人教版八年级数学下册 勾股定理 分层练习（基础练）

专题17.2勾股定理（分层练习）（基础练）

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（2024上•福建漳州•八年级统考期末）如图，在中，ZC=90°,若AC=1,AB=2,则的

长是（）

A.1B.73C.2D.y/5

2.（2024上•北京房山•八年级统考期末）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面

3.（2023下•甘肃庆阳•八年级统考期末）如图，在5x6的正方形网格中，点A,8在格点上，且每个小

正方形的边长都是1,则线段A3的长为（）

A.3B.4C.5D.7

4.（2019下•河南南阳•七年级统考期末）如图，在EABC中，AB=10,AC=6,BC=8,将0A8C折叠，使

点C落在A8边上的点E处，4。是折痕，贝峋8OE的周长为（)

A.6B.8C.12D.14

5.（2020下•八年级统考课时练习）已知直角三角形的周长为4+2指，斜边为4,则该三角形的面积为

（）

A.；B.3C.1D.2

6.（2019下•山西吕梁•八年级统考期末）在RfAABC中，斜边AB=3,则AB?+AC?+BC?的值为（）

A.6B.9C.18D.36

7.（2023下•河北廊坊•八年级统考期末）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数

思想解决几何问题最重要的工具之一.下列图形中可以证明勾股定理的有（）

8.（2022上•广东河源•八年级统考期中）如图，为了庆祝"五・一"，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子

上贴彩带，已知柱子的底面周长为1m,高为3m.如果要求彩带从柱子底端的A处均匀地绕柱子4圈后到达

柱子顶端的2处（线段A5与地面垂直），那么应购买彩带的长度为（）

B.3mC.4mD.5m

9.（2024・全国•九年级竞赛）如图，正六边形的边长为L顶点A与原点重合，将对角线A5绕点A顺

时针旋转，使得点8落在数轴上的点C处，则点C表示的数是（）

A.1+当B.73C.|D.2

10.（2024上•江苏镇江,八年级统考期末）《九章算术》中记载着这样一个问题：如图，已知甲乙两人同

时从同一地点出发，甲的速度为每单位时间走7步，乙的速度为每单位时间走3步，乙一直向东走，甲先

向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：设甲乙两

人从出发到相遇用了x个单位时间.根据勾股定理可列得方程为（）

A.（3x）2=（7x『—IO?B.（3X）2+（7X）2=102

C.（3姨=（7K）yD.（3X）2+102=（7X-10）2

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11.（2020上•山东青岛•八年级即墨市第二十八中学校考期中）如图所示的"赵爽弦图”是由四个全等的

直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若

ab=4,大正方形的面积为16,则小正方形的边长为.

12.（2023上•宁夏银川•八年级银川九中校考期中）如图，数轴上点A对应的数是

13.（2022下•黑龙江哈尔滨•八年级哈尔滨德强学校校考期中）如图，一个长为10米的梯子A3,斜靠

在一竖直的墙A。上，这时AO的长为8米，如果梯子的顶端A沿墙下滑2米到点C处，那么梯子底端8将

外移到。，则线段3。的长为米.

14.（2023上•山东泰安•七年级统考期中）学习完《勾股定理》后，张老师要求数学兴趣小组的同学测

量学校旗杆的高度.同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段，但这条绳子的长度未知.如

图，经测量，绳子多出的部分长度为2米，将绳子拉直，且绳子底端与地面接触，此时绳子端点距离旗杆

底端5米，则旗杆的高度为米.

15.（2024上•江苏宿迁•八年级校考期末）如图，在一个长为20米，宽为18米的矩形草地上，放着一

根长方体的木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A

处，爬过木块到达C处需要走的最短路程是米.

16.（2024上•福建漳州,八年级统考期末）如图，NA=N8=90。，点E在线段AB上，AD=BE,

DE=CE=1,则CO的长为

17.（2024・全国•八年级竞赛）如图，在ABC中，ZA=90,AB=AC=8cm,平分/ABC,DEIBC

于点E,则的周长为cm.

A

D

BE

18.（2022•安徽•校联考模拟预测）如图，在等腰ABC中，AB^AC,NA=45。，。为A3边上一动点,

将.ACD沿CO折叠得到△4CD,EA'=EB,连接A3.

A

(1)ZADC=

、A'B

(2)——=

AC

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

19.（8分）（2022上•广东清远・八年级统考期末）如图所示，ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方

形网格的格点上，3DLAC于点。

（1）求的长;

（2）请在图中以5为原点，8C边为x轴建立平面直角坐标系，并写出A、B、C的坐标.

20.（8分）（2023下•广东汕头•八年级统考期末）某条道路限速80km/h,如图，一辆小汽车在这条道

路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s,小汽车到达

B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m.

（1）求8C的长；

（2）这辆小汽车超速了吗？

3小0-汽-车----qc小汽车

、、、I

、、I

、、I

、、I

、、I

---------------------

检测仪

21.（10分）（2024上•山东淄博•七年级统考期末）如图，长方形Q4BC的。4边在x轴上，OC边在＞轴

上，04=15,OC=9,在边AB上取一点E,使ACBE沿CE折叠后，点8落在x轴上，记作点£）.

（1）请直接写出点A的坐标，点C的坐标和点8的坐标；

（2）求点D的坐标；

（3）求点E关于y轴的对称点E'的坐标.

22.（10分）（2024上,山东济南•七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中,已知A（a,0）,3（b,0）,

其中a,6满足卜+4|+仅一6）2=0.

（1）a=,b=；

（2）如果在第三象限内有一点M（-6,-5）,求的长；

（3）在y轴上找一点P,使得.AB尸是以B为顶角顶点的等腰三角形，请直接写出点尸的坐标.

23.（10分）（2024上•江苏泰州•八年级统考期末）在Rt^ABC中，ZC=90°,进行如下操作：

（1）如图1,将Rt^ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与8重合，折痕为DE,若AC=3,

BC=4,求CO的长；

（2）如图2,将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC=3,3c=4,

求CO的长.

24.（12分）（2024上•陕西榆林•八年级统考期末）【定义新知】我们新定义一种三角形：两边平方和等

于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形.例如：某三角形三边长分别是5,6和8,因为

62+82=4X52=100,所以这个三角形是常态三角形.

（1）【概念理解】若一ABC三边长分别是2,君和4,则此三角形常态三角形；（填"是"或"不

是"）

（2）【初步应用】若RtaABC是常态三角形，其三边长分别为。、b、c,S.a<b<c,则a:6:c的值

为;

（3）【拓展思考】如图，在Rt^ABC中，ZACB=90。，BC=6,AC<3C,。在A3上，且==

若△BCD是常态三角形，求线段AC的长.

C

参考答案:

1.B

【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

解：由题意得：Bc3-f=日

故选；B.

2.B

【分析】本题考查了勾股定理.三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字

母A所代表的正方形的面积.

解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方9,另一条直角边的平方为16,由勾股定理可知:

斜边的平方，即A所代表的正方形的面积为9+16=25.

故选B.

3.C

【分析】利用勾股定理即可计算.

解：根据题意，利用勾股定理有45=正#=5，

故选：C.

【点拨】本题考查了勾股定理的的知识，通过网格点找到合适的直角三角形并确定其边长是解答本题

的关键.

4.C

【分析】利用勾股定理求出AB=10,利用翻折不变性可得AE=AC=6,推出BE=4即可解决问题.

解：在Rt^ABC中，

EAC=6,BC=S,0C=9O",

22

a4B=A/6+8=10.

由翻折的性质可知：AE=AC=6,CD=DE,

0BE=4,

的周^z=DE+BD+BE=CD+BD+E=BC+BE=8+^=12.

故选：C.

【点拨】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

5.D

【分析】由直角三角形周长和斜边可求出两直角边的和为2而，然后根据勾股定理有a?+/=16,最

后利用完全平方公式进行变形得2ab=(a+b)2-(/+〃)，从而利用面积公式S=g仍即可求解.

解：设直角三角形两直角边为a,b

回直角三角形的周长为4+2后，斜边为4

回4=2A/6

由勾股定理得/+从=16

回2ab=(a+by-(标+/)=Q府—16=8

回次?=4

团S=工ab=2

2

故选：D.

【点拨】本题主要考查勾股定理和完全平方公式的变形，掌握勾股定理和完全平方公式是解题的关键.

6.C

【分析】根据勾股定理即可求解.

解：在Rtl3ABe中，AB为斜边，0AC2+BC2=AB2=9

0AB2+AC2+BC2=2AB2=18

故选C.

【点拨】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的性质.

7.D

【分析】利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可.

解：①S(w=3(a+。)=~(a~+2ab+b~j,=—ab+—ab+—c2=—(7.ab+c2^,

回;(〃2+2QZ?+Z?2)=；(2QZ?+02),

整理得储+〃=/,

故①满足题意；

④S正方形=(6z+/?)2=〃2+2〃/?+/或S正方形=2ab+c2,

^a2+2ab-\-b2=lab+c1，

回a?+人2=c2,

故④满足题意；

②没有体现直角三角形斜边的长度，故②不符合题意；

③无法证明直角三角三边关系，故③不符合题意；

故选：D

【点拨】此题考查了勾股定理，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键.

8.D

【分析】将圆柱表面切开展开呈长方形，则有螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长,

解：将圆柱表面切开展开呈长方形，

则有螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，

团圆柱高3米，底面周长1米，

回彩带长="lx"?+3?=J16+9=5，

回彩带长至少是5m,

故选：D.

【点拨】本题主要考查立体图形展开图的认识，勾股定理的运用，掌握以上知识是解题的关键.

9.B

【分析】本题考查实数与数轴、正六边形的性质、直角三角形的相关性质、勾股定理，熟知相关定理、

正确做出辅助线是正确解决本题的关键.

作m1数轴于点。，利用"30。锐角所对的直角边等于斜边的一半”及勾股定理求出进而求出即

可.

解：解团作上数轴于点D

■-正六边形的外角和为360。，

:.ZBED=60°,ZA£B=120。，

../EBD=30。,ZH4C=30。，

BE=lf

:.DE=~,BD=—,

22

AB=BD=6

即点。表示的数为

故答案为：B.

10.D

【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形.设甲、乙二人

出发后相遇的时间为x,然后利用勾股定理列出方程即可.

解：设甲乙两人从出发到相遇用了元个单位时间，这时乙共行AB=3x,

甲共行AC+3C=7x,

I3AC=1O,

0BC=7x-lO,

XEZA=90°,

AB2+AC2=BC2,

E(3X)2+102=(7X-10)2

故选：D.

11.272.

【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为a-b,根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小

正方形的边长.

解：由题意可知：中间小正方形的边长为a-b,

团每一个直角三角形的面积为［ab=Jx4=2,

1

04x-ab+(a-Z?)29=16,

13(0-6)2=16-8=8,

Ela-b=2及，

故答案为：2夜.

【点拨】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式,本题属于基础

题型.

12.-V13

【分析】先根据勾股定理得出03=存百=而，再根据。3=。4,得出。4=而，进而可得出答案.

解：根据勾股定理得出：OB=yj32+22=713-

回OB=OA,

回。4=而，

回点A表示的数为：-屈，

故答案为：.

13.2

【分析】梯子的长是不变的，只要利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后所构成的两直角三角形即可.

解：在R/.AO3中，由勾股定理得：OB^AB1-AO2=V102-82-6>

在咫.COD中，由勾股定理得：OD=VCZ)2-CO1=V102-62=8-

回2。=0»02=8-6=2(米)，

故答案为：2.

【点拨】此题考查了勾股定理的应用，利用图形培养同学们解决实际问题的能力，由已知观察题目的

信息抓住不变量是解题以及学好数学的关键.

14.—

4

【分析】本题考查勾股定理在生活中的应用，结合题意画出图形，设旗杆AB的高度为x米，绳子AC

的长为(x+2)米，5c=5米，根据勾股定理列出方程d+52=(x+2)2,然后解方程即可.

解：设旗杆AB的高度为x米，绳子AC的长为(x+2)米，BC=5米，

0ZABC=9O°,

在RtAABC中，根据勾股定理得AB2+BC2=AC2，

0X2+52=(X+2)2,

解得兀=21?,

4

71

旗杆的高度是2米.

4

71

故答案为：了.

15.30

【分析】本题主要考查平面展开-最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空

间想象能力.解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答.

解：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽，

团长为20+2x2=24米；宽为18米.

于是最短路径为：亚再I记=30米.

故答案为30.

【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握全等三角形的判定和性质是

解题的关键.

运用判定.ADEgBEC,可证"EC=90。，再根据勾股定理即可求解.

解：EZA=ZB=90°,

团在RfADE,RtBEC中,

(DE=EC

[A£>=BE'

国.ADEaBEC(HL),

SZADE=ZBEC,

也NAED+NBEC=90。,

回ZAED+/BEC+ZDEC=180°,

回ZDEC=180°-（ZAED+ZBEC）=180°-90°=90°,

队DEC是直角三角形，

回DE=EC=1,

^CD=YIDE2+EC2=V12+12=A/2，

故答案为：猴.

17.8四

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据角角边证明△DRZZXDBE,继而

得出AB=E3,AO=OE,再根据勾股定理求出BC的长度，根据二CDE的周长为BC求解即可，熟练掌握知

识点是解题的关键.

解：回30平分/ABC,

包NDBA=NDBE,

EZA=90,DELBC,

^ZA^ZDEB,

又⑦BD=BD,

Bl.DBA^DBE（AAS）,

回AB=EB,AD=DE,

回ZA=90，AB=AC=8cm,

回AC=BE,BC=^2AB=8岳m,

回_CDE的周长为CD+£>E+EC=CD+A£>+EC=AC+EC=BE+EC=8C=8后cm,

故答案为：80.

18.112.5°/112.5®V2-1/-1+V2

【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理的运用，掌握折叠的性质，

等腰直角三角形的判定方法和性质是解题的关键.

（1）根据等腰三角形的性质，折叠的性质可得E4c是等腰三角形，NA=NEC4=45。，再根据三角

形的内角和定理即可求解；

（2）根据（1）的证明可得4c是等腰直角三角形，AZE是等腰直角三角形，设AB=AC=AC=a,

运用勾股定理可得A3的长度，由此即可求解.

解：（1）团等腰..ABC中，AB=AC,ZA=45°,

EZABC=NACB=；（180。-NA）=；x（180。-45。）=67.5。,

回将一ACO沿CD折叠得到AA'CD,

SlAACD^AAVD,

SIAC^A'C,ZACD=ZA'CD>

回AB=AC=A'C,

I3EA'=EB,

^AB-EB=ArC-EA',

SAE=CE,

0E4c是等腰三角形,

EZA=ZEC4=45°,

EZACD=ZA'CD=-ZACE=工x45°=22.5°,

22

团在aACD中，NADC=180°-ZA-ZACD=180°-45°-22.5°=112.5°,

故答案为：112.5°；

（2）EZA=ZEC4=45°,

E/AEC=180°-NA-NACE=180°-45°-45°=90°,即，EAC是等腰直角三角形,

EZA,EB=90°,

I3£A'=£B,

回/E4'B=N£BA=45。，即A’BE是等腰直角三角形，

设AB=AC=AC=a,

在Rt.ACE中，AC2=AE2+CE2=2AE2,

0A£=—AC=—G,

22

^BE=AB-AE=a--a,

2

在RtA，BE中，A'B=y/2.BE=A/2XCI——a）=5/26/—a,

同A'B①a-anr.

故答案为：V2-1.

19.(1)皮)=3；(2)点A的坐标为(1,3),点3的坐标为(0,0),点C的坐标(5,0)

【分析】(1)利用勾股定理求出AC的长度，根据即可求即的长;

(2)根据题意建立平面直角坐标系，根据点的坐标特征写出A、B、C的坐标.

⑴解：SABC=^AC-BD=^X5X3=^-,

由勾股定理得：AC=J32+42=5,

.-.-x5BD=—,

22

解得：BD=3；

(2)解：平面直角坐标系如图所示,

点A的坐标为(1,3),点8的坐标为(0,0),点C的坐标(5,0).

【点拨】本题考查的是平面直角坐标系、勾股定理以及三角形的面积计算，根据勾股定理求出AC是解

题的关键.

20.(1)40m；(2)没有超速.

【分析】(1)RtaABC中，有斜边A3的长，有直角边AC的长，那么根据勾股定理即可求出的长；

(2)根据小汽车用2s行驶的路程为BC,那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了.

(1)解：在Rt/XABC中，AC=30m,AB=50m；

据勾股定理可得：

BC=y/AB2-AC2

=4502-302

=40(m)

40

(2)解：小汽车的速度为v=5=20(m/s)=20x3.6(km/h)=72(km/h)；

E72(km/h)<80(km/h)；

国这辆小汽车行驶没有超速.

答：这辆小汽车没有超速.

【点拨】此题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直

角三角形中，进行解决.要注意题目中单位的统一.

21.(1)(15,0)；(0,9)；(15,9)；(2)(12,0)；(3)(-15,4).

【分析】本题考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形变化-对称，解决本题的关键是掌

握折叠的性质.

(1)根据矩形的性质即可解决问题；

(2)根据折叠的性质和勾股定理即可得的长，进而可得点。的坐标；

(3)根据折叠的性质和勾股定理即可得OE的长，可得点E的坐标，进而求解.

(1)解：四边形QWC是矩形，

0BC=ft4=15,BA=OC=9,

回点A的坐标(15,0)、点C的坐标(0,9)和点B的坐标(15,9)；

故答案为：(15,0);(0,9)；(15,9)；

(2)解：由折叠可知：CD=CB=15,

在RtaOCD中，根据勾股定理，得

OD=yJCDr-OC2=V152-92=12，

回点。的坐标(12,0)；

(3)解：在Rt2\AE£>中，AD=OA-OD=15-n=3,AE=AB—BE=9—BE=9—DE,

根据勾股定理，得

AD2+AE2=DE2,

.-.32+(9-DE)2=DE2,

解得£>E=5,

^\AE=9-DE=4,

回点E的坐标为(15,4),

回点E关于y轴的对称点£的坐标为(-64).

22.(1)-4,6：(2)13；(3)点尸的坐标:(0,8),(0,-8)

【分析】本题考查了勾股定理以及绝对值和平方的非负性，使用勾股定理时注意计算的准确性.

(1)利用绝对值和平方的非负性即可求解；

(2)利用两点间的距离公式即可求解；

(3)求出2尸,。尸，利用勾股定理即可求解.

(1)解：回,+4|+(6—6)2=0,|«+4|>0,(^-6)2>0,

回卜+4|=0,仅一6『=0

回a=-4,b=6

故答案为：-4,6

(2)解:0M(-6,-5),5(6,0)，

^BM=J(-6-6『+(—5-0『二^122+52=13

(3)解：如图所不:

团一是以B为顶角顶点的等腰三角形，

回BP=B4=10

BOB=6

田OP=4B产-OB?=8

团点尸的坐标