第5小题 三角函数与三角恒等变换（3个命题点12大题型）2024年高考《数学》复习题型分类与方法点拨（解析版）

第第页第5小题三角函数与三角恒等变换TOC\o"1-5"\h\u第5小题三角函数与三角恒等变换 1一、主干知识归纳与回顾 35.1.1.任意角 35.1.2.弧度制 35.2.1.三角函数的概念 35.2.2.同角三角函数的基本关系式 45.3.诱导公式 45.4.正弦、余弦函数的图象与性质 45.5.1两角和与差的正弦.余弦.正切公式 7（一）命题角度剖析 8（二）考情分析 8（三）高考预测 8二、题型分类与预测 9命题点一：三角函数的概念与弧度制 91.1母题精析（三年高考真题） 9一．象限角、轴线角（共1小题） 9二．任意角的三角函数的定义（共2小题） 9三．三角函数应用（共1小题） 101.2解题模型 111.3对点训练（四年省市模考） 11一．扇形面积公式（共1小题） 11二．任意角的三角函数的定义（共4小题） 12三．运用诱导公式化简求值（共3小题） 14命题点二：三角恒等变换 161.1母题精析（三年高考真题） 16一．同角三角函数间的基本关系（共6小题） 16二．两角和与差的三角函数（共4小题） 18三．二倍角的三角函数（共4小题） 20四．半角的三角函数（共1小题） 221.2解题模型 231.3对点训练（四年省市模考） 25一．同角三角函数间的基本关系（共2小题） 25二．两角和与差的三角函数（共14小题） 25三．二倍角的三角函数（共11小题） 31命题点三：三角函数的图像与性质 361.1母题精析（三年高考真题） 36一．三角函数线（共1小题） 36二．三角函数的周期性（共4小题） 36三．诱导公式（共1小题） 38四．正弦函数的图象（共4小题） 38五．正弦函数的单调性（共3小题） 41六．余弦函数的对称性（共1小题） 43七．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共5小题） 43八．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共5小题） 46九．三角函数的最值（共3小题） 501.2解题模型 531.3对点训练（四年省市模考） 54一．三角函数的周期性（共2小题） 54二．正弦函数的图象（共1小题） 55三．正弦函数的单调性（共6小题） 56四．正弦函数的奇偶性和对称性（共3小题） 61五．余弦函数的图象（共1小题） 64六．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共12小题） 65七．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共5小题） 73八．三角函数的最值（共1小题） 78三、类题狂刷（五年区模、校模）： 80一．任意角的三角函数的定义（共1小题） 80二．三角函数的周期性（共5小题） 80三．正弦函数的图象（共1小题） 85四．正弦函数的定义域和值域（共1小题） 86五．正弦函数的单调性（共2小题） 86六．正弦函数的奇偶性和对称性（共1小题） 88七．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共11小题） 88八．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共3小题） 96九．两角和与差的三角函数（共13小题） 99一十．二倍角的三角函数（共6小题） 106一十一．三角函数的恒等变换及化简求值（共1小题） 109一十二．三角函数应用（共1小题） 109一、主干知识归纳与回顾5.1.1.任意角1.正角、负角、零角、象限角的概念.正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：一条射线没有任何旋转，就称它形成了一个零角。2.旋转与运算：（1）角的加法：角的终边旋转角后所得的终边对应的角是.（2）角的减法：。3.与角终边相同的角的集合：.5.1.2.弧度制1.弧度角：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2.弧度公式：（为圆的半径，弧长为的弧所对的圆心角为）。弧长公式：.角度与弧度换算：；。扇形面积公式：.（为圆的半径，扇形弧长为，圆心角为）5.2.1.三角函数的概念三角函数定义1：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则：把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作.即；把点的横坐标叫做的余弦函数，记作.即；把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作.即。正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：正弦函数：余弦函数：正切函数：2.三角函数定义2：设点（不与原点重合）为角终边上任意一点，点P与原点的距离为：，则：，，.3.、、在四个象限的符号:一全正，二正弦，三正切，四余弦.5.2.2.同角三角函数的基本关系式1.平方关系：.2.商数关系：.5.3.诱导公式1.诱导公式一：2.诱导公式二：（其中：）3.诱导公式三：4.诱导公式四：5.诱导公式五：6.诱导公式六：,5.4.正弦、余弦函数的图象与性质1.正弦.余弦函数图象：2.会用五点法作图.在上的五个关键点为：在上的五个关键点为：3.周期函数定义：函数定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个，都有，且，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.最小正周期：如果周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那这个最小正数叫的最小正周期.4.正余弦函数的周期：正弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是；余弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是；5.正切函数的图象：5.正弦.余弦.正切函数的图像及其性质：图象定义域值域[-1,1][-1,1]最值无周期性奇偶性奇偶奇单调性在上单调递增在上单调递减在上单调递增在上单调递减在每一个区间上单调递增对称性对称轴方程：对称中心，对称轴方程：对称中心，无对称轴对称中心，

5.5.1两角和与差的正弦.余弦.正切公式1.两角和与差的正弦：::2.两角和与差的余弦：::3.两角和与差的正切：:.:.4.倍角公式（1）变形：.（2）.变形：降幂公式：（3）.5.辅助角公式（其中,).（其中,).（一）命题角度剖析1.三角函数的概念与弧度制★☆☆☆☆2.三角恒等变换★★★★☆3.三角函数的图象与性质★★★☆☆（二）考情分析高考频率：100%试题难度：中等呈现形式：以选择题或填空题（三）高考预测与三角函数的知识相结合，利用三角恒等变换的方法将三角函数式化简、求值，或分析函数图象变换的规律，研究三角函数的基本性质，解决与三角函数图象与性质有关的问题。二、题型分类与预测命题点一：三角函数的概念与弧度制1.1母题精析（三年高考真题）一．象限角、轴线角（共1小题）1．（2016•上海）若，且，则角的终边位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】由，则角的终边位于一二象限或轴的非负半轴上，由，则角的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．【解答】解：，则角的终边位于一二象限或轴的非负半轴上，由，角的终边位于二四象限，角的终边位于第二象限．故选：．【点评】本题考查三角函数值的符号规律，属于基础题，合理地将条件化简，从而将问题转化为已知三角函数值的符号问题．二．任意角的三角函数的定义（共2小题）2．（2018•新课标Ⅰ）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则A． B． C． D．1【分析】推导出，从而，进而．由此能求出结果．【解答】解：角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，，解得，，，．故选：．【点评】本题考查两数差的绝对值的求法，考查二倍角公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．3．（2020•新课标Ⅱ）若为第四象限角，则A． B． C． D．【分析】先求出是第三或第四象限角或为轴负半轴上的角，即可判断．【解答】解：为第四象限角，则，，则，是第三或第四象限角或为轴负半轴上的角，，故选：．【点评】本题考查了角的符号特点，考查了转化能力，属于基础题．三．三角函数应用（共1小题）4．（2019•北京）如图，，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，是锐角，大小为，图中阴影区域的面积的最大值为A． B． C． D．【分析】由题意可得，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线，运用扇形面积公式和三角形的面积公式，计算可得所求最大值．【解答】解：由题意可得，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线，即有，到线段的距离为，，扇形的面积为，的面积为，，即有阴影区域的面积的最大值为故选：．【点评】本题考查圆的扇形面积公式和三角函数的恒等变换，考查化简运算能力，属于中档题．1.2解题模型1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程(组),求出参数的值.2.确定的终边所在象限的方法(1)确定的终边所在象限的方法：先求出的范围，再直接转化为终边相同的角即可.(2)确定的终边所在象限的两种方法①不等式法：用不等式表示出的范围，然后对k∈Z分情况讨论：被n整除，被n除余1,被n除余2……被n除余,从而得出结论.②几何法：分别将各个象限n等分，从轴的非负半轴起，按逆时针方向依次循环标上I,Ⅱ,Ⅲ,IV,根据α终边所在的象限，找出相对应的标号，根据标号所在的位置，确定的终边所在的象限.3.应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.1.3对点训练（四年省市模考）一．扇形面积公式（共1小题）1．（2023•福建模拟）中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的帐周长乘以其半径等于圆面积．南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率．据此，当足够大时，可以得到与的关系为A． B． C． D．【分析】设圆的半径为，由题意可得，化简即可得出答案．【解答】解：设圆的半径为，将内接正边形分成个小三角形，由内接正边形的面积无限接近圆的面即可得：，解得：．故选：．【点评】本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．二．任意角的三角函数的定义（共4小题）2．（2022•南平模拟）在单位圆中，已知角的终边与单位圆交于点，现将角的终边按逆时针方向旋转，记此时角的终边与单位圆交于点，则点的坐标为A． B． C． D．【分析】根据三角函数的定义，得到将角的终边按逆时针方向旋转对应的角的大小，利用两角和差的余弦公式进行求解即可．【解答】解：在单位圆中，已知角的终边与单位圆交于点，，，将角的终边按逆时针方向旋转，此时角为，则点的横坐标为；点的纵坐标，则点的坐标为，．故选：．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义结合两角和差的余弦公式是解决本题的关键．3．（2022•德化县校级模拟）已知角的终边经过点，则A． B． C． D．【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义可求，利用三角函数恒等变换化简即可求解．【解答】解：因为角的终边经过点，所以，则，即，所以，即，解得（舍去），或，因为，所以，可得，故正确；所以，故正确；因为，故正确；因为，故错误．故选：．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，三角函数恒等变换在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于中档题．4．（2023•福建模拟）已知，角的终边上有点，则．【分析】利用三角函数定义求出，再由坐标的正负判断所在象限，可得的具体值．【解答】解：，故，又因为，，故在第四象限，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的化简求值，属于基础题．5．（2022•宁德模拟）在平面直角坐标系中，圆与轴的正半轴交于点，点，在圆上，若射线平分，，，则点的横坐标为．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义以及二倍角的余弦公式即可求解．【解答】解：由题意，如图所示，可得，，因为，所以点的横坐标为．故答案为：．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义以及二倍角的余弦公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．三．运用诱导公式化简求值（共3小题）6．（2022•三元区校级模拟）已知，则A． B． C． D．【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．【解答】解：因为，所以．故选：．【点评】本题考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．7．（2022•漳州模拟）已知，则A． B． C． D．【分析】由已知利用诱导公式化简所求即可得解．【解答】解：因为，所以．故选：．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8．（2020•泉州一模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若点在角的终边上，则A． B． C． D．【分析】由已知利用三角函数定义可得的值，进而根据诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可求解．【解答】解：由已知利用三角函数定义可得，故．故选：．【点评】本题主要考查了三角函数定义，诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．命题点二：三角恒等变换1.1母题精析（三年高考真题）一．同角三角函数间的基本关系（共6小题）1．（2021•新高考Ⅰ）若，则A． B． C． D．【分析】由题意化简所给的三角函数式，然后利用齐次式的特征即可求得三角函数式的值．【解答】解：由题意可得：．故选：．【点评】本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，是解题的关键，属于中等题．2．（2021•全国）已知，则A．3 B． C． D．【分析】由已知把要求值的式子化弦为切求解．【解答】解：由，得，．故选：．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3．（2020•新课标Ⅰ）已知，且，则A． B． C． D．【分析】利用二倍角的余弦把已知等式变形，化为关于的一元二次方程，求解后再由同角三角函数基本关系式求得的值．【解答】解：由，得，即，解得（舍去），或．，，，则．故选：．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与二倍角公式的应用，是基础题．4．（2018•全国）已知为第二象限的角，且，则A． B． C． D．【分析】由，①，，②，联立①②，再结合已知条件即可求出，的值，则答案可求．【解答】解：，①，，②，又为第二象限的角，，，联立①②，解得，，则．故选：．【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系，是基础题．5．（2023•乙卷）若，，则．【分析】根据三角函数的坐标定义，利用坐标法进行求解即可．【解答】解：，，令，，设终边上一点的坐标，则，则．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用坐标法进行求解是解决本题的关键，是基础题．6．（2023•全国）已知，若，则．【分析】利用二倍角公式得到，，则，，利用“1”的代换即可求解．【解答】解：，且，，，，，，，解得或（舍．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的求值问题，属于中档题．二．两角和与差的三角函数（共4小题）7．（2023•新高考Ⅰ）已知，，则A． B． C． D．【分析】由已知结合和差角公式先求出，再求出，然后结合二倍角公式可求．【解答】解：因为，，所以，所以，则．故选：．【点评】本题主要考查了和差角公式，二倍角公式的应用，属于中档题．8．（2022•新高考Ⅱ）若，则A． B． C． D．【分析】解法一：由已知结合辅助角公式及和差角公式对已知等式进行化简可求，进而可求．解法二：根据已知条件，结合三角函数的两角和公式，即可求解．【解答】解：解法一：因为，所以，即，所以，所以，所以，所以，，所以，所以．解法二：由题意可得，，即，所以，故．故选：．【点评】本题主要考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．9．（2022•北京）若函数的一个零点为，则1；．【分析】由题意，利用函数的零点，求得的值，再利用两角差的正弦公式化简，可得的值．【解答】解：函数的一个零点为，，，函数，，故答案为：1；．【点评】本题主要考查两角差的正弦公式，函数的零点，求三角函数的值，属于中档题．10．（2022•浙江）若，，则，．【分析】由诱导公式求出，再由同角三角函数关系式推导出，由此能求出的值．【解答】解：，，，，，，解得，，．故答案为：；．【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、同角三角函数关系式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三．二倍角的三角函数（共4小题）11．（2021•甲卷）若，，则A． B． C． D．【分析】把等式左边化切为弦，再展开倍角公式，求解，进一步求得，再由商的关系可得的值．【解答】解：由，得，即，，，则，解得，则，．故选：．【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．12．（2021•乙卷）A． B． C． D．【分析】法一、直接利用二倍角的余弦化简求值即可．法二、由诱导公式即二倍角的余弦化简求值．【解答】解：法一、．法二、．故选：．【点评】本题考查三角函数的化简求值和二倍角的余弦，是基础题．13．（2019•新课标Ⅱ）已知，，则A． B． C． D．【分析】由二倍角的三角函数公式化简已知可得，结合角的范围可求，，可得，根据同角三角函数基本关系式即可解得的值．【解答】解：，可得：，，，，，，解得：．故选：．【点评】本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14．（2020•江苏）已知，则的值是．【分析】根据二倍角公式即可求出．【解答】解：因为，则，解得，故答案为：【点评】本题考查了二倍角公式，属于基础题．四．半角的三角函数（共1小题）15．（2023•新高考Ⅱ）已知为锐角，，则A． B． C． D．【分析】根据已知条件，结合二倍角公式，以及角的取值范围，即可求解．【解答】解：，则，故，即，为锐角，，．故选：．【点评】本题主要考查半角的三角函数，属于基础题．1.2解题模型1.全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤同角三角函数的基本关系式的应用(1)利用sin²α+cos²α=1可以实现角α正弦、余弦的互化，利用可以实现角α的弦切互化(2)sina,cosα的齐次式的应用①已知tanα的值，求关于sinα与cosα的齐n次分式的值：分子、分母同时除以cosnα,转化为关于tanα的式子求解.②“1”的代换问题：含有sin²α,cos²α及sinαcosα的整式求值问题，可将所求式子的分母看作“1”,利用“sin²α+cos²α=1”代换后转化为“切”,然后求解(3)同角三角函数的基本关系式的常用变形①sin²α=1-cos²α,cos²α=1-sin²α.②(sinα±cosα)²=1±2sinαcosα.2.诱导公式及其应用(1)三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)－απ－απ＋αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinαsinα－sinαcosαcosα余弦cosαcosα－cosα－cosαsinα－sinα正切tanα－tanα－tanαtanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限(2)诱导公式的使用口诀：奇变偶不变，符号看象限.“奇变偶不变”是指在中，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变.“符号看象限”是指在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号.(3)诱导公式的使用步骤(4)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.三角函数式的化简、求值(1)三角函数式的化简三看原则一看角：通过看角之间的差别与联系，把角进行合理转化二看函数名称：若函数名称不同，则可利用公式将函数名称进行转化三看结构特征：通过看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式要升幂”等化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.(2)三角函数式求值的基本类型①给角求值：a.化为特殊角的三角函数值；b.化为正、负相消的项，消去求值；c.化简分子、分母，使其出现公约数，然后约分求值.②给值(式)求值：解题的关键在于“变角”,如α=(α+β)-β,2a=(α+β)+(α-β)等，把待求三角函数值的角用含已知角的式子表示出来，求解时要注意对角的范围的讨论.③给值求角：实质上可转化为“给值求值”问题，先求所求角的某一三角函数值，再利用该三角函数值结合所求角的范围求得角.1.3对点训练（四年省市模考）一．同角三角函数间的基本关系（共2小题）1．（2016•龙岩一模）若，则A． B． C．2 D．3【分析】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简求出的值，原式利用同角三角函数间基本关系化简后，将的值代入计算即可求出值．【解答】解：，即，原式，故选：．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．2．（2016•泉州模拟）已知为第四象限角，，则．【分析】根据三角函数的定义和同角的三角函数的关系建立方程即可得到结论．【解答】解：由得，平方得，即，即，是第四象限的角，解得（舍或，即．．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数值的求解，利用三角函数的同角关系是解决本题的关键，属于基础题．二．两角和与差的三角函数（共14小题）3．（2023•漳州模拟）在中，若，分别是方程的两个根，则A． B． C． D．【分析】由两角和与差的三角函数，结合韦达定理求解即可．【解答】解：在中，若，分别是方程的两个根，则，，又，则，即，，则，，即，故选：．【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，属基础题．4．（2023•厦门模拟）已知，则A．0 B． C． D．【分析】利用两角和差的正弦公式将题给条件化简，得到关于的方程，解之即可求得的值．【解答】解：因为，，又，则，则．故选：．【点评】本题主要考查了和差角公式的应用，属于基础题．5．（2023•泉州模拟）已知，，且满足，则A． B． C． D．【分析】根据题意结合诱导公式分析判断．【解答】解：因为，可得，因为，所以，又因为，，则，所以，整理得．故选：．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角化简中的应用，属于基础题．6．（2023•漳州模拟）已知，则A． B． C． D．【分析】利用诱导公式和二倍角余弦公式直接化简求解即可．【解答】解：．故选：．【点评】本题主要考查诱导公式及二倍角公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．7．（2022•莆田模拟）若，则A． B． C． D．【分析】利用平方的方法求得，由此求得的值．【解答】解：依题意，两边平方，可得，化简得，可得，所以．故选：．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．8．（2022•南平模拟）在中，若，则A． B． C． D．【分析】先结合三角形的内角和定理与诱导公式可得，再由二倍角公式，得解．【解答】解：因为，且，所以，所以．故选：．【点评】本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握二倍角公式，诱导公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．9．（2022•厦门模拟）已知，，且，则A． B． C． D．【分析】利用题中的条件分别解出，，，，即可解出．【解答】解：由，，，；，，，，，，，故选：．【点评】本题考查了三角函数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．10．（2022•三明模拟）已知，则A． B． C． D．【分析】由题意，利用诱导公式，计算求得结果．【解答】解：，则，故选：．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．11．（2020•龙岩一模）已知函数满足，则A． B．0 C． D．2【分析】由可知函数关于对称，根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可求，然后代入即可求解．【解答】解：由可知函数关于对称，根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可知，，，故，．故选：．【点评】本题主要考查了正弦函数的对称性的简单应用，属于基础试题．12．（2019•福州一模）已知，且，则A．0 B． C．1 D．【分析】解法一：由题意先求出角，从而求得的值．解法二：由题意求得，再根据吧，利用两角差的三角公式求得结果．【解答】解：由，且，可得，代入，可得，故选：．解法二：由，且，可得，所以，故选：．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，属于基础题．13．（2020•福建二模）已知，则A．1 B． C． D．0【分析】由题意利用两角和差的三角公式求得的值，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，求得的值．【解答】解：，即，，，，则，故选：．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．14．（2023•三明三模）在平面直角坐标系中，，，，，当时，写出的一个值为（答案不唯一）．【分析】先求出，的坐标，再利用向量的数量积运算可得，所以或，，解出的值即可．【解答】解：，，，，，，，，又，，，当时，，或，，即或，，的一个值为（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．15．（2023•漳州模拟）由，可求得．【分析】由题意得到，利用二倍角的正弦公式得到，即可求解．【解答】解：，，，，，，或（舍．故答案为：．【点评】本题考查了诱导公式和二倍角的正弦公式，属于基础题．16．（2022•福州模拟）已知，则．【分析】由已知利用两角差的正弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：因为，所以，可得，则．故答案为：．【点评】本题主要考查了两角差的正弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．三．二倍角的三角函数（共11小题）17．（2023•龙岩模拟）已知，若恒成立，则A． B． C． D．【分析】若恒成立，即，由余弦的二倍角公式和辅助角公式化简，求出，此时，则，由诱导公式即可得出答案．【解答】解：，其中，，所以当时，．若恒成立，则，此时，则，即，．故选：．【点评】本题主要考查二倍角的三角函数，考查转化能力，属于中档题．18．（2023•泉州模拟）已知，则A． B．0 C． D．【分析】由弦切互化可得，进而由余弦的二倍角公式以及齐次式的计算即可求解．【解答】解：由，可得，故，故选：．【点评】本题主要考查二倍角公式，考查运算求解能力，属于基础题．19．（2022•泉州模拟）已知，且，则A． B． C． D．【分析】由题意，直接利用三角函数关系式的变换，求出结果．【解答】解：，且，，即，根据选项得：，，故选：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．20．（2022•泉州模拟）已知，则A． B． C． D．【分析】将已知等式利用两角差的余弦公式化简可得，两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式即可求解．【解答】解：因为，所以，两边平方，可得，则．故选：．【点评】本题主要考查了两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．21．（2022•三明模拟）若，则A． B． C． D．【分析】由三角函数的诱导公式，倍角公式即可得出答案．【解答】解：，故选：．【点评】本题考查二倍角的三角函数，考查学生的运算能力，属于中档题．22．（2021•漳州一模）已知，则A． B． C． D．【分析】由已知利用诱导公式可求得的值，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可化简求解．【解答】解：由，得，则．故选：．【点评】本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系、二倍角公式，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于基础题．23．（2020•漳州一模）若，则A．或 B．或 C． D．【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和倍角公式的应用求出结果．【解答】解：，解得或．故：．当时，原式得．当时，原式得．故选：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，同角三角函数关系式的变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．24．（2023•福州模拟）若，是第三象限角，则．【分析】根据已知条件，结合三角函数的同角公式，先求出，再结合正切函数的二倍角公式，即可求解．【解答】解：，是第三象限角，则，故，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的同角公式，以及正切函数的二倍角公式，属于基础题．25．（2022•莆田模拟）若，则．【分析】由题意，利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，求得的正弦值、余弦值，可得要求式子的值．【解答】解：，，，若，则，．若，则，．综上可得，，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式的应用，属于基础题．26．（2022•泉州模拟）若，则．【分析】由题意，利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，求得的值．【解答】解：，即，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式的应用，属于基础题．27．（2021•福州模拟）已知，则的值为．【分析】由题意利用诱导公式求得，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：，，则，故答案为：．【点评】本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于中档题．命题点三：三角函数的图像与性质1.1母题精析（三年高考真题）一．三角函数线（共1小题）1．（2022•甲卷）已知，，，则A． B． C． D．【分析】构造函数，，可得，即，利用三角函数线可得，即，即，可得．【解答】解：设，，则，设，，故在单调递增，即，即，故在上单调递增，所以，可得，故，利用三角函数线可得时，，，即，，故．综上：，故选：．【点评】本题考查了三角函数不等式的证明与应用，考查了运算能力，属难题．二．三角函数的周期性（共4小题）2．（2021•乙卷）函数的最小正周期和最大值分别是A．和 B．和2 C．和 D．和2【分析】化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可．【解答】解：，．当时，函数取得最大值；函数的周期为，最大值．故选：．【点评】本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（2023•新高考Ⅰ）已知函数在区间，有且仅有3个零点，则的取值范围是，．【分析】利用余弦函数的周期，结合函数的零点个数，列出不等式求解即可．【解答】解：，，函数的周期为，，可得，函数在区间，有且仅有3个零点，可得，所以．故答案为：，．【点评】本题考查三角函数的周期的应用，函数的零点的应用，是基础题．4．（2022•乙卷）记函数，的最小正周期为．若，为的零点，则的最小值为3．【分析】由题意，结合余弦函数的周期和零点，建立相关的方程求解即可．【解答】解：函数，的最小正周期为，若，，则，所以．因为为的零点，所以，故，，所以，，因为，则的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，考查了方程思想，属于基础题．5．（2022•上海）函数的周期为．【分析】由三角函数的恒等变换化简函数可得，从而根据周期公式即可求值．【解答】解：，．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用，属于基础题．三．诱导公式（共1小题）6．（2021•北京）若点关于轴的对称点为，，则的一个取值为（答案不唯一）．【分析】利用点关于轴对称，可知横坐标相反，纵坐标相等，利用诱导公式分析求解，写出一个符合题意的角即可．【解答】解：因为与，关于轴对称，故其横坐标相反，纵坐标相等，即且，由诱导公式，，所以，，解得，，则符合题意的值可以为．故答案为：（答案不唯一）．【点评】本题考查了三角函数的化简，三角函数诱导公式的应用，点关于线的对称性问题，属于基础题．四．正弦函数的图象（共4小题）7．（2022•新高考Ⅰ）记函数的最小正周期为．若，且的图像关于点，中心对称，则A．1 B． C． D．3【分析】由周期范围求得的范围，由对称中心求解与值，可得函数解析式，则可求．【解答】解：函数的最小正周期为，则，由，得，，的图像关于点，中心对称，，且，则，．，，取，可得．，则．故选：．【点评】本题考查型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．8．（2022•甲卷）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【分析】由题意，利用正弦函数的极值点和零点，求得的取值范围．【解答】解：当时，不能满足在区间极值点比零点多，所以；函数在区间恰有三个极值点、两个零点，，，，求得，故选：．【点评】本题主要考查正弦函数的极值点和零点，属于中档题．9．（2022•天津）已知，关于该函数有下列四个说法：①的最小正周期为；②在，上单调递增；③当，时，的取值范围为，；④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题意，利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：对于，它的最小正周期为，故①错误；在，，，，函数单调递增，故②正确；当，时，，，的取值范围为，，故③错误；的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，故④错误，故选：．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．10．（2022•新高考Ⅱ）已知函数的图像关于点，中心对称，则A．在区间单调递减 B．在区间，有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线【分析】直接利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的判断、、、的真假．【解答】解：因为的图象关于点，对称，所以，，所以，因为，所以，故，令，解得，故在单调递减，正确；，，，，根据函数的单调性，故函数在区间，只有一个极值点，故错误；令，，得，，显然错误；，求导可得，，令，即，解得或，故函数在点处的切线斜率为，故切线方程为，即，故正确．直线显然与相切，故直线显然是曲线的切线，故正确．故选：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的求法，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．五．正弦函数的单调性（共3小题）11．（2023•乙卷）已知函数在区间，单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则A． B． C． D．【分析】先根据题意建立方程求出参数，再计算，即可得解．【解答】解：根据题意可知，，取，，又根据“五点法“可得，，，，，．故选：．【点评】本题考查三角函数的性质，方程思想，属基础题．12．（2023•全国）已知函数，则A．上单调递增 B．上单调递增 C．上单调递减 D．上单调递增【分析】根据已知条件，结合正弦函数的单调性，即可求解．【解答】解：，令，，解得，，当时，，故在，上单调递增．故选：．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．13．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数单调递增的区间是A． B．， C． D．，【分析】本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解．【解答】解：令，．则，．当时，，，，，故选：．【点评】本题考查正弦函数单调性，是简单题．六．余弦函数的对称性（共1小题）14．（2023•天津）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为A． B． C． D．【分析】由已知结合正弦函数及余弦函数的对称性及周期公式分别检验各选项即可判断．【解答】解：：若，则，令，，则，，显然不是对称轴，不符合题意；：若，则，令，，则，，故是一条对称轴，符合题意；，则，不符合题意；，则，不符合题意．故选：．【点评】本题主要考查了正弦及余弦函数的对称性及周期性，属于基础题．七．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共5小题）15．（2023•甲卷）已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题意，利用函数的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：把函数向左平移个单位可得函数的图象，而直线经过点，且斜率为，且直线还经过点，、，，，，如图，故与的交点个数为3．故选：．【点评】本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题．16．（2022•浙江）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【分析】由已知结合正弦函数图象的平移即可求解．【解答】解：把图象上所有的点向右平移个单位可得的图象．故选：．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象平移，属于基础题．17．（2022•甲卷）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是A． B． C． D．【分析】由题意，利用函数的图象变换规律，三角函数的图象和性质，求得的最小值．【解答】解：将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，则对应函数为，的图象关于轴对称，，，即，，则令，可得的最小值是，故选：．【点评】本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．18．（2021•乙卷）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则A． B． C． D．【分析】由题意利用函数的图像变换规律，得出结论．【解答】解：把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，把函数的图像，向左平移个单位长度，得到的图像；再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得的图像．故选：．【点评】本题主要考查函数的图像变换规律，属基础题．19．（2020•江苏）将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是．【分析】利用三角函数的平移可得新函数，求的所有对称轴，，从而可判断平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程，【解答】解：因为函数的图象向右平移个单位长度可得，则的对称轴为，，即，，当时，，当时，，所以平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是，故答案为：，【点评】本题考查三角函数的平移变换，对称轴方程，属于中档题．八．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共5小题）20．（2020•新课标Ⅰ）设函数在，的图象大致如图，则的最小正周期为A． B． C． D．【分析】由图象观察可得最小正周期小于，大于，排除，；再由，求得，对照选项，，代入计算，即可得到结论．【解答】解：由图象可得最小正周期小于，大于，排除，；由图象可得，即为，，若选，即有，由，可得不为整数，排除；若选，即有，由，可得，成立．故选：．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数的周期的求法，运用排除法是迅速解题的关键，属于中档题．21．（2020•海南）如图是函数的部分图象，则A． B． C． D．【分析】根据图象先求出函数的周期，和，利用五点法求出函数的的值，结合三角函数的诱导公式进行转化求解即可．【解答】解：由图象知函数的周期，即，即，当时，由五点作图法，得，所以，则，当时，由五点作图法，得，所以，所以．故选：．【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合函数图象求出函数的周期和，利用三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．比较基础．22．（2023•新高考Ⅱ）已知函数，如图，，是直线与曲线的两个交点，若，则．【分析】由，两点的位置入手，结合整体代换思想，先确定，再根据图象的位置，找出合乎条件的一个值，即可求解．【解答】解：由题意：设，，，，由的图象可知：，故，，则，两式相减得：，由图可知：，即，解得，，，，又，，，即，，，当时，满足条件，．故答案为：．【点评】本题主要考查根据函数的图象确定解析式的方法，属中档题．23．（2021•甲卷）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为2．【分析】观察图像，，即周期为，将需要求解的式子进行周期变换，变换到附近，观察图像可知，即最小正整数为2．【解答】解：由图像可得，即周期为，，，，观察图像可知当，，，，且，时最小，且满足题意，故答案为：2．【点评】该题考查了三角函数的周期性，以及如何通过图像判断函数值的大小，题型灵活，属于中等题．24．（2021•甲卷）已知函数的部分图像如图所示，则．【分析】根据图象可得的最小正周期，从而求得，然后利用五点作图法可求得，得到的解析式，再计算的值．【解答】解：由图可知，的最小正周期，所以，因为，所以由五点作图法可得，解得，所以，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查由的部分图象确定其解析式，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．九．三角函数的最值（共3小题）25．（2021•上海）已知，对任意的，，都存在，，使得成立，则下列选项中，可能的值是A． B． C． D．【分析】由题意可知，，，即，，可得，，将存在任意的，，都存在，，使得成立，转化为，，又由，可得，，再将选项中的值，依次代入验证，即可求解．【解答】解：，，，，，，都存在，，使得成立，，，，，，在上单调递减，当时，，，故选项错误，当时，，，，故选项正确，当时，，，故选项错误，当时，，，故选项错误．故选：．【点评】本题考查了三角函数的单调性，以及恒成立问题，需要学生有较综合的知识，属于中档题．26．（2021•北京）函数是A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为【分析】先利用二倍角公式将函数进行化简，然后由偶函数的定义进行判断，再利用换元法，令，转化为二次函数求解最值即可．【解答】解：因为，因为，故函数为偶函数，令，则，，故是开口向下的二次函数，所以当时，取得最大值，故函数的最大值为．综上所述，函数是偶函数，有最大值．故选：．【点评】本题考查了三角函数的性质，二倍角公式的运用，偶函数的定义，二次函数的性质，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．27．（2020•全国）已知函数，则的最小值为A．0 B． C． D．【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦型函数性质的应用求出函数的最小值．【解答】解：函数；当，即时，函数的最小值为．故选：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．1.2解题模型1.图像变换的两种途径注意(1)要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数.(2)上述两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是个单位长度，原因在于相位变换和周期变换都是针对而言的.2.由函数的图象求解析式的方法：（1）；（2）；（3）；（4）由图象上的已知点求.求,常用的方法有以下两种：①代入法：把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点是在递增区间上还是在递减区间上)或把图象的最高点(最低点)的坐标代入.②五点法：确定φ的值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口，3.三角函数性质的应用策略(1)熟记三角函数的性质(主要为正弦、余弦、正切函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质)的有关结论.(2)解题时善于运用整体代换的方法，即解决函数或的有关问题时，要将wx+φ看作一个整体进行解题(3)对于一些较为复杂的问题，可借助图象的直观性来解题.1.3对点训练（四年省市模考）一．三角函数的周期性（共2小题）1．（2023•福建模拟）函数，，的最小正周期不可能是A． B． C． D．【分析】举例，分别求，；，；，时函数的最小正周期，从而判断．【解答】解：当，时，，故函数的最小正周期为；当，时，，故函数的最小正周期为；当，时，，故函数的最小正周期为；故选：．【点评】本题考查了三角函数的周期性的判断，属于基础题．2．（2022•宁德模拟）函数的周期为2，下列说法正确的是A． B．是奇函数 C．在，上单调递增 D．的图像关于直线对称【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．【解答】解：函数的周期为2，对于：根据函数的周期，得到，故错误；对于：由于函数，故，故函数为偶函数，故错误；对于：当，时，，故函数在该区间上单调递增，故正确；对于：当时，，故错误．故选：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．二．正弦函数的图象（共1小题）3．（2023•福州模拟）已知函数的图象关于直线对称，若存在，，，，满足，其中，，则的最小值为A．6 B．7 C．8 D．9【分析】先由辅助角公式可得，分析题干可知要使最小，则尽可能多让取最高点，结合图象即可得到答案．【解答】解：由，由，则，则，故，则，对，，，2，，都有，要使最小，则尽可能多让取最高点，又，故，如下图取值即可，由图象可知，的最小值为7．故选：．【点评】本题考查正弦型函数的图象及性质，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．三．正弦函数的单调性（共6小题）4．（2023•福建模拟）函数恒有，且在，上单调递增，则的值为A． B． C． D．或【分析】由题意，利用正弦函数的单调性和最值，求得的值．【解答】解：函数恒有，，即，，，，①．在，上单调递增，，且，则②．综合①②可得，，故选：．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性和最值，属于中档题．5．（2023•福建模拟）已知函数满足：，，则A．曲线关于直线对称 B．函数是奇函数 C．函数在，单调递减 D．函数的值域为，【分析】用辅助角公式化简，再利用，得出的取值集合，再结合三角函数性质逐项判断即可．【解答】解：，所以函数的值域为，，故正确；因为，所以，所以，因为，所以，所以，，所以，即，所以，13，25，37，，因为，所以曲线关于直线对称，故正确；因为，即，所以函数是奇函数，故正确；取，则最小正周期，故错误．故选：．【点评】本题主要考查了正弦函数奇偶性，单调性，值域及对称性的综合应用，属于中档题．6．（2023•福州模拟）已知函数，则A．在区间，单调递增 B．在区间，有两个零点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线【分析】由题意，利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：对于函数，当，，，，函数在区间，上不单调，故错误；当，，，，函数有2个零点，分别为，，故正确；令，可得，为最大值，可得直线是曲线的对称轴，故正确；对于函数，它的导数为，故函数在，处的切线斜率为，故函数在，处的切线方程为，即，故正确．故选：．【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．7．（2023•漳州模拟）已知函数在，上有且仅有4条对称轴；则A． B．可能是的最小正周期 C．函数在上单调递增 D．函数在上可能有3个或4个零点【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到；根据对称轴条数可确定，进而解得范围，知正确；不符合中范围，知错误；根据，可知当时，函数不单调，知错误；根据，分类讨论可得零点个数，知正确．【解答】解：；对于，当，时，，在，上有且仅有4条对称轴，，解得：，即，正确；对于，若是的最小正周期，则，不能是的最小正周期，错误；对于，当时，；，，，，当时，不是单调函数，错误；对于，当时，，，；当时，在上有3个零点；当时，在上有4个零点；在上可能有3个或4个零点，正确．故选：．【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查三角恒等变换的应用，考查运算求解能力，属于中档题．8．（2021•莆田二模）若函数，则A．是周期函数 B．在，上有4个零点 C．在上是增函数 D．的最小值为【分析】直接利用函数的性质，函数的周期性，单调性，函数的导数，二次函数的性质的应用判断、、、的结论．【解答】解：函数，对于：函数不是周期函数，故错误；对于，令，在，上，求得，，，，故正确；对于：当时，，所以，由于，所以且，故，故函数在上单调递增，故正确；对于：由于，当时，，故错误．故选：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦函数的性质的应用，函数的零点和函数的导数和单调性的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9．（2021•漳州一模）已知函数在区间，和上单调递增，下列说法中正确的是A．的最大值为3 B．方程在，上至多有5个根 C．存在和使为偶函数 D．存在和使为奇函数【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：由函数在区间，和上单调递增，故不可能为偶函数．可得当周期最小时，最大，应有，求得，故的最大值为3．故正确；若方程在，上的根最多，则函数的周期最小，即，画出两个函数和在的图象，由图中可知，此时，2个函数的图象有5个交点，故选项正确；因为函数在区间，上单调递增，故不可能存在和使为偶函数，故选项错误；当和时，为奇函数，满足题意，故选项正确，故选：．【点评】本题题以三角函数为背景，考查三角函数的周期性、奇偶性、三角函数的图象与性质、对数函数的图象与性质、函数的零点，考查推理论证能力和函数与方程思想，考查数学运算、逻辑推理核心素养，属于中档题．四．正弦函数的奇偶性和对称性（共3小题）10．（2023•南平模拟）已知函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为，则A．的周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称【分析】由已知先求出函数的周期，进而可求，然后结合正弦函数的性质分别检验各选项即可判断．【解答】解：因为的图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以，即，错误；所以，，令，可得，而，，，错误；因为，此时函数取得最值，故，不是函数的对称中心，错误；，此时函数取得最大值，故正确．故选：．【点评】本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．11．（2019•泉州二模）函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于，两点，且在轴上，则下列说法中正确的是A．函数的最小正周期是 B．函数的图象关于点成中心对称 C．函数在单调递增 D．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称【分析】根据条件求出的值，结合三角函数的周期关系求出周期，以及对应的对称轴，对称中心，利用三角函数的性质分别进行判断即可．【解答】解：由圆的性质知，，则，即周期，则，得，故错误，函数关于点，，对称，函数的对称中心为，，则当时，对称中心为，，故正确，函数的一条对称轴为，函数的相邻最小值的对称轴，前一条对称轴为，则函数的单调递增区间为，，，当时，函数的单调递增区间为，，，此时在单调递增错误，故错误，的一条对称轴为，函数的图象向右平移，此时函数关于轴对称，故错误，故选：．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据圆的性质求出的坐标，结合三角函数的性质是解决本题的关键．12．（2023•龙岩模拟）已知函数，则下列说法正确的是A．的图象关于点对称 B．图象的一条对称轴是 C．，，则的最小值为 D．若时，函数有两个零点，则实数的取值范围是【分析】由可判断，；，，即，画出图象，求得的最小正周期可判断；函数有两个零点，即与的图象有两个交点，结合图象可判断．【解答】解：，故不正确；正确；的图象如所示，若，，则，由图可知，因为的最小正周期为，所以，故正确；，，若时，函数有两个零点，即，即与的图象有两个交点，由图可知，，故不正确．故选：．【点评】本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．五．余弦函数的图象（共1小题）13．（2023•莆田模拟）已知函数，图象的一个对称中心是，点在的图象上，则A． B．直线是图象的一条对称轴 C．在上单调递减 D．是奇函数【分析】由可得，对称中心，即可求得，从而得到函数的解析式，再根据余弦函数的图像与性质，逐一分析选项即可．【解答】解：因为点在的图象上，所以．又，所以，因为图象的一个对称中心是，所以，则，，又，所以，则，正确；，则直线不是图象的一条对称轴，不正确；当时，，单调递减，正确；，是奇函数，正确．故选：．【点评】本题主要考查了余弦函数的图象和性质，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．六．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共12小题）14．（2019•莆田一模）已知函数的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，且，为了得到函数的图象，只要把图象上所有的点A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【分析】根据辅助角公式结合函数图象的对称性求出函数的周期以及，利用求出的结合，结合三角函数的图象平移关系进行判断即可．【解答】解：，图象中相邻两条对称轴之间的距离为，，即，则，即，则，，，即，即，得，即，，即只要把图象上所有的点向右平移个单位长度即可．故选：．【点评】本题主要考查三角函数的图象变换以及三角函数解析式的求解，根据辅助角公式结合对称性求出函数的解析式是解决本题的关键．15．（2020•福州三模）已知函数图象上相邻两条对称轴的距离为，把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则A． B． C． D．【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．【解答】解：函数图象上相邻两条对称轴的距离为，，，．把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得的图象，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，故选：．【点评】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．16．（2023•莆田模拟）已知函数，将其图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．的顶点都是与图象的公共点，则面积的最小值为A． B． C． D．【分析】求出平移变换的函数的解析式，画出函数的图象，然后求解解得纵坐标，即可求解三角形的面积的最小值．【解答】解：函数，将其图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．所以，两个函数的图象如图：，可得，可得，，，如图所示就是面积的最小值情况之一，此时，此时到的距离为：，三角形的面积的最小值为：．故选：．【点评】本题考查三角函数图象的变换，三角形的面积的最小值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．17．（2021•福州一模）已知函数，图象过，在区间上为单调函数，把的图象向右平移个单位长度后与原来的图象重合．设，且，若，则的值为A． B． C．1 D．【分析】由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，可得的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，先求出的值，可得的值．【解答】解：函数，图象过，故有，，．在区间上为单调函数，，．把的图象向右平移个单位长度后与原来的图象重合，，，或．当，，不满足在区间上为单调函数．当，，满足在区间上为单调函数．设，且，则，，，，若，则，，则．故选：．【点评】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，正弦函数的图象和性质，属于中档题．18．（2021•厦门一模）函数，，的部分图象如图所示，且，现将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则在区间上的值域是A．， B．， C．， D．，【分析】由周期求出，由五点法作图求出的值，由特殊点的坐标求出，可得的解析式，再利用函数的图象变换规律求得的解析式，利用正弦函数的定义域和值域，求出在区间上的值域．【解答】解：根据函数，，的部分图象，可得，．再根据五点法作图，，，．由，，．现将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．当，，，，，，，，故选：．【点评】本题主要考查由周期求出，由五点法作图求出的值，由特殊点的坐标求出，函数的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．19．（2023•泉州模拟）已知函数是的一个极小值点，是与其相邻的一个零点．将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则A． B． C． D．【分析】根据给定信息，求出，判断；求出函数及的解析式，再判断作答．【解答】解：因为是函数的一个极小值点，且是与其相邻的一个零点，于是的周期，而，则，正确；又，则，即，而，因此，错误；，于是得，，则，正确；，则，正确．故选：．【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质，考查了三角函数图象的变换，属于中档题．20．（2023•思明区校级一模）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的取值可能为A． B． C． D．【分析】根据图象的变换规律求出的解析式，进而求出对称轴，即可得到的取值情况．【解答】解：的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到函数，因为的图象关于直线对称，所以，，所以，，又，当时，；当时，；当时，；故选：．【点评】本题考查了函数的图象变换以及正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．21．（2022•泉州模拟）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则A．函数是奇函数 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的最小正周期为 D．函数在上的单调递减区间是，【分析】由题意，利用函数的图象变换规律，得到的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，故函数，故函数为奇函数，故正确；令，求得函数，为最大值，故函数的图象关于直线对称，故正确；函数，故它的最小正周期为，故错误；对于函数，令，，求得，，可得它的减区间为，，．结合在上，可得它的减区间为，，故正确，故选：．【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．22．（2021•南平模拟）已知函数与函数有相同的对称中心，则下列结论正确的是A．若方程在上有两个不同的实数根，则取值范围是 B．将函数的图象向右平移个单位，会与函数的图象重合 C．函数的所有零点的集合为 D．若函数在上单调递减，则，【分析】根据与有相同的对称中心，得到，然后利用三角函数的图象和性质分别进行判断即可．【解答】解：与有相同的对称中心，，当时，，，，，当时，单调递增，当时，单调递减，若方程在上有两个不同的实发根，则，，故错误；因为函数与函数有相同的对称中心，所以或，即，周期为，故正确；由，，得，，故错误；若函数在上单调递减，又函数在上单调递增，所以，即，所以，，故正确．故选：．【点评】本小题以正余弦函数为载体，考查三角函数图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，考查转化与化归思想，考查数学运算、直观想象核心素养，体现基础性和综合性．23．（2023•厦门模拟）已知，将图象向左平移个单位后得到的图象，若与的图象关于轴对称，则．【分析】由三角函数图象的变换及三角函数的性质求解即可．【解答】解：由题意知，因为与的图象关于轴对称，所以，可有，则又，则，则，故答案为：．【点评】本题考查三角函数的图象与性质，属于基础题．24．（2023•厦门模拟）将函数的图象向左平移个单位长度．得到函数的图象，若是奇函数，则．【分析】首先根据平移规律求函数的解析式，再根据函数是奇函数，求的值．【解答】解：函数向左平移个单位长度，得到函数，函数是奇函数，所以，则，，则，，因为，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的图象变换，正弦函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．25．（2021•漳州模拟）已知，，函数的图象向右平移个单位得到的图象，若函数与函数的极值点完全相同，则3，的最小值为．【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得到的解析式，再根据三角函数的最值，求出的最小值．【解答】解：，，函数的图象向右平移个单位得到的图象，若函数与函数的极值点完全相同，则，，、．，．即，最小时，，即，故答案为：3；．【点评】本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的最值，属于中档题．七．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共5小题）26．（2023•泉州模拟）如图，函数，，图象与轴交于，与轴交于，其最高点为．若，则的值等于A． B． C． D．2【分析】先求出周期，再根据求，最后根据点和即可求．【解答】解：由图可知：，得，所以，将代入方程得：，所以，又因为，所以，所以，，所以，，因为，所以，解得：或（舍．故选：．【点评】本题考查了由的部分图象确定其解析式，考查了三角函数图象的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．27．（2023•漳州模拟）函数的图象如图所示，则A． B．在上单调递增 C．的一个对称中心为 D．是奇函数【分析】根据函数图象求出，判断，再由正弦型函数的单调性、对称性判断，求出的解析式，判断奇偶性即可判断．【解答】解：对于，因为为该函数图象的最高点，所以，将点，代入，则，即，，，故，故正确；对于，当时，，则在上单调递增，故正确，；对于，令，解得，故的对称中心为，，不是对称中心，故错误；对于，是非奇非偶函数，故错误．故选：．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于基础题．28．（2022•三明模拟）已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是A． B．的最小正周期为2 C．将的图像向右平移1个单位长度，得到函数的图像 D．若在区间，上的值域为，，则的取值范围为，【分析】将的图象与的图象结合，根据三角函数图象性质，数形结合即可求解．【解答】解：对选项，如右图根据的图象结合的图象可知：，，，选项正确；又，，又，，选项错误；，对选项，将的图像向右平移1个单位长度，得到函数，选项错误；对选项，，，，又，如右图数形结合可得：，，选项正确．故选：．【点评】本题考查由三角函数图象求解析式，函数图象的平移变换，三角函数图像性质，数形结合思想，属中档题．29．（2021•泉州一模）已知函数，的部分图象如图所示，则A． B． C． D．【分析】【解法一】利用周期求，利用最高点的坐标，求出的值，再利用图象平移，可求函数的解；【解法二】由，结合正弦函数的图象特点求出，再求出的值．【解答】解：【解法一】由函数的部分图象知，，解得，即，解得，所以满足题意，选项正确，选项错误；又，且，结合正弦函数的图象特点知，选项正确，选项错误．【解法二】由，且，结合正弦函数的图象特点知，所以选项正确，选项错误．由，且，根据正弦型函数图象特点知，，解得，所以选项正确，错误．故选：．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，是基础题．30．（2023•厦门模拟）已知函数的图象如图所示，且在的图象上，则的值为．【分析】根据图象可利用周期得，进而将代入，结合二倍角公式可得，即可求解．【解答】解：，其中，设周期为，由图象可知：，，，，解得，故，由于在图象上，所以，且，由于，所以，故，故可得，由于，所以，进而可得，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．八．三角函数的最值（共1小题）31．（2023•泉州模拟）已知函数，，则A．与均在单调递增 B．的图象可由的图象平移得到 C．图象的对称轴均为图象的对称轴 D．函数的最大值为【分析】利用二倍角公式化简可得，利用辅助角公式化简可得，再结合正弦函数的图象与性质，逐一分析选项，即可．【解答】解：，，选项，由知，，，，又函数在上单调递增，所以与均在单调递增，即正确；选项，的图象需由的图象经过平移和伸缩变换得到，即错误；选项，令，，则，，所以图象的对称轴为，，令，，则，，所以图象的对称轴为，，所以图象的对称轴均为图象的对称轴，即错误；选项，，，而当时，与可同时成立，所以的最大值为，即正确．故选：．【点评】本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．三、类题狂刷（五年区模、校模）：一．任意角的三角函数的定