润是2000元.

27.问题呈现：探究二次函数y=-x(x-3)+小(其中0WxW3,〃，为常数)的图象与一次

函数y=x+2的图象公共点.

问题解决：

(1)问题可转化为：二次函数)，=7(x-3)(0WxW3)的图象与一次函数y=x+2

的图象的公共点.

(2)在下列平面直角坐标系中画出>=-x(x-3)(0WxW3)的图象.

(3)请结合(2)中图象，就优的取值范围讨论两个图象公共点的个数.

问题拓展：若二次函数尸(其中方金哼〃?为常数)的图象与一次函数尸-

2x+2的图象有两个公共点，则m的取值范围为1<〃?W芸.

0x

【分析】⑴二次函数y=-x(x-3)+m(0«3)与一次函数y=x+2的公共点可

转化为方程-x(x-3)+/n=x+2有实数根，可转化为方程-x(%-3)=x+2-«i有实数

根，即二次函数产7(x-3)(0WxW3)的图象与一次函数)，=尤+2-,〃的图象的有公

共点.

(2)由题意可知，y=-x(%-3)(0WxW3)与x轴的交点为(0,0)和(3,0),定

点为(1.5,2.25),由此可得函数图象；

(3)函数y=x+2-/n的图象，随着，”的值的变化，从下往上开始运动，画出图象，根

据量图象的交点可得结论；

1R

(4)将二次函数y=(其中巾为常数)的图象与一次函数y=-2r+2

的图象有两个公共点转化为：二次函数y