2020-2021学年中卫市海原某中学高二年级上册期末数学试卷(文科)(含解析)

2020-2021学年中卫市海原一中高二上学期期末数学试卷(文科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.()分)

1.已知点4是椭圆［+丁*=1的右顶点，点B是其上顶点，点C是其左焦点,若4慨=好，则

该椭圆的离心率为()

A.」卡在B.1一走C.J2-1D.-

222

2.椭圆、+q=1的焦点坐标为()

A.(0,±3)B.(±3,0)C.(0,±5)D.(±4,0)

3.下列有关命题的说法正确的是

A.命题“若第3=：1，则密=口”的否命题为：“若然=：!，则茁•力1'.

B.“扁,=-：!”是“iF—售第一豳二蒯”的必要不充分条件.

C.命题“3锥意，使得请年富界1«：》”的否定是：“瞬尼展，均有蟆开富界［«：/".

D.命题“若需=般，则幽寂=诫瓦解”的逆否命题为真命题.

4.已知双曲线C：、—^=l(a>0,b>0)的一条渐近方程为y=；尢，则C的离心率为()

A.匹B.V5C.更D.V3

22

5.对于命题p和命题q,则“p且q为真命题”的必要不充分条件是()

A.”或飞为假命题B."且飞为真命题

C.p或q为假命题D.p或q为真命题

6.&、尸2是双曲线C：摄一，=l(a>0,b>0)的左、右焦点，过尸2的直线与双曲线。交于AB两

点.若田&|；|40|=3：4.-5.则双曲线的离心率为()

A.V13B.3C.V5D.2

7.给出下列说法：

①命题“若a=0,则sina=0"的否命题是假命题；

②命题pFxeR,使sinx>L则国p:VxeR,sinx<1;

③“8=0+2k7r(keZ)”是“函数y=sin(2x+w)为偶函数”的充要条件;

④命题p：mxe（O,叵|）,使sinx+cosx=叵］,命题q:在△4BC中，若sizt/l>s讥B,则力>B,那

么命题（叵］p）Aq为真命题.

其中正确的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

8.己知两点4（一5,0）,8（5,0）,若直线上存在点P,使|P川一|PB|=6,同时存在点Q,使|QB|一

\QA\=6,则称该直线为“一箭双雕线”.给出下列直线：①、=x+1②y=2③y="④y=

2x.其中为“一箭双雕线”的是（）

A.③④B.②③C.①②D.①③

9.过双曲线二一卫=窝例/谢加螂的左焦点,剧-“醺土；常崛作圆F书,=寂的切线，切点为居,

・，球、，

延长需交抛物线「=4ra：F点具若遨工工癖、礴，则双曲线的离心率为（）

A慌带5R:H收「第1、：H囱

誓翦翦翦

10.已知焦点在X"轴匕焦距=10,离心率e=二^的双曲线的标准方程为（）

4

22222222

A.2L_L=IB.L_L=Ic.t-匕=ID.L_匕=i

916169169916

22

11.设椭圆亍+扁=1围成的区域（含边界）为0n5=1,2,...）,当点®y）分别在％…上时，

x+y的最大值分别是Mi，M2,则Mn=（）

A.I4--B.,4+iC.D.）8+-

nnn

12.设Fi、F2为双曲线?-y2=1的两焦点，点p在双曲线上，当的面积为1时，时•配的

值为（）

A.0B.1C.2D.j

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.尸为双曲线/一搐=1上一点，&月分别是其左右焦点，若留=宗则APKEJ的面积

是.

14.如图所示，椭圆立+竺=1的左，右顶点分别为44,线段CD是垂直于椭圆长轴的弦，连接4C,

94

ZM'相交于点P，则点P的轨迹方程为.

15.己知尸2是双曲线C：捻一5=l(a>0,b>0)的左右焦点，A,B是双曲线的左右顶点，M是

以Fi，尸2为直径的圆与双曲线的渐近线的一个交点，若NAMB=45。，则该双曲线的离心率是

16.已知双曲线M：接一，=l(a>0,b>0),△ABC为等边三角形.若点4在y轴上，点B,C在双曲

线M上，且双曲线M的实轴为△ABC的中位线，则双曲线M的离心率为.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.如图，椭圆E的左右顶点分别为4、B,左右焦点分别为F］、F2,\AB\=4,\FrF2\=273，直线

y=kx+7n(k>0)交椭圆于C、。两点，与线段KF2及椭圆短轴分别交于M、N两点(M、N不重

合)，且|CM|=|DN|.

(I)求椭圆E的离心率；

(II)若m>0,设直线40、BC的斜率分别为的、B，求胃的取值范围.

18.如图，已知椭圆盘+'=l(a>b>0)的离心率为争以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点Fi，

F2为顶点的三角形的周长为4(夜+1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上

异于顶点的任一点，直线P&和与椭圆的交点分别为4、B和C、D.

(I)求椭圆和双曲线的标准方程;

(口)设直线P0、PF2的斜率分别为自、k2,证明自，2=1;

11

卬)探究两+是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

\CD\

19.已知等比数列｛斯｝(716N*)的首项为2,公比q>l,且a$是4al和7a3的等差中项，S.是数列｛册｝

的前n项和.

(1)求数列的通项公式；

2

(2)若数列｛%｝满足%=(Sn+2)+log2an,neN*,求数列｛4｝的前n项和7n.

20.设函数/(x)=gsinx+日cosx，x&R.

(/)求函数/(x)的周期和值域；

(〃)记。4BC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,若/⑷=|,且。=会，求角C的值.

21.已知椭圆C：系+探=1(6>0)的一个焦点坐标为(2,0).

(I)求椭圆C的方程;

(口)已知点E(3,0),过点(1,0)的直线《与x轴不重合)与椭圆C交于M,N两点，直线ME与直线x=5相

交于点F,试证明：直线FN与x轴平行.

22.已知中心在原点的双曲线。的一个焦点是,瞰-思顾:，一条渐近线的方程是否常-售般=龈

(1)求双曲线线的方程；(2)若以阿蕊岸顾j为斜率的直线手与双曲线线相交于两个不同的点豳%篇，且

线段.府•的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为要，求麓的取值范围.

%

参考答案及解析

1.答案：A

rh

解析：解：根据已知得一上乂上二-1,即炉=QC,由此得C2+QC—Q2=O,

ba

即(£丫+£—1=0,即e2+e-l=0,解得一=二1±有(舍去负值).

\a)a2

故选A.

2.答案：A

解析：解：椭圆匕+上=1中，a2-25,b2—16,

2516

c2=a2—b2=9,

又该椭圆焦点在y轴，

焦点坐标为：(0,±3).

故选：A.

椭圆竺+±=1中，。2=25,£>2=i6,c2=a2-b2=9,即可确定椭圆+兰=1的焦点坐标.

25162516

本题考查椭圆的简单性质，确定a,b,c是关键，属于基础题.

3.答案：D

解析：试题分析：对于A命题“若瞪=»则富,=1'的否命题为：“若6门,则笳丁丁’.因此错

误。

对于艮“客=-7'是"谓-卷窗-籁=1旷的必要不充分条件，应该是充分不必要条件，错误。

对于C.命题彩傩成，使得篥叫需界1«：顿”的否定是：“'热定勰，均有富知.心:弱”.C错误，因

为结论没有变为其否定。

对于D.命题“若需=般，则血血，羔'=或班般"的逆否命题为真命题，成立，故选。.

考点：命题真假判断

点评：本题考察命题真假判断，该类型题目考察知识范围较广，一个命题一个知识点，所以是比较

容易出错的题目类型.

4.答案：B

解析：解：由题意，'

b2

・•・b=2a,

:.c=\a24-b2=y/5a，

e=£=遍.

a

故选：B.

由此可得£=?结合双曲线的平方关系可得c与a的比值，求出该双曲线的离心率.

本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念

和简单几何性质等知识，属于基础题.

5.答案：D

解析：解：p且q为真命题，贝如真q真；

4"或飞为假命题，则"，飞都为假，所以p,q都为真，；."或飞为假命题是p且q为真命题

的充要条件，二该选项错误；

B.”且飞为真命题，则p,q都为假命题，二由p且q为真命题得不出p且q为真命题，即该命题不是p

且q为真命题的必要条件，.••该选项错误；

Cp或q为假命题，则p,q都是假命题，由B知该选项错误；

Dp或q为真命题，则p,q中至少一个为真命题，且q为真命题能得到p或q为真命题，而p或q为真

命题得不到p且q为真命题，即p或q为真命题是p且q为真命题的必要不充分条件，即该选项正确.

故选。.

根据必要不充分条件的概念，以及p且q，p或q,",飞的真假和p,q真假的关系，即可找出正确

选项.

考查充分条件，必要条件，必要不充分条件的概念，以及p且q,p或q，”,飞的真假和p,q真假

的关系.

6.答案：A

解析：

本题着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、直角三角形的判定与性质、利用余弦定理解三角形

等知识，属于中档题.

设|山引=3|4B|=3%,根据双曲线的定义算出t=3x,a=x.RCZk/BFi中算出co«NRAF］:

5

得wNRAFi，在△FzAFi中，利用余弦定理与双曲线的离心率公式加以计算，可得答案.

解：设MF2I=C,|/B|=3%,则|BFi|=4%,MF/=5%,

根据双曲线的定义，得|4&|一MF2I=\BF2\-\BF1\=2a,

即5%—t=(3x+t)-4x=2a,解之得t=3%,a=xf

v\AB\：\BFr\：\AFr\=3；4；5,得△是以8为直角的直角三角形，

\AB3y3

cu«ZZ?/lFi=——=—,可得co«NF>・AF［=-.,

\AFi\55

△F?AF\中,=|AP||*+—2|AKj|•11、

=25/+9x2-2x5%x3%x(-|)=52x2,可得IF/2I=2-/13x，

因此，该双曲线的离心率e=%=亚亘=m，

2a2x

故选：A.

7.答案：B

解析：①中命题的否命题是“若a#0,贝EnaR区”这个命题是假命题，如戊=0时，

sina=0,故说法①正确;根据对含有量词的命题否定的方法，说法②正确;说法③中函数y=

sin(2x+w)为偶函数叵］sin(-2%+</>)=sin(2x+(p)叵］coswsin2x=0对任意工恒成立叵|

cos(p=0叵］(p=kn+区|(fc6Z),所以y=sin(2x+s)为偶函数的充要条件是9=/ot+区|

(/ceZ),说法③不正确;当尤6(0,回)时，恒有s讥尤+cosx>1,故命题p为假命题，0p为真命

题，根据正弦定理s讥力〉sinB区2RsinA>2RsinB区|a>b叵|A>B,命题q为真命题，故(

□p)Aq为真命题，说法④正确.

8.答案：C

解析：解：根据题意，满足|P4|—|PB|=6的点的轨迹是以力、B为焦点的双曲线的右支；

则其中焦点坐标为4一5,0)和B(5,0),即c=5,a=3,

可得b=4；

故双曲线的方程为次一g=1,(x>0)

916/

依题意，若该直线为“一箭双雕线”，

则这条直线必与双曲线的右支相交，

进而分析可得：①y=x+l；②y=2与其相交，

③y=gx与双曲线的渐近线平行，与右支没有交点；

27

④y=2x代入双曲线的方程可得上一二=1无实数解.

其中为“一箭双雕线"的是①②，

故选：C.

首先根据题意，结合双曲线的定义，可得满足IP*-伊8|=6的点的轨迹是以4、B为焦点的双曲线

的右支；进而可得其方程，若该直线为“一箭双雕线”，则这条直线必与双曲线的右支相交，依次

分析4条直线与双曲线的右支是否相交，可得答案.

本题考查双曲线与直线的位置关系，要掌握判断双曲线与直线相交，交点位置的判定方法.

9.答案:B

解析：试题分析：由条件谟工工标、遢知E为P尸的中点，又抛物线/=%笳焦点察警状旗，

%

所以。E为感缝虢中位线，所以,整祥=虱由抛物线定义知艰,=黑微-JT；,因此由

飕J外卷=,翻浮得：她承麻i-喷署料L皆既）=舞蝮：=绘蚂=旷oSET=后怒:萨砥,

选B.

考点：抛物线定义

10.答案：C

解析：本题考查双曲线的方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题.利用双曲线的焦点

在》轴上，焦距为10,离心率e=2,求出a,b,C,即可求双曲线的标准方程.

4

解：；2c=10,Ic=5.

又e

■,■a=4,

•H_/=25-16=9,

双曲线的焦点在》轴上,

双曲线的标准方程为21=1.

169

故选c.

11.答案：。

解析：

本题考查两数和的最大值的求法，考查椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数

与方程思想，是中档题.

x=2cos6

求出椭圆的参数方程为a,(9为参数)，从而x+y=2cos。+4+-sin0,由此能求

出端.

解：..・椭圆次+处=1,

44n+l

X=2COS0

•••椭圆的参数方程为b=口工in/(9为参数)，

x+y=2cos8+J4+isind,

,••椭圆9+黑=1围成的区域(含边界)为0n5=1,2,...),

当点(x,y)分别在。i，02，…上时，x+y的最大值分别是a，M2...则%=(

Mn=(x+y)max="+4+；=[8+孑

故选：D.

12.答案：A

解析：

本题考查双曲线的简单性质，考查平面向量数量积的运算，求得点P的坐标是关键，属于中档题.

由双曲线比-y2=1的方程可求得两焦点Fi、尸2的坐标及|&尸2|,再由ZiFiPFz面积为1可求得点P的

4

坐标，从而可求得两•恒的值.

解：•:双曲线的方程为?-y2=1,

两焦点&、七的坐标分别为(一通,0)，(V5.0).

*1尸舟=2遍，

•••△&PF2面积为1,设点P的坐标为

则如iF211nl=1,

|n|=y，不妨取n=*

将点P(7n,?)的坐标代入双曲线的方程J一V=i得：土等，不妨取7n=等,

则P(等,日)，

...两=(_等_低造配=(一等+低—务

...丽(•配=苦―5+：=0.

故选：A.

13.答案:12

解析：本题主要考查了双曲线的概念、几何性质的应用、三角形面积公式。

即有：四|-旌|=2又•.•耨=g/.\PF|=4,附|=6，

由题可知点P在双曲线的右支上,:

又怪刃=2•二附『+1尸引=内就二S中弓二附|・|尸用=12。

故应填：12。

14.答案：--^=1

94

解析：解：做一3,0),4(3,0),设C(x0,yo)，D(x0,-y0))

・•・直线4c的方程为y=+3),直线4'。的方程为y=一3。-3),

两式相乘得到f=要。2_9),①，

CQoJo)在椭圆3+-=1上，

94

・・・y2-4(1_多，

・•.P点轨迹方程为y2=g(%2一力，即9一?=1.

故答案为：--^=1.

94

设CQo，yo)，D(x0,-y0),求出直线AC和直线AD的方程，将两式相乘，再利用C点坐标的关系化简

得出轨迹方程.

本题考查了轨迹方程的求法，属于中档题.

15.答案：V5

解析：解：双曲线C：捺—，=1色>0/>0)的一条渐近线方程为：bx-ay=O,

以Fi,尸2为直径的圆：％2+y2=c2,可得，不妨设M(a,b),

可知MBlx轴.乙4MB=45。，所以NAL4B=45。，

・••卜“4=在'=1，可得b=2a,可得©2—02=4.2,解得e=b.

故答案为：V5-

利用双曲线的渐近线与圆联立方程，求出M的坐标，通过44MB=45。，得到直线的斜率关系，转化

求解双曲线的离心率即可.

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力转化思想的应用.

16.答案：V2

解析：解：•.•双曲线”的实轴为△ABC的中位线，

.•.等边4ABC的边长为4a,

假设点B在第一象限，则点B的坐标为(2a,百a)，

将其代入双曲线M的方程有，答—答=1,

a2b2

”=1,

b

离心率e=厚^=Jl+'S

故答案为：V2.

易知，等边AABC的边长为4a,不妨取点B为(2a,Ka),将其代入双曲线的方程可得a=b,再由e=

Jl+§，得解，

本题考查双曲线的几何性质，包含a、氏c的含义与关系，离心率，考查学生的逻辑推理能力和运算

求解能力，属于基础题.

17.答案：解：(I)由|48|=4,|&&1=2g，可知a=2,c=b即椭圆方程为9+/=1...(2分

)

离心率为e=y....（4分）

（H）设。（%i，yi），C（%2/y?）易知”（—2,0）,8（2,0）,N（0,m）,M0）....（5分）

由｛；2：彳消去y整理得：（1+4k2）x24-8kmx+4m2-4=0,

由4>0=4k2—m24-1>OHPm2<4/c2+1,x+x=~8/<n^xx=4m...（6分）

x12212L一：

/l+4k1+4H'/

且|CM|=|DN|即由=而可知％T+%2=-£，即趣=T解得忆=\…（8分）

Kl~r4fCKZ

4r2

有2_光（“2-2）2_T（32_2）2=（2一%1）（2—外）_4-2（"X2）+空2_+,

%）一龙（必+2）2-12^1（5+2）2-（2+%I）（2+X2）-4+2（X1+X2）+X1X2~'

由题知，点M、&的横坐标%M之4］，有一2机2—国，

易知mG（0,争满足m2V2,

即统一普=一1+三，则氏€。,7+4何..…（12分）

解析：（I）由|4B|=4/KF2I=2B，求出a,c,然后求解椭圆的离心率.

（口）设。（孙丫1）,。（%2，、2）通过｛：2：4,结合△>0推出―<轨2+1,利用韦达定理|CM|=

|DN|.求出直线的斜率，然后表示出口，然后求解它的范围即可.

K2

本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力.

18.答案：解：（I）设椭圆的半焦距为c,由题意知：（=当，2a+2c=4（72+1）

解得a=2-/2,c=2,

又Q2=/+C2,解得b=2.

故椭圆的标准方程为正+”=1

84

由题意设等轴双曲线的标准方程为与-马=l（m>0）,

22v

mm」

因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点.

所以m=2,

因此双曲线的标准方程笔T=l

证明：（II）设PQo，光），河（一2,0），F2（2,0）

则七=鼠，七二六.

因为点P在双曲线-y2=4上，所以诏一九=4.

因此七七=焉•热=居=1，

故k#2=1.

解：(皿)设4(%21)，8(如乃)，

由于PF1的方程为y=ki(x+2),将其代入椭圆方程得(2好+I)%2+由于+8烂一8=0

广r*i、i8fc?8fc?-8

所以XI+X2=一遍7?X1•%2=不，

(黑)寤=4a黠

所以=J]+烂J(X]+工2)2一轨1%22TX

同理可得|CD|=4鱼费

Ijlll1,1_1z2kf+l2k|+l

则的+皿一4加好+i+M+i)，

又卜小2=1>

i1.11,2k?+l,fc?、直，2炭+1,好+2、35/2

所rrr以血+西=比(黄■+三)=百(&■+缶)丁.

ynD||C£/1，V4/C］十-oAC］十1.K］十T1,=o

故潦i+品=言恒成立，即高+总是定值零

解析：(I)由椭离心率为当，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点片,尸2为顶点的三角形的周长为

4(72+1),求出a,b,从而能求出椭圆的标准方程，设等轴双曲线的标准方程为三—马=1,由等

轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，求出M,从而能求出双曲线的标准方程.

(II)设PQo，yo),Fi(-2,0),F2(2,0),则自=焉，的=热，由此能证明自&=1.

**0'4404

(IH)PFi的方程为y=fci(x+2),将其代入椭圆方程得(24+I*+8好x+8般一8=0,由此利用

韦达定理、弦长公式，结合已知条件能推导出潟+击是定值.

\Ab\\LU\

本题考查椭圆和双曲线的标准方程的求示，考查两直线的斜率之积为1的证明，考查两线段长的倒数

和是否为定值的探究，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线、椭圆的性质的合理运用.

nr2

19.答案：解：⑴设即=2q-,根据条件有2a5=4al+7a3=4q4=8+14c?=q2=4或一家舍

)，

二又q>1,，q=2,，a九—2"；

(2)由(1),Sn=更=2=2*1-2,所以%=22n+2+〃=4'+】+n,

1-2

n+2n2+n

由分组求和,16(1-4”)।"6+1)4-16

1-4232

解析：(1)由&5是4al和7a3的等差中项求出q即可；

(2)由(1)可求垢，由分组求和可求7；.

本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查分组求和，考查运算能力.

20.答案：解:(1)因为f(x)=(sinx+<cosx=sin(x+9

所以/'(%)的最小正周期为2兀.

因为xeR,所以(久+；)eR,

所以f(x)的值域为[—1,1].

(2)由⑴得f(4)=sin(4+»

所以sin(A+g)=日.

因为0<力<兀，所以;<4+g<g,

所以=

因为a=%

由正弦定理-y

sinAsinB

可得聿=-L-,

出sinB

2

所以sinB=1,

因为0VB<71,

所以8=三

故得：C=n-A—B=^.

6

解析：本题考查了三角函数的化简和正弦定理.三角形内角和定理的应用和计算能力.属于基础题.

(1)利用辅助角公式化简，即可求解函数/Xx)的最小正周期和值域；

(2)由=求解4a=^-b，正弦定理求解sinB,结合三角形内角和定理即可求角C的值.

21.答案：解：(I)根据题意，椭圆C：系+，=1(6>0)的一个焦点坐标为(2,0),

则有｛浮5艮

所以。2=5,b2=1.

2

所以椭圆C的方程为W+y2=1；

(H)根据题意，分2种情况讨论：

①当直线/的斜率不存在时，此时MN1x轴.

设。(1,0),直线x=5与x轴相交于点G,

易得点E(3,0)是点0(1,0)和点G(5,0)的中点，

又因为|MD|=\DN\,

所以|FG|=\DN\.

所以直线FN〃x轴.

②当直线，的斜率存在时，

设直线，的方程为y=k(x-l)(fc丰0),

叭/4)，N(x2,y2).

因为点E(3,0),所以直线ME的方程为y=含。-3).

令％=5,所以旷尸=气(5-3)=当.

由匕2；弋；2二?消去y得(1+5k2)/_1Qk2x+5(^-1)=0.

显然△>0恒成立.

所以％1+刀2=署：,％625—1）

5k2+l

2yl_、2（%1-3）-2yl__上（如一1）（小一3）-2上（％1-1）_〃氏32-3（%】+%2）+5]_

因为丫27F=丫2一

“1—341—3X1—3%1—3

5kk2-l-6k2+5fc2+l八

-------------=0，

5k2+i—3

所以=VF,

所以直线FN〃工轴.

综上所述，所以直线FN〃工轴.

解析：(I)根据题意，由椭圆的标准方程以及焦点坐标，分析可得｛:炉，解可得。、b的值，将

a、b的值代入椭圆的方程，即可得答案:

(II)根据题意，按直线的斜率是否存在分2种情况讨论，①当直线(的斜率不存在时，此时MN1x轴,

分析易得结论，②当直线，的斜率存在时，设直线，的方程为y=