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文档简介

2023-2024学年山东省青岛市即墨区第二十八中学中考联考数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.如图,已知二次函数y=ax2+bx的图象与正比例函数y=kx的图象相交于点A(1,2),有下面四个结论:①ab>0;②a﹣b>﹣;③sinα=;④不等式kx≤ax2+bx的解集是0≤x≤1.其中正确的是()A.①② B.②③ C.①④ D.③④2.如图所示的正方体的展开图是()A. B. C. D.3.的相反数是()A. B.﹣ C.﹣ D.4.如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则周长的最小值为A.6 B.8 C.10 D.125.下列各数中比﹣1小的数是()A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.16.下列四个实数中,比5小的是()A. B. C. D.7.如图是几何体的俯视图,所表示数字为该位置小正方体的个数,则该几何体的正视图是()A. B. C. D.8.观察下列图中所示的一系列图形,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第2019个图形共有()个〇.A.6055 B.6056 C.6057 D.60589.“辽宁号”航母是中国海军航空母舰的首舰,标准排水量57000吨,满载排水量67500吨,数据67500用科学记数法表示为A.675×102 B.67.5×102 C.6.75×104 D.6.75×10510.有理数a、b在数轴上的位置如图所示,则下列结论中正确的是()A.a+b>0 B.ab>0 C.a﹣b<o D.a÷b>011.如图,二次函数y=ax1+bx+c(a≠0)的图象与x轴正半轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,对称轴为直线x=1,且OA=OC.则下列结论:①abc>0;②9a+3b+c>0;③c>﹣1;④关于x的方程ax1+bx+c=0(a≠0)有一个根为﹣;⑤抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x1,y1),若x1<1<x1,且x1+x1>4,则y1>y1.其中正确的结论有()A.1个 B.3个 C.4个 D.5个12.已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量),当x≥2时,y随x的增大而增大,且−2≤x≤1时,y的最大值为9,则a的值为A.1或−2B.−2或2C.2D.1二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D,DE平分∠BDC交BC于点E,则=.14.《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是______步.15.如果一个正多边形的中心角等于,那么这个正多边形的边数是__________.16.数据5,6,7,4,3的方差是.17.函数的图象不经过第__________象限.18.如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△ADC的面积为1,则△BCD的面积为_____.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(6分)如图,已知等腰三角形ABC的底角为30°,以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D,过D作DE⊥AC,垂足为E.证明:DE为⊙O的切线;连接OE,若BC=4,求△OEC的面积.20.(6分)在平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为,点N的坐标为,且,,我们规定:如果存在点P,使是以线段MN为直角边的等腰直角三角形,那么称点P为点M、N的“和谐点”.(1)已知点A的坐标为,①若点B的坐标为,在直线AB的上方,存在点A,B的“和谐点”C,直接写出点C的坐标;②点C在直线x=5上,且点C为点A,B的“和谐点”,求直线AC的表达式.(2)⊙O的半径为r,点为点、的“和谐点”,且DE=2,若使得与⊙O有交点,画出示意图直接写出半径r的取值范围.21.(6分)如图,已知抛物线与轴交于两点(A点在B点的左边),与轴交于点.(1)如图1,若△ABC为直角三角形,求的值;(2)如图1,在(1)的条件下,点在抛物线上,点在抛物线的对称轴上,若以为边,以点、、、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点的坐标;(3)如图2,过点作直线的平行线交抛物线于另一点,交轴于点,若﹕=1﹕1.求的值.22.(8分)计算:.先化简,再求值:,其中.23.(8分)如图,已知:△ABC中,AB=AC,M是BC的中点,D、E分别是AB、AC边上的点,且BD=CE.求证:MD=ME.24.(10分)如图,AB是⊙O直径,BC⊥AB于点B,点C是射线BC上任意一点,过点C作CD切⊙O于点D,连接AD.求证:BC=CD;若∠C=60°,BC=3,求AD的长.25.(10分)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D(4,-2(1)求抛物线的表达式.(2)如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动,同时点Q由点B出发,沿BC边以1cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设S=PQ2(cm2).①试求出S与运动时间t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;②当S取54(3)在抛物线的对称轴上求点M,使得M到D、A的距离之差最大,求出点M的坐标.26.(12分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2cm,AB=4cm,动点P从点C出发,在BC边上以每秒cm的速度向点B匀速运动,同时动点Q也从点C出发,沿C→A→B以每秒4cm的速度匀速运动,运动时间为t秒,连接PQ,以PQ为直径作⊙O.(1)当时,求△PCQ的面积;(2)设⊙O的面积为s,求s与t的函数关系式;(3)当点Q在AB上运动时,⊙O与Rt△ABC的一边相切,求t的值.27.(12分)“中国制造”是世界上认知度最高的标签之一,因此,我县越来越多的群众选择购买国产空调,已知购买1台A型号的空调比1台B型号的空调少200元,购买2台A型号的空调与3台B型号的空调共需11200元,求A、B两种型号的空调的购买价各是多少元?

参考答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1、B【解析】

根据抛物线图象性质确定a、b符号,把点A代入y=ax2+bx得到a与b数量关系,代入②,不等式kx≤ax2+bx的解集可以转化为函数图象的高低关系.【详解】解:根据图象抛物线开口向上,对称轴在y轴右侧,则a>0,b<0,则①错误将A(1,2)代入y=ax2+bx,则2=9a+1b∴b=,∴a﹣b=a﹣()=4a﹣>-,故②正确;由正弦定义sinα=,则③正确;不等式kx≤ax2+bx从函数图象上可视为抛物线图象不低于直线y=kx的图象则满足条件x范围为x≥1或x≤0,则④错误.故答案为:B.【点睛】二次函数的图像,sinα公式,不等式的解集.2、A【解析】

有些立体图形是由一些平面图形围成的,将它们的表面适当的剪开,可以展开成平面图形,这样的平面图形称为相应立体图形的展开图.根据立体图形表面的图形相对位置可以判断.【详解】把各个展开图折回立方体,根据三个特殊图案的相对位置关系,可知只有选项A正确.故选A【点睛】本题考核知识点:长方体表面展开图.解题关键点:把展开图折回立方体再观察.3、B【解析】

一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号,由此即可求解.【详解】解:的相反数是﹣.故选:B.【点睛】本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号:一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,1的相反数是1.4、C【解析】

连接AD,由于△ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点,故AD⊥BC,再根据三角形的面积公式求出AD的长,再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知,点C关于直线EF的对称点为点A,故AD的长为CM+MD的最小值,由此即可得出结论.【详解】连接AD,∵△ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点,∴AD⊥BC,∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=16,解得AD=8,∵EF是线段AC的垂直平分线,∴点C关于直线EF的对称点为点A,∴AD的长为CM+MD的最小值,∴△CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+BC=8+×4=8+2=1.故选C.【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题,熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.5、A【解析】

根据两个负数比较大小,绝对值大的负数反而小,可得答案.【详解】解:A、﹣2<﹣1,故A正确;B、﹣1=﹣1,故B错误;C、0>﹣1,故C错误;D、1>﹣1,故D错误;故选:A.【点睛】本题考查了有理数大小比较,利用了正数大于0,0大于负数,注意两个负数比较大小,绝对值大的负数反而小.6、A【解析】

首先确定无理数的取值范围,然后再确定是实数的大小,进而可得答案.【详解】解:A、∵5<<6,∴5﹣1<﹣1<6﹣1,∴﹣1<5,故此选项正确;B、∵∴,故此选项错误;C、∵6<<7,∴5<﹣1<6,故此选项错误;D、∵4<<5,∴,故此选项错误;故选A.【点睛】考查无理数的估算,掌握无理数估算的方法是解题的关键.通常使用夹逼法.7、B【解析】

根据俯视图中每列正方形的个数,再画出从正面看得到的图形即可.【详解】解:主视图,如图所示:.故选B.【点睛】本题考查由三视图判断几何体;简单组合体的三视图.用到的知识点为:主视图是从物体的正面看得到的图形;看到的正方体的个数为该方向最多的正方体的个数.8、D【解析】

设第n个图形有a个O(n为正整数),观察图形,根据各图形中O的个数的变化可找出"a=1+3n(n为正整数)",再代入a=2019即可得出结论【详解】设第n个图形有an个〇(n为正整数),观察图形,可知:a1=1+3×1,a2=1+3×2,a3=1+3×3,a4=1+3×4,…,∴an=1+3n(n为正整数),∴a2019=1+3×2019=1.故选:D.【点睛】此题考查规律型:图形的变化,解题关键在于找到规律9、C【解析】

根据科学记数法的定义,科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.在确定n的值时,看该数是大于或等于1还是小于1.当该数大于或等于1时,n为它的整数位数减1;当该数小于1时,-n为它第一个有效数字前0的个数(含小数点前的1个0).【详解】67500一共5位,从而67500=6.75×104,故选C.10、C【解析】

利用数轴先判断出a、b的正负情况以及它们绝对值的大小,然后再进行比较即可.【详解】解:由a、b在数轴上的位置可知:a<1,b>1,且|a|>|b|,∴a+b<1,ab<1,a﹣b<1,a÷b<1.故选:C.11、D【解析】

根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案.【详解】解:由抛物线的开口可知:a<0,由抛物线与y轴的交点可知:c<0,由抛物线的对称轴可知:>0,∴b>0,∴abc>0,故①正确;令x=3,y>0,∴9a+3b+c>0,故②正确;∵OA=OC<1,∴c>﹣1,故③正确;∵对称轴为直线x=1,∴﹣=1,∴b=﹣4a.∵OA=OC=﹣c,∴当x=﹣c时,y=0,∴ac1﹣bc+c=0,∴ac﹣b+1=0,∴ac+4a+1=0,∴c=,∴设关于x的方程ax1+bx+c=0(a≠0)有一个根为x,∴x﹣c=4,∴x=c+4=,故④正确;∵x1<1<x1,∴P、Q两点分布在对称轴的两侧,∵1﹣x1﹣(x1﹣1)=1﹣x1﹣x1+1=4﹣(x1+x1)<0,即x1到对称轴的距离小于x1到对称轴的距离,∴y1>y1,故⑤正确.故选D.【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系,二次函数y=ax1+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.本题属于中等题型.12、D【解析】

先求出二次函数的对称轴,再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a>0,然后由-2≤x≤1时,y的最大值为9,可得x=1时,y=9,即可求出a.【详解】∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量),∴对称轴是直线x=-2a2a∵当x≥2时,y随x的增大而增大,∴a>0,∵-2≤x≤1时,y的最大值为9,∴x=1时,y=a+2a+3a2+3=9,∴3a2+3a-6=0,∴a=1,或a=-2(不合题意舍去).故选D.【点睛】本题考查了二次函数的性质,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(-b2a,4ac-b24a),对称轴直线x=-b2a,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质:①当a>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上,x<-b2a时,y随x的增大而减小;x>-b2a时,y随x的增大而增大;x=-b2a时,y取得最小值4ac-b24a二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13、3-【解析】试题分析:因为△ABC中,AB=AC,∠A=36°所以∠ABC=∠ACB=72°因为BD平分∠ABC交AC于点D所以∠ABD=∠CBD=36°=∠A因为DE平分∠BDC交BC于点E所以∠CDE=∠BDE=36°=∠A所以AD=BD=BC根据黄金三角形的性质知,BCAC=5-1EC=所以EC考点:黄金三角形点评:黄金三角形是一个等腰三角形,它的顶角为36°,每个底角为72°.它的腰与它的底成黄金比.当底角被平分时,角平分线分对边也成黄金比,14、.【解析】

如图,根据正方形的性质得:DE∥BC,则△ADE∽△ACB,列比例式可得结论.【详解】如图,∵四边形CDEF是正方形,∴CD=ED,DE∥CF,设ED=x,则CD=x,AD=12-x,∵DE∥CF,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠B,∴△ADE∽△ACB,∴=,∴=,∴x=,故答案为.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质,设未知数,构建方程是解题的关键.15、12.【解析】

根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案.【详解】解:根据正n边形的中心角的度数为,则n=360÷30=12,故这个正多边形的边数为12,故答案为:12.【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识,掌握中心角的计算公式是解题的关键.16、1【解析】

先求平均数,再根据方差的公式S1=[(x1-)1+(x1-)1+…+(xn-)1]计算即可.【详解】解:∵=(5+6+7+4+3)÷5=5,∴数据的方差S1=×[(5-5)1+(6-5)1+(7-5)1+(4-5)1+(3-5)1]=1.故答案为:1.考点:方差.17、三.【解析】

先根据一次函数判断出函数图象经过的象限,进而可得出结论.【详解】解:∵一次函数中,此函数的图象经过一、二、四象限,不经过第三象限,故答案为:三.【点睛】本题考查的是一次函数的性质,即一次函数中,当,时,函数图象经过一、二、四象限.18、1【解析】

由∠ACD=∠B结合公共角∠A=∠A,即可证出△ACD∽△ABC,根据相似三角形的性质可得出=()2=,结合△ADC的面积为1,即可求出△BCD的面积.【详解】∵∠ACD=∠B,∠DAC=∠CAB,∴△ACD∽△ABC,∴=()2=()2=,∴S△ABC=4S△ACD=4,∴S△BCD=S△ABC﹣S△ACD=4﹣1=1.故答案为1.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质,解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19、(1)证明见解析;(2)【解析】试题分析:(1)首先连接OD,CD,由以BC为直径的⊙O,可得CD⊥AB,又由等腰三角形ABC的底角为30°,可得AD=BD,即可证得OD∥AC,继而可证得结论;(2)首先根据三角函数的性质,求得BD,DE,AE的长,然后求得△BOD,△ODE,△ADE以及△ABC的面积,继而求得答案.试题解析:(1)证明:连接OD,CD,∵BC为⊙O直径,∴∠BDC=90°,即CD⊥AB,∵△ABC是等腰三角形,∴AD=BD,∵OB=OC,∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AC,∵DE⊥AC,∴OD⊥DE,∵D点在⊙O上,∴DE为⊙O的切线;(2)解:∵∠A=∠B=30°,BC=4,∴CD=BC=2,BD=BC•cos30°=2,∴AD=BD=2,AB=2BD=4,∴S△ABC=AB•CD=×4×2=4,∵DE⊥AC,∴DE=AD=×2=,AE=AD•cos30°=3,∴S△ODE=OD•DE=×2×=,S△ADE=AE•DE=××3=,∵S△BOD=S△BCD=×S△ABC=×4=,∴S△OEC=S△ABC-S△BOD-S△ODE-S△ADE=4---=.20、(1)①点C坐标为或;②y=x+2或y=-x+3;(2)或【解析】

(1)①根据“和谐点”的定义即可解决问题;②首先求出点C坐标,再利用待定系数法即可解决问题;(2)分两种情形画出图形即可解决问题.【详解】(1)①如图1.观察图象可知满足条件的点C坐标为C(1,5)或C'(3,5);②如图2.由图可知,B(5,3).∵A(1,3),∴AB=3.∵△ABC为等腰直角三角形,∴BC=3,∴C1(5,7)或C2(5,﹣1).设直线AC的表达式为y=kx+b(k≠0),当C1(5,7)时,,∴,∴y=x+2,当C2(5,﹣1)时,,∴,∴y=﹣x+3.综上所述:直线AC的表达式是y=x+2或y=﹣x+3.(2)分两种情况讨论:①当点F在点E左侧时:连接OD.则OD=,∴.②当点F在点E右侧时:连接OE,OD.∵E(1,2),D(1,3),∴OE=,OD=,∴.综上所述:或.【点睛】本题考查了一次函数综合题、圆的有关知识、等腰直角三角形的判定和性质、“和谐点”的定义等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的首先思考问题,属于中考压轴题.21、(1);(2)和;(3)【解析】

(1)设,,再根据根与系数的关系得到,根据勾股定理得到:、,根据列出方程,解方程即可;(2)求出A、B坐标,设出点Q坐标,利用平行四边形的性质,分类讨论点P坐标,利用全等的性质得出P点的横坐标后,分别代入抛物线解析式,求出P点坐标;(3)过点作DH⊥轴于点,由::,可得::.设,可得点坐标为,可得.设点坐标为.可证△∽△,利用相似性质列出方程整理可得到①,将代入抛物线上,可得②,联立①②解方程组,即可解答.【详解】解:设,,则是方程的两根,∴.∵已知抛物线与轴交于点.∴在△中:,在△中:,∵△为直角三角形,由题意可知∠°,∴,即,∴,∴,解得:,又,∴.由可知:,令则,∴,∴.①以为边,以点、、、Q为顶点的四边形是四边形时,设抛物线的对称轴为,l与交于点,过点作⊥l,垂足为点,即∠°∠.∵四边形为平行四边形,∴∥,又l∥轴,∴∠∠=∠,∴△≌△,∴,∴点的横坐标为,∴即点坐标为.②当以为边,以点、、、Q为顶点的四边形是四边形时,设抛物线的对称轴为,l与交于点,过点作⊥l,垂足为点,即∠°∠.∵四边形为平行四边形,∴∥,又l∥轴,∴∠∠=∠,∴△≌△,∴,∴点的横坐标为,∴即点坐标为∴符合条件的点坐标为和.过点作DH⊥轴于点,∵::,∴::.设,则点坐标为,∴.∵点在抛物线上,∴点坐标为,由(1)知,∴,∵∥,∴△∽△,∴,∴,即①,又在抛物线上,∴②,将②代入①得:,解得(舍去),把代入②得:.【点睛】本题是代数几何综合题,考查了二次函数图象性质、一元二次方程根与系数关系、三角形相似以及平行四边形的性质,解答关键是综合运用数形结合分类讨论思想.22、(1)1;(2)2-1.【解析】

(1)分别计算负指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、立方根;(2)先把括号内通分相减,再计算分式的除法,除以一个分式,等于乘它的分子、分母交换位置.【详解】(1)原式=3+﹣1﹣2×+1﹣2=3+﹣1﹣+1﹣2=1.(2)原式=[﹣]•=•=,当x=﹣2时,原式===2-1.【点睛】本题考查负指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、立方根以及分式的化简求值,解题关键是熟练掌握以上性质和分式的混合运算.23、证明见解析.【解析】试题分析:根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM,可证△BDM≌△CEM,可得MD=ME,即可解题.试题解析:证明:△ABC中,∵AB=AC,∴∠DBM=∠ECM.∵M是BC的中点,∴BM=CM.在△BDM和△CEM中,∵,∴△BDM≌△CEM(SAS).∴MD=ME.考点:1.等腰三角形的性质;2.全等三角形的判定与性质.24、(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)根据切线的判定定理得到BC是⊙O的切线,再利用切线长定理证明即可;(2)根据含30°的直角三角形的性质、正切的定义计算即可.【详解】(1)∵AB是⊙O直径,BC⊥AB,∴BC是⊙O的切线,∵CD切⊙O于点D,∴BC=CD;(2)连接BD,∵BC=CD,∠C=60°,∴△BCD是等边三角形,∴BD=BC=3,∠CBD=60°,∴∠ABD=30°,∵AB是⊙O直径,∴∠ADB=90°,∴AD=BD•tan∠ABD=.【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.25、(1)抛物线的解析式为:y=1(2)①S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1;②存在.R点的坐标是(3,﹣32(3)M的坐标为(1,﹣83【解析】试题分析:(1)设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,求出A、B、D的坐标代入即可;(2)①由勾股定理即可求出;②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形,求出P、Q的坐标,再分为两种种情况:A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标;(3)A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,求出直线BD的解析式,把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标.试题解析:(1)设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,∵正方形的边长2,∴B的坐标(2,﹣2)A点的坐标是(0,﹣2),把A(0,﹣2),B(2,﹣2),D(4,﹣23)代入得:c=-2解得a=16,b=﹣1∴抛物线的解析式为:y=1答:抛物线的解析式为:y=1(2)①由图象知:PB=2﹣2t,BQ=t,∴S=PQ2=PB2+BQ2,=(2﹣2t)2+t2,即S=5t2﹣8t+4(0≤t≤1).答:S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1;②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.∵S=5t2﹣8t+4(0≤t≤1),∴当S=54时,5t2﹣8t+4=54,得20t解得t=12,t=11此时点P的坐标为(1,﹣2),Q点的坐标为(2,﹣32若R点存在,分情况讨论:(i)假设R在BQ的右边,如图所示,这时QR=PB,RQ∥PB,则R的横坐标为3,R的纵坐标为﹣32即R(3,﹣32代入y=1∴这时存在R(3,﹣32(ii)假设R在QB的左边时,这时PR=QB,PR∥QB,则R(1,﹣32)代入,y=左右不相等,∴R不在抛物线上.(1分)综上所述,存点一点R(3,﹣32答:存在,R点的坐标是(3,﹣32(3)如图,M′B=M′A,∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,理由是:∵MA=MB,若M不为L与DB的交点,则三点B、M、D构成三角形,∴|MB|﹣|MD|<|DB|,即M到D、A的距离之差为|DB|时,差值最大,设直线BD的解析式是y=kx+b,把B、D的坐标代入得:,解得:k=23,b=﹣10∴y=23x﹣10抛物线y=

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