专题03碰撞模型及拓展（原卷版）

专题三碰撞模型及拓展重难点01碰撞模型一、基本概念及规律1．碰撞碰撞是指两个或两个以上的物体间的相互作用持续时间很短，而物体间相互作用力很大的现象．2．特点（1）作用时间极短（2）内力远大于外力．（3）系统动量守恒3．分类动量是否守恒机械能是否守恒弹性碰撞守恒守恒非弹性碰撞守恒有损失完全非弹性碰撞守恒损失最大二、（完全）弹性碰撞1.推导一维弹性碰撞，碰后物体速度。【创设情境】光滑水平面上，质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生弹性碰撞为例求碰后速度。【变式拓展】光滑水平面上，如质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的速度v2的小球发生对心弹性碰撞（v1>v2）求碰后速度v1′和v2′。例1．(弹性碰撞)如图所示，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间．A的质量为m，B、C的质量都为M，三者均处于静止状态．现使A以某一速度向右运动，求m和M之间应满足什么条件，才能使A只与B、C各发生一次碰撞．设物体间的碰撞都是弹性碰撞．三、碰撞遵循的三原则(1)动量守恒：p1＋p2＝p1′＋p2′.(2)动能不增加：Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′.(3)速度要符合实际情况①碰前两物体同向运动，若要发生碰撞，则应有v后>v前，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物体同向运动，则应有v前′≥v后′.②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变．例2．(碰后速度可能性)(2020·湖南长沙市明德中学检测)质量均为1kg的A、B两球，原来在光滑水平面上沿同一直线向右做匀速直线运动，A球的速度为6m/s，B球的速度为2m/s，A球追B球，不久A、B两球发生了对心碰撞，以下为该碰撞后A、B两球的速度，可能发生的是()A．vA′＝7m/s，vB′＝1m/sB．vA′＝9m/s，vB′＝－1m/sC．vA′＝5m/s，vB′＝7m/sD．vA′＝3m/s，vB′＝5m/s重难点02碰撞模型的拓展一、滑块——弹簧模型1．模型图示2．模型特点(1)动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒(2)机械能守恒：系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒3.两个关键状态(1)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(完全非弹性碰撞拓展模型)减少的动能转化为弹簧的弹性势能(2)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(完全弹性碰撞拓展模型，相当于碰撞结束时)例1．(多选)如图所示，水平光滑轨道宽度和轻弹簧自然长度均为d，两小球质量分别为m1、m2，m1>m2，m2的左边有一固定挡板．由图示位置静止释放m1、m2，当m1与m2相距最近时m1的速度为v1，则在以后的运动过程中()A．m1的最小速度是0B．m1的最小速度是m1−m2C．m2的最大速度是v1D．m2的最大速度是2m1【变式拓展】（1）如果把挡板去掉，两小球会怎样运动？（2）两个小球运动时加速度怎样变化？（3）由此可以做出两个小球的v-t图像是怎样的？针对训练1．如图所示，一个轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物体甲、乙连接，静止在光滑的水平面上．现在使甲瞬间获得水平向右的速度v0＝4m/s，当甲物体的速度减小到1m/s时，弹簧最短．下列说法中正确的是()A．此时乙物体的速度为1m/sB．紧接着甲物体将开始做加速运动C．甲、乙两物体的质量之比m1∶m2＝1∶4D．当弹簧恢复原长时，乙物体的速度大小为4m/s针对训练2．(多选)(2020·广东东山中学月考)如图5甲所示，一个轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B相连接并静止在光滑的水平地面上．现使A以3m/s的速度向B运动压缩弹簧，速度—时间图像如图乙，则有()A．在t1、t3时刻两物块达到共同速度1m/s，且弹簧都处于压缩状态B．从t3到t4时刻弹簧由压缩状态恢复原长C．两物块的质量之比为m1∶m2＝1∶2D．在t2时刻A与B的动能之比Ek1∶Ek2＝1∶8二、滑块——斜面模型1．模型图示2．模型特点(1)最高点：m与M水平方向速度相同v共，m不会从此处或提前偏离轨道．系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，eq\f(1,2)mv02＝eq\f(1,2)(M＋m)v共2＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于圆弧轨道的高度(完全非弹性碰撞拓展模型)(2)最低点：m与M分离点．水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，eq\f(1,2)mv02＝eq\f(1,2)mv12＋eq\f(1,2)Mv22(完全弹性碰撞拓展模型)例2.如图所示，在光滑水平面上放置一个质量为M的滑块，滑块的一侧是一个eq\f(1,4)弧形槽，凹槽半径为R，A点切线水平．另有一个质量为m的小球以速度v0从A点冲上滑块，重力加速度大小为g，不计摩擦．下列说法中正确的是()A．当v0＝eq\r(2gR)时，小球能到达B点B．如果小球的速度足够大，球将从滑块的左侧离开滑块后直接落到水平面上C．小球到达斜槽最高点处，小球的速度为零D．小球回到斜槽底部时，小球速度方向可能向左【思考】1.小球到达圆弧斜面的最高点，速度什么特点？此状态属于哪种碰撞类型拓展？2.当小球速度足够大，从B点离开滑块时，分离速度该怎样求？此状态属于哪种碰撞类型拓展？小球回到斜槽底部时，小球速度方向是怎样的？小球速度方向由谁决定？针对训练3.(2019·江西师范大学附属中学模拟)如图所示，形状完全相同的光滑弧形槽A、B静止在足够大的光滑水平面上，两弧形槽相对放置，底端与光滑水平面相切，弧形槽的高度为h，弧形槽A的质量为2m，弧形槽B的质量为M.质量为m的小球，从弧形槽A顶端由静止释放，重力加速度为g.(1)求小球从弧形槽A的顶端滑下后的最大速度大小；(2)若小球从弧形槽B上滑下后还能追上弧形槽A，求M、m间所满足的关系．三、两种模型结合解题例3．(2021·江苏常州一模)如图所示，质量为M＝4kg的大滑块静置在光滑水平面上，滑块左侧为光滑圆弧，圆弧底端和水平面相切，顶端竖直。一质量为m＝1kg的小物块，被压缩弹簧弹出后，冲上大滑块，能从大滑块顶端滑出，滑出时大滑块的速度为1m/s。g取10m/s2。求：(1)小物块被弹簧弹出时的速度；(2)小物块滑出大滑块后能达到的最大高度h1；(3)小物块回到水平面的速度及再次滑上大滑块后能达到的最大高度h2。针对训练3.如图所示，在光滑水平上，有一轻簧左端固定，右端放置一质量m1＝2kg的小球，小球与弹簧不拴接。小球右侧放置一光滑的四分之一圆弧轨道，半径R＝1.5m，质量m2＝8kg。现用力推动小球，将弹簧缓慢压缩，当外力做功为25J时，撤去外力释放小球，弹簧恢复原长后小球进入圆弧轨道。已知重力加速度g取10m/s2，求：(1)小球沿圆弧轨道上升的最大高度；(2)圆弧轨道的最大速度。专题三碰撞模型及拓展重难点01碰撞模型一、基本概念及规律1．碰撞碰撞是指两个或两个以上的物体间的相互作用持续时间很短，而物体间相互作用力很大的现象．2．特点（1）作用时间极短（2）内力远大于外力．（3）系统动量守恒3．分类动量是否守恒机械能是否守恒弹性碰撞守恒守恒非弹性碰撞守恒有损失完全非弹性碰撞守恒损失最大二、（完全）弹性碰撞1.推导一维弹性碰撞，碰后物体速度。【创设情境】光滑水平面上，质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生弹性碰撞为例求碰后速度。【分析】系统动量守恒，机械能守恒则有m1v1＝m1v1′＋m2v2′①eq\f(1,2)m1v12＝eq\f(1,2)m1v1′2＋eq\f(1,2)m2v2′2②将①式变形，，m1（v1-v1′）=m2v2′③将②式变形m1（v1-v1′）（v1+v1′）=m2v2′2④将③代入④，得v1+v1′=v2′联立③，④解得：v1′＝m1−m2m1+m讨论：①若m1＝m2，则v1′＝0，v2′＝v1(速度交换)；②若m1>m2，则v1′>0，v2′>0(碰后两物体沿同一方向运动)；当m1≫m2时，v1′≈v1，v2′≈2v1；③若m1<m2，则v1′<0，v2′>0(碰后两物体沿相反方向运动)；当m1≪m2时，v1′≈－v1，v2′≈0.【变式拓展】光滑水平面上，如质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的速度v2的小球发生对心弹性碰撞（v1>v2）求碰后速度v1′和v2′。【分析】系统动量守恒，机械能守恒则有m1v1+m2v2＝m1v1′＋m2v2′①eq\f(1,2)m1v12+eq\f(1,2)m2v22＝eq\f(1,2)m1v1′2＋eq\f(1,2)m2v2′2②将①式变形，，m1（v1-v1′）=m2（v2′-v2）③将②式变形m1（v1-v1′）（v1+v1′）=m2（v2′-v2）（v2′+v2）④将③代入④，得v1+v1′=v2′+v2联立③，④解得：v1′＝（m1−m2）v1总结：球2初速度为零，是上述结果的特例。推导方法要熟记。例1．(弹性碰撞)如图所示，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间．A的质量为m，B、C的质量都为M，三者均处于静止状态．现使A以某一速度向右运动，求m和M之间应满足什么条件，才能使A只与B、C各发生一次碰撞．设物体间的碰撞都是弹性碰撞．【答案】(eq\r(5)－2)M≤m＜M【分析】A向右运动与C发生第一次碰撞，碰撞过程中，系统的动量守恒，机械能守恒．设速度方向向右为正，开始时A的速度为v0，第一次碰撞后C的速度为vC1，A的速度为vA1，由动量守恒定律和机械能守恒定律得mv0＝mvA1＋MvC1eq\f(1,2)mv02＝eq\f(1,2)mvA12＋eq\f(1,2)MvC12联立解得vA1＝eq\f(m－M,m＋M)v0，vC1＝eq\f(2m,m＋M)v0如果m>M，第一次碰撞后，A与C速度同向，且A的速度小于C的速度，不可能与B发生碰撞；如果m＝M，第一次碰撞后，A停止，C以A碰前的速度向右运动，A不可能与B发生碰撞，所以只需考虑m<M的情况第一次碰撞后，A反向运动与B发生碰撞，设与B发生碰撞后，A的速度为vA2，B的速度为vB1，同样有mvA1＝mvA2＋MvB1eq\f(1,2)mvA12＝eq\f(1,2)mvA22＋eq\f(1,2)MvB12联立解得vA2＝eq\f(m－M,m＋M)vA1＝(eq\f(m－M,m＋M))2v0根据题意，要求A只与B、C各发生一次碰撞，应有vA2≤vC1联立解得m2＋4mM－M2≥0解得m≥(eq\r(5)－2)M另一解m≤－(eq\r(5)＋2)M舍去所以，m和M应满足的条件为(eq\r(5)－2)M≤m＜M.三、碰撞遵循的三原则(1)动量守恒：p1＋p2＝p1′＋p2′.(2)动能不增加：Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′.(3)速度要符合实际情况①碰前两物体同向运动，若要发生碰撞，则应有v后>v前，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物体同向运动，则应有v前′≥v后′.②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变．例2．(碰后速度可能性)(2020·湖南长沙市明德中学检测)质量均为1kg的A、B两球，原来在光滑水平面上沿同一直线向右做匀速直线运动，A球的速度为6m/s，B球的速度为2m/s，A球追B球，不久A、B两球发生了对心碰撞，以下为该碰撞后A、B两球的速度，可能发生的是()A．vA′＝7m/s，vB′＝1m/sB．vA′＝9m/s，vB′＝－1m/sC．vA′＝5m/s，vB′＝7m/sD．vA′＝3m/s，vB′＝5m/s【答案】D【分析】首先看速度是否合理，第二看动量是否守恒，最后看动能是否不增加。两球碰撞过程中，A球在后，碰撞后若A、B同向，则A球的速度小于B球的速度，A错误；B项中，碰撞前两球的总动能E1＝eq\f(1,2)mvA2＋eq\f(1,2)mvB2＝20J，碰撞后两球的总动能E2＝12mvA′2＋12mvB′2＝41J，E1<E2，不符合机械能不增加原则，B错误；C项中，mvA＋mvB≠mvA′＋mvB′，C错误；D项中，mvA＋mvB＝mvA′＋mvB′，碰撞后两球的总动能为E2′＝eq\f(1,2)mvA′2＋eq\f(1,2)mvB′2＝17J，则E1>E2′，D正确．重难点02碰撞模型的拓展一、滑块——弹簧模型1．模型图示2．模型特点(1)动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒(2)机械能守恒：系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒3.两个关键状态(1)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(完全非弹性碰撞拓展模型)减少的动能转化为弹簧的弹性势能(2)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(完全弹性碰撞拓展模型，相当于碰撞结束时)例1．(多选)如图所示，水平光滑轨道宽度和轻弹簧自然长度均为d，两小球质量分别为m1、m2，m1>m2，m2的左边有一固定挡板．由图示位置静止释放m1、m2，当m1与m2相距最近时m1的速度为v1，则在以后的运动过程中()A．m1的最小速度是0B．m1的最小速度是m1−C．m2的最大速度是v1D．m2的最大速度是2m1【答案】BD【分析】由题意结合题图可知，当m1与m2相距最近时，m2的速度为0，此后，m1在前，做减速运动，m2在后，做加速运动，当再次相距最近时，m1减速结束，m2加速结束，因此此时m1速度最小，m2速度最大，在此过程中系统动量和机械能均守恒，m1v1＝m1v1′＋m2v2，eq\f(1,2)m1v12＝eq\f(1,2)m1v1′2＋eq\f(1,2)m2v22，解得v1′＝m1−m2m1+m2v1，v2＝2m1m【变式拓展】（1）如果把挡板去掉，两小球会怎样运动？【分析】由题意结合题图可知，m1先向右做加速运动，同时m2向左做加速运动，当两者相距最近时，即弹簧处于原长时，加速度为零，两者速度最大且相等，此时弹簧与轨道垂直。之后m1向左做减速运动，同时m2向左做减速运动，m1m2的速度为同时减为0，如此往复。m1在最左端时，m2到达最右端。m1在最右端时，m2到达最左端。形成X形状。（2）两个小球运动时加速度怎样变化？m1m2加速运动时，弹簧处于伸长状态，弹簧长度逐渐变短，加速度逐渐减小。弹簧处于原长时，加速度为零，两者速度最大。m1m2减速运动时，弹簧处于伸长状态，弹簧长度逐渐变长，加速度逐渐增大。加速度为零时，速度达到最大。（3）由此可以做出两个小球的v-t图像是怎样的？针对训练1．如图所示，一个轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物体甲、乙连接，静止在光滑的水平面上．现在使甲瞬间获得水平向右的速度v0＝4m/s，当甲物体的速度减小到1m/s时，弹簧最短．下列说法中正确的是()A．此时乙物体的速度为1m/sB．紧接着甲物体将开始做加速运动C．甲、乙两物体的质量之比m1∶m2＝1∶4D．当弹簧恢复原长时，乙物体的速度大小为4m/s【答案】A【分析】两个关键状态：(1)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大(2)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大根据题意得，当弹簧压缩到最短时，两物体速度相同，所以此时乙物体的速度也是1m/s，A正确；因为弹簧压缩到最短时，甲受力向左，甲继续减速，B错误；根据动量守恒定律可得m1v0＝(m1＋m2)v，解得m1∶m2＝1∶3，C错误；当弹簧恢复原长时，根据动量守恒和机械能守恒有m1v0＝m1v1′＋m2v2′，eq\f(1,2)m1v02＝eq\f(1,2)m1v1′2＋eq\f(1,2)m2v2′2，联立解得v2′＝2m/s，D错误．针对训练2．(多选)(2020·广东东山中学月考)如图5甲所示，一个轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B相连接并静止在光滑的水平地面上．现使A以3m/s的速度向B运动压缩弹簧，速度—时间图像如图乙，则有()A．在t1、t3时刻两物块达到共同速度1m/s，且弹簧都处于压缩状态B．从t3到t4时刻弹簧由压缩状态恢复原长C．两物块的质量之比为m1∶m2＝1∶2D．在t2时刻A与B的动能之比Ek1∶Ek2＝1∶8【答案】CD【分析】由题图乙可知t1、t3时刻两物块达到共同速度1m/s，且此时系统动能最小，根据系统机械能守恒可知，此时弹性势能最大，t1时刻弹簧处于压缩状态，而t3时刻处于伸长状态，故A错误；结合图像弄清两物块的运动过程，开始时m1逐渐减速，m2逐渐加速，弹簧被压缩，t1时刻二者速度相同，系统动能最小，势能最大，弹簧被压缩到最短，然后弹簧逐渐恢复原长，m2仍然加速，m1先减速为零，然后反向加速，t2时刻，弹簧恢复原长状态，由于此时两物块速度相反，因此弹簧的长度将逐渐增大，两物块均减速，在t3时刻，两物块速度相等，系统动能最小，弹簧最长，因此从t3到t4过程中弹簧由伸长状态恢复原长，故B错误；根据动量守恒定律，t＝0时刻和t＝t1时刻系统总动量相等，有m1v1＝(m1＋m2)v2，其中v1＝3m/s，v2＝1m/s，解得m1∶m2＝1∶2，故C正确；在t2时刻A的速度为vA＝－1m/s，B的速度为vB＝2m/s，根据m1∶m2＝1∶2，求出Ek1∶Ek2＝1∶8，故D正确．本题对运动过程，以及弹簧是出于压缩还是拉伸状态，考查更加深入。二、滑块——斜面模型1．模型图示2．模型特点(1)最高点：m与M水平方向速度相同v共，m不会从此处或提前偏离轨道．系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，eq\f(1,2)mv02＝eq\f(1,2)(M＋m)v共2＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于圆弧轨道的高度(完全非弹性碰撞拓展模型)(2)最低点：m与M分离点．水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，eq\f(1,2)mv02＝eq\f(1,2)mv12＋eq\f(1,2)Mv22(完全弹性碰撞拓展模型)例2.如图所示，在光滑水平面上放置一个质量为M的滑块，滑块的一侧是一个eq\f(1,4)弧形槽，凹槽半径为R，A点切线水平．另有一个质量为m的小球以速度v0从A点冲上滑块，重力加速度大小为g，不计摩擦．下列说法中正确的是()A．当v0＝eq\r(2gR)时，小球能到达B点B．如果小球的速度足够大，球将从滑块的左侧离开滑块后直接落到水平面上C．小球到达斜槽最高点处，小球的速度为零D．小球回到斜槽底部时，小球速度方向可能向左【思考】1.小球到达圆弧斜面的最高点，速度什么特点？此状态属于哪种碰撞类型拓展？2.当小球速度足够大，从B点离开滑块时，分离速度该怎样求？此状态属于哪种碰撞类型拓展？小球回到斜槽底部时，小球速度方向是怎样的？小球速度方向由谁决定？【答案】D【分析】滑块不固定，当v0＝eq\r(2gR)时，设小球沿槽上升的高度为h，则有：mv0＝(m＋M)v，eq\f(1,2)mv02＝eq\f(1,2)(M＋m)·v2＋mgh，可解得h＝eq\f(M,M＋m)R<R，故A错误；A项时考查完全非弹性碰撞拓展模型。当小球速度足够大，从B点离开滑块时，由于B点切线竖直，在B点时小球与滑块的水平速度相同，离开B点后将再次从B点落回，不会从滑块的左侧离开滑块后直接落到水平面上，B错误；当小球到达斜槽最高点，由在水平方向上动量守恒有mv0＝(M＋m)v，小球具有水平速度，故C错误；当小球回到斜槽底部，相当于完成了弹性碰撞，mv0＝mv1＋Mv2，eq\f(1,2)mv02＝eq\f(1,2)mv12＋eq\f(1,2)Mv22，v1＝eq\f(m－M,M＋m)v0，小球的速度方向由m和M关系决定；当m>M，v1与v0方向相同，向左，当m<M，v1与v0方向相反，即向右，故D正确．D项时考查完全弹性碰撞拓展模型。针对训练3.(2019·江西师范大学附属中学模拟)如图所示，形状完全相同的光滑弧形槽A、B静止在足够大的光滑水平面上，两弧形槽相对放置，底端与光滑水平面相切，弧形槽的高度为h，弧形槽A的质量为2m，弧形槽B的质量为M.质量为m的小球，从弧形槽A顶端由静止释放，重力加速度为g.(1)求小球从弧形槽A的顶端滑下后的最大速度大小；(2)若小球从弧形槽B上滑下后还能追上弧形槽A，求M、m间所满足的关系．【答案】(1)2eq\r(\f(gh,3))(2)M>3m【分析】(1)小球到达弧形槽A底端时速度最大，设小球到达弧形槽A底端时的速度大小为v1，弧形槽A的速度大小为v2，小球与弧形槽A组成的系统在水平方向动量守恒，以水平向右为正方向，小球下滑过程中，对系统由动量守恒定律得mv1－2mv2＝0，由机械能守恒定律有mgh＝eq\f(1,2)mv12＋eq\f(1,2)·2mv22联立解得v1＝2eq\r(\f(gh,3))，v2＝eq\r(\f(gh,3)).(2)小球冲上弧形槽B后，上滑到最高点后再返回分离，设分离时小球速度反向，大小为v3，弧形槽B的速度为v4，整个过程二者水平方向动量守恒，则有mv1＝－mv3＋Mv4，二者的机械能守恒，则有eq\f(1,2)mv12＝eq\f(1,2)mv32＋eq\f(1,2)Mv42，联立解得v3＝eq\f(M－m,M＋m)v1小球还能追上A，则有v3>v2解得M>3m.三、两种模型结合解题例3．(2021·江苏常州一模)如图所示，质量为M＝4kg的大滑块静置在光滑水平面上，滑块左侧为光滑圆弧，圆弧底端和水平面相切，顶端竖直。一质量为m＝1kg的小物块，被压缩弹簧弹出后，冲上大滑块，能从大滑块顶端滑出，滑出时大滑块的速度为1m/s。g取10m/s2。求：(1)小物块被弹簧弹出时的速度；(2)小物块滑出大滑块后能达到的最大高度h1；(3)小物块回到水平面的速度及再次滑上大滑块后能达到的最大高度h2。【分析】(1)M、m组成的系统水平方向动量守恒，列式可以求解；(2)m弹出后在到达最高点的过程中，M、m组成的系统机械能守恒，列系统机械能守恒表达式可以求解；(3)