专题5.8 简单的轴对称图形-等边三角形（专项练习）-2020-2021学年七年级数学下册基础知识专项讲练（湘教版）

专题5.8简单的轴对称图形-等边三角形（专项练习）一、单选题1．（2020·全国七年级课时练习）下列推理中，错误的是()A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形2．（）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外等边三角形，再把较小的两张等边三角形纸片按图2的方式放置在最大等边三角形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积 B．最大等边三角形与直角三角形的面积和C．最大等边三角形的面积 D．较小两个等边三角形重叠部分的面积3．（初中数学707）下列推理错误的是（）A．在中，∵，∴为等边三角形B．在中，∵，且，∴为等边三角形C．在中，∵，，∴为等边三角形D．在中，∵，，∴为等边三角形4．（2021·北京市十一学校龙樾实验中学九年级月考）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（）A．4 B．6 C．8 D．105．（2021·湖北八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形……按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（）A． B． C． D．二、填空题6．（2021·全国八年级期中）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，若，则阴影部分的面积是________．7．（2019·江苏苏州市·八年级月考）如图，在中，，是高，，若，则______．8．（2021·湖南八年级期末）如图，∠MON=30°，点在射线ON上，点在射线OM上，△、△、△…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为，第2个等边三角形的边长记为，以此类推．若，则=____．9．（2020·辽宁八年级期末）如图，现有一个边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的中点，顺次连接得到一个新的等边三角形，记为第2个等边三角形，取第2个等边三角形各边中点，顺次连接又得到一个新的等边三角形，记为第3个等边三角形，…，按此方式依次操作，则第n个等边三角形的边长为_____．10．（2021·湖北武汉市·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，∠A=∠B=60°，若AD=a，BC=b，则AB的长为_____(用含a，b的式子表示)．11．（2020·浙江八年级期末）如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与交于点，作，垂足为，下列结论正确的有________．①；②；③；④；⑤．12．（2019·山东八年级期中）如图，为线段上一动点(不与点重合)，在同侧分别作等边三角形和等边三角形与交于点，与交于点，与交于点，连结．以下结论：①；②；③；④是等边三角形，恒成立的是______．三、解答题13．（2019·甘肃八年级期中）如图，为等边三角形，过点作于点，过作，且，连接（1）求证：为等边三角形；（2）若，求的周长．14．（2020·四川九年级）如图，在等边三角形中，点在的延长线上，以为边在射线的右侧作等边三角形，连接，，求证：．15．（2020·天津南开中学八年级月考）如图，是等边三角形，是高，并且恰好是的垂直平分线．求证：是等边三角形．16．（2019·福建八年级期中）如图是等边三角形（1）如图①，，分别交、于点、．求证：是等边三角形；（2）如图②，仍是等边三角形，点在的延长线上，连接，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由．17．（2020·全国八年级课时练习）如图，为等边三角形，平分交于点，交于点．（1）求证：是等边三角形．（2）求证：．18．（2019·辽宁八年级期中）如图，是等边三角形，，分别交于点.求证：是等边三角形.19．（2021·北京门头沟区·九年级一模）已知，如图，是等边三角形，于D，E是BC延长线上的一点，．求的度数．

20．（2017·北京八年级期中）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，连接CD、BE，作AF⊥CD于点F，AG⊥BE于点G，求证：△AFG为等边三角形．21．（2018·全国八年级课时练习）（11分）已知△ABC，分别以AB、BC、CA为边向形外作等边三角形ABD、等边三角形BCE、等边三角形ACF．（1）如图1，当△ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论；（2）如图2，当△ABC中只有∠ACB＝60°时，请你证明S△ABC与S△ABD的和等于S△BCE与S△ACF的和．22．（2018·辽宁八年级期中）如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使得AD=BE=CF求证：△DEF为等边三角形，．23．（2019·重庆八年级期中）如图,△ABC是等边三角形,CD⊥AB于点D,∠AEB=90°,CD=AE.求证:(1)△BCD≌△BAE;(2)△EBD是等边三角形.24．（2017·北京九年级期中）如图，等边三角形的边长为3，点是线段上的点，，以为边作等边三角形，连接，求的长.25．（2020·兴仁市真武山街道办事处黔龙学校八年级月考）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，DE∥BC．（1）求证：△ADE是等边三角形；（2）求证：AE=AB26．（2018年11月江西南昌心远加试初二第一学期期中数学试卷）如图，，都是等边三角形，AD，BE相交于点O，点M，N分别是线段AD，BE的中点.求证：是等边三角形.27．（2017·福建七年级期末）已知，如图，延长的各边，使得，，顺次连接，得到为等边三角形．求证：（1）；（2）为等边三角形．28．（2019·柘城中学八年级月考）已知，如图，延长的各边，使得，，顺次连接，得到为等边三角形．求证：（1）；（2）为等边三角形．29．（2019·广东八年级期中）如图，等边三角形中，点在的延长线上，平分，且.求证：是等边三角形.30．（2019·呼和浩特市启秀中学八年级月考）如图，、均是等边三角形，、分别与、交于点、，求证：（1）；（2）；（3）为等边三角形；（4）．31．（2020·湖南长郡中学八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．32．（2020·吉林九年级）（阅读发现）如图1，在正方形的外侧，作等边三角形和等边三角形，连接，交于点，则图中，可知，求得________．（拓展应用）如图2，在矩形的外侧，作等边三角形和等边三角形，连接，，交于点．（1）求证：；（2）若，求的度教．33．（2018·甘肃八年级期中）如图，为等边三角形，，求证：是等边三角形.34．（2017·扬州市竹西中学八年级期末）如图，在△ABC中，∠A=60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE，CF交于点M．（1）如果AB=AC，求证：△DEF是等边三角形；（2）如果AB≠AC，试猜想△DEF是不是等边三角形？如果△DEF是等边三角形，请加以证明；如果△DEF不是等边三角形，请说明理由.35．（2021·湖北武汉市·八年级期末）如图，已知CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D，C在D点上方，∠BAC=30°，P是直线CD上一动点，E是射线AC上除A点外的一点，PB=PE，连BE．（1）如图1，若点P与点C重合，求∠ABE的度数；（2）如图2，若P在C点上方，求证：PD+AC=CE；（3）若AC=6，CE=2，则PD的值为（直接写出结果）．参考答案1．B【解析】A∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形，故正确；B条件重复且条件不足，故不正确；C∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形60°，故正确；D根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确.故选B.2．D【分析】设向外作的等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，根据勾股定理得S1+S2=S3，再利用三角形面积的和与差可得结论．解：如图，设向外作的等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，则有：S1+S2=S3，∵S1+S2+S阴影=S3+S△EFG，∴S阴影=S△EFG，即可知若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个等边三角形重叠部分的面积，故选：D．【点拨】本题考查了勾股定理的证明与三角形的面积，直观识图是解答的关键．3．B【分析】根据等边三角形的性质：三条边都相等，三个内角都是60°，利用等边三角形的性质即可求解．解：，所以为等边三角形，故A选项正确；且，不一定是等边三角形，故B选项错误；，，三个内角都是60°，所以为等边三角形，故C选项正确；，，三个内角都是60°，所以为等边三角形，故D选项正确．故选：B．【点拨】本题主要考查的是等边三角形的性质，三边相等，三个内角相等，正确掌握等边三角形的性质是解题的关键．4．D【分析】根据三角形内角和定理求出∠DAC＝30°和∠EBD＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得出AE＝2EF，BE＝2DE，代入求出即可．∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∵∠AFB＝90°，EF＝2，∴AE＝2EF＝4，∵点E为AD的中点，∴DE＝AE＝4，∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°，∴∠EBD＝30°，∴BE＝2DE＝8，∴BF＝BE＋EF＝8＋2＝10，故选：D．【点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理、含30︒角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．5．C【分析】根据点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是；根据以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是；以此类推，得点的纵坐标是，从而得到答案．∵点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，∴，∴，即点的纵坐标是∵以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，∴，∴，点的纵坐标是，即∵以为边在右侧作等边三角形同理，得点的纵坐标是按此规律继续作下去，得：点的纵坐标是，即故选：C．【点拨】本题考查了图形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、等边三角形、垂线、图形和数字规律、含角的直角三角形的性质，从而完成求解．6．【分析】根据直角三角形的性质求出AC，根据等腰三角形的性质求出CF，根据三角形的面积公式计算即可．解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=AB=5，∵∠D=45°，由题意可知BC∥ED，∴∠AFC=∠D=45°，∴CF=AC=5，∴阴影部分的面积=×5×5=（cm2）故答案为：．【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形及等腰直角三角形的知识，发现△ACF是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边AC的长，是解答此题的关键．7．8【分析】先求出∠DCB＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得出AB＝2BC，BC＝2BD＝4，求出AB即可．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，AB＝2BC，∵CD是高，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝90°−∠B＝30°，∵BD＝2，∴BC＝2BD＝4，∴AB＝8．故答案是：8．【点拨】本题考查了三角形内角和定理和含30°角的直角三角形的性质，能根据含30°角的直角三角形的性质得出AB＝2BC和BC＝2BD是解此题的关键．8．【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2，即：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，，进而得出答案．∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2=2，A3B3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，即：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，，以此类推：an=2n-1．∴=，故答案是：．．【点拨】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，直角三角形30度角的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题关键．9．【分析】已知第1个等边三角形的边长是a，根据中位线定理依次可得：第二个等边三角形的边长是，第三个等边三角形的边长是，第四个等边三角形的边长是，…，从而得结论．解：如图，∵D，E分别是AB和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝a，即第1个等边三角形的边长是a，第二个等边三角形的边长是，同理得第三个等边三角形的边长是，第四个等边三角形的边长是，…∴第n个等边三角形的边长是；故答案为：．【点拨】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是关键，能总结出规律是解此题的难点．10．2b-a【分析】延长AD交BC的延长线于E，证明△DEC是等边三角形，利用含30°的直角三角形的性质求得AB的长．解：延长AD交BC的延长线于E，∵∠A=∠B=60°，∴△DEC是等边三角形．设AB=AE=BE=x，则DE=x-a，EC=x-b，∵∠E=60°，∠DCE=90°，∴∠EDC=30°，∴DE=2EC，∴x-a=2(x-b)，∴x=2b-a，∴AB=2b-a．故答案为：2b-a．【点拨】本题考查了含30°的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是作出辅助线，构造等边三角形．11．①②③④【分析】由等边三角形的性质和已知条件证出△AEC≌△BDA，可判断①；由等边三角形的性质和三角形的外角性质可判断②；根据∠AFE=60°可判断③；由全等三角形的性质得出∠BAD=∠ACE，求出∠CFM=∠AFE=60°，得出∠FCM=30°，可判断④；根据∠DAC的度数的范围可得∠DAC≠45°，可判断⑤．解：①∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC，又∵AE=BD，在△AEC与△BDA中，，∴△AEC≌△BDA（SAS），∴AD=CE，故正确；②∵∠BEC=∠BAD+∠AFE，△AEC≌△BDA，∠AFE=∴∠BEC=∠BAD+∠AFE=∠BAD+60°，∵∠CDA=∠BAD+∠CBA=∠BAD+60°，∴∠BEC=∠CDA，故正确；③∵∠AFE=60°，∴∠AFC=120°，故正确；④∵∠AFE=60°，∴∠CFM=∠AFE=60°，∵CM⊥AD，∴在Rt△CFM中，∠FCM=30°，∴MF=CF，故正确；⑤要使AM=CM，则必须使∠DAC=45°，由已知条件知∠DAC的度数为大于0°小于60°均可，∴AM=CM不成立，故错误；故答案为：①②③④．【点拨】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．12．①②③④【分析】①由△ABC和△CDE都是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，所以∠ACD=∠BCE=120°，所以△ACD≌△BCE（SAS），从而AD=BE，故①正确；②④由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之AC=BC，易得∠ACB=∠BCQ=60°，可证△CQB≌△CPA（ASA），从而CP=CQ，再加之∠PCQ=60°，可推出△PCQ为等边三角形，易得∠PQC=60°=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②④正确；③结合△ACD≌△BCE和三角形的外角的性质，可得∠AOB=60°，故③正确．解：①∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，∵在△ACD与△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，故①正确；④②∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠DAC，∵由∠ACB=∠DCE=60°得∠BCD=60°，∴∠ACP=∠BCQ，又∵AC=BC，∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CP=CQ，又∵∠PCQ=60°∴△PCQ为等边三角形，∴∠PQC=60°，∴∠PQC=60°=∠DCE∴PQ∥AE故②④正确；③∵△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD=∠CBE，∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，又∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，∴∠AOB=∠ACB=60°，故③正确.故答案为：①②③④.【点拨】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，熟练应用三角形全等的判定是解题的关键．13．（1）见解析；（2）6.【分析】（1）求出∠EDC＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形进行判定即可；（2）由等边三角形的性质求出CD＝2，即可得出答案．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠ACB＝60°，又∵DE＝DC，∴△CDE为等边三角形；（2）解：∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴AC＝AB＝4，AD＝CD＝AC＝AB＝2，又∵△CDE为等边三角形，∴DE＝CE＝CD＝2，∴△CDE的周长＝2＋2＋2＝6．【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．14．见解析【分析】根据△PAD和△ABC是等边三角形得到∠PAC=∠DAB，进而得到△PAC≌△DAB（SAS），即可求得结果．证明：∵△PAD和△ABC是等边三角形，∴AP=AD，AC=AB，∠PAD=∠BAC=60°．∴∠PAD+∠CAD=∠BAC+∠CAD，即∠PAC=∠DAB．∴△PAC≌△DAB（SAS）．∴CP=BD．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，准确利用等边三角形的性质是解题的关键．15．见解析【分析】根据垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和等边三角形的性质证明即可；∵点在的垂直平分线上，∴，∴是等腰三角形．∵，∴．∵，∴，∴．∵是等边三角形，∴，∴，∴是等边三角形．【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，结合等腰三角形的性质证明是解题的关键．16．（1）见详解；（2），理由见详解．【分析】（1）由等边三角形的性质和平行线的性质很容易得出的三个内角都是60°，则可证明是等边三角形；（2）先由等边三角形的性质得出，然后证明，得出，然后通过等量代换即可得到．（1）∵是等边三角形，．∵，，∴是等边三角形．（2），理由如下：∵，是等边三角形，，，即．在和中，，．又，．【点拨】本题主要考查等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，掌握等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．17．（1）见解析；（2）见解析【分析】(1)根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．

(2)根据等边三角形的性质解答即可．(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠AED=∠ABC=60°，∠ADE=∠C=60°．∴△ADE是等边三角形(2)∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC．∵BD平分∠ABC，∴AD=AC∵△ADE是等边三角形，∴AE=AD．∴AE=AB．【点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．18．见解析.【解析】【分析】根据△ADE为等边三角形，则=60°，由DE∥BC得到∠B=∠ADE,∠C=∠AED，然后根据等边三角形的判定方法得到△ABC是等边三角形；∵是等边三角形，.∵，.∴是等边三角形.【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质是解决问题的关键．本题也考查了平行线的性质.19．．【分析】首先证明，根据等腰三角形的性质即可解决问题．解：是等边三角形，，，，，，．【点拨】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．20．见解析【解析】根据等边三角形的性质得出AD=AE，AC=AB，∠DAE=∠CAB=60°，求出∠DAC=∠EAB，证△DAC≌△EAB，推出∠1=∠2，证△AFD≌△AGE，推出AF=AG，∠DAF=∠EAG，求出∠FAG=∠DAE=60°，根据等边三角形的判定推出即可．试题解析：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AD=AE，AC=AB，∠DAE=∠CAB60°，∴∠DAE+∠3=∠CAB+∠3，即∠DAC=∠EAB，在△DAC和△EAB中，∴△DAC≌EAB(SAS)，∴∠1=∠2，∵AF⊥CD，AG⊥BE，∴∠AFD=∠EGA=90°，在△ADF和△AEG中，∴△AFD≌△AGE(AAS)，∴AF=AG，∠DAF=∠EAG，∴∠DAF=∠FAE=∠EAG+∠FAE，即∠FAG=△DAE=60°，∴△AFG为等边三角形.21．（1）答案不唯一，如：DE＝EF，DF＝EF，∠D＝∠E＝∠F，A、B、C分别为DF、DE、EF的中点；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由等边三角形的性质可写出结论．（2）要证明以上结论，需创造一些条件，首先可从△ABC中分出一部分使得与△ACF的面积相等，则过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，就可创造出这样的条件，然后再证其它的面积也相等即可．试题解析：(1)DE=EF，DF=EF，∠D=∠E=∠F，A、B、C分别为DF、DE、EF的中点；(2)过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，∵∠ACB=60°,∠CAF=60°，∴∠ACB=∠CAF，∴AF∥MC，∴四边形AMCF是平行四边形，又∵FA=FC，∴四边形AMCF是菱形，∴AC=CM=AM,且∠MAC=60∘，∵在△BAC与△EMC中，CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，∴△BAC≌△EMC，∵∠DAM=∠DAB+∠BAM=60°+∠BAM，∠BAC=∠MAC+∠BAM=60°+∠BAM，∴∠BAC=∠DAM在△ABC和△ADM中AB=AD，∠BAC=∠DAM，AC=AM，∴△ABC≌△ADM(SAS)故△ABC≌△MEC≌△ADM，在CB上截取CM，使CM=CA，再连接AM、DM、EM易证△AMC为等边三角形，在△ABC与△MEC中，CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，∴△ABC≌△MEC(SAS)，∴AB=ME，∠ABC=∠MEC，又∵DB=AB，∴DB=ME，∵∠DBC=∠DBA+∠ABC=60°+∠ABC，∠BME=∠BCE+∠MEC=60°+∠MEC，∴∠DBC=∠BME，∴DB∥ME，即DB与ME平行且相等，故四边形DBEM是平行四边形，∴四边形DBEM是平行四边形，∴S△BDM+S△DAM+S△MAC=S△BEM+S△EMC+S△ACF，即S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF.点拨：本题主要考查等边三角形的性质及平行四边形的判定和全等三角形的判定，难度很大，有利于培养学生钻研和探索问题的精神.22．见解析【分析】由△ABC是等边三角形，AD=BE=CF，易证得△ADF≌△BED，即可得DF=DE，同理可得DF=EF，即可证得：△DEF是等边三角形．证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∵AD=BE=CF，∴AF=BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF=DE，同理DE=EF，∴DE=DF=EF．∴△DEF是等边三角形．【点拨】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．23．(1)见解析;(2)见解析.【分析】（1）根据HL即可证明△BCD≌△BAE；（2）根据等腰三角形的性质得到D为AB中点，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=BD，再根据等边三角形的判定定理即可求解.证明：（1）∵△ABC是等边三角形∴AB=BC∵CD⊥AB,∠AEB=90°∴∠CDB=∠AEB=90°在Rt△BCD和Rt△BAE中，∴△BCD≌△BAE（2）∵△ABC是等边三角形,CD⊥AB∴D为AB中点∴ED=AB=DB∵△BCD≌△BAE∴∠EBD=∠DBC=60°∴△EBD是等边三角形【点拨】此题主要考查等边三角形的性质及判定，解题的关键是熟知等边三角形的性质及直角三角形的性质.24．1.【解析】根据△ADE与△ABC都是等边三角形，得到AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°，从而得到∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，即∠CAE=∠BAD，利用SAS证得△CAE≌△BAD，由全等三角形的对应边相等，得到，即可求得CE.试题解析：∵是等边三角形，∴°.∴°.∵是等边三角形，∴°∴°.∴在与中，∴≌∴.∵，∴∴CE=1.25．见解析【解析】（1）根据等边三角形的判定证明即可；（2）利用等边三角形的性质解答即可.证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，∵DE∥BC，∴∠AED=∠ABD＝60°，∴∠ADE=∠ACB＝60°，∴∠A=∠AED＝∠ADE∴△ADE是等边三角形；（2）∵△ADE是等边三角形∴AD=AE∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC∵BD平分∠ABC，∴D是AC的中点（三线合一）AD=AC＝AB，∴AE=AB．26．见解析【分析】由等边三角形的性质易得∠ACD=∠BCE，然后利用SAS判定△ACD≌△BCE，得到对应边相等，对应角相等，再次利用SAS判定△ACM≌△BCN，得到CM=CN，∠ACM=∠BCN，推出∠MCN=60°，即可得证.证明∵△ABC、△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60∘，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，∴AM=AD，BN=BE，∴AM=BN，在△ACM和△BCN中，∴△ACM≌△BCN（SAS），∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，又∠ACB=60∘，∴∠ACM+∠MCB=60°，∴∠BCN+∠MCB=60°，∴∠MCN=60°，又∵CM=CN∴△MNC是等边三角形.【点拨】本题考查等边三角形的判定与性质，属于全等三角形中的“手拉手”模型，由等边三角形的性质得到全等条件是关键.27．（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）关键是证出CE=AF，可由AE=AB，AC=BF，两两相加可得．再结合已知条件可证出△AEF≌△CDE．（2）有（1）中的全等关系，可得出∠AFE=∠CED，再结合△DEF是等边三角形，可知∠DEF=60°，从而得出∠BAC=60°，同理可得∠ACB=60°，那么∠ABC=60°．因而△ABC是等边三角形．证明：(1)∵BF=AC,AB=AE(已知)∴FA=EC(等量加等量和相等).∵△DEF是等边三角形(已知)，∴EF=DE(等边三角形的性质).又∵AE=CD(已知)，∴△AEF≌△CDE(SSS).(2)由△AEF≌△CDE,得∠FEA=∠EDC(对应角相等)，∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF(等量代换)△DEF是等边三角形(已知)，∴∠DEF=60°(等边三角形的性质)，∴∠BCA=60°(等量代换)，由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，∵∠DEC+∠FEC=60°，∴∠EFA+∠FEC=60°，又∠BAC是△AEF的外角，∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，∴△ABC中,AB=BC(等角对等边).∴△ABC是等边三角形(等边三角形的判定).28．（１）见解析；（２）见解析．【分析】（1）关键是证出CE=AF，可由AE=AB，AC=BF，两两相加可得．再结合已知条件可证出△AEF≌△CDE．（2）有（1）中的全等关系，可得出∠AFE=∠CED，再结合△DEF是等边三角形，可知∠DEF=60°，从而得出∠BAC=60°，同理可得∠ACB=60°，那么∠ABC=60°．因而△ABC是等边三角形．证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）

∴FA=EC（等量加等量和相等）．

∵△DEF是等边三角形（已知），

∴EF=DE（等边三角形的性质）．

又∵AE=CD（已知），

∴△AEF≌△CDE（SSS）．

（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），

∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），

△DEF是等边三角形（已知），

∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），

∴∠BCA=60°（等量代换），

由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，

∵∠DEC+∠FEC=60°，

∴∠EFA+∠FEC=60°，

又∠BAC是△AEF的外角，

∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，

∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）．

∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．29．详见解析【分析】利用等边三角形性质和角平分线的定义得到AB=AC,,进而证明，再利等式的性质求证.证明：∵为等边三角形，∴°，∴°，∵平分，∴°.在和中，∴，∴，∵°，∴°，∴为等边三角形.【点拨】根据等边三角形性质和角平分线的定义确定三角形全等是此题的解题关键.30．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=60°，求出∠ACE=∠DCB，根据SAS推出△ACE≌△DCB即可；

（2）根据全等三角形的性质得出∠CAE=∠CDB，根据等边三角形的性质得出AC=DC，∠ACM=∠BCE=60°，求出∠DCE=60°，推出∠ACM=∠DCN，根据ASA推出△ACM≌△DCN即可；

（3）根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形推出△CMN为等边三角形，推出∠CMN=∠CNM=∠DCN=60°，求出∠CMN=∠ACM=60°，即可得出答案；

（4）根据等边三角形的性质得出∠CMN=∠ACM=60°，根据平行线的判定得出即可．解：证明：（1）∵△DAC、△EBC均是等边三角形，

∴AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=60°，

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，

即∠ACE=∠DCB，

在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），

∴AE=BD；（2）∵由（1）可知：△ACE≌△DCB，

∴∠CAE=∠CDB，

即∠CAM=∠CDN，

∵△DAC、△EBC均是等边三角形，

∴AC=DC，∠ACM=∠BCE=60°，

又点A、C、B在同一条直线上，

∴∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=180°-60°-60°=60°，

即∠DCN=60°，

∴∠ACM=∠DCN，

在△ACM和△DCN中，，∴△ACM≌△DCN（ASA），

∴CM=CN；（3）∵由（2）可知CM=CN，∠MCN=60°，

∴△CMN为等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）；（4）∵△CMN为等边三角形

∴∠CMN=∠CNM=∠DCN=60°，

∴∠CMN=∠ACM=60°，

∴MN∥BC．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．31．详见解析.【分析】根据已知条件利用角与角之间的关系来求得△DEF的各角分别为60度，从而得出其是一个等边三角形.∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°，∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，∴∠DAB=∠ACF=∠CBE=90°，∴∠FAC=∠BCE=∠DBA=30°，∴∠D=∠E=∠F=90°﹣30°=60°，∴DF=DE=EF，∴△DEF是等边三角形.【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余等，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.32．【阅读发现】90°；【拓展应用】（1）见解析；（2）100°.【分析】根据正方形的性质及可得DF=CD=AE=AD，根据等边三角形的性质可求出∠FDC=150°，根据等腰三角形的性质可得∠DFC=∠DCF=∠ADE=∠AED=15°，即可求出∠CDM=75°，根据三角形内角和定理求出∠DMC的度数即可；【拓展应用】（1）根据矩形的性质及等边三角形的性质可得=150°，，，利用SAS可证明，根据全等三角形的性质即可得ED=FC；（2）根据可得∠ADE=∠DFC=20°，根据三角形外角性质即可求出∠DMC的度数.∵四边形是正方形，∴，．∵，∴．∵，∴，∴∠CDM=90°-15°=75°，∴∠DMC=180°-75°-15°=90°，故答案为：90°【拓展应用】（1）∵为等边三角形，∴，．∵为等边三角形，∴，．∵四边形为矩形，∴，，∴．∵，，∴．在和中，∴，∴．（2）∵，∴，∴．【点拨】本题考查正方形的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键.33．见解析.【分析】证明△ABD≌△CAF≌△BEC，推导出∠FDE=∠DEF=∠EFD即可说明△DEF是等边三角形．证明：∵是等边三角形，∴.∵，∴，即.在和中，，∴，∴.∴.同理可得.∴，∴是等边三角形.【点拨】此题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题关键在于解决线段间的等量关系一般利用全等三角形的判定和性质．34．（1）证明见解析（2）