适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数第五节指数与指数函数课件

第五节指数与指数函数第三章内容索引0102强基础增分策略增素能精准突破课标解读1.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握指数幂的运算性质.2.理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象及其应用.3.理解指数函数的性质及其应用.强基础增分策略知识梳理1.根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果

,那么x叫做a的n次方根

—n>1且n∈N*当n是奇数时,正数的n次方根是一个

,负数的n次方根是一个

零的n次方根是零当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为

±(a>0)负数没有偶次方根xn=a正数

负数

相反数

(2)两个重要公式

aa-aa2.分数指数幂

(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.微点拨在进行指数幂的运算时,一般用分数指数幂的形式表示,并且结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数.3.有理指数幂的运算性质(1)aras=

(a>0,r,s∈Q);

(2)(ar)s=

(a>0,r,s∈Q);

(3)(ab)r=

(a>0,b>0,r∈Q).

ar+sarsarbr4.指数函数及其图象与性质a的取值范围0<a<1a>1图象(2)指数函数的图象与性质:y=ax(a>0,且a≠1)(1)概念:函数

叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.

a的取值范围0<a<1a>1定义域R值域

性质过定点(0,1),即x=0时,y=1当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1

比较幂值大小的重要依据在定义域R上是

在定义域R上是

(0,+∞)减函数

增函数

微点拨函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的图象与性质

a的取值范围0<a<1a>1图象定义域R值域(0,1][1,+∞)奇偶性偶函数单调性在(-∞,0)上单调递增在(0,+∞)上单调递减在(-∞,0)上单调递减在(0,+∞)上单调递增微思考如何确定指数型函数y=kamx+n+b(a>0,且a≠1,k≠0,m≠0)图象所过的定点?提示

指数函数y=ax(a>0,且a≠1)图象经过定点(0,1)的原因是a0=1.因此要确定指数型函数y=kamx+n+b(a>0,且a≠1,k≠0,m≠0)图象所经过的定点,常用结论1.画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象时注意两个关键点:(1,a),(0,1).2.底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低,不论是a>1,还是0<a<1,在第一象限内底数越大,函数图象越高,即“底大图高”.3.f(x)=ax与g(x)=a-x=x(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.4.指数函数的图象以x轴为渐近线.5.函数y=

(a>0,且a≠1),y=ax-a-x(a>0,且a≠1)均为奇函数,函数y=ax+a-x(a>0,且a≠1)为偶函数.6.若函数g(x)=af(x)(a>0,且a≠1)的值域为(0,+∞),则f(x)的值域必为R.对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(3)若函数f(x)是指数函数,且f(1)>1,则f(x)是增函数.(

)(4)若a>1,则当f(x)有最大值时,g(x)=af(x)也有最大值.(

)××√√A.0 B.2(a-b)C.0或2(a-b) D.a-b答案

C

解析

=|a-b|+a-b,当a≥b时,原式等于2(a-b);当a<b时,原式等于0.故选C.3.函数f(x)=的值域为(

)A.R

B.(0,+∞)C.(-∞,1)∪(1,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞)答案

D

增素能精准突破考点一指数幂的运算答案C

方法点拨指数幂的运算(1)运算顺序:有括号先算括号内的,无括号先进行指数的乘方、开方,再乘除后加减,底数是负数的先确定符号;(2)运算基本原则:①化负指数为正指数;②化根式为分数指数幂;③化小数为分数,化带分数为假分数.答案

(1)B

(2)-6

考点二指数函数的图象及其应用典例突破(2)(多选)若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则实数a的取值可以是(

)例2.(1)(多选)(2023安徽合肥一模)已知a>0,函数f(x)=xa-ax(x>0)的图象可能是(

)答案

(1)ABC

(2)AB

解析(1)当0<a<1时,函数y=xa在(0,+∞)上单调递增,函数y=-ax在(0,+∞)上单调递增,因此函数f(x)=xa-ax在(0,+∞)上单调递增,而f(0)=-1,f(a)=0,函数图象为曲线,故可能为选项A;当a=1时,函数f(x)=x-1在(0,+∞)上的图象是不含端点(0,-1)的射线,可能为选项B;当a>1时,取a=2,有f(2)=f(4)=0,即在(0,+∞)上函数f(x)=x2-2x的图象与x轴有两个公共点,又x∈(0,+∞),随着x的无限增大,函数y=ax呈爆炸式增长,其增长速度比y=xa的快,因此存在正数x0,当x>x0时,

恒成立,即f(x)<0,选项C可能,D不可能.故选ABC.(2)

当a>1时,如图①,由题意可得0<2a<1,解得0<a<,又因为a>1,所以这种情况不存在;图①图②当0<a<1时,如图②,由题意可得0<2a<1,解得0<a<,又因为0<a<1,所以0<a<.故选AB.名师点析指数函数的图象及其应用要点(1)已知函数解析式判断其图象时,可通过图象经过的定点和特殊点来进行分析判断;(2)进行图象识别与应用时,可从基本的指数函数图象入手,通过平移、伸缩、对称等变换得到相关函数的图象;(3)根据指数函数图象判断底数的大小问题,可通过直线x=1与图象的交点进行判断.对点训练2(多选)已知实数a,b满足等式2a=3b,下列关系式中可能成立的是(

)A.0<b<a B.a<b<0C.b<a<0 D.a=bABD考点三指数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1.比较指数式大小典例突破例3.(1)(2023天津,3)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则(

)A.c>a>b B.c>b>aC.a>b>c D.b>a>c(2)(2023四川德阳一模)已知a,b,c是正实数,且e2a-2ea+b+eb+c=0,则a,b,c的大小关系不可能为(

)A.a=b=c B.a>b>cC.b>c>a D.b>a>c答案

(1)D

(2)D

解析(1)因为函数y=1.01x为增函数,所以1.010.6>1.010.5>1.010=1.又0.60.5<0.60=1,所以1.010.6>1.010.5>0.60.5,即b>a>c.故选D.(2)∵e2a-2ea+b+eb+c=0,a,b,c是正实数,∴e2a-ea+b+eb+c-ea+b=ea(ea-eb)+eb(ec-ea)=0,其中ea>1,eb>1,ec>1,对于A,若a=b=c,则ea-eb=ec-ea=0,满足题意;对于B,若a>b>c,则ea-eb>0,ec-ea<0,满足题意;对于C,若b>c>a,则ea-eb<0,ec-ea>0,满足题意;对于D,若b>a>c,则ea-eb<0,ec-ea<0,不满足题意.故选D.方法总结比较指数式大小的方法

对点训练3(1)(2023湖南岳阳一模)已知正实数x,y满足x+y=1,则下列不等式恒成立的是(

)A.a>b>c B.b>c>aC.b>a>c D.c>a>b答案

(1)D

(2)B

考向2.解简单的指数不等式典例突破例4.已知函数f(x)=,则不等式f(x)+f(x2)>0的解集为(

)A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)答案

D

突破技巧指数不等式的求解技巧(1)将不等式的两边化为同底数的幂的形式,然后根据指数函数的单调性转化为幂指数之间的大小关系进行求解.(2)若不等式中幂的底数范围不确定,则应注意分类讨论进行求解.(3)注意一些常见的指数型函数的奇偶性与单调性.对点训练4已知函数f(x)满足f(x)=f(-x),当x≥0时,f(x)=3x+2x,则不等式f(x-2)<13的解集为(

)A.(-∞,0)∪(4,+∞) B.(0,4)C.(0,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞)答案

B

考向3.指数型函数的定义域、值域问题典例突破例5.(1)函数f(x)=的定义域为(

)A.[-2,+∞) B.(-∞,-2]C.[-1,+∞) D.(-∞,-1](2)函数f(x)=4x-2x+2的值域为

.

方法点拨指数型函数定义域与值域的求法(1)形如y=af(x)的函数,其定义域即f(x)的定义域,求其值域时,可先求f(x)的值域,再利用y=at的单调性结合t=f(x)的值域求y=at的值域.(2)形如y=f(ax)的函数,应利用换元法,设ax=t,将函数转化为y=f(t),然后根据函数y=f(t)确定原函数的定义域与值域.对点训练5函数f(