2022-2023学年山东省日照市岚山区第一中学高二下学期5月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省日照市岚山区第一中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题本试卷满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将答题卡和答题纸交回.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名､考号和座号填写在答题卡和答题纸规定的位置上.2.选择题每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.〖答案〗写在试卷上无效.3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，〖答案〗必须写在答题纸各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，且，则的值可能为（）A. B. C.0 D.1〖答案〗C〖解析〗集合，四个选项中，只有，故选：C．2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件〖答案〗B〖解析〗或或；；所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3.已知函数的导函数为，若，则（）A. B.1 C. D.2〖答案〗A〖解析〗由函数，可得，令，可得，解得.故选：A.4.函数的图像如图所示，则的〖解析〗式可以为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗选项B，是奇函数，所以不正确；选项C，当时，，所以不正确；选项D，定义域为，所以不正确；故选：A．5.对数的发明并非来源于指数，而是源于数学家对简化大数运算的有效工具的追求.其关键是利用对应关系：.观察下表：…131415…272829……81921638432768…134217728268435456536870912…已知299792.468是光在真空中的速度，3153600是一年的总秒数(假设一年365天)，根据表中数据，计算，则一定落在区间（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根据表中数据，，，，即.故选：C．6.设a=0.9，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，因为所以，当时，，单调递减，所以，即，；令，因为所以，当时，，单调递增，所以，即，，即.综上，.故选：B.7.已知函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗当时，即时，，即，所以，即，所以无解．当，即，所以，，，又，所以．故选B．8.已知函数（其中），，且函数的两个极值点为.设，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为函数，所以，所以，，因为函数的两个极值点为，所以在上是增函数，在上是减函数．所以.又因为，所以是减函数，所以.故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知正数，满足，则（）A.有最大值 B.有最小值8C.有最小值4 D.有最小值〖答案〗ACD〖解析〗A：，则当且仅当，时取等号，正确；B：，当且仅当时取等号，错误；C：，当且仅当时取等号，正确；D：，故最小值为，正确.故选：ACD.10.已知函数，则（）A.为奇函数 B.为减函数C.有且只有一个零点 D.的值域为〖答案〗ACD〖解析〗，，故为奇函数，又，在上单调递增，，，，，，即函数值域为，令，即，解得，故函数有且只有一个零点0．综上可知，ACD正确，B错误．故选：ACD.11.数列满足，，，定义函数是数列的特征函数，则下列说法正确的是（）A.当时，数列单调递增B.当时，C.当时，D.当方程有唯一解时，存在，对任意，都有〖答案〗BC〖解析〗对于A，当时，，故数列单调递减，故A错误；对于B，当时，，则，故数列是以为公比，为首项的等比数列，则，所以，，故B正确；对于C，当时，则，因为，则，故，根据数列迭代递推，不完全归纳可猜想成立，证明如下：（1）当时，；（2）假设当时，，则当时，，，则.综上，故C正确；对于D，取，则有唯一的解，则，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，所以，，当时，，D错.故选：BC.12.已知函数在处取得极值，则下列结论正确的是（）A.B.C.函数的图像与直线只有一个公共点D.对任意的〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为函数在处取得极值，所以，，解得，故A正确.即.对于B，因为真数，所以，所以，欲证，只需证，因为，定义域为，所以，令，解得，所以当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，即，所以，即，故B错误.对于C，欲证与只有一个交点，只需证只有一个根，即证只有一个根，即只有一个根，由上述可得在递减，在递增，所以，故C正确.对于D，由上述得恒成立，即恒成立，所以当时，，即，因为，所以，且，所以，即证，故D正确.故选:ACD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知等比数列满足，等差数列满足，则___________．〖答案〗10〖解析〗因为等比数列中，，所以，因为，则由等差数列的性质得．故〖答案〗为：10．14.已知奇函数，则______.〖答案〗7〖解析〗当时，，，又因为函数是奇函数，所以.所以.故〖答案〗为：7.15.函数在上为增函数，则实数的值为______.〖答案〗〖解析〗，因函数在上为增函数，则恒成立，即，时，，而在上递增，即，当且仅当时取“=”，于是有，时，，而在上递增，即，当且仅当时取“=”，于是有，综上得.故〖答案〗为：.16.对于函数，若存在，使，则点与点均称为函数的“准奇点”．已知函数，若函数存在5个“准奇点”，则实数的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗因为，所以是函数的一个“准奇点”．若函数存在5个“准奇点”，原点是一个，其余还有两对，即函数关于原点对称图象恰好与有两个交点，而函数关于原点对称的函数为，即有两个正根，即有两个正根，令，，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，当无穷大时，无穷大，所以，所以，实数的取值范围为，故〖答案〗为：.四､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设不等式的解集为A，关于的不等式的解集为.（1）求集合；（2）条件：，条件：，是的充分条件，求实数的取值范围.解：（1）因为，即，所以.（2）因为不等式，所以，得，所以.因为：，：，是的充分条件，所以.因为，所以且，所以实数的取值范围是.18.数列的各项均为正数，其前项和为，，且.（1）证明：数列为等差数列；（2）若数列满足，求数列的前项和.（1）证明：因为，当时，，，，所以，当时，，所以，即，数列的各项均为正数，所以，，而，所以当时，，所以数列为等差数列.（2）解：由（1）知，，因为，所以.数列的前项和.19.已知函数是偶函数.（1）求实数的值；（2）若函数，函数只有一个零点，求实数的取值范围.解：（1）由题意，函数为偶函数，所以，即，所以，即，则对恒成立，解得.（2）由只有一个零点，所以方程有且只有一个实根，即方程有且只有一个实根，即方程有且只有一个实根，令，则方程有且只有一个正根，①当时，，不合题意；②当时，因为0不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根，由，解得或，当，则不合题意，舍去；当，则，符合题意，若方程有两根异号，则，所以，综上，的取值范围是.20.设数列是等差数列，数列是公比大于0的等比数列，已知，，，.（1）求数列和数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.解：（1）因为是等差数列，是等比数列，公比大于0．设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意可得：，解得，，故，.（2）数列满足；当时，；当时，令则，两式相减得，，整理得，所以，综上，.21.如图，某广场内有一半径为米的圆形区域，圆心为，其内接矩形的内部区域为居民的健身活动场所，已知米，为扩大居民的健身活动场所，打算对该圆形区域内部进行改造，方案如下：过圆心作直径，使得，在劣弧上取一点，过点作圆的内接矩形，使，把这两个矩形所包括的内部区域均作为居民的健身活动场所，其余部分进行绿化，设.（1）记改造后的居民健身活动场所比原来增加的用地面积为（单位：平方米），求的表达式（不需要注明的范围）；（2）当取最大值时，求的值.解：（1）设与相交于点，与相交于点，依题得，，，，则，由得，，所以，即.（2），，令，得或（不合题意，舍去），由得，设，则，则，①当时，，单调递增；②当时，，单调递减，所以当时，取得最大值．22.已知函数.（1）若在点处的切线方程为，求的最小值；（2）若，为函数图像上不同的两点，直线与轴相交于正半轴，求证：.（1）证明：曲线在点处的切线方程为，即，而，即，所以切线为，所以，，.令，，所以时，，时，，即在上单调递减，在上单调递增，所以，即的最小值为0；（2）证明：不妨假设，直线的斜率为，直线的方程为，即．由题意可知，，即，所以，设，则，，令，，所以在上单调递增，在上单调递减，①若，则，这与矛盾，故不符合题意；②若，则，此时满足题意，有；③若，则，即，要证，即证，即证，而，故只要证明即可．设，则，所以单调递增，所以，即，所以．综上所述，命题得证．山东省日照市岚山区第一中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题本试卷满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将答题卡和答题纸交回.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名､考号和座号填写在答题卡和答题纸规定的位置上.2.选择题每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.〖答案〗写在试卷上无效.3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，〖答案〗必须写在答题纸各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，且，则的值可能为（）A. B. C.0 D.1〖答案〗C〖解析〗集合，四个选项中，只有，故选：C．2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件〖答案〗B〖解析〗或或；；所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3.已知函数的导函数为，若，则（）A. B.1 C. D.2〖答案〗A〖解析〗由函数，可得，令，可得，解得.故选：A.4.函数的图像如图所示，则的〖解析〗式可以为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗选项B，是奇函数，所以不正确；选项C，当时，，所以不正确；选项D，定义域为，所以不正确；故选：A．5.对数的发明并非来源于指数，而是源于数学家对简化大数运算的有效工具的追求.其关键是利用对应关系：.观察下表：…131415…272829……81921638432768…134217728268435456536870912…已知299792.468是光在真空中的速度，3153600是一年的总秒数(假设一年365天)，根据表中数据，计算，则一定落在区间（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根据表中数据，，，，即.故选：C．6.设a=0.9，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，因为所以，当时，，单调递减，所以，即，；令，因为所以，当时，，单调递增，所以，即，，即.综上，.故选：B.7.已知函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗当时，即时，，即，所以，即，所以无解．当，即，所以，，，又，所以．故选B．8.已知函数（其中），，且函数的两个极值点为.设，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为函数，所以，所以，，因为函数的两个极值点为，所以在上是增函数，在上是减函数．所以.又因为，所以是减函数，所以.故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知正数，满足，则（）A.有最大值 B.有最小值8C.有最小值4 D.有最小值〖答案〗ACD〖解析〗A：，则当且仅当，时取等号，正确；B：，当且仅当时取等号，错误；C：，当且仅当时取等号，正确；D：，故最小值为，正确.故选：ACD.10.已知函数，则（）A.为奇函数 B.为减函数C.有且只有一个零点 D.的值域为〖答案〗ACD〖解析〗，，故为奇函数，又，在上单调递增，，，，，，即函数值域为，令，即，解得，故函数有且只有一个零点0．综上可知，ACD正确，B错误．故选：ACD.11.数列满足，，，定义函数是数列的特征函数，则下列说法正确的是（）A.当时，数列单调递增B.当时，C.当时，D.当方程有唯一解时，存在，对任意，都有〖答案〗BC〖解析〗对于A，当时，，故数列单调递减，故A错误；对于B，当时，，则，故数列是以为公比，为首项的等比数列，则，所以，，故B正确；对于C，当时，则，因为，则，故，根据数列迭代递推，不完全归纳可猜想成立，证明如下：（1）当时，；（2）假设当时，，则当时，，，则.综上，故C正确；对于D，取，则有唯一的解，则，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，所以，，当时，，D错.故选：BC.12.已知函数在处取得极值，则下列结论正确的是（）A.B.C.函数的图像与直线只有一个公共点D.对任意的〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为函数在处取得极值，所以，，解得，故A正确.即.对于B，因为真数，所以，所以，欲证，只需证，因为，定义域为，所以，令，解得，所以当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，即，所以，即，故B错误.对于C，欲证与只有一个交点，只需证只有一个根，即证只有一个根，即只有一个根，由上述可得在递减，在递增，所以，故C正确.对于D，由上述得恒成立，即恒成立，所以当时，，即，因为，所以，且，所以，即证，故D正确.故选:ACD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知等比数列满足，等差数列满足，则___________．〖答案〗10〖解析〗因为等比数列中，，所以，因为，则由等差数列的性质得．故〖答案〗为：10．14.已知奇函数，则______.〖答案〗7〖解析〗当时，，，又因为函数是奇函数，所以.所以.故〖答案〗为：7.15.函数在上为增函数，则实数的值为______.〖答案〗〖解析〗，因函数在上为增函数，则恒成立，即，时，，而在上递增，即，当且仅当时取“=”，于是有，时，，而在上递增，即，当且仅当时取“=”，于是有，综上得.故〖答案〗为：.16.对于函数，若存在，使，则点与点均称为函数的“准奇点”．已知函数，若函数存在5个“准奇点”，则实数的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗因为，所以是函数的一个“准奇点”．若函数存在5个“准奇点”，原点是一个，其余还有两对，即函数关于原点对称图象恰好与有两个交点，而函数关于原点对称的函数为，即有两个正根，即有两个正根，令，，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，当无穷大时，无穷大，所以，所以，实数的取值范围为，故〖答案〗为：.四､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设不等式的解集为A，关于的不等式的解集为.（1）求集合；（2）条件：，条件：，是的充分条件，求实数的取值范围.解：（1）因为，即，所以.（2）因为不等式，所以，得，所以.因为：，：，是的充分条件，所以.因为，所以且，所以实数的取值范围是.18.数列的各项均为正数，其前项和为，，且.（1）证明：数列为等差数列；（2）若数列满足，求数列的前项和.（1）证明：因为，当时，，，，所以，当时，，所以，即，数列的各项均为正数，所以，，而，所以当时，，所以数列为等差数列.（2）解：由（1）知，，因为，所以.数列的前项和.19.已知函数是偶函数.（1）求实数的值；（2）若函数，函数只有一个零点，求实数的取值范围.解：（1）由题意，函数为偶函数，所以，即，所以，即，则对恒成立，解得.（2）由只有一个零点，所以方程有且只有一个实根，即方程有且只有一个实根，即方程有且只有一个实根，令，则方程有且只有一个正根，①当时，，不合题意；②当时，因为0不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根，由，解得或，当，则不合题意