2022届天津市河北区高三年级总复习质量检测(一)数学试卷及答案

河北区2021-2022学年度高三年级总复习质量检测(一)

数学

本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120

分钟.第I卷1至3页，第II卷4至8页.

第I卷(选择题共45分)

注意事项：

1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定

位置粘贴考试用条形码。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。

3.本卷共9小题，每小题5分，共45分。

参考公式：

•如果事件A,8互斥，那么•球的表面积公式S=4兀笈

P(AUB)=尸(A)+P(B)

球的体积公式V=-7i/?3

■如果事件A,2相互独立，那么3

P(48)=P(A)P(B)其中R表示球的半径

一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

(1)已知集合。={1,2,3,4,5},A={1,2},B={2,3,4},则集合=

(A){1}(B){2}

(C){1,2,5}(D){1,2,3,4}

(2)设无eR,贝I“xvl”是“x(x-l)<0”的

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

-11

(3)设〃=23,b=log2—,c=log1—,则b,c的大小关系为

34

(A)a>b>c(B)a>c>b

(C)c>b>a(D)c>a>b

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(4)某高校调查了400名学生每周的自习时间(单位：小时)，绘制成如图所示的频率

分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),

[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].则根据直方图这400名学生中每周的自习时间不足22.5

小时的人数是

(第4题)

(A)60(B)90

(C)130(D)250

(5)函数〃尤)=(2"+2T)ln|x|的图象大致是

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(6)一个圆锥的底面圆周和顶点都在一个球面上，已知圆锥的底面面积与球的表面积的

比值耳，则这个圆锥的体积与球的体积的比值为

(A)(B)

8127

(C)&或§(D)士或多

81812727

(7)将函数/5)=$亩2%+632%的图象向右平移巴个单位长度后得到函数8(0

6

的图象，则函数g(无)的一个单调递增区间为

(B)

(C)(D)[--,0]

362

22,同

(8)已知双曲线C:=-==l(a>0,b>0)的离心率为土，。为坐标原点，过右焦点

ab3

产的直线与双曲线。的两条渐近线的交点分别为M,N,且△OMN为直角三角形，

瓜

若△OMN的面积为—,则双曲线。的方程为

2

2222

(A)—(B)上-上=1

12462

222

(C)—(D)匕-2=1

326

2_.>

(9)设函数八乃=2X一6；尤1”其中4>0,若存在丑(色,马满足

x-3ax+2a+1,x<a,42

/(sin。)=/(cos。)，则〃的取值范围是

172

(A)(-,1)(B)(—,1)

172

(C)(1,72)(D)rT)

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数学

第II卷

注意事项：

1.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

2.用黑色墨水的钢笔或签字笔答在等博纸上。

3.本卷共11小题，共105分。

得分评卷人

填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案

写在答题纸上.

(10)i是虚数单位，则的值为.

(11)在(4+中户的展开式中，x的系数是.

(12)袋子中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球.每次从袋子中随机摸出

1个球，摸出的球不再放回，则两次都摸到红球的概率为;在第一次

摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为.

(13)经过点尸(5,5)的直线/被圆C:f+y2=25截得的弦长为4石，则直线/的方程

为.

ah

(14)已知Q〉0,b>0,且a+b=l,则---+-的最大值为.

(15)已知△ABC是边长为2的等边三角形，D,E分别为AB,3C的中点，连接OE

ULUULU

并延长到点凡4更得DE=3EF,则AFIC的值为.

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三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

得分评卷人.

------------------------(16)(本小题满分14分)

在△ABC中，内角AB,C的对边分别为a,b,c,已知----------=——

sin8-sinCb-a

(I)求角C的大小；

回

(II)^cosA=—,求sin(2，-C)的值.

请将答案写在答题纸上

得分评卷人

(17)(本小题满分15分)

如图，在三棱柱ABC-A4G中，ACLBC,AC=BC=BBI=2,

。为AB的中点，且

(I)求证：B4，平面ABC；

(II)求直线DC】与平面CDA1所成角的正弦值；

(III)求平面C%与平面的夹角的余弦值.

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请将答案写在答题纸上

得分评卷人

(18)(本小题满分15分)

已知数列｛an｝的前w项和S"=中I"eN,).

(I)求数列｛%｝的通项公式；

(n)设为=-----Q乜zj-----，求数列也｝的前n项和7；；

(4+3)(%+i+3)

(III)利用(II)的结果，设几是整数，是否存在正整数〃，使等式萨

成立？若存在求出彳的值；若不存在，说明理由.

请将答案写在答题纸上

高三数学第6页共8页

得分评卷人

----------------(19)(本小题满分15分)

22

已知椭圆C:=+==1(°>5>0)的一个顶点恰好是抛物线。：？=4y的焦

ab

点，离心率为I

(I)求椭圆C的方程；

(II)设4(-。,0),4(。,0),3(0,6),M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，

若直线A3与直线4"交于点尸，直线4〃与直线48交于点Q.证明△BP。是

等腰三角形.

请将答案写在答题纸上

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得分评卷人

------------------------(20)(本小题满分16分)

已知函数/(x)=x+alnx,g(x)=e~x-]nx-2x.

(I)讨论函数f(x)的单调性；

(II)若g(&)=0,求%+lnX]的值；

(III)证明彳一日讨忘心+犬.

请将答案写在答题纸上

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高三数学第9页共8页

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数学答案

102

（13）x-2y+5=0,或2x-y-5=0；（14）~；（15）

33

三、解答题：本大题共5小题，共75分.

（16）（本小题满分14分）

解：（I）•；.sm/二上,

sin-sinCb-a

由正弦定理得，」==二................2分

b-cb-a

化简得+/―/=qb...................3分

由余弦定理得，cosC「1」...............5分

2ab2

又0<Cv兀，

C=—...................6分

3

(II)cosA=——,得sin4=J1-cos'4二---..........7分

33

sin2A=2sinAcosA=------,cos2A=2cos2A-l=——...................11分

33

sin(24-C)=sin(2Z--)=sin24cosq一cos24sin—=........14分

3336

高三数学（答案）第1页共6页

(17)(本小题满分15分)

证明：(I);AC=BC,。为48的中点，

CDLAB.

又CD工DA，AB[\DAX=D,

CD_L平面..........2分

CD1BB「

又ABLBBjAB[}CD=D,

，J•平面48c..........4分

解：(n)由(I)可知CC|J_平面ABC,

又ACLBC.

以。为原点，CB,cc,,G4所在直线分别为X轴，y轴，Z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则C(0,0,0),8(2,0,0),A(0,0,2),C；(0,2,0),4(0,2,2),£>(1,0,1).

ADC,=(-l,2,-l)..........5分

设平面CZ)4的法向量为〃=(x,y,z).

CD=(1,0,1),C4=(0,2,2),

n-CD=0,fx+z=0,

..i__,即<

«C4=0,[2y+2z=0.

取x=l,得〃=(1,1,-1)..........7分

设直线。q与平面所成的角为a,

则sina=|cos〈DC、,nDC,n2

DCAAn

...直线DCX与平面CDAX所成角的正弦值为牛.10分

(III)设平面CQ4的法向量为〃?=(x,y,z).

1.•*=(0,0,2),Bq=(-l,2,-l),

高三数学(答案)第2页共6页

.=0,(2z=0,

・・<___upq

m•DC1k=0,[-x+2y-z=0.

取歹=1,得/w=(2,1,0)..........12分

设平面CDAX与平面C'DA、的夹角为。，

则c°s”gsg，〃*备\二|春|二乎.

・・・平面CDAX与平面CXDAX的夹角的余弦值为学..........15分

（18）（本小题满分15分）

解：（I）当〃22时，册=S“-S〃_]=3><4"-2..........2分

当〃=1时，/=E=1不适合上式..........3分

1,〃=1,

ZxC心2..........4分

，!-2

（II）由（I）知，当〃，2时，an=3X4,

9X3X4"-2_______3X4”-211

........6分

(3xdT+3)(3x4"T+3)-(4/,-2+1)(4H-1+1)-4"-2+14"与+1

9%3

当〃=1时,4展不适合上式.

(Q]+3)(〃2+3)O

3

一,n=l,

8

b=.........8分

“11、

⑷“尸+1

当〃》2时，

311111171

小丁(一一Q)+(Q一八7)+…+(KT1F7F

3

当〃=1时，％—适合上式.

8

71*八

・F丁内—T("N)...........11分

o4+1

高三数学（答案）第3页共6页

3AI,得二__—32J

(Ill)由北+

5a884^+15X3X4"T8

n+l

SX4〃TS

化简得;1=兰」=5..........13分

4"'+l4"T+1

•••力是整数,

.•.当〃=1时，解得4=*不符合题意.

2

当"，2时，4"T+125，

则当且仅当"=2时，解得彳=4符合题意.

3A7

综上可知，当2=4时，存在正整数〃=2,使等式［,+;-=了成立..........15分

5。”+18

（19）（本小题满分15分）

解：（I）由题意得，抛物线-=4y的焦点坐标为（0,1）,

.'.&=]..........2分

..cV3

・一二--，

a2

又/=〃+c?,

解得q=2..........4分

...椭圆C的方程为《+/=1...............5分

4

证明：(II)由(I)可得，4(一2,0),4(2,0)，5(0,1),

直线的方程为y=；x+l..........6分

直线43的方程为V=-;x+1..........7分

设直线4A/的方程为》=左(工+2)(左w土;，且左。0)..........8分

y=k(x+2),

由X?消去了，整理得(442+1)/+16心；+16左2一4=0..........9分

—+y2=1

14'

：A=(16公)2-4(4〃+l)x(16F一4)>0,

.16%2-42-8产

••x4•x=------，艮B1n)x=-•10分

4M止+1Mu4/+1

高三数学（答案）第4页共6页

V_4kk_加-0_1.........11分

"4F+1'x24k.

，直线为1的方程为y=-：(x-2).

11

y——x+1,

2得p-

由《.........12分

2左+124+1

y=k(x+2),

得0(生竺...

由《11......13分

y=——x+12左+12左+1

12

P0_Lx轴.

又尸。的中点N的坐标为(经竺,1),

8N〃x轴.

XBPQ的中线3N1PQ.

故△BP。是等腰三角形................15分

(20)(本小题满分16分)

解：(I)函数/(x)的定义域为(0,+功.

,ax+ac八

f'(x)=l+-=——...............2分

XX

①当a20时，广(工)〉0恒成立，

・・・函数/(x)在(0,+oo)上单调递增................3分

②当a<0时，令f\x)=0，解得x=-a.

由f\x)<0，角军得0<x<-«;

由/'(%)〉0，解得x