2024届北京市房山区高三一模数学试卷（含答案与解析）

2024届北京市房山区高三一模试卷

数学

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.已知全集"={—2，T，°，1，2},集合A={1,2},则gA=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{-2,-1,0}C.{-2,-1,1}D.{-2,-1）

2.抛物线x2=4y的准线方程为（）

A.x=—1B.x=1C.y——1D.y=1

3.己知i是虚数单位，若复数z=（/n-i＞（3+i）是纯虚数，则实数机的值是（）

A.—3B.3C.—D.—

33

TT

4.已知角々的终边经过点（3,4）,把角a的终边绕原点。逆时针旋转,得到角夕的终边，则sin/?=

（）

5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减

一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健

步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第三天走的路

程为（）

A.12里B.24里C.48里D.96里

JT

6.直线/:%+丁+2=0截圆加：必+｝；2=，&〉0)所得劣弧所对的圆心角为§,则厂的值为()

A.V6B.垃C.显D.逅

323

7."0<x<1”是“|x(x-1)1=x(l-x)”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C充要条件D.既不充分也不必要条件

8.已知a,b,ceR,则下列命题为假命题的是()

A.若a>b,则a+c>Z?+cB.若a>6>0,则a。,〉/?。"

(1Y+c(1^+cbb+c

C.若a>b,贝<-D.若a>人>0,c>0,则一>----

(2)(2)aa+c

9.在平面直角坐标系中，已知A(—l,。),5(1,0)两点.若曲线C上存在一点P,使P4.PB<O,则称曲线

C为“合作曲线”，给出下列曲线：①2/_/=1；②2月+丁2=1；③2x+y=4.其中“合作曲线”是

()

A.①②B.②③C.①D.②

ln(l-x),xe(-oo,0]

10.若函数/(x)=11则函数g(x)=/(x)+x+c零点的个数为()

”,xe(O,+“)

A.1B.2C.1或2D.1或3

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.双曲线二匕=1的离心率是

22

12.如图.已知矩形A3CD中，AB=4,AD=2,M,N分别是BC,CD的中点，则4W.3N=

B

nn

13.设(1-X)"=4+。逮+。2%2++anX,则/=;当。8=一。9时，=.

14.若对任意m.eR,函数/(刈满足/'(加)/(〃)=/(加+〃)，且当机＞“时，都有/O)＜/("),则函数

/(%)的一个解析式是.

15.如图，在棱长为1的正方体ABC。—44Goi中，点尸是对角线AG上的动点(点P与点A,G不重

合).给出下列结论：

①存在点尸，使得平面平面A&G；

②对任意点p,都有42=。尸；

③△4。尸面积的最小值为也；

6

④若4是平面ADP与平面的夹角，％是平面4QP与平面54G。的夹角，则对任意点尸，都

有e产仇•其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.如图，在五面体ABCDEF中，四边形A3CD是矩形，平面ADEL平面A3CD,VADE是正三角

形，EF=2,AB=4,AD=2.

(1)求证：EF//AB-

(2)求二面角尸—3C—£＞的余弦值.

17.ABC中，cos2A=—,a=7,日a<c.

2

（1）求NA的大小；

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，使存在且唯一确定，求

的面积.

条件①：c=8,NC为锐角；

条件②：cos2C=—；

49

条件③：sinB=36.

14

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个

解答计分.

18.《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度，下表是我国现行《田径运动员技术

等级标准》（单位：m）（部分摘抄）：

项目国际级运动健将运动健将一级运动员二级运动员三级运动员

男子跳远8.007.807.306.505.60

女子跳远6656.355.855.204.50

在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生，为

预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下

数据（单位：）：

甲:6.60,6.67,6.55,6.44,6.48,6.42,6.40,6.35,6.75,6.25；

乙：6.38,6.56,6.45,6.36,6.82,7.38；

丙：5.16,5.65,5.18,5.86.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立，

（1）估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率；

（2）设X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计X的数学

期望E（X）；

（3）在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳6次，取6次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级

比赛中，甲已完成6次试跳，丙已完成5次试跳，成绩(单位：m)如下表:

第1跳第2跳第3跳第4跳第5跳第6跳

甲6.506.486.476.516.466.49

丙5.845.825.855.835.86a

若丙第6次试跳的成绩为°,用sj,s2?分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当邑2=*2时，写出。的

值.(结论不要求证明)

22

19.己知椭圆E:=+g=l(a〉6〉0)的离心率为左焦点为耳(—L0),过£的直线交椭圆E于A、

5两点，点M为弦AB的中点，。是坐标原点，且由于M不与。，月重合.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若P是QW延长线上一点，且OP的长度为2,求四边形。面积的取值范围.

20已知函数/■(%)=*+!.

x

(1)当。=0时，求曲线y=在点(L/⑴)处切线方程；

(2)设g(x)=/'(x>x2,求函数g(x)的极大值；

(3)若a<-e,求函数的零点个数.

21.己知无穷数列｛4｝是首项为1,各项均为正整数的递增数列，集合

A=｛keN*|a“<左<a"+i，〃eN*｝.若对于集合A中的元素4，数列｛%｝中存在不相同的项

%，％，%,，使得4+皈++%=左，则称数列｛%｝具有性质N(£),记集合8=｛用数列｛4｝具

有性质N(k)｝.

,,f2n-1,n<4,

(1)若数列｛%｝的通项公式为4=1,“写出集合A与集合3

[〃+6,〃>4.

(2)若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为集合B中的最小元素为s,当『23

时，证明：t=s-

(3)若｛4｝满足2a“N4+i，〃eN*,证明：A=B.

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.已知全集"={—2，T，°，1，2},集合A={1,2},则gA=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{-2,-1,0}C.{-2,-1,1}D.{-2,-1）

【答案】B

【解析】

【分析】根据补集的定义即可得解.

【详解】因为全集。={—2,—1,0,1,2},集合A={1,2},

所以gA={—2,—l,0}.

故选：B.

2.抛物线x2=4y的准线方程为（）

Ax=—lB.x=lC.y=-lD.y=1

【答案】c

【解析】

【分析】根据抛物线标准方程即可求解.

【详解】由题知，抛物线方程为必=4〉，

则其准线方程为y=-L

故选：C

3.已知i是虚数单位，若复数2=（"2-。・（3+。是纯虚数，则实数机的值是（）

A.—3B.3C.—D.一

33

【答案】C

【解析】

【分析】先根据复数的乘法运算求出复数Z,再根据纯虚数的定义即可得解.

【详解】z=(m-i)-(3+i)=3m+l+(m-3)i,

因为复数z=(加—i)•(3+i)是纯虚数,

3m+1=0

所以解得加=

m-3w03

故选：C.

TT

4.己知角e的终边经过点(3,4),把角0的终边绕原点。逆时针旋转l得到角夕的终边，则sin/?=

()

4433

A.——B.-C.--D.-

5555

【答案】D

【解析】

7T

【分析】由题意可得〃=a+5,再根据诱导公式及三角函数的定义即可得解.

【详解】因为角々的终边经过点(3,4),

33

所以C3赤丁丁

TT

因为把角a的终边绕原点。逆时针旋转,得到角B的终边,

JT

所以夕=a+万，

所以sin,=sinja+巴］=cosa=—.

故选：D.

5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：”三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减

一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健

步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第三天走的路

程为()

A.12里B.24里C.48里D.96里

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得，此人6天中每天走的路程是公比为3的等比数列，再根据等比数列的前九项和公式及

通项公式求解即可.

【详解】由题意可得，此人6天中每天走的路程是公比为g的等比数列，

设这个数列为{4},前〃项和为5“，

小一；]63

贝I]s6=△―H=—°=378,解得q=192,

6.132

1----

2

所以。3=192X*=48,

即该人第三天走的路程为48里.

故选：C.

JT

6.直线/：x+y+2=。截圆加：f+产=产(厂〉0)所得劣弧所对的圆心角为则厂的值为()

Af2R2屈y/6A/6

323

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件用圆的半径r表示出圆心到直线X+y+2=0距离即可计算作答.

7T

【详解】因直线/截圆M所得劣弧所对的圆心角为不，

令劣弧的两个端点为A,3,则为等边三角形，

即2秋汨246

即一^==——r,解得r=----.

V1+123

故选：B.

7.“0<%<1”是"|%0-1)|=x(1-功”的()

A,充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】先求出|x(x-l)|=Ml-x),再由充分条件和必要条件的定义求解即可.

【详解】由|%(%-1)|=尤(1一%)可得：x(x-l)<0,

解得：0<%<1,

所以"0<x<1"能推出“Ix(x-1)|=x(l-x)”，

但“|x(x—l)|=x(l—x)”推不出"0<x<l"，

所以"0<x<1”是“Ix(x-1)|=Ml-％)”的充分不必要条件.

故选：A.

8.已知仇ceR,则下列命题为假命题的是()

A.若a>b,则a+c>〃+cB.若a>6>0,则a。,〉/?。"

(1V+c门bb+c

C,若a>b,则|上|<-D.若a>b>0,c>0,则一>----

(2)(2)aa+c

【答案】B

【解析】

【分析】根据不等式的性质即可判断A；根据累函数单调性可判断B；根据指数函数的性质即可判断C；利

用作差法即可判断D.

【详解】对于A,因为。>>，所以a+c>Z?+c,故A结论正确；

对于B,当a>5>0时，因为塞函数y=在(0,+“)上单调递增，所以故B结论正

确；

对于C,因为〃>人，所以a+c>b+c,

而函数y=为减函数，所以[3]<(；)，故C结论正确；

bb+c6(Q+C)-Q(Z?+C)c(b-a)

aa+ca(a+c}a(a+c}'

因为Q>Z?>0,C>0,所以c(b-〃X(),a(a+c》O,

bb+cc（b—ci\bZ?+c

所以--------=-）~（<0,所以2〈生上，故D结论错误.

aa+ca^a+c）aa+c

故选：B.

9.在平面直角坐标系中，已知A（-1,0）,5（1,0）两点.若曲线C上存在一点P,使P4.PB<0,则称曲线

C为“合作曲线”，给出下列曲线：①2y2一好=1；②2炉+丁2=1；③2x+y=4.其中“合作曲线”是

（）

A.①②B.②③C.①D.②

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，设点P（x,y）,由“合作曲线”的定义可知，曲线。上存在点？（九》）,使得/+

然后逐一判断，即可得到结果.

【详解】设点P（羽丁），则PA=（-l-x,-力尸8=（13-y）,

由PA-PB<0可得一1+f+/<0，即d+/<1,

即曲线。上存在点P（x,y）,使得k+/<1,即为“合作曲线”，

对于①，由双曲线2y2—必=i可得等力=i,

则双曲线2y2—必=1上存在点「满足f+/<],故①为，，合作曲线，，；

对于②，由椭圆2炉+/=1可得。=11=@,

-2

则椭圆2必+V=1上存在点尸满足炉+炉<1,故②为“合作曲线,，；

对于③，因为圆心（0,0）到直线2x+y=4的结论d=凳>1，

故直线2x+y=4上不存在一点P满足必+/<1,故③不为“合作曲线，，；

故选：A

ln（l-x）,xG（-o）,0]

10.若函数=11/八、，则函数g（x）=/（%）+x+c零点的个数为（）

匹,%£（0,+8）

A.1B.2C.1或2D.1或3

【答案】A

【解析】

【分析】令g(x)=/(x)+x+c=O,则/(x)+x=-c,则函数g(x)零点的个数即为函数

丁=/(%)+羽y=一。图象交点的个数，构造函数可％)=/(力+》,利用导数求出函数/z(x)的单调区

间，作出其大致图象，结合图象即可得解.

ln(l-x),xe(-oo,0]ln(l-x),%e(-co,0]

【详解】/(x)=\1、=J^,xe(O,l),

Le

-,xe[l,+Cc)

lx

令g(x)=/(x)+x+c=。，则/(%)+%=—C,

则函数g(x)零点的个数即为函数y=/(%)+无y=-C图象交点的个数，

ln(l-%)+x,%G(一a,0]

令h(x)=/(%)+%=<2%,%w(0,1)

—+X,XG[1,+8)

1y

当XG(Y,0]时，"(x)=ln(l-x)+x,则/(%)=----+1=——>0,

x~lx—1

所以函数M%)在上单调递增，且〃⑼=o,

当xe(0,l)时，A(x)=2xe(0,2),

当xe[l,+oo)时，//(%)=—+x,则〃(%)=—-!+]=「J20,

犬XX

所以函数/©)在[1,”)上单调递增，且丸⑴=2,

又当尤f_8时入(九)f―00,当Xf+8时，M九)f+8,

作出函数人(力的大致图象如图所示，

y*歹淤)

2年尸。

4"

由图可知函数y=f(x)+x,y=-c的图象有且仅有一个交点，

所以函数g(x)=/(%)+%+c零点的个数为1个.

故选：A.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，

然后将问题转化为函数图象与无轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思

想和分类讨论思想的应用；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

⑶参变量分离法：由/(x)=0分离变量得出a=g(x),将问题等价转化为直线,=。与函数

y=g(x)的图象的交点问题.

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

22

11.双曲线匕=1的离心率是.

22

【答案】V2

【解析】

【分析】由双曲线的标准方程求出a,4c,即可求出双曲线的离心率.

22

【详解】由双曲线与=1可得：a=b=Rc=&+b2=2,

22

xVc2/T-

所以双曲线±—±二1的离心率是e=—=—彳=J2.

22a<2

故答案为：72.

12.如图.已知矩形A3CD中，AB=4,AD=2,M,N分别是BC,CD的中点，贝1加0.附=

【答案】-6

【解析】

【分析】用AD、AB作为一组基底表示出AM，BN，再根据数量积的运算律计算可得.

【详解】依题意AM=+=48+工8。=AB+」AD,

22

BN=BC+CN=AD+-CD=AD--AB,

22

所以AM.3N=(AD—+

12123

=——AB+-AD+-ABAD

224

1.71一，3._兀

=——义4-+—x2-+—x4x2cos—=-6.

2242

故答案为：-6

nn=

13.设(1-X)"=4+。逮+。2炉++anx,贝！］/=；当。8=一。9时，.

【答案】①.117

【解析】

【分析】令x=0可求出4；先求出(l—x)"的通项，令厂=8和厂=9,求出“8，%，再由。8=-。9，即可

求出九的值.

【详解】令九=0可得：1=。0，

(1-xf的通项为:Tr+1=C：(-切=C：(-1/£,

令厂=8可得a8=C(—l)8=C：，

令厂=9可得的=C：(—1)9=—C〉

所以由为=一。9可得C：=C:,所以〃=17.

故答案为:1；17.

14.若对任意〃Z,〃WR,函数/a）满足/■（〃z）y（"）=/'o+〃），且当加〉〃时，都有/o）＜/（”），则函数

/（%）的一个解析式是

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据指数的运算性质及指数函数的单调性即可得解.

可取小）=出

【详解】由题意，

函数=是减函数，满足相〉"时，都有/（相）＜/（〃），

=f^m+n),

所以函数/⑴=满足题意.

故答案（答案不唯一）

15.如图，在棱长为1的正方体ABC。—A4GR中，点尸是对角线AQ上的动点（点尸与点A,q不重

合）.给出下列结论：

①存在点尸，使得平面ADP，平面AAG；

②对任意点p,都有4尸=。「；

6

④若4是平面ADP与平面的夹角，％是平面ADP与平面55cle的夹角，则对任意点P,都

有a彳2.其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②③④

【解析】

【分析】①可通过线面垂直的判定定理找到点P;②③④都可以通过建立空间直角坐标系解决，其中通过向

量的长度可以对②进行判断；利用两条直线所成的角和三角形面积公式可以判断③；求出三个面的法向量，

并求出COS4和cos，2,即可对④进行判断.

【详解】①因为AG在AG上取点P使AC]

因为A。DP=D,ARDPu平面ADP，所以AC1，平面4。尸，

因为AC】u平面A&C，所以平面ADPL平面A&G，故①正确；

②以D1为原点，以24,AC，2。分别为苍y,z轴建立空间直角坐标系，如图

A(1,0,0),D(0,0,l),4(1,0』)，q(0,1,0),则相4A=(0,0,l),ZM=(1,0,0)

设AP=2AC]=2(-l,l,-l)=(-2,2,-^)(0<2<l),则

4。=AA+AP=(0,0,1)+(-2,A,-2)=(-A,2,1-2),

DP=n4+AP=(l,0,0)+(-2,2,-A)=(l-2,/l,-2),

从而|AP|=^(-2)2+22+(l-2)2=,3%-22+1，|=^/(1-2)2+22+(-2)2=J3%-22+1,

所以AP=DP,故②正确;

③由②4。1)，4尸=(—x)，Aj)•A1P=2+1—%=i,

cosa。,4尸=华；40=—~1=1

1H，AP|V2XV3A2-22+1,6储—44+2

1_46%—42+1

sinA。,4尸二

642—42+2,6%-4X+2

2

SADP=-|^||AnisinA}D,A1P=-xV2x732-22+lx奴+,

225/6A2—4Z+2

＜加…4-rf=f

④平面的法向量4=(0,0,1),平面551GC的法向量%=(0,1,0),

,、n,-AD=QT+Z=O

设平面A。尸的法向量4=(羽％z),由：I即。,八八八得22-1，令

''7"3,4尸=。-/tx+2y+(l-2)z=0y=%

x=4得4=(2,22-1,2),

则cos4=j,22-1

cosa=

同，令4=2A—1得4=1,M0</l<1,从而对任意点P,都有

cos4中cos02,Gw%，故④正确;

故答案为：①②③④.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.如图，在五面体A5CDEF中，四边形A3CD是矩形，平面ADEL平面A3CD，VADE是正三角

形，EF=2,AB=4,AD=2.

(1)求证：EF//AB.

（2）求二面角E—BC—D的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵空

7

【解析】

【分析】（1）证明A6〃平面COM,再根据线面平行的性质即可得证；

（2）分别取的中点。连接OE,OM,根据面面垂直的性质可得OEL平面A3CD,再以

点。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【小问1详解】

因为AB//CD,AB<z平面CDEF,CDu平面CDEF,

所以A6〃平面CDEF,

又平面ABbE平面CDEF=£F,ABu平面

所以访〃AB；

【小问2详解】

如图，分别取AD/C的中点,连接OE,OM,

则。河，5。,。河=48,

因为VADE是正三角形，所以OELAD,OE=6,

又平面ADE_L平面ABCD,平面ADEI平面ABCD=A£）,平面ADE,

所以OEL平面A3CD,

如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，

则3（1,4,0）,C（—l,4,0）,石（0,0,若），尸（0,2,6），

设平面BCF的法向量为〃=（x,y,z）,

n-CB=2x=0

则有<可取卜

nCF-x-2y+市z=0

因为OEL平面ABC。,

所以OE=e，0,C）即为平面A3CD的一条法向量,

nOE26_26

贝Ucosn,(?E=

HH77x73~7

所以二面角E—3C—D的余弦值为亚.

7

17.在ABC中，cos2A=一一,a=7,且a<c.

2

（1）求NA的大小；

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使一ABC存在且唯一确定，求

.ABC的面积.

条件①：。=8,NC为锐角；

条件②：cos2C=—；

49

条件③：sinB=36.

14

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个

解答计分.

【答案】（1）4=];

（2）①，5ABe=1。6；③，SAABC=6>j3.

【解析】

【分析】（1）根据得/A为锐角，从而根据cos2A的值得到NA的大小；

（2）②由正弦定理得sinC,根据/C为锐角得cosC,则一ABC存在且唯一确定，进而得到sinB,由

SAABC=gacsinB得到-ABC的面积；

③由正弦定理得边b,再根据sinC=sin（A+5）得到sinC,由S=g出7sinC得到的面积.

【小问1详解】

12n471

因为q<c,所以Ac0，T，所以2440,兀）,由cos2A=——得2A=—'A=§

23

【小问2详解】

选条件①：c=8,NC为锐角;

78

sinC知sinC=4拒

由正弦定理一L—即n

sinAsinCsin-7

因为NC为锐角,所以cosC=A/1-sin2<7=—,所以存在且唯一确定.

7

/、

JI+旦。sC=速

sinB=sin(力+C)=sinC+—=-sin<7

、3J2214

从而s,.=-acsinB=-x7x8x

22

选条件②:cos2C=-由得C>A,从而/C可能是锐角，也可能是钝角，贝/ABC不唯一,

49

故不能选②;

选条件③：sin3=V叵,

14

712

由sin5<sin—=sinA,得b<a,所以Be[0,、J,cosB=Vl-sinB=-

314

7

由正弦定理上b

sinAsinB

214

sinC=sin(/+8)=——x--------1——X-------

142147

=-«Z?sinC=-x7x3x^

=6^/3-

227

18.《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度，下表是我国现行《田径运动员技术

等级标准》（单位：m）（部分摘抄）:

项目国际级运动健将运动健将一级运动员二级运动员三级运动员

男子跳远8.007.807.306.505.60

女子跳远6.656.355.855.204.50

在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生，为

预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下

数据（单位：）：

甲:6.60,6.67,6.55,6.44,6.48,6.42,6.40,6.35,6.75,6.25；

乙：6.38,6.56,6.45,6.36,6.82,7.38；

丙：516,5.65,5.18,5.86.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立，

（1）估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率；

（2）设X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计X的数学

期望E（X）；

（3）在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳6次，取6次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级

比赛中，甲已完成6次试跳，丙已完成5次试跳，成绩（单位：m）如下表：

第1跳第2跳第3跳第4跳第5跳第6跳

甲6.506.486.476.516.466.49

丙5.845.825.855.835.86a

若丙第6次试跳的成绩为a,用电2,%2分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当为2=*2时，写出。的

值.（结论不要求证明）

【答案】（1）|

（2）E（X）=1.4

⑶。=5.81或a=5.87.

【解析】

【分析】（1）由已知数据计算频率，用频率估计概率；

(2)由X的取值，计算相应的概率，由公式计算数学期望E(X)；

(3)当两人成绩满足乂=.+〃(，=1,2,3,4,5,6)的模型，方差相等.

【小问1详解】

甲以往的10次比赛成绩中，有4次达到国家二级及二级以上运动员标准，

42

用频率估计概率，估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率为一=—；

105

【小问2详解】

设甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员分别为事件A瓦C,

211

以往的比赛成绩中，用频率估计概率，有P(A)=g,P(C)=-,

X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数,

则X可能的取值为0,1,2,3,

p（X=0）=P（ABC）=|x|x|3

20

P（X=l）=P（ABC）+P（ABC）+P（^C）=fxlxl+fxlxl+fxlxl=A）

2113112117

p（X=2）=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）=—x—X——F—X—X——I——x—x—二——

52252252220

P（X=3}=P（ABC}=-x-x-=—,

''v752220

3872

估计X的数学期望石（X）=0x—+lx—+2x—+3x—=1.4；

v'20202020

【小问3详解】

甲的6次试跳成绩从小到大排列为：6.46,6.47,6.48,6.49,6.50,6.51,

设这6次试跳成绩依次从小到大为x,.(/=1,2,3,4,5,6),

丙的5次试跳成绩从小到大排列为：5.82,5.83,5.84,5.85,5.86,

设丙的6次试跳成绩从小到大排列依次为％(z=1,2,3,4,5,6),

当a=5.81时，满足y=%一0.65«=1,2,3,4,5,6),5；=邑2成立;

当a=5.87时，满足％=不一0.64«=1,2,3,4,5,6),s/ns??成立.

所以。=5.81或〃=5.87.

19.已知椭圆E:二+==1（。〉6〉0）的离心率为9,左焦点为耳（一L0）,过月的直线交椭圆E于A、

a'b"

8两点，点M为弦AB的中点，。是坐标原点，且由于M不与。，耳重合.

（1）求椭圆E的方程；

（2）若P是。欣延长线上一点，且OP的长度为2,求四边形。面积的取值范围.

22

【答案】（1）—+^=1

43

（2）（3,4）

【解析】

【分析】（1）根据椭圆离心率以及焦点坐标，直接求出。、J再根据确定〃即可求出椭

圆方程；

（2）根据已知条件设出直线方程，直曲联立，利用韦达定理确定确定石+%，占・％2,利用中点坐标公式

求出加点坐标，得到直线的方程，求出点A、8到直线的距离，结合已知条件可以表示出四边形

Q4PB面积为S,根据产的取值范围，即可求解四边形Q4P6面积的取值范围.

cl

因为e=—=—,得〃=2c；又片（一1,0）,所以。=1,所以〃=2；

a2

所以从=々2—=4—1=3,所以椭圆的方程为三+工=1.

43

【小问2详解】

设过6的直线为/,与椭圆两交点坐标分别为5（%,%），

由于〃不与。，耳重合，可知直线/的斜率存在且不为0,

y=kx+k

根据已知条件设直线/方程为y=笈+左，联立直线方程与椭圆方程1-2

—+—=1

143

整理有（3+4%2）X2+8左2%+4左2-12=0；

A＞0,即64/—4（3+4左2）（4左2_12）＞0,整理有：12?（左？+1）＞0恒成立；

-8k24k2-12

根据韦达定理:x+x=

}23+4423二百二

%+x_-4左2

因为V为弦AB的中点，所以为=2

~13+4产

3”

因为M在直线/上，所以y"=K+左，解得3b

所以直线。肠的斜率为心材=也=一吃,3

所以直线OM的方程为y=----x,

%4k4k

化为一般式为：3%+46=0；