5月大数据模拟卷03（江苏专用）（解析版）高中数学

5月大数据精选模拟卷03(江苏专用)

数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.已知集合A={xe—x+f<0//?},8={xe7?，+*—6<0},若=<9},贝”

Ap\B—()

A.(-3,3)B.(-2,2)C.(-2,3)D.(-3,2)

【答案】B

【详解】

因为集合人={%6刈》2一x+f<o,fe/?},B={xe+x_6<0}={目-3<x<2},

且AuB={Xd<9}={x[一3<%<3},

所以3是方程f一%+，=0的根，即3?一3+，=o,解得f=-6，

所以集合A={xe7?|x2—x-6<0/e/?}={x[—2<x<3},

所以405=(-2,2),

故选：B

2.“虚数”这个词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现，

最简单的二次方程-+1=0在实数范围内没有解.已知复数z满足z2+4i=0,则回=()

A.4B.2C.72D.1

【答案】B

【详解】

解：因为z?+4i=0，

所以z2=-4i,

故|z2|=|z『=|-4i|=4,

所以Iz|=2.

故选：B.

1

3.己知a,B是相互垂直的单位向量，与共面的向量［满足a-r=B-c=2,则：的模为（）

A.1B.72C.2D.272

【答案】D

【详解】

是相互垂直的单位向量，

不妨设2=（i,o）,B=（o,i）,

设c=（x,y）,由a.c=B-c=2,

可得x=y=2,即"=（2,2）,

则c的模为同=V22+22=我=2万

故选：D

4.《周髀算经》中给出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气

的日影长依次成等差数列的结论.已知某地立春与立夏两个节气的日影长分别为10.5尺和4.5尺，现在从该

地日影长小于9尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计，则所选取这2个节气中至少有1个节

气的日影长小于5尺的概率为（）

、3八4〃13、5

A.-B.-C.—D.一

77217

【答案】D

【详解】

设这卜二节气中第个节气的日影长为尺，

可知数列｛q｝为等差数列，设其公差为。，

由题意得。4=10・5，=4.5,6d=。］0-〃4=-6,，4=一1.，

an=4+（〃—4）d=10.5—（n-4）=14.5—H.

令为=14.5-〃<9,解得〃>5.5；令q=14.5-〃<5,解得及>9.5.

从该地日影长小于9尺的节气中随机抽取2个节气，所有的基本事件有：（％，%）、（。6，必）、（。6，的）、

（。6，"［0）、（“6，"11）、（以6,。12）、（“7'08）、（,々9）、（"7，。］0）、（^7，"11）、（^7，）、（“8，09）、（“8，"10）、

2

（々8,4］）、（4,42）、（，4o）、（%，"i।）、（^9,4？）、（4o，"】i）、（4o,"12）、（4i，"i2），共21个，

其中，事件“所选取这2个节气中至少有1个节气的日影长小『5尺''所包含的基本事件有：（4，4°）、

（。6'%）、（。6,%2）、（%,《（））、（%，即）、（生冯2）、（4冯0）、（。8,41）、（％'%）、（%,。|0）、（〃9,41）、

（々9，42）、（40,41）、（4o，"i2）、（qdz），共15个，

因此，所求事件的概率为"=

217

221

5.已知双曲线C：="-%■=1（。〉0力>（））的右顶点到一条渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为

（）

A.y/2B.毡C.6D.2

3

【答案】B

【详解】

由题意知双曲线c的一条渐近线方程为法-胡=o,

所以右顶点到渐近线的距离为—==5”，即c=2Z?,则。=Jc、2—〃=省）,

C

2b26

所以，该双曲线的离心率e=£=-

a&?-3.

log2x,x>1

6.已知函数/（九）=<1,

g（x）=/（x）-去，若函数g（x）有两个零点，则左的取值范围是（）

—x+l,x<1

14

A.（0,B.（0,JC.卜，口D.［，上］

l4」I6?In2）Le）［4elnl）

【答案】D

【详解】

log,X,X>1

作出/（x）=4l］，的图象,

如图所示，

—x+l,x<1

14

3

当丫=丘与y=10g2无相切时，设切点为(与,%),

%=5

则有＜%=log2x0,解得%=e,

Z=—!—

xoln2

所以相切时的斜率k=—5—；

eln2

将函数y="的图象顺时针旋转，

当，44＜」一时，/(工)与＞="有2个交点，满足题意；

4eln2

当0〈人＜■!■时•，/(*)与丫=丘有3个交点，不满足题意；

4

当时,/(幻与y=丘有1个交点，不满足题意；

当我之」一时，/(幻与》="有。个或1个交点，不满足题意.

eln2

7.密位制是度量角的一种方法.把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量

单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称

密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“()-()7”,478

密位写成“4—78”,1周角等于600()密位，记作1周角=60—00,1直角=15—(X).如果一个半径为2的

7

扇形，它的面积为二万，则其圆心角用密位制表示为()

6

A.12-50B.17-50C.21-00D.35-(X)

【答案】B

【详解】

1,77

设扇形所对的圆心角为a,a所对的密位为〃，则5。、2-=%万，解?•兀，

7_

--7T/

由题意可得n12，解得〃=——x6000=175。，

------=——24

60002万

4

因此，该扇形圆心角用密位制表示为17—50.

故选：B.

8.已知四面体ABCD的四个顶点都在以AB为直径的球R面上，且=8=08=2,若四面体ABCD

的体积是逑，则这个球面的面积是（）

3

3276

A.16万B.—nC.D.一71

33

【答案】A

【详解】

如下图所示，取A5的中点0，设△BCD的外心E，连接0E、BE，

I

山题意可知5双38=-x22xsiny=V3,

设点A到平面BCD的距离为h,则匕BCD=-S八BCD-h=逗，解得力=勺住，

R-KY^U3/33

由球的几何性质可得。石，平面BCD，•.•3七匚平面8。，，0七，3七，

2273

因为。为A5的中点，则。后=人力=2匹，由正弦定理可得8"

c.乃一3

232sin—

3

所以OB=y/OE2+BE2=2，则%=4%收=16万

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分.

9.为了解目前淮安市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩

X~N（70,100）,其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀.则下列说明正确的是（）

参考数据：随机变量则P(〃-cr<J<〃+cr)=0.6826,

5

尸(〃-2cr<^<//+2cr)=0.9544,P(〃-3cr<彳<〃+3cr)=0.9974.

A.该校学生体育成绩的方差为10

B.该校学生体育成绩的期望为70

C.该校学生体育成绩的及格率不到85%

D.该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当

【答案】BC

【详解】

A：由题设知cr2=100,所以该校学生体育成绩的方差100,错误；

B：由题设知〃=70,即该校学生体育成绩的期望为70,正确;

C：P(X26O)=P(X2MF)=]_P(X<M_b)=l+P(〃_b<X</+b)=0.8413,所以该校学

生体育成绩的及格率不到85%,正确；

D：P(X<60)=P(X<〃—b)=0.1587,而尸(X290)=尸(X2〃+2cr)=0.0228,错误;

故选：BC.

10.当x〉0,y>0时，下列不等式中恒成立的有()

A•苦而B.C,D.

xyx+yxyy]xyx+y

【答案】ABD

【详解】

2孙v2xy而当且仅当”=y时取等号，正确.

对于A,x+y'

(1l}

对于B,—+—(x+y)=2+^+->4,当且仅当x=y时取等号,正确.

I、y)

11x+y2Jxy2加

对于C,一+—=-4二^=)=,当且仅当x=y时取等号，错误.

%y孙孙。孙

对于D,(x3+y3)(x+y)=(x+y)2(x2+y2-xy)4x2y2,当且仅当x=y时取等号，正确.

11.在平面直角坐标系xOy中，设曲线C的方程是xy=l,下列结论正确的是()

A.曲线c上的点与定点a)距离的最小值是2-J5

6

B.曲线。上的点和定点/的距离与到定直线/：x+y-啦=0的距离的比是也

C.曲线。绕原点顺时针旋转45。，所得曲线方程是f-9=2

D.曲线。的切线与坐标轴围成的三角形的面积是4

【答案】ABC

【详解】

设p(x,3是曲线上任一点，

X

2

\PF\=J(x_0)2+(j__扬2=/2+二一2亚丁+3+4=^(x+-)-272(%+-)+2

=J(xT--->/2)"=x-\----5/2，

Vxx

显然|产耳的最小值在x>0时取得，x>0时，x+->2,当且仅当x=l时等号成立，

X

所以仍口.=2-V2.A正确；

IImin

由上面分析得曲线。上的点和定点尸卜伤,、伤)的距离与到定直线/：x+y-&=0的距离的比是:

L+1-V2

1_____1=正

x+l-V2—正确；

由A,B两选项分析得曲线是双曲线，离心率是&,一个焦点是尸(四,女)，它顺时针旋转45。变成

F(2,0),为其对称轴，因此c=2,-=V2,a-V2>WJb=y/c2-a2=V2>

a

22

新方程是土一匕=1,即/一9=2,c正确；

22

,1

曲线移=1变为y='，y'=--1,设P(Xo，y0)，则x=x()时，y=--三，

XXX()

切线方程为y-'=--l(x-Xo),令x=(M蜉y=2

—,令y=。得工=2%,

X。%

12

所以切线与坐标轴围成的三角形的面积是S=；；x--x|2冗o|=2,D错.

2x

7

12.设函数/（幻=人广山+Olnx,下列说法正确的是（）

e

A.若a=b=（）,/（x）是奇函数

B.若。=1,/?=0,/（X）在（|,+00）单调递减

C.若4=0,。=一1,/（X）在（1,+8）有且仅有一个零点

D.若。20,-----------＞-----------（玉

x}+x2玉一x2

【答案】BC

【详解】

选项A,若。=〃=0时，/（%）=;_,xeR,又/（一%）=—1:一//］。一/。），故A不下正确;

ee

“Lc-cq”、d+xin2"，/、—2d+3/_2xin2+ln23、，,/、△

选项B,。=1力=0时，/(%)=——--,f\x)=----------------------，xw(z一,+8),/(x)<0,

ee2

故B正确；

选项C,a=0,b=-l时，/(x)==—inx,f\x)=~2，V^3，V---<0.

ee光

函数在R上单调递减，/（i）＞o,/（6＜）＜o,所以函数在a”）行且仅有一个零点;

Y

选项D,取。=0,力=1,/(x)=—+lnx,

e

/(x)+/(x)f(x.)-f(x)/(x)/(x)

当王>修>1时，若八“八2/〉"上j工2”成立,即2八JZ成立.

XX

X]+马玉一X22\

人7/、/(x)X2Inx\-2x(x-l)1-lnx

令〃。)=八二='+——，/(%)=——J；—+―「，

xe2xxex

〃'⑴=1＞0,所以xe（l,x0）,〃（©，。故近幻二/⑷在①〜）是单调递增,

x

/（X,）/（X.）

所以9＞玉＞乙＞1时，g^＞2"一」不成立.

々王

故选：BC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在（x+2『（x+l）7的展开式中，含/项的系数为.

8

【答案】301

【详解】

(x+2)-(1+x)7=x~(1+x)7+4x(1+x)7+4(l+x)7,

所以含一项的系数为臂++4C；=301.

、

4-

14.已知函数/（x）=〃+e*sinx（e=2.7I828…是自然对数的底数），若函数在点］，。+前处的切

7

线过点则参数”的值为

（4）

【答案】fT

（4）

【详解】

过

7171

/r(x)=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx),/.f'sin—+cos—

22

兀一乃、

在—,a+e2处的切线为：y-a+e2X——

2J

7

7T

)、出71、

又切线过•.=e2.，解得：。二

4;卜

7

、n

故答案为:--1

4)

15.已知数列｛4｝满足4=1,=108"（"+1）（"22,〃€乂）.定义：使乘积qq…一为为正整数的

火仅eN+）叫做“幸运数”，则在［1,2021］内的所有“幸运数”的和为,（用数字作答）

【答案】2036

【详解】

lg(〃+l)

「a”=log“(〃+l)=

lg〃

1lg31g4lg(fc+l)_lg(A:+l)

log2(Z:+l),

1g21g3Igklg2

为使log2（A+l）为正整数，令Iog2（%+1）二刀（〃£乂），即满足2"=2+1，则％=2"-1，

9

vl<jl<2021,BPl<2"-l<2021.可得2V2Y2022，，九€{1,2,3,…,10}

则在［1,2021］内的所有“幸运数”的和为:

2（l-2,0）

2'-l+22-l+---+210-l=-^----^-10=1023x2-10=2036

1-2

16.在长方体ABC。-4gG4中，AB=13,AD=5,M=12,过点A且与直线CO平行的平面a

将长方体分成两部分.现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面a变化的过程中，这两个球的

半径之和的最大值为

【答案】墨

【详解】

如图所示：平面将长方体分成两部分，肱V有可能在平面CDRG上或平面AAG4上，根据对

称性知，两球半径和的最大值是相同的,故仅考虑在平面8RG上的情况，延长B£与BM交于点P,

设NCBP=NBPB1=a,圆01对应的半径为《，根据三角形内切圆的性质,

aaO,Qr,

在中，NQBO、=巴,BQ=BC-CQ=5-r]ttan-=-^=-^-

22bQ3一八

ua

5tan-q

则4=------=5---------,又当5P与5G重合时，4取得最大值，由内切圆券面枳法求得

1a,a

14-tan—1+tan—

22

5x12nla,2

2---------=2,则tan—K-

5+12+1323

a

设圆。2时应的半径为弓，同理可得々=6—6tan5,

10

5a7

又心解得tan/N，.

2212

l5,/a…5n

,,K+弓=5-------------F6-6tan-=17--------------6(1+tan-)7a2

故1,=21«a2»——<tan—<—,

1+tan—1+tan—1223

22

aio5

设Al+tan^,则xe［五/(%)=17---6X,

X

195

由对号函数性质易知函数/(X)单减，

小、J9、…5,19165…

...f(x)f(—)=17—示"—6x——----川111」/士4165

则八，191238，即最大值为音

1238

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①4〃sin5cosA=，②hsin?5+csin?C=S+Qsin?A,③6sinA+cosA=*+3.这

ab

三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cos5的值；若问题中的三角形

不存在，说明理由.

问题：在AASC中，角A,B,C的对边分别为“，b,c,已知cosC=g,

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【详解】

选①：因为4asinBcosA=，山正弦定理得4sinAsinBcosA=J^sin8.

所以Be(O,万)，所以sin8#(),

所以4sinAcosA=百，sin2A=—

2

又Aw(O,»),2Ae(0,2万)，所以24=工或二，即A=三或三.

3363

因为cosC=；,Cc(。,万)，所以sin《=Jl—cos2c=半

TT

当A=—时，cosB=-cos(A+C)

6

G112V2-V3

一cos仁+C------X------------X

2326

当A二—时，cosB=-cos(A+C)

3

11

(7Tyf11732叵、276-1

=-cos—+C=-—x------X----=--------,

(3J(2323J6

I.IMDS/古U2>/2-5/3T2^6—1

因此cos8的值为—----或—------

66

选②：因为hsin?8+csin2c=(Z?+c)sin2A,

由正弦定理得/+=3+c)a2，

因为b+C>0,所以〃2+/一)c、=〃2,

所以c°sA=C^W

2

IT

因为AG(O,〃)，所以A=一.

3

因为cosC=；,Ce(0,%),所以sinC=Jl—cos2C=^

所以cosB=-cos(A+C)

f11

—X—

232

因此cos8的值亚二1

6

选③：因为6sinA+cosA=2+q,所以2sin(A+工]=—+0,

ab\6Jab

因为2N2sin(A+工)=々+@22、^^=2，

I6Jab、ab

于是2+幺=2,即〃=/?；_gL2sin||=2,即sin(A+7]=l,

abV6J67

71(717万、

注意到AE(0/),A+,

6166J

jr7Tw

因此A+—=—,即4=—,

623

于是AAbC为等边三角形,

12

因此cosC=LvcosC=」相矛盾，

23

故△ABC不存在.

18.已知数列｛《J满足4=2,(〃+2)%=3(〃+1)凡+].

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设S“为数列｛为｝的前〃项和，求证S“＜?.

【详解】

(1)由(〃+2)为=3(〃+1)%+1,得-^-=----J

〃+23〃+1

a”+i

因为6=2,所以'=1。0,所以卫士2=1

1+13

〃+1

所以&是首项为1,公比为」的等比数列,

1〃+1J3

所以,-,即%=(〃+1)•鼻(«€N*).

〃+1

,234〃+1但

(2)由So“=下+3+?+…+三丁得

1_234n〃+1

—S=-H--H--+…H-----H-----,

33132333”T3〃

in/d2ccl11〃+l

两式相减，得彳5=2+—+—H---h--j--

331323'i3"T

〃+l_5_2_〃__+_5_,

丁一］23

所以S.=，6〃+15得得证.

4.3"

19.如图1所示，梯形ABC£＞中，AD=2AB=2BC^2CD=4.E为A£＞的中点，连结BE,AC交于尸，

将八钻石沿5E折叠，使得平面ABEL平面BCDE(如图2),

13

A

E

AD

E'4D

B4--------------

图1图2

(1)求证：AF±CD；

(2)求平面AFC与平面ADE所成的二面角的正弦值.

【详解】

(1)证明：连接EC,

因为AD=2A5=25C=2CD=4.E为的中点，

所以△ABE、&BCE、/XCDE都是边长为2的正三角形，

又AE//8C,所以四边形ABCE是菱形，

所以AFL5E，CF1BE

又因为平面ABE_L平面3c平面ABED平面6CDE=3E,

AFu平面他E，所以4/_1_平面8CDE，

又因为COu平面BCDE,所以AF_LCD；

(2)由(1)知EB、FC、E4两两垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系，

14

E(-l,0,0),£>(-2,6,0),A(0,0,5/3),

W=(-l,73.0).£4=(1,0,73),

设平面ADE的法向量ffL为一(x，丫，z),

fEDm=-x+x/3y=0「r-

(1_f-，令x=6，则而=(6，1,-1),

[EA-m=x+\l3z-0

平面ACE的法向量为万=(1,0,0),

设平面AR7与平面ADE所成的二面角的大小为，,

,zj.\m-n\G百

"昨募'

所以sin0=71-cos20

20.阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏苏州，蟹身青壳白肚，体大膘肥，肉质膏腻，营养丰富，深受消

费者喜爱.某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的

结果如下表所示:

规格中蟹大蟹特大蟹

重量（单位：克）[160,180)[180,200)[200,220)[220,240)[240,260)[260,280]

数量（单位：只）32152073

（1）试用组中值来估计该批大闸蟹的有多少只？（所得结果四舍五入保留整数）

（2）某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间［260,280］上的大闸蟹数量为X,求

15

X的概率分布和数学期望.

【详解】

(1)50只大闸蟹的平均重量为：

x(170x3+190x2+210x15+230x20+250x7+270x3)=224.

所以水产品超市购进的100千克大闸蟹只数约为100000+2247446.

(2)X的可能取值为0，1，2,3,

概率分别为：

43

P(x=o)=号C°c」1；p(x=l)=*c'c」1

c：。6''C：。2

223

P(X=2)=*Cc=3工P(X=3)=c*c'J1

C；°10C；。30

X0123

231

P

6万1030

所以E(X)=0xLlxL+2xa+3x'=9

6210305

21.在平面直角坐标系X。)，中，过点M(0,-l)的直线交抛物V=4x于A,B两点.

(1)设OA,OB的斜率分别为勺，&2,求K+左2的值；

(2)过点A,8分别作直线x=T的垂线，垂足为C、D,试探究NAO3和NC8的关系，并说明理

由.

【详解】

/2\/2\

⑴设A,同今,%

I4)I4)

因为直线A8过点M(。,—1),

X+1=%+1

所以北一£,，整理得,+%=一＞1%，

~4~4

,,44y1+y)

所以《+公=—+—=4・二一。2=—4.

X%)'跖

⑵①当A，B两点在大轴的异侧时，/AOB+/COD=兀;

16

②当A,3两点在x轴的同侧(只能同在下方)时，ZAOB=ZCOD.

理由如下：

①当A,5两点在x轴的异侧时，不妨设x〉0,y2<0,

44

直线OA,08的斜率分别为匕=—,匕=——，

X%

£_4

tan(乃-ZAOB)=&——=—————

1i+也XM+16

由题意，C(—4,y),£>(T,%)，

所以宜线OC，。。的斜率分别为=&=-&,

44

_AA

tan(乃-NCOD)=噎一％=口~+=心一»).

1+kock()D［十―2y跖+16

16

所以tan(7r-ZAOB)=Tan(兀-ZCOD)=tanZCOD.

因为NA03,ZCO