浙江省金华市卓越联盟2023-2024学年高二下学期5月阶段联考数学试题（含答案）

学年第二学期金华卓越联盟5月阶段联考高二年级数学试题考生须知：1、本卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．2、答题前，在答题纸指定的区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3、所有试题必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4、考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每题给出的4个选项中，只有一个选项符合要求．1．若集合，则（）A．或 B．C． D．2．已知复数，则（）A．-2 B．2 C． D．3．若，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．下列说法错误的个数为（）①已知，若，则②已知，则③投掷一枚均匀的硬币5次，已知正面向上不少于3次，则出现5次正面向上的概率为A．0 B．1 C．2 D．35．科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若，则的值为（）A．14 B．15 C．24 D．256．袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取出后不放回，取得白球得1分，取得黑球得2分，取得红球得3分，直到取到的球的总分大于或等于4分时终止，用表示终止取球时所需的取球次数，则（）A． B． C． D．7．体积为1的正三棱雉的外接球的半径与底面正三角形的边长比的最小值为（）A． B． C． D．8．已知函数，当时，记的最大值为，有，则实数的最大值为（）A．2 B．1 C． D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9．下列选项中正确的有（）A．已知在上的投影向量长度为，且，则B．C．若非零向量满足，则D．已知，且与夹角为锐角，则的取值范围是10．下列命题错误的是（）A．线性相关模型中，决定系数越大相关性越强，相关系数越大相关性也越强B．回归直线至少会经过其中一个样本点C．已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则D．以模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别为3，411．如图，已知圆台的下底面直径，母线，且，是下底面圆周上一动点，则（）A．圆台的侧面积为B．圆台的体积为C．当点是弧中点时，三棱雉的内切球半径D．的最大值为非选择题部分三、填空题：本题共3小题每题5分，共15分．12．的展开式中的常数项为______．13．在锐角三角形中，边长为1，且，则边的长度取值范围是______．14．某学校举办校庆，安排3名男老师和2名女老师进行3天值班，值班分为上午和下午，每班次一人，其中女老师不在下午值班，且每个人至少要值班一次，则不同的安排方法共有______种（用数字作答）．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本题满分13分）设函数，其中，已知．（1）求的解析式；（2）已知，求的单调递增区间及值域．16．（本题满分15分）在如图所示的直三棱柱中，分别是线段上的动点．（1）若平面，求的值；（2）若三棱柱是正三棱柱，是的中点，求二面角余弦值的最小值．17．（本题满分15分）已知函数，．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）证明：当时，．18．（本题满分17分）某超市为促进消费推出优惠活动，为预估活动期间客户投入的消费金额，采用随机抽样统计了200名客户的消费金额，分组如下：（单位：元），得到如图所示频率分布直方图：活跃客户非活跃客户总计男20女60总计（1）利用抽样的数据计算本次活动的人均消费金额（同一组中的数据用该组的中点值表示）（2）若把消费金额不低于800元的客户，称为“活跃客户”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，求列联表中的值，并根据列联表判断是否有的把握认为“活跃客户”与性别有关？（3）为感谢客户，该超市推出免单福利，方案如下：从“活跃客户”中按分层抽样的方法抽取12人，从中抽取2人进行免单，试写出总单金额的分布列及其期望．（每一组消费金额按该组中点值估计，期望结果保留至整数．）附：0.1500.1000.0500.0100.005k2.0722.7063.8416.6357.87919．（本题满分17分）已知①设函数的值域是，对于中的每个，若函数在每一处都等于它对应的，这样的函数叫做函数的反函数，记作，我们习惯记自变量为，因此可改成即为原函数的反函数．易知与互为反函数，且．如的反函数是可改写成即为的反函数，与互为反函数．②是定义在且取值于的一个函数，定义，则称是函数在上的次迭代．例如，则．对于一些相对复杂的函数，为求出其次迭代函数，我们引入如下一种关系：对于给定的函数和，若函数的反函数存在，且有，称与关于相似，记作，其中称为桥函数，桥函数满足以下性质：（1）若，则（2）若为的一个不动点，即，则为的一个不动点．（1）若函数，求（写出结果即可）（2）证明：若，则．（3）若函数，求（桥函数可选取），若，试选取恰当桥函数，计算．2023学年第二学期金华卓越联盟5月阶段联考高二年级数学学科参考答案一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每题给出的4个选项中，只有一个选项符合要求．1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．B 7．D 8．C二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9．BC 10．AB 11．ABD三、填空题：本题共三小题每题5分，共15分．12．5376 13． 14．252四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．解（1）可化为，所以所以又所以所以（2）令解得又所以故的单调递增区间为所以所以16．方法1．（1）过点作，交于，连接，如图，由平面，平面，则平面且又平面，，且平面，故平面平面又平面平面，平面平面，所以从而．故方法2过点作，可得，所以四点共面四边形是平行四边形所以所以（2）过作，垂足为，正三棱雉可得平面，再过作，垂足为，连接，则即为二面角的平面角．当位于时此时故二面角余弦值的最小值为方法2：取的中点由正三棱锥得平面如图建立空间直角坐标系设平面的法向量令得平面法向量当时取到17．（1）令又过点直线方程为可化为（2）当在上恒成立，故在上单调递增；当时，令得；令得，故在上单调递增，在上单调递减综上所述：时增区间为当时单调递增区间为，单调递减区间为（3）证明：不等式可化为恒成立由（2）知，当时，，令，则．令则．因为，所以所以在上单调递增．所以，所以，所以在上单调递减．因为，所以，所以，即当时，．18．（1）（2）列联表如下活跃客户非活跃客户总计男2080100女4060100总计60140200因此有的把握与