江苏省盐城市阜宁县2023-2024学年高一下学期4月期中学情调研数学试题

江苏省盐城市阜宁县2023-2024学年高一下学期4月期中学情调研数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）下列复数中，满足方程x2+2＝0的是（）A．±1 B．±i C． D．±2i2．（5分）tan15°＝（）A． B． C． D．3．（5分）在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC大小为（）A． B． C． D．4．（5分）已知向量，则向量的模为（）A． B．4 C．2 D．5．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（5分）△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠B＝60°，则cosC＝（）A． B． C． D．7．（5分）＝（）A． B．1 C． D．8．（5分）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”．“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，其比值为，这一比值也可以表示为m＝2sin18°，若2m2+n＝8，则＝（）A．2 B．4 C． D．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分；三个正确选项时，选对一个的得2分，选对二个的得4分；两个正确选项时，选对一个的得3分；有选错的得0分）（多选）9．（6分）已知向量＝（2，﹣1），＝（﹣3，2），＝（1，1），则（）A．∥ B．（+）⊥ C．+＝ D．＝5+3（多选）10．（6分）下列各式化简正确的是（）A．cos80°cos20°+sin80°sin20°＝cos60° B．cos75°＝cos45°cos30°+sin45°sin30° C． D．sin（α+45°）sinα+cos（α+45°）cosα＝sin45°（多选）11．（6分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A．若sinB＞sinC，则B＞C B．若，则三角形有一解 C．若bcosB﹣ccosC＝0，则△ABC一定为等腰直角三角形 D．若△ABC面积为，则三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．（5分）已知i为虚数单位，则（2﹣i）2＝．13．（5分）设＝（x，3），＝（2，﹣1），若与的夹角为钝角，则x的取值范围是．14．（5分）若关于x的不等式|asin2x+bsinx+c|≤1（a＞0）的解集为[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，则a的取值范围是．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤），15．（13分）已知平面向量＝（1，x），＝（2x+3，﹣x），x∈R．（1）若⊥，求x的值；（2）若∥，求|﹣|的值．16．（15分）已知复数z和它的共轭复数满足2z+＝3+2i．（1）求z；（2）若z是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，求复数的模．17．（15分）平行四边形ABCD中；AB＝2，AD＝1，∠BAD＝120°，求：（1）的值；（2）cos∠BAC18．（17分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求B；（2）若b＝2，求△ABC的面积的最大值．19．（17分）已知向量＝（cos，sin），＝（cos，﹣sin），函数f（x）＝•﹣m|+|+1，x∈[﹣，]，m∈R．（1）当m＝0时，求f（）的值；（2）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数g（x）＝f（x）+m2，x∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）下列复数中，满足方程x2+2＝0的是（）A．±1 B．±i C． D．±2i【分析】直接解方程即可得到答案．【解答】解：x2+2＝0，即x2＝﹣2，即x2＝2i2，解得x＝i．故选：C．【点评】本题考查复数的运算，是基础题．2．（5分）tan15°＝（）A． B． C． D．【分析】由tan15°＝tan（45°﹣30°），然后结合两角差的正切公式可求．【解答】解：tan15°＝tan（45°﹣30°）＝＝＝2﹣．故选：B．【点评】本题主要考查了两角差的正切公式的简单应用，属于基础试题．3．（5分）在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC大小为（）A． B． C． D．【分析】先根据余弦定理求出角∠BAC的余弦值，再由角的范围确定大小即可．【解答】解：∵，又∠BAC∈（0，π），所以．故选：A．【点评】本题主要考查余弦定理的应用．在三角形中求出余弦值找对应的角时切记莫忘角的范围．4．（5分）已知向量，则向量的模为（）A． B．4 C．2 D．【分析】首先求得向量的坐标，再利用坐标进行计算．【解答】解：由，可得，则．故选：C．【点评】本题考查向量的坐标运算，属基础题．5．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】先对复数进行化解，然后由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案．【解答】解：＝＝对应点（）在第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．6．（5分）△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠B＝60°，则cosC＝（）A． B． C． D．【分析】由已知及正弦定理可得sinC＝＝，又AB＜AC，利用大边对大角可得C为锐角，根据同角三角函数基本关系式即可求得cosC得值．【解答】解：∵AB＝2，AC＝3，∠B＝60°，∴由正弦定理可得：sinC＝＝＝，又∵AB＜AC，C为锐角，∴cosC＝＝．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7．（5分）＝（）A． B．1 C． D．【分析】把分子中的cos10°化为cos（30°﹣20°），利用两角差的余弦公式进行计算即可．【解答】解：＝＝＝＝．故选：D．【点评】本题主要考查了两角差的余弦公式的应用问题，是基础题．8．（5分）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”．“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，其比值为，这一比值也可以表示为m＝2sin18°，若2m2+n＝8，则＝（）A．2 B．4 C． D．【分析】结合二倍角公式，诱导公式，对所求式子进行化简，即可．【解答】解：因为m＝2sin18°，2m2+n＝8，所以n＝8﹣2m2＝8﹣2•（2sin18°）2＝8（1﹣sin218°）＝8cos218°，所以＝＝＝2．故选：C．【点评】本题考查三角函数的求值，熟练掌握二倍角公式，诱导公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分；三个正确选项时，选对一个的得2分，选对二个的得4分；两个正确选项时，选对一个的得3分；有选错的得0分）（多选）9．（6分）已知向量＝（2，﹣1），＝（﹣3，2），＝（1，1），则（）A．∥ B．（+）⊥ C．+＝ D．＝5+3【分析】由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，得出结论．【解答】解：∵向量＝（2，﹣1），＝（﹣3，2），＝（1，1），∴≠，∵不平行，故排除A；∵（+）•＝（﹣1，1）•（1，1）＝﹣1+1＝0，故（+）⊥，故B正确；∵+＝（﹣1，1），故C不正确；∵5+3＝（1，1），故D正确，故选：BD．【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题．（多选）10．（6分）下列各式化简正确的是（）A．cos80°cos20°+sin80°sin20°＝cos60° B．cos75°＝cos45°cos30°+sin45°sin30° C． D．sin（α+45°）sinα+cos（α+45°）cosα＝sin45°【分析】由两角和与差的三角函数，结合诱导公式求解．【解答】解：对于选项A，cos80°cos20°+sin80°sin20°＝cos（80°﹣20°）＝cos60°，即选项A正确；对于选项B，cos75°＝cos（45°+30°）＝cos45°cos30°﹣sin45°sin30°，即选项B错误；对于选项C，＝，即选项C正确；对于选项D，sin（α+45°）sinα+cos（α+45°）cosα＝cos（[α+45°）﹣α]＝cos45°＝sin45°，即选项D正确．故选：ACD．【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，重点考查了诱导公式，属基础题．（多选）11．（6分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A．若sinB＞sinC，则B＞C B．若，则三角形有一解 C．若bcosB﹣ccosC＝0，则△ABC一定为等腰直角三角形 D．若△ABC面积为，则【分析】运用正弦定理结合条件逐项计算求解可判断即可．【解答】解：A中，由正弦定理得，因为sinB＞sinC，所以b＞c，则B＞C，故A正确；B中，因为，，由正弦定理得，则，因为a＞b，所以A＞B，则，所以有一解，故B正确；C中，因为bcosB﹣ccosC＝0，所以sinBcosB﹣sinCcosC＝0，即sin2B＝sin2C，所以2B＝2C或2B+2C＝π，即B＝C或，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故C错误；D中因为△ABC面积为，所以，即sinC＝cosC，因为C∈（0，π），所以．故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属中档题．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．（5分）已知i为虚数单位，则（2﹣i）2＝3﹣4i．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：（2﹣i）2＝22﹣4i+i2＝4﹣4i﹣1＝3﹣4i．故答案为：3﹣4i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．13．（5分）设＝（x，3），＝（2，﹣1），若与的夹角为钝角，则x的取值范围是{x|x且x≠﹣6}．【分析】根据的夹角为钝角即可得出，且不平行，从而得出，解出x的范围即可．【解答】解：∵的夹角为钝角，∴，且不平行，∴，解得，且x≠﹣6，∴x的取值范围是．故答案为：．【点评】考查向量数量积的坐标运算，平行向量的坐标关系，以及向量数量积的计算公式．14．（5分）若关于x的不等式|asin2x+bsinx+c|≤1（a＞0）的解集为[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，则a的取值范围是（0，8]．【分析】令t＝sinx，将问题转化为关于t的不等式﹣1≤at2+bt+c≤1（a＞0）的解集为[0，1]，结合二次函数的性质，即可求出结果．【解答】解：令t＝sinx，若关于x的不等式|asin2x+bsinx+c|≤1（a＞0）的解集为[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，等价于若关于t的不等式|at2+bt+c|≤1（a＞0）的解集为[0，1]，即关于t的不等式﹣1≤at2+bt+c≤1（a＞0）的解集为[0，1]，若a＞0，可知函数y＝at2+bt+c的对称轴为t＝，开口向上，∴函数y＝|at2+bt+c|图象如图所示，当t＝0时，c＝1，当t＝1时，a+b+c＝1，∴b＝﹣a，最小值为t＝时，，∴，解得0＜a≤8，即a∈（0，8]．故答案为：（0，8]．【点评】本题考查含绝对值不等式、一元二次不式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤），15．（13分）已知平面向量＝（1，x），＝（2x+3，﹣x），x∈R．（1）若⊥，求x的值；（2）若∥，求|﹣|的值．【分析】（1）由⊥，•＝0，我们易构造一个关于x的方程，解方程即可求出满足条件的x的值．（2）若∥，根据两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，构造一个关于x的方程，解方程求出x的值后，分类讨论后，即可得到|﹣|．【解答】解：（1）∵⊥，∴•＝（1，x）•（2x+3，﹣x）＝2x+3﹣x2＝0整理得：x2﹣2x﹣3＝0解得：x＝﹣1，或x＝3（2）∵∥∴1×（﹣x）﹣x（2x+3）＝0即x（2x+4）＝0解得x＝﹣2，或x＝0当x＝﹣2时，＝（1，﹣2），＝（﹣1，2）﹣＝（2，﹣4）∴|﹣|＝2当x＝0时，＝（1，0），＝（3，0）﹣＝（﹣2，0）∴|﹣|＝2故|﹣|的值为2或2．【点评】本题考查的知识是数量积判断两个平面向量的垂直关系，向量的模，平行向量与共线向量，其中根据“两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，两个向量若垂直，对应相乘和为零”构造方程是解答本题的关键．16．（15分）已知复数z和它的共轭复数满足2z+＝3+2i．（1）求z；（2）若z是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，求复数的模．【分析】（1）根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数相等的条件，即可求解．（2）根据已知条件，结合韦达定理，求出p，q，再结合复数的四则运算，即可求解．【解答】解：（1）设z＝a+bi（a，b∈R），则，＝2（a+bi）+（a﹣bi）＝3a+bi＝3+2i，所以，解得a＝1，b＝2，故z＝1+2i．（2）∵z是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，∴是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的另一个根，∴，解得p＝﹣2，q＝5，∴||＝||＝∴复数的模为．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数相等的条件，属于基础题．17．（15分）平行四边形ABCD中；AB＝2，AD＝1，∠BAD＝120°，求：（1）的值；（2）cos∠BAC【分析】（1）由平面向量的线性运算和数量积运算计算即可；（2）由平面向量夹角的计算公式计算即可．【解答】解：（1）由题可得：＝，所以＝＝4﹣1＝3；（2）因为，所以＝，所以．【点评】本题考查平面向量的数量积与夹角运算，属于基础题．18．（17分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求B；（2）若b＝2，求△ABC的面积的最大值．【分析】（1）运用正弦定理和两角和差的正弦公式，结合正弦函数的特殊值可得所求角；（2）运用余弦定理和基本不等式可得ac的最大值，再由三角形的面积公式可得所求值．【解答】解：（1）因为，所以由正弦定理可得，即，……（2分）所以，又sinC≠0，所以，即，又B∈（0，π），所以．……（6分）（2）在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accosB，即22＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac＝ac，……（8分）所以ac≤4，当且仅当a＝c＝2时取等号，……（9分）所以，故△ABC的面积的最大值为．……（12分）【点评】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查基本不等式的运用和化简整理的运算能力，属于中档题．19．（17分）已知向量＝（cos，sin），＝（cos，﹣sin），函数f（x）＝