2024年江苏南京盐城高三一模数学试题答案详解

南京市、盐城市2024届高三年级第一次模拟考试

数学

2024.03

注意事项：

1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.

2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.

3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在

试卷及答题卡上.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集。与集合4,2的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A\B

A.B.AMC.Bc^ABU

2.复数z满足=l+（i为虚数单位），贝!］目=

3.等比数列｛%｝的前〃项和为S“，已知$3=。2+5%，a5=4,则为=（）

1111

A.一B.——C.-D.——

4422

4.德国天文学家约翰尼斯・开普勒根据丹麦天文学家第谷・布拉赫等人的观测资料和星表,

通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律一一

绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期7有

如下关系：7=刀—♦小,其中“为太阳质量，G为引力常量.已知火星的公转周期

yJGM

约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（）

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

5.关于函数f（x）="sin（0x+e）（4>0,®>0,0<0苦），有下列四个说法：

①〃x）的最大值为3

试卷第1页，共4页

②/(X)的图像可由y=3sinx的图像平移得到

③/(x)的图像上相邻两个对称中心间的距离为］

④的图像关于直线xJ对称

若有且仅有一个说法是错误的，则/()

A3百R_23D36

A.•---------±5.V/.U.--------

2222

6.设。为坐标原点，圆M：(x_iy+(y-2『=4与》轴切于点人，直线尤-岛+2石=0

交圆M于8,C两点，其中B在第二象限，则方.反()

AV15口3石「岳n3石

A.-------D.C.-------U.-------

4422

7.在棱长为2ag>0)的正方体中，点M,N分别为棱QG的中

点.已知动点尸在该正方体的表面上，且闻7.两=o，则点尸的轨迹长度为()

A.12。B.12兀〃C.24。D.24兀〃

8.用min｛尤/｝表示x,y中的最小数.已知函数/(尤)=十，则min｛/(x)J(x+ln2)｝的

最大值为()

21一ln2,

A.fB.-C.D.In2

e2e2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选

错的得0分.

9.已知"wR,且12*】=3,12-=4,则()

A.y>xB.x+y>l

C.xy<—D.4x+Jy<41

4"

10.有”(MeN,,〃>10)个编号分别为L2,3,n的盒子，1号盒子中有2个

白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球.现从1号盒子任取一球放入2

号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从i号盒子取出的球

是白球”为事件4(z=1,2,3,〃)，则()

14

A.尸(44)=]B.尸(414)=1

71

(

C.P(AI+A2)=-D.P4o)=-

11.已知抛物线及f=4y的焦点为尸，过F的直线4交E于点N(X[，x),B(x2,y2),

试卷第2页，共4页

E在8处的切线为4,过/作与4平行的直线4,交E于另一点C(X3，%),记4与y轴

的交点为。，则()

A.=1B.再+%3=3马

C.AF=DFD.445C面积的最小值为16

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.卜-}16展开式的常数项为.

22

13.设双曲线C：5_2=1(a>0,6>0)的一个焦点为尸，过尸作一条渐近线的垂线,

ab

垂足为E.若线段斯的中点在C上，则C的离心率为.

14.已知见/,且sina-sin£=-；,cosa-cos£=；,则tana+tan/?=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.

15.在AA8C中，sin(B-/)+J^sin/=sinC.

(1)求8的大小；

——7T

(2)延长8c至点使得2灰^二说.^ZCAM=~,求/胡C的大小.

16.如图，已知四棱台/BCD-44的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，

平面442。J_平面/BCD,4/=口。=如，点P是棱。2的中点，点。在棱3。上・

(1)若8。=3。。，证明：P。〃平面

(2)若二面角尸-。。-c的正弦值为空1,求3。的长.

26

17.已知某种机器的电源电压U(单位：V)服从正态分布N(220,202).其电压通常有

3种状态：①不超过200V；②在200V〜240V之间③超过240V.在上述三种状态下，该

机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15,0.05,0.2.

(1)求该机器生产的零件为不合格品的概率；

试卷第3页，共4页

(2)从该机器生产的零件中随机抽取〃("22)件,记其中恰有2件不合格品的概率为4，

求。”取得最大值时〃的值.

附：若Z〜N(〃,cr2),取尸(〃-cr<Z<〃+cr)=0.68,尸(〃-2cr<Z<〃+2cr)=0.95.

18.已知椭圆C：=+/=1(°>6>0)的右焦点为尸。,0),右顶点为/,直线/：x=4

与x轴交于点“，且/同，

⑴求C的方程；

(2*为/上的动点，过8作C的两条切线，分别交y轴于点P,Q,

①证明：直线BPBF,8。的斜率成等差数列；

②。N经过8,P,Q三点,是否存在点8,使得，NPNQ=90。？若存在，求忸叫；若

不存在，请说明理由.

19.已知°>0,函数/(x)=oxsinx+cos依-1,0<x<：.

⑴若。=2,证明：/(%)>0；

⑵若y求°的取值范围；

(3)设集合尸={%I%=£cos可上u，"eN},对于正整数M，集合2n={x\m<x<2m],

记尸no,“中元素的个数为也“,求数列{超}的通项公式.

试卷第4页，共4页

1.A

【分析】

利用韦恩图表示的集合运算，直接写出结果即可.

【详解】

观察韦恩图知，阴影部分在集合/中，不在集合2中，所以所求集合为/n名反

故选：A

2.C

【分析】

根据复数的运算求出复数z,再求模长即可求解.

【详解】

1+il+i

由已知得：z学T3

所以，0==字.

故选：C.

3.A

【分析】

把等比数列｛%｝各项用基本量为和9表示，根据已知条件列方程即可求解.

【详解】

设等比数列｛%｝的公比为0,

由S3=4+5。］,：Q］+&+4=+幻］,

艮:=4。］—,

所以，/=4,

又。5=4,所以，％/=%(/『=。］x4?=4,

所以，%=；.

故选：A.

4.B

【分析】

答案第1页，共20页

根据已知的公式，由周期的倍数关系求出长半轴长的倍数关系即可.

【详解】

设火星的公转周期为工，长半轴长为生,火星的公转周期为(，长半轴长为。2,

3

2»aj①

4GM

则,7；=87；,且

3

271

4GM*②

喝得：?=(虫)：=8,

②T1a2

所以，U=4，即：%=42.

故选：B.

5.D

【分析】

根据题意，由条件可得②和③相互矛盾，然后分别验证①②④成立时与①③④成立时的结论,

即可得到结果.

【详解】

说法②可得。=1,说法③可得7=不，则丁=兀=』，则。=2,②和③相互矛盾；

22co

jrjr

当①②④成立时，由题意4=3,。=1,—+(p=2kn+—,keZ.

因为"故人=0,e=£，即/(x)=3sin1x+。/曰=51；

_27rjr

说法①③④成立时，由题意4=3,G=2,+(p=2kn+—,keZ,

夕=2丘440,J故不合题意.

故选：D.

6.D

【分析】

先根据圆的弦长公式求出线段8C的长度，再求出直线x-&+26=0的倾斜角，即可求

得刀与团的的夹角，进而可得出答案.

【详解】

答案第2页，共20页

由题意)(1,0),圆心M(l,2),

”(1,2)至I］直线x—岛+2代=0是巨离为

所以80=2._；=后

直线X-岛+26=0的斜率为，，则其倾斜角为弓,

则而与前的的夹角为?，

6

所以万.数=|厉口前|cos瓯就=lx后X圣孚

故选：D.

【分析】根据条件得到尸点轨迹为以为直径的球，进而得出点P的轨迹是六个半径为。

的圆，即可求出结果.

【详解】因为丽.丽=0，故尸点轨迹为以MN为直径的球，

如图，易知中点即为正方体中心。，球心在每个面上的射影为面的中心，

设O在底面48c。上的射影为5,又正方体的棱长为2°,所以MN=2拒a，

易知。。1=。，OXM=a,又动点尸在正方体的表面上运动,

所以点P的轨迹是六个半径为。的圆，轨迹长度为6x2?ra=12na,

8.C

【分析】

答案第3页，共20页

利用导数研究=j的单调性，作出其图象，根据图象平移作出V=/(x+ln2)的图象,

数形结合即可得到答案.

【详解】.."(x)=2，.•./'(x)==,

ee

根据导数易知/(x)在(-8,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减；

由题意令/(x)=/(x+ln2),即三本怨,解得x=ln2；

ee

作出图象：

则min{/(x),/(x+ln2)}的最大值为两函数图象交点处函数值，为殍.

故选：C.

9.ACD

【分析】

用对数表示x,y,利用对数函数的性质、对数的计算、基本不等式等即可逐项计算得到答

案.

【详解】

：12*=3,二x=log]23,同理y=log[24,

•.•y=log12X在尤＞0时递增，故＞＞x,故A正确;

Vx+y=log1212=l,；.B错误;

x＞0,y＞0,宁)=；,当且仅当》=了时等号成立，而》＜了，故孙＜；,

**•C正确；

（五+6）=x+y+2-Jxy=1+2^fcy~<2,即4x+y[y<y[2,AD正确.

故选：ACD.

10.BC

【分析】

答案第4页，共20页

根据题意，由概率的公式即可判断AC,由条件概率的公式即可判断B,由尸（4）与尸（4.J

的关系，即可得到P（4）=；•，+]1,从而判断D

【详解】

7?4

对A,==所以A错误；

对B,P（4）=fx|+|x|=f,故尸（4|4）=乎管1=：,所以B正确；

2547

对C,P（Al+A2）=P（Al）+P（A2）-P（AlA2）=-+---=~,所以C正确；

对D,由题意:尸（4）="（4-）+*一尸（&）]，所以，

尸⑷等尸⑷所以尸⑷}

所以尸（4）=g（i+；J，

贝=所以D错误.

故选：BC.

11.ACD

【分析】

A选项，求出焦点坐标与准线方程，设直线4的方程为夕=区+1,联立抛物线方程，得到两

根之积，从而求出必力=1；B选项，求导，得到切线方程，联立抛物线方程，得到玉+X3=2X2；

C选项，求出。（0,乂+2）,匹卜乂+1,结合焦半径公式求出|/尸|=乂+1,C正确；D选

项，作出辅助线，结合B选项，得到工瓯=25”出，表达出£曲,,利用基本不等式求出

最小值，从而得到“3C面积最小值.

【详解】

A选项，由题意得尸（0,1）,准线方程为＞=-1,

直线4的斜率存在，故设直线4的方程为了=履+1,

联立苫2=4了，得/一4左一4=0,xtx2=-4,故乂%==1,A正确；

答案第5页，共20页

B选项，y'=gx,直线4的斜率为gz，故直线4的方程为丁-乂=申（》-王）,

即＞=£*+弘+2,联立》2=4了，得尤2-2苫2苫-2（必+2）=0,故玉+毛=2%2，

所以B错误；

C选项，由直线4的方程y-M=£（x-xj,令X=O得y=5（-%）+必，

又占Z=-4,所以了=必+2,

故。（0,弘+2）,故。司=必+1,

又由焦半径公式得|/刊=必+1,所以C正确；

D选项，不妨设再＜%,过2向％作垂线交4于“，

根据B选项知，再+毛=2工2,

故SEABC=2SSABM,

根据直线。的方程y-弘=学（尤-王），

22

当x=、2时，y=学卜2-当）+乂=左+乂―2,

故Mx2,^-+y1+2^\,

2

22再222

故忸叫=辛+必+2-%_x2x2_24

-T+T_T-T

4无；41、-

„_1zX1(4]_1(4

4

当且仅当王=一,即再=2时，等号成立,

再

答案第6页，共20页

故“BC的面积最小值为16,D正确.

故选：ACD

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：

(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决;

(2)代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，

再求这个函数的最值或范围.

12.15

【分析】

利用二项式的展开式通项公式求解.

【详解】展开式的通项公式为小=(_1)*C«63,

令6—3左=0,解得k=2,

所以常数项为心=艰=15,

故答案为：15.

13.V2

【分析】

由直线即与渐近线方程联立求出E的坐标，代入双曲线标准方程即可求出离心率.

【详解】

b

y=-x,2,

直线.与渐近线方程联立得.解得/=幺，yE=—,

Q/\CC

尸力x-c),

,,一、//+才ab\

・・・跖中点M的坐标为——，不，

I2c2cJ

又M点在双曲线上，代入其标准方程，得S+c：)a',

4a2c24c2一

化简得c?=2a2,••.e2=2,e=6.

故答案为：41■

14.-##2-

33

【分析】

答案第7页，共20页

TT

变形后得到sina+cosa=sin〃+cos/7,利用辅助角公式得到a+/=万，得到

13

sina-cosa=-彳,两边平方后得到sinacostz=三,利用同角三角函数关系求出

28

c18

tana+tanp=--------------=—.

sinacosa3

【详解】

由题可知sincr-sin/7=一cosa+cos夕,所以sina+cosa=sin夕+cos/7,

所以收sin[a+：]=«sin]/?+，,

因为e(0,3，所以£++

又a卡。，所以。+工+£+工=兀，故。+/=巴，

442

所以sin。一sin/?=sina-cosa-,

I3

两边平方后得sin2a-2sinacosa+cos2a=—,故sinacosa=一,

48

01sinacos。18

tana+tanp=tana--------=---------F------=-------------二—.

tanacosasinasinacosa3

故答案为：I

71

15.⑴八“

(2)NB4C=2或空.

―1212

【分析】（1）由sinC=sin（/+8）,代入已知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得

cosB=可得5的大小；

2

（2）设5C=x,NR4C=。，在和△/CM中，由正弦定理表示边角关系，化简求/8/C

的大小.

【详解】（1）在中，A+B+C=TI,所以sinC=sin（/+8）.

因为sin（8-4）+亚sin4=sinC,所以sin（5-4）+逝sin4=sin（4+3）,

BPsin5cos/-cos5sin/+0sin/=sinBcosA+cosBsinA

化简得亚sin4=2cos5sin力.

因为/£（。,兀），所以sin4w0,cosB=.

2

答案第8页，共20页

jr

因为0<8〈兀，所以5=一.

4

则CM=2x.

jr

所以在中,ZAMC=一一e.

2

xAC

在"BC中’由正弦定理得母不AC

，即sin。.兀①.

sin3sin—

4

CMAC

在△，CW中，由正弦定理得

sinZCAMsinAf

①+②，得一--=COL,即2sin6cos6=L,所以sin26='.

2sin6V222

因为8日0节，2。(0,用，所以2。=2或表故8=］或

法2：设BC—x,则CM—2x，BM=3x.

兀AMCM

因为^ACM^BAM,因此而=而

所以AM?=5M-CM=6X2,AM=46x.

在中，由正弦定理得.%即sBZBAM=。，

sinZBAMsinB」一

2

化简得sinNAW=旦

2

因为网］,所以/8/"=巴或"，ZBAC=ZBAM--,

V4J334

故如。=2或浮

1212

16.(1)证明见解析;

(2)1.

【分析】

答案第9页，共20页

(1)取的中点M,先证明四边形3Mp。是平行四边形得到线线平行，再由线面平行性

质定理可得；

(2)法一：应用面面垂直性质定理得到线面垂直，建立空间直角坐标系，再利用共线条件

设函=2赤(0<2<1),利用向量加减法几何意义表示所需向量的坐标，再由法向量方法

表示面面角，建立方程求解可得；法二：同法一建立空间直角坐标系后，直接设点。坐标

2(4,/,0)(-1<^<3),进而表示所需向量坐标求解两平面的法向量及夹角，建立方程求解人

法三：一作二证三求，设8Q=x(O4x44),利用面面垂直性质定理，作辅助线作角，先证

明所作角即为二面角的平面角，再利用已知条件解三角形建立方程求解可得.

【详解】(1)证明：取44］的中点连接MP,MB.

在四棱台/BCD—4月中，四边形是梯形，4Q=2,AD=4,

又点尸分别是棱4幺，的中点，所以〃/。，且

在正方形/BCD中，BC//AD,BC=4,又BQ=3QC,所以8Q=3.

从而。且MP=8。，所以四边形BMP。是平行四边形，所以

又因为MBu平面4?44，尸。0平面么3g4,所以尸。〃平面

(2)在平面4W)中，作4。，/。于O.

因为平面442。，平面48c平面平面48cz)=40,AXO1AD,Z0u平面

AAXDXD,

所以4O_L平面/8CD.

在正方形/BCD中，过O作的平行线交8c于点N,则CW_LO£>.

以｛而，历，W｝为正交基底，建立空间直角坐标系。-孙z.

答案第10页，共20页

因为四边形44QQ是等腰梯形，44=2，4。=4,所以/。=1,又A[A=DQ=后,所

以40=4.

易得3（4,-1,0）,D（0,3,0）,C（4,3,0）,Q（0,2,4）,F^0,1,2^|,所以反=（4,0,0）,

DP=fo,-1,2j,CS=（O,-4,O）.

法1：设①=2至=（0,-4九0乂04人1）,所以质=反+函=（4,-440）.

c---»（1

/、m-DP=0—y+2z=0（〜\

设平面PD0的法t向量为历=（x,y,z）,由«_.，得12，，取应=（44,4,1）,

〔”。。=0[4x-4Ay=0

另取平面DC。的一个法向量为万=（0,0,1）.

设二面角P-0D-C的平面角为0,由题意得|cosM=A/l-sin*=W-

33

解得4=±丁（舍负），因此CQ=：x4=3,BQ=X.

44

所以当二面角P-QD-C的正弦值为％区时，3。的长为1.

法2：设。（4ZO）（-1V/V3）,所以丽=（4J-3,O）.

设平面P£>0的法向量为历=（x,y,z）,由1.，得｛2，，取比=（3-/,4,1）,

[mDQ=0[4x+”3）y=0

另取平面DC。的一个法向量为万=（0,0,1）.

设二面角P-0D-C的平面角为0,由题意得|cosM=A/l-sin*=W-

_\rn-n\11_1

又|cos0=|cos加，川=七岛

J（3-『+17’所以13-，/+17=而'

答案第11页，共20页

解得f=0或6（舍），因此2。=1.

所以当二面角P-QD-C的正弦值为生型时，3。的长为1.

法3：在平面中，作PH_L4D,垂足为H.

因为平面440。，平面48a>,平面4/。2口平面/3。=40,PHLAD,PHu平面

A]ADD[,

所以尸H_L平面4BC7）,又。。u平面45c。，所以尸

在平面N3CZ）中，作〃G_L。。，垂足为G,连接尸G.

因为PH_L。。，HGLDQ,PH^HG=H,PH,HGu平面尸HG,

所以平面尸〃G,又尸Gu平面尸”G,所以。。，尸G.

因为XG，。。，PGVDQ,所以/PG"是二面角尸一。。一/的平面角.

在四棱台/BCD-48©。中，四边形//。口是梯形，

44=2,40=4,4/=〃。=而，点尸是棱。，的中点，

所以P〃=2,DH=~.

2

222

设3Q=x（OV尤V4）,则CQ=4-x,DQ=^4+（4-x）=^x-8x+32,

在血）中，1X-X4=-XVX2-8X+32X//G,从而HG=丁.

~222&-8尤+32

因为二面角尸-QD-C的平面角与二面角P-QD-A的平面角互补，

且二面角P-。。-。的正弦值为包至，所以sin/PG8=%^，从而tan/PG〃=5.

2626

PHI---------------

所以在Rt△尸"G中，——=J%2_8X+32=5,解得X=1或X=7（舍）.

HG

所以当二面角P-QD-C的正弦值为生迈时，3。的长为1.

17.(1)0.09；

答案第12页，共20页

(2)«=22.

【分析】

（1）根据题意，由正态分布的概率公式代入计算，再由全概率公式，即可得到结果；

（2）根据题意，由二项分布的概率公式代入计算，即可得到结果.

［详解】⑴记电压"不超过200V”、“在200V〜240V之间”、“超过240V”分别为事件4,B,

C,“该机器生产的零件为不合格品”为事件。.

因为。〜N（220,202）,所以尸（/）二尸（uw20O）=l一尸（〃一b；Z<〃+b）上手=0.1€,

P⑻=尸（200<U<240）=P（〃一b<Z<〃+b）=0.68,

/、/、\-P（u-（y<Z<Li+（y\1-0.68

尸（。）=尸（U>240）=——匕—-——-——1——=0.16.

所以尸（D）=尸（⑷P（0⑷+尸伊）尸（。3）+尸（C）尸（。C）

=0.16x0.15+0.68x0.05+0.16x0.2=0.09,

所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09.

（2）从该机器生产的零件中随机抽取〃件，设不合格品件数为X,则X〜8（%0.09）,

所以Z=尸（X=2）=C；.0.9r2.0.092.

P“+「第+/0.91〃，0.092〃+1191

由=±」x0.91>1,^2<n<—.

C^-0.9r2.0.092n-\9

所以当24〃W21时，P"<P"+i；

当〃222时，p„>p„+1；所以02最大.

因此当〃=22时，p”最大.

18.（1）—+^=1

43

（2）①证明见解析；②存在，忸闾=疗

【分析】

（1）先求出右顶点。和M的坐标，利用题中条件列等式，分类讨论计算得出椭圆的方程;

（2）设直线的方程为了-/=左@-4）,将直线方程与椭圆方程联立，得出韦达定理，由题意,

答案第13页，共20页

将韦达定理代入可出答案.

【详解】（I）由右焦点为厂（1,0）,得0=1,

因为/厂所以|4一同=〃（〃一1）,

若。24,贝得。2一2〃+4=0,无解，

22

若。＜4,则4一。=。（0一1）,得/=4,所以〃=3,因此C的方程?+?=1.

（2）设8（4,。，易知过3且与。相切的直线斜率存在，

设为了-/=左（》-4）,

联立卜2丁，消去y得（3+4左2）/+8左。一4后）x+4（t-4左）2—12=0,

143

由A=64公”的2-4（3+4/斤464人）2-12]=0,得12入8戊+/一3=0,

Qf%_a

设两条切线3P3。的斜率分别为匕，k2,则左+%=瑞=彳，桃广=.

12312

①设B下的斜率为左3,则%=—=5，

4—13

2t

因为《+a=§=2%,所以2尸，BF,30的斜率成等差数列，

②法1：在y—=左（x—4）中，令x=0,得力=/-4%,所以尸（0,/-4后J,

同理，得。（0,d43,所以尸。的中垂线为y="2（%+的）,

易得2尸中点为（2/-2匕），所以3P的中垂线为了=-（（》-2）+/2勺，

y=t-2(ki+k2)

联立X，，解得"（2左色+2,-2（勺+《））,

k1

答案第14页，共20页

所以标=（-2姑2-2,2k「2k1）,NQ=（-2姑2-2,2kl-2k2）,

要使而•愈=0,即4（桃2+1『-4（勺-刈）2=0,整理得|她+1|=>-讨,

Ifn网一与|=J（左]+鼠）-4k[k]J产+9

-3~

所以会+1=业产，解得』=7，,=±5，因此忸闾=疗,

故存在符合题意的点3,使得标•河0=0,此时忸叫=疗.

法2：在_yT=瓦（x-4）中，令x=0,得力=t—4k],因此尸（0j-4左）,

同理可得。（0,/-4号），所以尸0的中垂线为y=/一2（P+的）,

因为族中点为（21-2%），所以3P的中垂线为尸-;（工-2）+/23

歹二%-2（左1+左2）

联立，1164包，解得0=2左他+2,

y=-—（x-2）+t-2kl

[h

要使标•而=0,则/PN0=：,所以“卜闿，即|2桃2+2|=2%-周,

22

而上一左2|=J化+4-4左&=j样）='1+9，

所以会+1=叱子，解得/=7，、±b，因此忸叫=不，

故存在符合题意的点£使得标•愈=0,此时忸M=曲.

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法3：要使NPNQ=90。，即N尸80=45。或135。，

从而M收0口，又2.=橙，所以左一42|二］

1+桃2|

因为"一周="/+左2）-4左他=J（g）_4.^1^=J\+9，

所以与2=i+:|2,解得/=7，二±不，所以忸叫=后,

故存在符合题意的点2,使得标•愈=0,此时忸M=77.

法4：要使NZWQ=90。，即NP2Q=45。或135。，

JP-^QV|

从而|cosN尸8。卜-=

BP\-\BQ一2

在了T=勺（x—4）中，令x=0,得力="4左］,故尸（0J-4左J*

同理可得。（01-4/）,

因此而=（一4,一4/）,而=（_4「%）,

JPJQ_16+16左他_V2

所以西前=4而系5透~

故V2（1+卜由）=Jl+k：k^+k；+k：,即2+2k；+4klk2=1+左;优+左［+,

整理得将用+6左色+1=（左+舄『，

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所以+6,『+l=［g］，整理得，+2/_63=（b解得，=7或一9（舍去）,

因此I=±g,忸M|=J7,

故存在符合题意的点3,使得标•而=0,此时忸M=77.

法5：要使〃WQ=90。，即48。=45。或135。，

在）_/=尢（］—4）中，令％=0,得力=/—4左］,故P（0/_4左J,

同理可得。（0/-4左2）,

由等面积法得;闻.固=1眸=*I.幽.舁

即?的一4七|-4=；.45斤.4国六常，整理得（勺+左2y=勺宠+6k层+1,

所以［g］=［彳『］+6，（『+1'整理得〃+2产-63=0,解得r=7或-9（舍去）,

因此，=±V7,\BM\^4I,

故存在符合题意的点3,使得NA•而=o,此时忸闾=77.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为（项,%）,（尤2，%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X（或丁）的一元二次方程，注意△的判断;

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为王+尤2、X1X2（或%+%、％为）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

19.（1）证明见解析;

⑵（0,2］；

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(3)bm=m.

【分析】

(1)通过构造函数，利用导数判断函数单调性，求最小值即可证明；

(2)对。的值分类讨论，利用导数判断函数单调性，求最小值，判断能否满足1(力>0；

兀171

(3)利用(1)中结论，cos2M左+1)〉1一2左(左+1)，通过放缩并用裂项相消法求

白兀一16兀，，

"°'而可，有可得粼5

【详解】(1)因为〃=2,所以/(x)=2xsinx+cos2x—l=2(x—sinx)sinx,

71

0<x<—,2sinx>0.

4

设g(x)=x-sinx,0<x<：,

则g，(x)=l-cosr>0,所以g(x)在上单调递增，

所以g(x)>g(O)=O,

因此/(尤)>0.

(2)函数/(x)="xsinx+cos办-1,0<x<；,

方法一：

f(x)=a(sinx+xcosx-sinax),

当0<a<2时，

兀.

注意到0<axW2x<—,故sinax<sin2x,

2

因止匕/'(x)(sinx+xcosx-sin2x)=a[sinx(1-cosx)+(x-sinx)cosx],

由(1)得x-sinx〉0,因此

所以/(X)在(o,j上单调递增，从而〃x)>〃0)=0,满足题意；

当〃>2时，令〃(x)=f\x)=a(sinx+xcosx-sintzx),

=a(2cosx-xsinx-acosax)<a(2-acosax)=a21--cosax),

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因为0<2<1,所以存在,使得COSQ6=2,

a\2)a

则当xc(O⑼时，"6(0,“。)，—1]二°，所以/'(x)在(04)上单调递减，

从而/(%)</'(0)