北京市2022-2023学年北师大版八年级上册数学期末典型试卷2

2022-2023学年上学期北京八年级初中数学期末典型试卷2一．选择题（共10小题）1．（2021秋•顺义区期末）在下列长度的四根木棒中，能与3cm，9cm的两根木棒首尾顺次相接钉成一个三角形的是（）A．3cm B．6cm C．10cm D．12cm2．（2021秋•西城区期末）在△ABC中，作出AC边上的高，正确的是（）A． B． C． D．3．（2021秋•东城区期末）如图，∠A＝∠D＝90°，AC，BD相交于点O．添加一个条件，不一定能使△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB4．（2021秋•东城区校级期末）根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（）A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 B．∠A＝30°，AB＝5，BC＝3 C．∠B＝60°，AB＝6，BC＝10 D．∠C＝90°，AB＝5，BC＝35．（2021秋•顺义区期末）如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（）A．1 B．3 C．5 D．76．（2021秋•昌平区期末）如图垃圾分类的标识中，是轴对称图形的是（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④7．（2022春•门头沟区期末）下面从左到右的变形，进行因式分解正确的是（）A．﹣2x2+4xy＝﹣2x（x﹣2y） B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 C．x2+4x﹣4＝（x+2）2 D．x2+16＝（x+4）28．（2022春•平谷区期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．x（x+y）＝x2+xy B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 C．x2+x+1＝x（x+1）+1 D．x2+2x+1＝（x+1）29．（2021秋•怀柔区期末）雾是由悬浮在大气中微小液滴构成的气溶胶，雾滴的直径多为0.000004m～0.00003m．其中，0.000004用科学记数法表示为（）A．4×106 B．4×107 C．4×10﹣6 D．4×10﹣710．（2021秋•门头沟区期末）如果分式x-3x+1的值等于0，那么xA．x＝﹣1 B．x＝3 C．x≥﹣1 D．x≠3二．填空题（共10小题）11．（2022春•东城区校级期末）如图，△ABC中AD，BE分别是△ABC的高和角平分线，若∠C＝70°，∠AEB＝95°，则∠BAD＝°．12．（2022春•昌平区期末）我们在生活中经常见到如图所示的电动伸缩门，它能伸缩是利用了四边形的．13．（2021秋•丰台区期末）如图是两个全等的三角形，图中字母表示三角形的边长，则∠1的度数为．14．（2021秋•怀柔区期末）已知：如图，AB＝DB．只需添加一个条件即可证明△ABC≌△DBC．这个条件可以是．（写出一个即可）15．（2021秋•怀柔区期末）如图，∠MOP＝60°，OM＝5，动点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线OP运动．设点N的运动时间为t秒，当△MON是锐角三角形时，t满足的条件是．16．（2021秋•西城区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2．D为BC上一动点，连接AD，AD的垂直平分线分别交AC，AB于点E，F，则线段BF长的最大值是．17．（2022春•昌平区期末）已知2x＝8，2y＝4，则2x﹣y＝．18．（2022春•昌平区期末）计算：（16m2+8m）÷8m＝．19．（2021秋•北京期末）“有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁．”快速发展的中国高速铁路，正改变着中国人的出行方式．表格是从北京到上海的两次列车的相关信息：出行方式出发站﹣到达站路程平均速度特快列车T109北京﹣上海全程1463km98km/h高铁列车G27北京南﹣上海虹桥全程1325kmxkm/h已知从北京到上海乘坐G27次高铁列车比T109次特快列车用时少10小时26分钟．设G27次高铁列车的平均速度为xkm/h，根据题意可列方程为．20．（2021秋•石景山区期末）若x2+x﹣3＝0，则代数式(x-1x)⋅x2三．解答题（共10小题）21．（2021秋•北京期末）列方程解应用题：“共和国勋章”获得者，“杂交水稻之父”袁隆平院士一生致力于提高水稻的产量，为解决人类温饱问题做出了巨大贡献．某农业基地现有A，B两块试验田，A块种植普通水稻，B块种植杂交水稻．已知杂交水稻的亩产量是普通水稻亩产量的1.8倍，A块试验田种植面积比B块试验田多5亩，两块试验田的总产量都是6750千克．求杂交水稻的亩产量是多少千克？22．（2021秋•怀柔区期末）-2a23．（2022春•门头沟区期末）学完因式分解后，小亮同学总结出了因式分解的流程图，如图，下面是小亮同学的因式分解过程：2x2﹣12xy+18y2＝2（x2﹣6xy+9y2）①＝2[x2﹣2•x•3y+（3y）2]②＝③回答下面的问题：（1）①完成了流程图的第步；（2）②完成了流程图的第步；（3）将③的结果写在横线上．24．（2022春•平谷区期末）因式分解（1）ax2﹣ay2；（2）2x2+4x+2．25．（2021秋•丰台区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E．如果BD＝2，求DE的长．26．（2021秋•怀柔区期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，连接BD．若∠A＝100°，∠ABD＝22°，求∠C的度数．27．（2021秋•延庆区期末）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，AC=5，BD＝2求线段DF的长度．28．（2021秋•朝阳区期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，BF＝CE．求证：AC＝DF．29．（2022春•东城区期末）如图，AC平分∠DAB，且∠DAB+∠D＝180°，点E在射线BC上．若∠B＝95°，∠CAD＝25°，求∠DCA和∠DCE的度数．30．（2021秋•门头沟区期末）如图，在三角形△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点P．（1）当∠A＝60°时，求∠BPC的度数；（提示：三角形内角和180°）；（2）当∠A＝α°时，直接写出∠A与∠BPC的数量关系．

2022-2023学年上学期北京八年级初中数学期末典型试卷2参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2021秋•顺义区期末）在下列长度的四根木棒中，能与3cm，9cm的两根木棒首尾顺次相接钉成一个三角形的是（）A．3cm B．6cm C．10cm D．12cm【考点】三角形三边关系．【专题】三角形；推理能力．【分析】根据三角形的三边关系易得第三边的取值范围，看选项中哪个在范围内即可．【解答】解：设第三边为ccm，则3+9＞c＞9﹣3，即12＞c＞6．只有10cm符合要求．故选：C．【点评】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．2．（2021秋•西城区期末）在△ABC中，作出AC边上的高，正确的是（）A． B． C． D．【考点】三角形的角平分线、中线和高．【专题】三角形；几何直观．【分析】根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可．【解答】解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D，纵观各图形，D选项符合高线的定义，故选：D．【点评】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．3．（2021秋•东城区期末）如图，∠A＝∠D＝90°，AC，BD相交于点O．添加一个条件，不一定能使△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB【考点】全等三角形的判定．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】当增加条件AB＝DC，由HL即可证明Rt△ABC≌Rt△DCB；当增加条件∠ABC＝∠DCB或OB＝OC时，由AAS即可证明△ABC≌△DCB，进而可判定求解．【解答】解：当增加AB＝DC时，在Rt△ABC和Rt△DCB中，BC＝CB，AB＝DC，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），故A选项不符合题意；当增加OB＝OC时，可得∠ACB＝∠DBC，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DBC，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（AAS），故B选项不符合题意；当增加∠ABO＝∠DCO时，无相等边存在，故无法证明△ABC≌DCB，故C选项符合题意；当增加条件∠ABC＝∠DCB时，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（AAS），故D选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．4．（2021秋•东城区校级期末）根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（）A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 B．∠A＝30°，AB＝5，BC＝3 C．∠B＝60°，AB＝6，BC＝10 D．∠C＝90°，AB＝5，BC＝3【考点】全等三角形的判定．【专题】图形的全等；几何直观；推理能力．【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4，符合全等三角形的判定定理ASA，能画出唯一的△ABC，故本选项不符合题意；B．∠A＝30°，AB＝5，BC＝3，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的△ABC，故本选项符合题意；C．∠B＝60°，AB＝6，BC＝10，符合全等三角形的判定定理SAS，能画出唯一的△ABC，故本选项不符合题意；D．∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，符合全等直角三角形的判定定理HL，能画出唯一的△ABC，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．5．（2021秋•顺义区期末）如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（）A．1 B．3 C．5 D．7【考点】等腰三角形的判定；线段垂直平分线的性质．【专题】分类讨论；推理能力．【分析】分三种情况，AP＝AC，CA＝CP，PA＝PC．【解答】解：分三种情况：如图：当AP＝AC时，以A为圆心，AC长为半径画圆，交直线l于点P1，P2，当CA＝CP时，以C为圆心，CA长为半径画圆，交直线l于点P3，P4，当PA＝PC时，作AC的垂直平分线，交直线l于点P5，∵直线l是边AB的垂直平分线，∴直线l上任意一点（与AB的交点除外）与AB构成的三角形均为等腰三角形，∴满足条件的点P的个数共有5个，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，分三种情况讨论是解题的关键．6．（2021秋•昌平区期末）如图垃圾分类的标识中，是轴对称图形的是（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【考点】轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：③④能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，②③不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．7．（2022春•门头沟区期末）下面从左到右的变形，进行因式分解正确的是（）A．﹣2x2+4xy＝﹣2x（x﹣2y） B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 C．x2+4x﹣4＝（x+2）2 D．x2+16＝（x+4）2【考点】因式分解﹣运用公式法；因式分解﹣提公因式法．【专题】整式；运算能力．【分析】利用提公因式法，公式法进行分解，逐一判断即可解答．【解答】解：A、﹣2x2+4xy＝﹣2x（x﹣2y），故A符合题意；B、（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，是整式乘法，不是因式分解，故B不符合题意；C、x2+4x+4＝（x+2）2，故C不符合题意；D、x2+8x+16＝（x+4）2，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，运用公式法，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．8．（2022春•平谷区期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．x（x+y）＝x2+xy B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 C．x2+x+1＝x（x+1）+1 D．x2+2x+1＝（x+1）2【考点】因式分解的意义．【专题】整式；运算能力．【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A．从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；B．从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；C．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；D．符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．9．（2021秋•怀柔区期末）雾是由悬浮在大气中微小液滴构成的气溶胶，雾滴的直径多为0.000004m～0.00003m．其中，0.000004用科学记数法表示为（）A．4×106 B．4×107 C．4×10﹣6 D．4×10﹣7【考点】科学记数法—表示较小的数．【专题】实数；数感．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：0.000004＝4×10﹣6．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．10．（2021秋•门头沟区期末）如果分式x-3x+1的值等于0，那么xA．x＝﹣1 B．x＝3 C．x≥﹣1 D．x≠3【考点】分式的值为零的条件．【专题】分式；运算能力．【分析】根据分式的值为0的条件即可得出答案．【解答】解：根据题意得x﹣3＝0，x+1≠0，∴x＝3，故选：B．【点评】本题考查了分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0是解题的关键．二．填空题（共10小题）11．（2022春•东城区校级期末）如图，△ABC中AD，BE分别是△ABC的高和角平分线，若∠C＝70°，∠AEB＝95°，则∠BAD＝40°．【考点】三角形内角和定理．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．【分析】由平角的定义可求解∠BEC的度数，根据三角形的内角和定理可求解∠CBE的度数，结合角平分线的定义求得∠ABC的度数，再根据高线的定义可得∠ADB＝90°，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．【解答】解：∵∠AEB＝95°，∴∠BEC＝180°﹣95°＝85°，∵∠BEC+∠CBE+∠BCE＝180°，∠C＝70°，∴∠CBE＝180°﹣70°﹣85°＝25°，∵BE是∠ABC平分线，∴∠ABC＝2∠CBE＝50°，∵AD是高线，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°﹣90°﹣50°＝40°，故答案为：40．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是解题的关键．12．（2022春•昌平区期末）我们在生活中经常见到如图所示的电动伸缩门，它能伸缩是利用了四边形的不稳定性．【考点】多边形；三角形的稳定性．【专题】多边形与平行四边形；应用意识．【分析】四边形具有不稳定性，易变形，电动伸缩们是利用了这一特性．【解答】解：电动伸缩门，它能伸缩是利用了四边形的不稳定性．故答案为：不稳定性．【点评】本题考查了四边形的不稳定性，四边形的不稳定性运用比较广泛，伸缩门的制作运用了四边形的不稳定性．13．（2021秋•丰台区期末）如图是两个全等的三角形，图中字母表示三角形的边长，则∠1的度数为70°或60°．【考点】全等三角形的性质．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】根据三角形内角和定理求出∠2，根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：由三角形内角和定理得，∠2＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∵两个三角形全等，∴∠1＝∠2＝70°，或∠1＝60°，故答案为：70°或60°．【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解本题的关键．14．（2021秋•怀柔区期末）已知：如图，AB＝DB．只需添加一个条件即可证明△ABC≌△DBC．这个条件可以是AC＝DC（答案不唯一）．（写出一个即可）【考点】全等三角形的判定．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．【解答】解：添加的条件是AC＝DC，理由是：在△ABC和△DBC中，AB=DBBC=BC∴△ABC≌△DBC（SSS），故答案为：AC＝DC（答案不唯一）．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．15．（2021秋•怀柔区期末）如图，∠MOP＝60°，OM＝5，动点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线OP运动．设点N的运动时间为t秒，当△MON是锐角三角形时，t满足的条件是52＜t＜10【考点】含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】根据题意画出点D和点E，根据含30°角的直角三角形的性质求出OD和OE，再得出答案即可．【解答】解：如图，①当N点与D重合时，△MON是直角三角形，此时∠MNO＝90°，∵∠MOP＝60°，∴∠DMO＝30°，∴OD=12OM=1②当N与E重合时，△MON是直角三角形，此时∠NMO＝90°，∵∠MOP＝60°，∴∠OEM＝30°，∵OM＝5，∴OE＝2OM＝10，当N在线段DE上时，△MON是锐角三角形，此时t满足的条件是52＜t＜故答案为：【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，能熟记在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半是解此题的关键．16．（2021秋•西城区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2．D为BC上一动点，连接AD，AD的垂直平分线分别交AC，AB于点E，F，则线段BF长的最大值是83【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】过点F作FH⊥BC于H，连接DF，设AF＝x，则BF＝4﹣x，结合含30°角的直角三角形的性质可得关于x的不等式，计算可求解AF的最小值，进而可求得BF的最大值．【解答】解：过点F作FH⊥BC于H，连接DF，设AF＝x，则BF＝4﹣x，∵∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝2，∴AB＝4，∴FH=12BF＝2-∴x≥2-12解得x≥4∴AF最小值为43，BF的最大值为4-故答案为：83【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、30°角所对直角边是斜边的一半以及圆与直线的位置关系，将BF的最大值转化为AF最小是解决本题的关键，属于压轴题．17．（2022春•昌平区期末）已知2x＝8，2y＝4，则2x﹣y＝2．【考点】同底数幂的除法．【专题】整式；运算能力．【分析】根据同底数幂的除法法则解答即可．【解答】解：∵2x＝8，2y＝4，∴2x﹣y＝2x÷2y＝8÷4＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了同底数幂的除法的逆用，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．18．（2022春•昌平区期末）计算：（16m2+8m）÷8m＝2m+1．【考点】整式的除法．【专题】整式；运算能力．【分析】应用整式的除法法则进行计算即可得出答案．【解答】解：原式＝2m+1．故答案为：2m+1．【点评】本题主要考查了整式的除法，熟练掌握整式的除法法则进行求解是解决本题的关键．19．（2021秋•北京期末）“有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁．”快速发展的中国高速铁路，正改变着中国人的出行方式．表格是从北京到上海的两次列车的相关信息：出行方式出发站﹣到达站路程平均速度特快列车T109北京﹣上海全程1463km98km/h高铁列车G27北京南﹣上海虹桥全程1325kmxkm/h已知从北京到上海乘坐G27次高铁列车比T109次特快列车用时少10小时26分钟．设G27次高铁列车的平均速度为xkm/h，根据题意可列方程为146398-1325x【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；应用意识．【分析】设G27次高铁列车的平均速度为xkm/h，根据从北京到上海乘坐G27次高铁列车比T109次特快列车用时少10小时26分钟列方程，即可得到结论．【解答】解：设G27次高铁列车的平均速度为xkm/h，根据题意可列方程为146398-1325故答案为：146398-1325【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确地理解题意，列出分式方程是解题的关键．20．（2021秋•石景山区期末）若x2+x﹣3＝0，则代数式(x-1x)⋅x2【考点】分式的化简求值．【专题】整体思想；分式；运算能力．【分析】先根据分式的减法运算以及乘法运算进行化简，然后将x2+x＝3代入化简后的式子即可求出答案．【解答】解：原式=x2=(x+1)(x-1)x•＝x（x+1）＝x2+x，∵x2+x﹣3＝0，∴x2+x＝3，∴原式＝3．故答案为：3【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的减法运算以及乘法运算，本题属于基础题型．三．解答题（共10小题）21．（2021秋•北京期末）列方程解应用题：“共和国勋章”获得者，“杂交水稻之父”袁隆平院士一生致力于提高水稻的产量，为解决人类温饱问题做出了巨大贡献．某农业基地现有A，B两块试验田，A块种植普通水稻，B块种植杂交水稻．已知杂交水稻的亩产量是普通水稻亩产量的1.8倍，A块试验田种植面积比B块试验田多5亩，两块试验田的总产量都是6750千克．求杂交水稻的亩产量是多少千克？【考点】分式方程的应用．【专题】分式方程及应用；运算能力；推理能力；应用意识．【分析】设普通水稻亩产量为x千克，则杂交水稻的亩产量是1.8x千克，由题意：A块试验田种植面积比B块试验田多5亩，两块试验田的总产量都是6750千克．列出分式方程，解方程即可．【解答】解：设普通水稻亩产量为x千克，则杂交水稻的亩产量是1.8x千克，根据题意，得：6750x-解得：x＝600，经检验：x＝600是所列方程的解，且符合题意，则1.8x＝1.8×600＝1080，答：杂交水稻的亩产量是1080千克．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22．（2021秋•怀柔区期末）-2a【考点】分式的基本性质．【专题】分式；运算能力．【分析】根据分式的基本性质变形即可．【解答】解：-2a故答案为：﹣b2．【点评】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．23．（2022春•门头沟区期末）学完因式分解后，小亮同学总结出了因式分解的流程图，如图，下面是小亮同学的因式分解过程：2x2﹣12xy+18y2＝2（x2﹣6xy+9y2）①＝2[x2﹣2•x•3y+（3y）2]②＝2（x﹣3y）2③回答下面的问题：（1）①完成了流程图的第三步；（2）②完成了流程图的第四步；（3）将③的结果写在横线上2（x﹣3y）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解；运算能力．【分析】（1）观察①，结合流程图判断即可；（2）观察②，结合流程图判断即可；（3）利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）①完成了流程图的第三步；故答案为：三；（2）②完成了流程图的第四步；故答案为：四；（3）③的结果为2（x﹣3y）2．故答案为：2（x﹣3y）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．24．（2022春•平谷区期末）因式分解（1）ax2﹣ay2；（2）2x2+4x+2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解；运算能力．【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝a（x2﹣y2）＝a（x+y）（x﹣y）；（2）原式＝2（x2+2x+1）＝2（x+1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．25．（2021秋•丰台区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E．如果BD＝2，求DE的长．【考点】含30度角的直角三角形；平行线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据三角形的内角和得到∠B＝60°，根据含30度角的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，AB＝2BC，∵CD⊥AC，∴∠A＝∠DCB＝30°，∴BC＝2BD＝4，∴AB＝2BC＝8，∴AD＝AB﹣BD＝8﹣2＝6，∵∠ACB＝90°，DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB＝90°，∵∠A＝30°∴DE=12AD＝【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．26．（2021秋•怀柔区期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，连接BD．若∠A＝100°，∠ABD＝22°，求∠C的度数．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】根据线段垂直平分线的性质得出DB＝DC，根据等腰三角形的性质得出∠DBC＝∠C，根据三角形外角性质求出∠BDC＝∠A+∠ABD＝122°，再根据三角形内角和定理求出答案即可．【解答】解：∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC，∴∠DBC＝∠C，∵∠A＝100°，∠ABD＝22°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝122°，∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴∠C=180°-∠BDC2【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质等知识点，能熟记垂直平分线的性质是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．27．（2021秋•延庆区期末）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，AC=5，BD＝2求线段DF的长度．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】证△ADC≌△BDF（ASA），得AC＝BF=5，再由勾股定理求出DF【解答】解：∵AD和BE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEC＝90°．∴∠C+∠DAC＝90°，∠C+∠DBF＝90°，∴∠DAC＝∠DBF，∵∠ABC＝45°，∴∠DAB＝45°．∴∠ABC＝∠DAB．∴DA＝DB，在△ADC与△BDF中，∠ADC=∴△ADC≌△BDF（ASA），∴AC＝BF=5在Rt△BDF中，∠BDF＝90°，∴DF=BF【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．28．（2021秋•朝阳区期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，BF＝CE．求证：AC＝DF．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】由“SAS”可证△ABC≌△DEF，可得AC＝DF．【解答】证明：∵BF＝CE，∴BF+CF＝CE+CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，AB=DE∠B=∠E∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AC＝DF．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．29．（2022春•东城区期末）如图，AC平分∠DAB，且∠DAB+∠D＝180°，点E在射线BC上．若∠B＝95°，∠CAD＝25°，求∠DCA和∠DCE的度数．【考点】三角形内角和定理；平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．【分析】由同旁内角互补，两直线平行得CD∥AB，则有∠DCE＝∠B＝95°，再由角平分线的定义得∠CAB＝∠CAD＝25°，∠DAB＝2∠CAD＝50°，则要求∠D的度数，再由三角形的内角和定理可求∠DCA的度数．【解答】解：∵∠DAB+∠D＝180°，∴CD∥AB，∴∠DCE＝∠B＝95°，∵∠CAD＝25°，AC平分∠DAB，∴∠CAB＝∠CAD＝25°，∠DAB＝2∠CAD＝50°，∴∠D＝180°﹣∠DAB＝130°，∴∠DCA＝180°﹣∠D﹣∠CAD＝25°．【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．30．（2021秋•门头沟区期末）如图，在三角形△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点P．（1）当∠A＝60°时，求∠BPC的度数；（提示：三角形内角和180°）；（2）当∠A＝α°时，直接写出∠A与∠BPC的数量关系．【考点】三角形内角和定理．【专题】三角形；推理能力．【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠BPC即可解决问题；（2）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠BPC即可解决问题．【解答】解：（1）∵∠A＝60°．∴∠ABC+∠ACB＝120°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠BPC＝180°-12（∠ABC+∠ACB）＝180°-12（2）∵∠A＝α°．∴∠ABC+∠ACB＝（180﹣α）°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠BPC＝180°-12（∠ABC+∠ACB）＝180°-12（180°﹣α°）＝【点评】本题考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质是解题的关键．

考点卡片1．科学记数法—表示较小的数用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律x的取值范围表示方法a的取值n的取值|x|≥10a×10n1≤|a|＜10整数的位数﹣1|x|＜1a×10﹣n第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）2．同底数幂的除法同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．3．整式的除法整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．4．因式分解的意义1、分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．5．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．6．因式分解-运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2、概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．7．提公因式法与公式法的综合运用提公因式法与公式法的综合运用．8．分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．9．分式的基本性质（1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．（2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．10．分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．11．由实际问题抽象出分式方程由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．12．分式方程的应用1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．13．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．14．平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．15．三角形的角平分线、中线和高（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．16．三角形的稳定性当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．17．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．18．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据