2024年福建省高三数学2月模拟大联考试卷附答案解析

2024年福建省高三数学2月模拟大联考试卷

2024.2

考试时间120分钟，总分150分.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

,-人/=（x|2x2-5x+2<oLB={x\x>1）,jnD_,、

1.已知集合L>11则出1（）

1—i

2.已知i为虚数单位，>2i（）

V5VwV5Vf

A.5B.5c.TD.5

3.已知。，另为单位向量，若卜一4二百，则。，石的夹角为（）

n7i2K5TI

A.6B.3c.3D.6

%.T（q）6）0）

4.设直线x-3y+〃z=0（机*0）与双曲线/一记一a>>，分别交于42两点，若线段N5的中点横坐

4

—m

标是5,则该双曲线的离心率是（）

V5叵

A.TB.2C.2D.V2

（-一〃）2

5.一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为/（"）=/卢斯，其中/。为输出信号功率最大值

（单位：mW）,x为频率（单位：Hz）,〃为输出信号功率的数学期望，/为输出信号的方差，3dB

带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对应

（X-21

函数图象的宽度。现已知输出信号功率为4月二/22（如图所示），则其3dB带宽为（）

6.已知生吗吗，%，%成等比数列，且2和8为其中的两项，则％的最小值为（）

1

I1

A.-32B.T6c.32D.16

7.如图，在三棱锥P-/3C中，4B=BC=KBALBC,PA=PB=PC=2,点、M是棱BCy一动点,

则尸M+M4的取值范围是（）

2014兀2

2cos2xcos2x-cos=cos4x-1

X

8.方程所有正根的和为（)

A.810兀B.1008兀c.1080兀D.1800兀

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列命题正确的是（）

A.若43两组成对数据的样本相关系数分别为〃=097,七=-0.99,则A组数据比B组数据的相关性较

强

B.若样本数据%%%的方差为2,则数据2*T，2%T，…，2%-1的方差为&

C.已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据的22%分位数不等于

原样本数据的22%分位数

D.某人解答5个问题，答对题数为X,若'~8（5,0.6）,则£（X）=3

/（一

10.对于函数x,下列说法正确的是（）

]_

A./（X）在x=e处取得极大值2；

B./（X）有两个不同的零点；

C./(4)</W</(3)

D,研<4"

2

11.已知M"是圆°"：x'+:一2八一2ny+«2=0(neN)上任意一点,过点P„(T〃)向圆。,引斜率为

发代>°)的切线乙，切点为°"(%%)，点4(3%"),则下列说法正确的是()

nN2H+1

11k一、h%=-------------Fn

A.〃=1时，/一口B.〃+1

<sin

\7~~^jX"\-\MnA\+\MnP\-n+1

11

C.W+x“D.2"41""I的最小值是2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

z।u”+i=],&=5

3

12.设S”是数列1%)的前“项和，«+1“一，"，则出024=

/(x)=sin[°x+\(°>0)(、

13.设函数I3>在区间3'叼恰有两个零点，则。的取值范围是

14.如图，在△SBE中，SE=BE=l,在直角梯形8EDC中，BE1DE,CD//BE,CD=2,DE<,

八712TI

3G一,—

OELSE,记二面角的大小为。，若L33」，则直线sc与平面SDE所成角的正弦值的

最大值为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.若数列也｝的前n项和S,满足S"=2%+”4.

⑴证明：数列｛“"T｝是等比数列;

⑵设"=1%(%T,求数列1&T｝的前〃项和北.

16.在三棱柱4G中，M=13,在底面“3C中，有AB,BC,且N8=8,3C=6,点。为等

cos^BB,D=—

腰三角形3/C的底边NC的中点，在△BBQ中,有13

3

⑴求证：BCLBQ

AB

(2)求直线'与平面B「BC所成角的正弦值.

17.甲、乙两俱乐部进行羽毛球团体赛，比赛依次按照男子双打、女子双打、混合双打、男子单打、女

子单打共五个项目进行，规定每个项目均采取三局两胜制，且在上述五项中率先赢下三项的俱乐部获胜

(后续项目不再进行比赛).已知在男双项目、女双项目、男单项目这三项的每局中，甲俱乐部获胜的

概率均为0.7；在混双项目、女单项目这两项的每局中，乙俱乐部获胜的概率均为0.8,假设每局比赛之

间互不影响.(注：比赛没有平局，且所有结果均保留一位小数.)

(1)求甲俱乐部在男子双打项目中获胜的概率；

(2)记比赛结束时所完成的比赛项目数量为随机变量X,求X的分布列和数学期望.

]+5=1(0>6>0),/

18.已知椭圆E的方程为。b2为E的左顶点，8为E的上顶点，E的离心率为

AABO厂

2的面积为6.

(1)求£的方程；

⑵过点尸(-2,1)的直线交E于M、N两点，过点M且垂直于X轴的直线交直线NN于点打，证明：线段

〃”的中点在定直线上.

19.已知函数x

⑴当。=T时，求“X)的极值；

0<%<(广r]

⑵若存在实数2,满足%人求JJ的取值范围.

1.D

【分析】解一元二次不等式化简集合A,再利用交集的定义求解即得.

1]

【详解】解不等式2"5X+2<0,得,即/={刈5<=2},而8={小>1},

所以1n8={x|l<x<2}.

故选：D

2.B

【分析】由复数的除法和模的定义求解.

1-i_(l-i)(l+2i)_3+jVlO

(l-2i)(l+2i)

【详解】

故选：B

3.C

【分析】利用两边平方的方法化简已知条件，从而求得。，台的夹角.

4

【详解】设2,5的夹角为6,

——»2—»—»I—»|2—►—»]

5-A-两边平方得1a1-2a-b+\b\=23,、a，b=——

由

a-ba•COS。=COS0=——

=\w\2

0二—

由于兀，所以3.

故选：C

4.A

【分析】根据给定条件，联立直线与双曲线方程，借助中点横坐标列式求解即得.

43

_^2_YYi

【详解】由线段的中点横坐标是5,得线段的中点纵坐标是5,设/（士,必）,8（%,%）,

x-3y+m=0

b2x2—a2y2=a?/消去*得(9b2-a2)y2-6b2my+b2(m2—a2)=0

由

A=36b4m2-4b2(9b2-a2\m2-a2)=4a2b2(9b2+m2-a2)>0

6b2m6m

因此必+匕一婚-/一5,整理得不二必2,显然A>0成立,

所以该双曲线的离心率,«

故选：A

5.D

【分析】根据给定信息，列出方程并求解即可作答.

12--2)21

A

T(Y\——T_(2)Tp2—_T(X-2)2

【详解】依题意，由■~2°,/(尤)=/卢2,得°-20,即ek=2,

2

则有(x-2)=21n2,解得%=2-J21n2,x2=2+V21n2

所以3dB带宽为%-国=2同区.

故选：D

6.B

【分析】结合题意，应取最小值时为负数，且为=8,利用等比数列的基本量运算即可求解.

【详解】由题意，要使%最小，则都是负数，

则的和。4选择2和8,设等比数列的公比为％（4<°）,

/_幺_m_4

当&=8,g=2时，a22,所以q=-2,所以%=T6；

5

2_a4_2_11

q——————Q—

当q=2,g=4时，出84,所以“2,所以％=-1；

综上，%的最小值为-16.

故选:B.

7.A

【分析】把平面尸8C展开，判断出当M与C重合时，尸M+M4最大；PM+腿4的最小值为4尸，利用余

弦定理即可求解.

【详解】如图所示，把平面P8C展开，使A、B、C、P四点共面.

当M与B重合时，PM+MA=2+4T.<4.

当M与C重合时，P"+M4=2+2=4最大；

连结"P交8C于M,由两点之间直线最短可知，当M位于M时，尸”+腿4最小.

2

V14

sinZCBP=

此时，2工,

V14

cos/ABP=cos|-+ZCBPj=-sinZCBP=-

所以4

由余弦定理得.4P=J4B2+BP°—2AB•BP•cosAABP

&+2近,4

=,6+2j7.所以尸的取值范围为

故选：A.

8.C

2cos2xfcos2x-cosf2仇年2014兀2

cos4x-1=2co$2x—2a=cos2x,Z7=cos

x

【分析】易得X，令,得

至|JQ=1]=1或Q=T/=-1讨论求解.

6

2cos2x（cos2x-cosf201471

cos4x-1=2cos2x-2

【详解】解:Ix

2014兀2

a=cos2x,Z>=cos

,则即而=],

令x=2<r-2,

所以"I，5或a=Tb=T

2014;t2=1x=E«eZ/=W^，3eZ

cos2x=l,cos

当a=l,6=l时，即X,所以k'

因为1007=1x19x53,所以x=7i,19兀,5371,100771,

20147t2

cos2x=-l,cos=一1

当a=T，°=T时，即X

（2左+1）兀，丘Z,x=/。14f_4028兀

X-，KeZ

2（2^+1）71―3+]

则2

4028

因为2左+1是奇数，所以端+1也是奇数，不成立;

所以方程所有正根的和为：兀+19兀+53兀+1007兀=1080兀，

故选：C

9.BCD

【分析】对于A,由由相关系数的意义即可判断；对于B,由方程的性质即可判断；对于C,30x22%=6.6,

28x22%=6.16结合30个样本数据互不相同即可判断；对于D,由二项分布均值公式即可判断.

【详解】对于A,因为1”=°§7<|以=0.99,即A组数据比3组数据的相关性较弱，故A错误；

对于B,若样本数据x”马，…，乙的方差为S?=2,则数据2%-162-1,,2%-1的方差为父=2252=8,故

B正确；

对于C,将这原来的30个数从小大大排列为生，出，…,巴。，则30x22%=6.6,所以原来的22%分位数为

a6+%

2,

若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据为%，…，。29,则283=6.16,所以剩下28个数据的

%+为

22%分位数为2,

由于4。互不相同,所以C正确；

7

对于D,某人解答5个问题，答对题数为X,若'~8（5。6）,则E（X）=5xO.6=3,故口正确.

故选：BCD.

10.AC

/（上蛆

【分析】A选项，对函数x求导，可以判断出单调区间，即可求得极值；

心）=.=。

B选项，令函数''x,求得零点；C选项，根据A选项得到的单调性来比较大小即可；D选项,

根据单调性可知A"＜，代入即可比较大小.

1-liix

x

【详解】〃x）的定义域为（。,+旬,f'()=令/'（x）=0,得尤=e.J（尤）在（0,e）上单调递增,

且

f（\_AA

在（e,+8）上单调递减，因此/（X）在X=e处取得极大值-e'正确.

令,（），解得x=l，故函数/（、）有且仅有一个零点，B错误.

由“X）在（e,+8）上单调递减,得〃4）＜/（万）＜〃3）,则C正确.

ln4ln〃

因为/（4）＜/（万），即4〈乃，所以ln4"＜ln%4,则错误.

故选：AC.

11.BCD

【分析】对于A,直接由直线与圆相切，列方程验算斜率即可；对于B,首先由直线与圆相切，联立方程

组得判别式为0,由此可得"历工T,进一步解方程得切点坐标即可判断；对于C,首先得

W+X"y”f5+1,通过构造函数/（x）=x-J2sinx,结合导数即可判断；对于口，由

-MnAn=MnCn

2结合三角形三边关系即可求解.

【详解】当〃=i时，圆。的方程为圆心为°』），半径为1,

过点々（T/）向圆a引切线，根据题意可知，切线斜率存在，

设切线方程为＞=Mx+i）+i,即日-了+左+1=0,

JA±Mk力

由点到直线的距离公式可得5A=1,又因为勺＞°,所以‘-3,故A不正确;

卜二左〃（工+1）+〃

设直线/〃：J7=与（x+l）+〃，由If+＞2-2nx-2ny+n2=0,

8

得(1+片卜2+(2片一2〃卜+片=0,

由A=0,即Q片-2"丫一%(1+码=0,

k7—___H___%—n...—...k.：——...n....

又因为心所以"="+1,所以"1+片〃+1,

故B正确;

人/(%)=x-V5sinx=l-亚cosx

当"*1°力时,/'(x)=l-拒cosx<0,所以/(x)在〔。力上单调递减,

/J^^]</(0)=0I匕》6sin[旦-

所以皿川，即相Z故C正确;

,.r-cMnAn=MCn„n

设,此时2

13

故而22等号成立当且仅当"，，在C/，上，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点睛：关键是由直线和圆的位置关系得人”x“J”关于〃的表达式，由此即可顺利求解.

12.4047

【分析】由题意可知是公差为1的等差数列，由s”与的关系求出其通项公式可解.

S向"所以邑

【详解】因为“+1n是公差为1的等差数列,

昂=%+,1Q2+

所以«,则S"="+

所以&=3%+6,邑=2%+2,又的=邑_邑=q+4=5,可得%=1,且5“=/

9

所以出。24=$2。24-5。23=20242-2023?=4047.

故答案为：4047

伫8-

13.

【分析】根据题意，结合正弦函数的性质即可求解.

兀（兀兀）

/\COXH-----G—，兀①H—

【详解】由㈤A,得3133上

f（无）=sin|®x+—j

（"O）在区间（。㈤

因为函数I3>恰有两个零点,

c兀

2兀<Tt（o-\-—<3兀

所以3，解得33,所以。的取值范围是133J

化自

故答案为：13a.

14.百-1

［分析］根据题意以EB,ED和过点E垂直于平面BED的直线建立空间直角坐标系E-xyz）可知/8ES为

二面角S-OE-5的平面角，设出点S的坐标，由线面角的空间向量法求解最值.

【详解】如图，以胡，比1和过点£垂直于平面BED的直线建立空间直角坐标系£-%严，

则8（1,0,0）,。（0,6,0）,。（2,/0）

由BE工DE,DELSE,可知N8ES为二面角S-DE-B的平面角，

人「兀2兀

0G—,——

又SE=1,133」，

2兀1

S（a,0,A/1—CI~aGcos——

设'322

n-ED=yfiy=0

设平面S£>£的法向量为”=（x，y，z）,则［n-ES=ax+yll-a2z=Q

z=0邛。，丁4

令x=l,则"a,所以<7"a）f

设直线SC与平面SDE所成角为a,

10

Q2-13E3-53

=a-2HF4«—1(a-2)-------+4=4-2/3—-----—2<—

其中a—2------------a—2Va—2,22,

当且仅当“一"2,即。=2-百时，取得最大值，

则sme的最大值为

故答案为：6T

【点睛】思路点睛：根据题意设出点S的坐标，从而由空间向量法表示出线面角的正弦值，利用基本不

等式求解最值.

15.(1)证明见解析；②T"=~2”

【分析】(1)利用a”=S"-Si，”22变形给定的递推公式，再利用等比数列的定义推理即得.

(2)由(1)求出“，再利用错位相减法求和即得.

【详解】⑴数列｛叫中，、=2%+”4,当〃"时，%=2%+“-5,两式相减得见=2%-2%+1,

即％贝［］氏_1=25“_1_1),又4=51=24—3,则。1=3,a｛-1=2

所以数列｛“"一1｝是首项为2,公比为2的等比数列.

+I

(2)由(1)知a“-l=2x2"T=2",bn=log2(a„+1-1)=log22"=n+1；6“(a“-1)=(“+1>2”,

则7；=2x2+3x22+4x2、…+(“+1)x2"

^^27=2x22+3x23+4x24+---+nx2H+(M+l)x2,,+1

-T=2x2+(22+23+---+2H)-(n+l)x2,,+1=2+^—^-(«+l)x2"+1=-«-2"+1

两式相减得1-2

11

所rp以c“+].

12瓶

16.⑴证明见解析；(2)65

【分析】(1)利用余弦定理求出8Q,再利用勾股定理的逆定理及线面垂直的判定、性质推理即得.

(2)以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦.

【详解】(1)在三棱柱"8C-/0G中，连接2。，由/818C,点。为/C的中点，得

BD=-AC=-yjAB2+BC2=5

22

12

在△班1。中,BD?=BE+B\D2-2B\B-B、DcosNBB\D,即5-=13-+5Q__2xl3BQx石，

解得用。=12,由AQ2+2Q2=]69=5d2,得/BQB=90°,即2Q_LBZ)

由片”=4°,点D为NC的中点，得4。AC,而NCc8D=D,NC,BDu平面48C,

因此耳。，平面48C,又BCu平面4BC,

所以23。

(2)在平面/8C内过点。分别作N8,8c的平行线，交AB,BC于点E,F,

由(1)知用。，平面NBC,AB1BC,显然直线。及。尸，。坊两两垂直，

以点。为坐标原点，直线DE,DF,DBI分别为三%z轴建立空间直角坐标系，

则。(0,0,0),A(3,T,0),8(3,4,0),C(-3,4,0),B(0,0,12),

AB1=(-3,4,12),CB=(6,0,0),BBX=(-3,-4,12),设平面515c的法向量〃=(%)/),

n-CB=6x=0

<

则[万.明―y+122=0,令z=i,得”=(0,3,1),令直线麴与平面“C所成的角为久

12

|福工|2412V10

sin0=|cos〈4B[,〃〉|=

13xV10-65

因此

12而

所以直线AB'与平面片8c所成角的正弦值是65

17.(1)甲俱乐部在男子双打项目中获胜的概率为0用；(2)分布列见解析，X的数学期望为4.3.

【分析】(1)设事件甲俱乐部在男子双打项目中第i局获胜为事件4,利用4表示事件甲俱乐部在男子

双打项目中获胜，结合概率加法和乘法公式求解；

(2)确定随机变量X的可能取值，再求取各值的概率，由此可其分布列，再利用期望公式求其期望.

【详解】(1)设事件甲俱乐部在男子双打项目中第i局获胜为事件4,，=1，2,3,

则尸(4)=尸(4)=尸(4)=。-7,

则事件甲俱乐部在男子双打项目中获胜可表示为44+4A2A3+444,

所以事件甲俱乐部在男子双打项目中获胜的概率为

+444+)=0,7x0.7+0.7x0.3x0.7+0.3x0.7x0.7=0.784®0.8

(2)由(1)可得甲俱乐部在男子双打项目中获胜的概率约为0.8,

同理可得甲俱乐部在女子双打项目中获胜的概率约为0.8,

甲俱乐部在男子单打项目中获胜的概率约为0.8,

设事件甲俱乐部在女子单打项目中第i局获胜为事件4,'=1,2,3,

则尸(男)=尸(鸟)=尸色)=02,

则事件甲俱乐部在女子单打项目中获胜可表示为B岛+用旦与+耳与瓜,

所以事件甲俱乐部在女子单打项目中获胜的概率为

+BlB1B3+=0.2x0.2+0.2x0.8x0.2+0.8x0.2x0.2=0.104®0.1

所以事件甲俱乐部在女子单打项目中获胜的概率约为°」，

同理可得事件甲俱乐部在混合双打项目中获胜的概率约为01,

由已知x的取值可能为3,4,5；

/(X=3)=0.8>0.8义0.1+0.2,02x0.9=0.1

比赛进行了4个项目,甲俱乐部获胜的概率为(°SX0.8X0.9+0.8X0.2X0.1+0.2X0,8X0.1)X0.8=0.4864

(0.2x0.2x0.1+0.2x0.8x0.9+0.8x0.2x0.9)x0.2=0.0584

比赛进行了4个项目，乙俱乐部获胜的概率为

13

P（X=4）=0.4864+0,0584=0.5448«0.5

P（X=5）=0.8X0.8X0.9X0.2+0.8X0.2X0.1X0.2+0.8X0.2X0,9X0.8

+0.2x0.8x0.1x0.2+0.2x0.8x0.9x0.8+0.2x0.2x0.1x0.8=0.3552x0.49

所以X的分布列为

X345

P0.10.50.4

所以随机变量x的数学期望E（x）=3x0.1+4x0.5+5X0.4=4.3.

18.（1）43（2）证明过程见解析

【分析】（1）由题意。2’2结合见仇’的平方关系即可求解.

（2）由题意设直线九加方程为船一了+2无+1=°,M（XI，》），N（X2，%）,联立椭圆方程，用韦达定理、直

2.

线交点坐标以及中点坐标表示出T的坐标，证明芍+2为定值即可.

AABO「-=-,-ab=s5

【详解】（1）因为离心率为2的面积为百，所以。22,

又因为/=/+c2,

由题意过点P（-21）的直线斜率存在，设为米-y+2无+1=0,

设〃（再,必）,

14

kx—y+2k+1—0

22

二+匕=1

/导（4（2+3）+81（2（+1）X+8（2（2+2左一1）=0

联立〔43

8左（2左+1）

3+%=_4r+3

8（2r+22-1）

中2=-4FT3一

可得

所以必+%=左（项+2）+1+左（项+2）+1=左（/+/）+4左+2

8公（2左+1）（4左+2乂4/+3）6（24+1）

=-------1---------=-----

4A-2+34左2+34左2+3,

且X逮2+工2%=再[斤（％+2）+1]+/[左（西+2）+1]

16M2左？+2后-1）8M2万+1）2-24左

=2kxiX]+（24+1）（西+马）=

4左2+3442+33k2+4

A=64k2（2k+1）2-32（4F+3）（2^2+2左一1）=96（1-2左）>0=>左J

2，

=^^（x+2）

直线x?+2和苫=%联立，

rr（%（及+2）]（ify2（Xj+2）?

得【x?+2JI2]9+2」人T为的中点,

「，1上%（玉+2）%%+工2%+2（%+%）

x=x,e[-2,2],y=-必+彳+？

2（X2+2）

2y占％+>2%+2（%+%）2y_占了2+尤2%+2（%+22）

此时尤+2（X2+2）化简得x+2再々+2（占+尤2）+4,

2y「-24左+12（2左+1）

=3

将（*）代入上式得'+28（2左2+2左一1