2024届上海市宝山区高三下学期二模数学试题及答案

2023学年第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷考生注意：1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；4．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．1.抛物线x24y的焦点坐标为______.42.已知tan3，则tan_______.a2a其中a0化为有理数指数幂的形式为_______.3.将a2,2，bm，若ab，则实数m.4.已知向量5.设实数、y满足xii2xi1ii为虚数单位，则xy.6.3，5，x，8，9，10.若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为_______.Aaa21,，且1，则实数a的值为A.7.已知集合nn18.在数列a中，a且aalgn2，则100_______.n1nn19.某公司为了了解某商品的月销售量y（单位：万件）与月销售单价x（单位：元/件）之间的关系，随机统计了5个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表：月销售单价x（元/件）1015202530月销售量y（万件）1110865由表中数据可得回归方程yaxb中a0.32，试预测当月销售单价为40元/件时，月销售量为万件.x2y2a2b2ab0A为圆心，bA10.已知双曲线与双曲线的一条渐近线交于、N两点，若MAN60，则双曲线的离心率为_______.11.O的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描.假设1：警戒区域为空旷的扇环形平地AABB；1nn1假设2：视探照灯为点M，且距离地面20米；假设3：探照灯M照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯M以某一俯角从kk1侧扫描到kk1在地面上的光斑形成一个扇环Skk.由此，通过调整M的俯角，逐次扫描形成扇环S、S、SL.123第一次扫描时，光斑的长轴为EF，|30米，此时在探照灯M处测得点F的俯n角为30（如下右图）.记|AA|d，经测量知|AA|80米，且d}是公差约为0.1kk1k1k米的等差数列，则至少需要经过次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.12.空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量a、b满足：ab2，|b1，且存在实数t，使得|a|2|atb0成立，则由a构成的空间几何体的体积是.41813～14题每题415～16题每题5.13.已知ab0，则（）.1212a2bB．22a2bC．abD．logalogbA．1212N，2.若5PXa（14.已知随机变量X服从正态分布PXa，则）.62312116A．B．C．D．315.已知直线l、、n与平面、，则下列命题中正确的是（）.A．若//，l，n，则l//nC．若l，l//，则B．若，l，则lD．若ln，mn，则l//m16.数列a中，S是其前n项的和，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得nnSa，则称数列a为“某数列”.现有如下两个命题：nmn①等比数列2n为“某数列；②对任意的等差数列a，总存在两个“某数列”b和c，使得abc.nnnnnn则下列选项中正确的是（）.A．①为真命题，②为真命题C．①为假命题，②为真命题B．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78应的题号）内写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sinAsinCsinBsinAsinC222.（1）求角B的大小；（2）若ABC的面积为3，求ac的最小值，并判断此时ABC的形状.18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径.（1）求证：BP1P；（2OABOP圆柱的体积为16AP与1B所成角的60,大小.19．（本题满分16分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分）在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投321得0分.已知甲每次投进的概率为2123，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为，若前一次没投进，则该525次投进的概率为.(1)求甲投篮3次得2分的概率；(2)若乙投篮3次得分为X,求X的分布和期望；(3)比较甲、乙的比赛结果.20．（本题满分16分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分）y2已知双曲线x21的左、右顶点分别为、B，设点P在第一象限且在双曲线上，2O为坐标原点.（1）求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值；（2）若PAPB求OP的取值范围；（3C的长轴长为22、BAP与椭圆的另一个交点为Q．记POA、QAB的面积分别为S、S.求S2S的最小值，并写出取22121最小值时点P的坐标.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）函数yg(x)的表达式为g(x)x)0.（1）若1，直线l与曲线yg(x)相切于点(，求直线的方程；l2（2yg(x)的最小正周期是2h(x)xg(x)xyh(x)的零点由小到大依次记为x,x,,x,(nnN)，证明：数列{sinx}是严格减数列；12nn（3）已知定义在R上的奇函数yf(x)满足f(x2a)，f(x)a0对任意x[0,2a]，当xa时，都有f(x)f(a)且f(a)1.1记F(x)f(x)g(x)，G(x)f(x)g(x).2当时，是否存在x、xR，使得F(x)G(x)4成立？若存在，求出符合1212题意的x、x；若不存在，请说明理由.12参考答案541.2.13.a4.25.26.7.5211.1512.82337.08.49.1.610.9tabt12.解：由已知得|a|24|atb2，所以3|a|22|b|204所以存在实数t，使得不等式t2t3|a|0有解，则0，解得|a23又因为ab2且|b1，所以a在b方向上的数量投影是2，所以，a围成的空间几何体是以原点为顶点，高为2，母4线长为的圆锥（如图）32213故由a构成的空间几何体的体积23913.A14.A15.C16.C17.1）由正弦定理得acbac..........................2分222a2c2b2ac12又由余弦定理得cosB...............................4分2ac2ac因为B是三角形内角，所以B....................................6分3（2）由三角形面积公式113SABCacsinBacsinac3..........................8分2234得ac4.........................10分因为ac2ac4，当且仅当ac2时取等号，........................12分所以ac的最小值为4，此时ABC为等边三角形.............................14分18.1OO中，易知AB圆O，从而AP是AP在圆O上的投影.....2分11又AB为圆O的直径，可得BPAP.......................4分由三垂线定理，就得BP1P.......................6分（2）延长PO交圆O于点Q，连接BQ、Q、AQ，易知BQ//AP，1BQ（或其补角）即为所求的角..........................8分VOA21AA116由题知解得AA142.................................10分ABQ中，QB23,AQAB43111由余弦定理得12483612cos1BQ.......................13分22343从而1BQ60所以异面直线AP与AB所成角的大小为60................................14分1211223819.1）甲投篮3次得2分，即只投中1次，概率pC11.................3分（2）由题意知X的所有可能取值为133则PX09.................4分2555012352512122252512123253582.................5分.................6分PX215352522584PX21555253396.................7分PX25550028486X随机变量的分布为99..................8分5025255098893.................9EX0246期望分50252550（3）设甲三次投篮的得分Y，则Y=02461331可求得随机变量Y的分布为88881331EY02463.............11分所以88881331DY024633...........12分22222888898899725DX0222426232又可算得.......13分50252550因为EXEY，DXDY所以甲最终的得分均值等于乙最终的得分均值，但乙赢得的分值不如甲稳定........16分另解：设甲三次投篮的次数为，132则E32设甲的投篮得分为Y，则Y，从而EYE2E320.1）两条渐近线方程为2xy0.............................1分n2,n2,122113设两条直线夹角为，则cos........................2分331所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为...............................3分3（2）设Px,y,xy0，由已知得0、B..................4分1111PA1x,y，PB1x,y，则PAPB1219121111得121210..............................6分2y21221即2又点P在双曲线上，有x11y12从而1221210得124.又点P是双曲线在第一象限的点，所以12.22x31OP121212x2221所以OP10................................9分y2（3）椭圆C中a2,b1，焦点在y轴上，标准方程为设Qx,y,xy0，直线AP的斜率为k,k021x..................10分22222则直线AP的方程为ykxykx联立方程组y2得x1222kx2kxk2022222k2k222k2k22该方程的两根分别为1和x2同理可得1所以xx1.........................12分121121记则SSy1S2SQAB2yy..........................13分1POA122222y112522SS2214y222x212x22122x2112422x551211212222212当且仅当即x122时取等号，.....................15分21212，此时点P的坐标为，2.................16分所以12S的最小值为22111y2x21另解:k,kAQAP22y21y21因为kAPkAQ，所以即11x2111x21y21x，代入上式化简得2212，22又122x11x11x2112，整理得xx11221.解（1）1时，g(x)sinx,则gx)x..................1分从而kg)0..................3分22所以直线l的方程是y1..................4分22，可知xh(x)xsinxx（x0.......................5分（2）由1，则当h(x)0时sinx.......................6分xx①当0x1时，sinx②当x1时，0，此时函数yh(x)没有零点；.....................7分xx1xx上严格增，在[,在严格减e)()'y因为，可知xx2x又ysinx在]上严格增，在[,e]严格减，22所以xe]时，ysinx在xe时有最小值sine，lnxe1y在xe时有最大值xee1x因为sine所以sinx在e]上没有交点，ex即h(x)xsinxx在e]上没有零点.......................9分所以函数yh(x)的零点x满足exxx，.n12nx1122nn.y在[,)因为严格减，所以xx又因为sinxn，所以数列{sinn}是严格减数列........................10分nn（3）因为f(x)f(x2a)f(x4a)f(x4a)，所以