2023年浙江省高中数学竞赛试卷(含答案)

2023年浙江省中学数学竞赛试卷

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后

的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）

、

八3一幺〜丁山一cos4x+si•n4x+si.n0-xcos"x_,,/、

1.化简二角有理式-7------7--------5-----「的值为（A）

sinx+cosx+2sinxcosx

A.1B.sinx+cosxC.sinxcosxD.1+sinxcosx

解答为Ao

分母=（sin2x+cos2x）（sin4x+cos4x-sin2xcos2%）+2sin2xcos2x

=sin4x+cos4x+sin2xcos2x°

2.若p:，+x+l）Jx+3NO,q:x>-2,则P是"的（B）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解答为B。p成立OX2—3,所以P成立，推不出q肯定成立。

3.集合P={*ce尺k+3|+|x+6|=3},则集合。2为（D）

A.{X|X<6,BJCV>3}B.{A]X<6,^CV>—3}

C.{.%<-6,或1>3}D.{x[x<—6,或x>—3}

解答：D。画数轴，由肯定值的几何意义可得-6WxW-3,

,

/=|x|—6<x<-3|,CRP={x|x<-6,>—3}。

4.设。/为两个相互垂直的单位向量。已知0P=。，OQ-b,OH=r〃+k力.若△PQR

为等边三角形，则k,r的取值为（C）

,i±61±6

A.1二土叵B.k=——r=-----

222

,1±>/3,-1+V3-1+73

C.k=r=-----D.k=....-r=------

222

解答.C.|「。=|。用=|冏,

即J产+（々—1）2=7（r-l）2+A:2=母,解得r=k=粤3

5.在正三棱柱ABC—AiBiCi中，若AB=^BBi，贝ljCAi与JB所成的角的大小是

（C）

A.60°B.75°C.90°D.105°

解答：c。建立空间直角坐标系，以A5所在的直线为x轴，在平面AAG上垂直于4月的

直线为y轴，B当所在的直线为z轴。则A（JIO,O），G（［，半，°），c（5,等」），

6（0,0』），CA=（冬一手,一1）,£8=（一¥，一半,1）,。4・£3=（）0

6.设｛q｝，也｝分别为等差数列与等比数列，且4=4=4,%=4=1，则以下结论

正确的是（A）

A.a2>b2B.a3<b3C.a5>b5D.%>4

解答：Ao

3行

设等差数列的公差为d,等比数列公比为q,由4=々=4,%=仇=1,得d=T,q=牛

得%=3,a=2-^2；。3=2,4=；%=°，”5=；。6=—L06=

7.若元£/?+,则（1+2工厂的二项式绽开式中系数最大的项为（D）

A.第8项B.第9项C.第8项和第9项D.第11项

9Q32

解答:D."针,由八却，加包一了"守口。，第"项最大。

8.设/（x）=cosj,a=/（logJ）,b=/（log」）,c=/（log|，■）,则下述关系式正

5ne-

确的是（D）。

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c

Y7T

解答：D。函数/（X）=COSg为偶函数，在（0,―）上，/（x）=cosx为减函数，而

,1.11,12

log,一=一10gt■万，log.-=--：--------,logIF=2log,乃，

兀elog,7t-n

0<~?—<log,万：2log.

—<—,所以匕>a>c。

5log,71554

9.下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为(C)

正视图：半径为1

侧视图：半径为1的一圆俯视图：

的半圆以及高为14

半径为1的圆

的矩形以及高为1的矩形

3乃244万3左

A.--B.---C.---D.--

2334

解答：C.依据题意，该立体图为圆柱和一个1/4的球的组合体。

10.设有算法如下：

假如输入A=144,B=39,则输出的结果是(B)

A.144B.3C.0D.12

解答B(1)A=144,B=39,C=27：(2)A=39,B=27,C=12：(3)A=27,B=12,C=3：(4)

A=12,B=3,C=0。所以A=3。

二、填空题(本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分)

11.满意方程7^-2009-2A/X-2010+Jx-2009+2jx-2010=2全部实数解为

2010<x<2011o

解答变形得J(疝2010-1)2+J(jx—2010+17=2=>0«&-2010«1,解得

2010<x<2011»

XX

12.xeR,函数/(x)=2sin/+3cos§的最小正周期为臣.

解答2s呜的周期为4万,3cos；的周期为6乃，所以函数/Xx)的周期为12万。

13.设P是圆/+>2=36上一动点，A点坐标为(20,0)。当p在圆上运动时，线段PA的

中点M的轨迹方程为(x-10)2+y2=9.

解答设M的坐标为(x,y),设P点坐标为(x°,%),则有x=亚型,、=及

^xo=2x-2O,yo=2y,因为P点在圆上，所以(28一20尸+(2y>=36所以P点轨迹

为“一10)2+丁=9。

14.设锐角三角形ABC的边BC上有一点D,使得AD把aABC分成两个等腰三角形，试求△

ABC的最小内角的取值范围为

30°<x<45°或22.5°<x<30°.

解答如图，(1)AD=AC=BD；(2)DC=AC,AD=BD。

(1)

(2)

在(1)中，设最小的角为x,则2x<90,得x<45,又x+180-4x<90,得x>30,所以30Vx<45；

在(2)中，设最小的角为x,则3x<90,得x<30,又180-4x<90,得x>22.5,所以22.5<x<30.

15.设z是虚数，w=z+,，且一l<w<2,则z的实部取值范围为—

z2

1•I

解答设z=a-^bi^>—i<a+bi+———l<2=>/?----T=。=>b=O^tz2+Z?2=1

a2+b2a2+h2

当£>=0,无解；当。2+/=1=>——<<7<1»

2

16.设/(%)=一X+1)-/(I-x)4。假如对任何Xe[0,1],都有/(%)>0,则k的最

1

小值为

192

解答H^2-x+l=(x--)2+->-,x=-td-x2-x+lM/>{t^-

x2-x+124424

分子Jx(l—x)W±x=_!■时,无“(I—》)4取最大值(_1)8,所以k的最小值为二一。

222192

17.设p,qeR,/(%)=/+08|+4。当函数/(x)的零点多于1个时，/(幻在以其最

小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为。或q.

解答因为函数/(幻=9+〃口|+4为偶函数，由对称性以及图像知道，/(x)在以其最

小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值0或q。

三、解答题(本大题共有3小题，每题17分，共51分)

问：(1)这个数列第2023项的值是多少；

(2)在这个数列中，第2023个值为1的项的序号是多少.

1O1

解(1)将数列分组：~j■，…彳),…

因为1+2+3+—+62=1953；1+2+3+—+63=2023,

所以数列的第2023项属于第63组倒数第7个数，即为5上7。-----10分

7

(2)由以上分组可以知道，每个奇数组中出现一个1,所以第2023个1出现在第4019组,

而第4019组中的1位于该组第2023位,所以第2023个值为1的项的序号为(1+2+3+-+4018)

+2023=8076181o-------17分

19.设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每

个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。

解：设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为x,y,z,则有l〈x,y,z«9,且

xyz=(10—%)(10—y)(10—z)(*1)

-----------5分

即有

xyz=500-50(%+_y+z)+5(xy+^z+zx)»(*2)

于是有5|移z。因此x,y,z中必有一个取5。不妨设x=5,代入(*1)式，得到

y+z=10。-----------10分

此时，y可取1,2,8,9(相应地z取9,8,2,1),共9种放法。同理可得y=5

或者z=5时，也各有9种放法，但有x=y=z时二种放法重复。因此可得共有

9X3—2=25种放法。--------------17分

尤2

20.已知椭圆二+>2=1(。>1),RMBC以A(0,1)为直角顶点，边AB、BC与椭圆

27

交于两点B、Co若AABC面积的最大值为一，求。的值。

8

解：不妨设的方程y=Qc+l(Z>0),则AC的方程为丁=一L％+1。

k

y-Zx+12

2得：（1+。2左2）尤2+2。2kX=0==-21

由<Xk],

---|-y=]1

[a2/

1I

y=——x+12

得:（.2+&2）.2—=0=>%=一,

由,2a2kx

Y〃-+左2

—-i

a~

从而有

%+工

于是S"#8||AC=2%JW；：L）

2/k

/（攵②+4）+/+1

令「=左+122,有

k

二2a4t2a4

10分

“门+仆],人…’

（〃2_1zy-_1

因为。2,+火_匕22〃（/_1）,t=--时等号成立。

ta

〃2—]〃3

因此当t=——AS）=「，--------14分

aMBCmma-1

令^^=2=（。一3）（8/一3。-9）=0=。=3,4=^^^

。~一1816

2T>2na>l+夜,.•・叫3+腐

（不合题意，舍去）,，a=3.------17分

a16

四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）

Bd［CE\AF

21.设D,E,F分别为^ABC的三边BC,CA,AB上的点。记==―工、0=―=--；

BC\C4|AB

证明：S^DEF-a阶^MBC°

,S|BD|*|BF|sinB

证明由ABRFFDn=1——LJ——--------=<2(1-办------5分

SMBC|BC|.|BA|sinB

同理=2(i_0),=y(l-2)。------10分

S城BeSMBC

所以，=Sy照JS迎二S迎二5必丝=1_a(l_/)_£(1_a)_y(l_£)

S&ABCS^BC

=（1一£）（1一月）（1-y）+£尸720'方,等号成立0£=1或6=1或y=1。-—20分

因此5包b2被S^Bc，等号成立，当且仅当，D与C重合，或E与A重合，或F与B

重合。25分

22.（1）设。〉0,平面上的点如其坐标都是整数，则称之为格点。今有曲线y