2024年高考数学终极押题密卷1（新高考Ⅱ）含答案

2024年高考数学终极押题密卷1（新高考Ⅱ）一．选择题（共8小题）1．经过A（1，1），B（﹣1，1），C（0，2）三个点的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2 C．x2+（y﹣1）2＝1 D．x2+（y+1）2＝12．已知向量，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知函数，则f（﹣3）＝（）A．1 B．2 C．4 D．84．在等差数列{an}中，a3+a16＝5，则S18＝（）A．100 B．50 C．90 D．455．已知点A（1，0），直线l：y＝2x﹣4，点R是直线l上的一点．若，则点P的轨迹方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝2x C．y＝2x﹣8 D．y＝2x+46．已知点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px上，F是抛物线C的焦点，过点F的直线与抛物线C交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若x1+x2＝4，则|MN|＝（）A．3 B．4 C．5 D．67．谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图1），沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2），对剩下的三个小三角形继续以上操作（如图3），按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形．如果图1三角形的边长为2，则图4被挖去的三角形面积之和是（）A． B． C． D．8．已知点M，N是抛物线y＝4x2上不同的两点，F为抛物线的焦点，且满足，弦MN的中点P到直线l：的距离记为d，若|MN|2＝λ•d2，则λ的最小值为（）A．3 B． C． D．4二．多选题（共3小题）（多选）9．下列命题中正确的是（）A．已知随机变量X～B（6，），则D（3X+2）＝12 B．已知随机变量Y～N（μ，σ2），且P（Y≤4）＝P（Y≥0），则μ＝2 C．已知一组数据：7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的第30百分位数是8 D．抽取高三年级50名男生、50名女生的二模数学成绩，男生平均分123分，方差为60；女生平均分128分，方差为40，则抽取的100名学生数学成绩的方差为80（多选）10．已知函数的相邻两对称轴的之间的距离为，函数为偶函数，则（）A． B．为其一个对称中心 C．若f（x）在（﹣a，a）单调递增，则 D．曲线y＝f（x）与直线有7个交点（多选）11．已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，若M为C的准线上任意一点，则（）A．直线若AB的斜率为，则|AB|＝16 B．∠AMB的取值范围为 C． D．∠AOB的余弦有最小值为三．填空题（共3小题）12．2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．在“一带一路”欢迎晚宴上，我国拿出特有的美食、美酒款待大家，让国际贵宾们感受中国饮食文化、茶文化、酒文化．这次晚宴菜单中有“全家福”“沙葱牛肉”“北京烤鸭”“什锦鲜蔬”“冰花锅贴”“蟹黄烧麦”“天鹅酥”“象形枇杷”．假设在上菜的过程中服务员随机上这八道菜（每次只上一道菜），则“沙葱牛肉”“北京烤鸭”相邻的概率为．13．《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度．如图，把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD与地面垂直，小李先在地面上选取点A，B（点A，B在建筑物的同一侧，且点A，B，C，D位于同一个平面内），测得，在点A处测得点C，D的仰角分别为30°，67°，在点B处测得点D的仰角为33.5°，则塔高CD为m．（参考数据：）14．已知球O的表面积为12π，正四面体ABCD的顶点B，C，D均在球O的表面上，球心O为△BCD的外心，棱AB与球面交于点P．若A∈平面α1，B∈平面α2，C∈平面α3，D∈平面α4，αi∥αi+1（i＝1，2，3）且αi与αi+1（i＝1，2，3）之间的距离为同一定值，棱AC，AD分别与α2交于点Q，R，则△PQR的周长为．四．解答题（共5小题）15．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，，A的角平分线交BC于点D，且AD＝1．（1）求A的大小；（2）若，求△ABC的面积．16．已知函数．（1）当a＝0时，求f（x）在x＝1处的切线方程；（2）当a＝1时，求f（x）的单调区间和极值；（3）若对任意x∈R，有f（x）≤ex﹣1恒成立，求a的取值范围．17．“斯诺克（Snooker）”是台球比赛的一种，意思是“阻碍、障碍”，所以斯诺克台球有时也被称为障碍台球，是四大“绅士运动”之一，随着生活水平的提高，“斯诺克”也成为人们喜欢的运动之一．现甲、乙两人进行比赛比赛采用5局3胜制，各局比赛双方轮流开球（例如：若第一局甲开球，则第二局乙开球，第三局甲开球……），没有平局．已知在甲的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为，在乙的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为，并且通过“猜硬币”，甲获得了第一局比赛的开球权．（1）求甲以3：1赢得比赛的概率；（2）设比赛的总局数为ξ，求E（ξ）．18．已知F1、F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，P、Q是椭圆C上的两点，△PF1F2的周长为2，短轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点A（2，1），＝0，问：直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标，若不过，请说明理由．19．若一个两位正整数m的个位数为4，则称m为“好数”．（1）求证：对任意“好数”m，m2﹣16一定为20的倍数；（2）若m＝p2﹣q2，且p，q为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对”，规定：，例如24＝52﹣12，称数对（5，1）为“友好数对”，则，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值．

2024年菁优高考数学终极押题密卷1（新高考Ⅱ）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．经过A（1，1），B（﹣1，1），C（0，2）三个点的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2 C．x2+（y﹣1）2＝1 D．x2+（y+1）2＝1【考点】圆的标准方程；圆的一般方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆；数学运算．【答案】C【分析】设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，代入点的坐标，建立关于D，E，F的方程组，解出即可．【解答】解：设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则，解得，则圆的一般方程为x2+y2﹣2y＝0，即x2+（y﹣1）2＝1．故选：C．【点评】本题考查圆的方程的求法，属于基础题．2．已知向量，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；充分条件与必要条件．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算．【答案】A【分析】根据已知条件，结合平面向量垂直的性质，即可求解．【解答】解：，则，即20﹣10k2＝0，解得k＝，故“”是“”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题．3．已知函数，则f（﹣3）＝（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】函数的值．【专题】转化思想；参数法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】将x的值依次代入函数的解析式，即可求解．【解答】解：，则f（﹣3）＝f（﹣2）＝f（1）＝21＝2．故选：B．【点评】本题主要考查函数的值，属于基础题．4．在等差数列{an}中，a3+a16＝5，则S18＝（）A．100 B．50 C．90 D．45【考点】等差数列的前n项和．【专题】转化思想；定义法；等差数列与等比数列；数学运算．【答案】D【分析】利用等差数列前n项和公式、通项公式直接求解．【解答】解：在等差数列{an}中，a3+a16＝5，由题意得．故选：D．【点评】本题考查等差数列前n项和公式、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．已知点A（1，0），直线l：y＝2x﹣4，点R是直线l上的一点．若，则点P的轨迹方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝2x C．y＝2x﹣8 D．y＝2x+4【考点】与直线有关的动点轨迹方程．【专题】计算题．【答案】B【分析】设点P的坐标为（x，y），点R（m，n），则n＝2m﹣4①．由可得m＝2﹣x，n＝﹣y，再代入①化简可得点P的轨迹方程．【解答】解：设点P的坐标为（x，y），点R（m，n），则n＝2m﹣4①．由可得，（1﹣m，﹣n）＝（x﹣1，y），∴1﹣m＝x﹣1，﹣n＝y，即m＝2﹣x，n＝﹣y，代入①可得﹣y＝2（2﹣x）﹣4，化简可得y＝2x，故选：B．【点评】本题考查用代入法求点的轨迹方程，两个向量相等的性质，得到m＝2﹣x，n＝﹣y，是解题的关键．6．已知点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px上，F是抛物线C的焦点，过点F的直线与抛物线C交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若x1+x2＝4，则|MN|＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】抛物线的性质；直线与抛物线的综合．【专题】转化思想；设而不求法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】D【分析】把点P的坐标代入抛物线的方程可得p的值，即得抛物线的方程，由抛物线的定义可得弦长|MN|的表达式，可得所求的结果．【解答】解：因为点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px上，所以4＝2p，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，焦点F（1，0），准线方程为：x＝﹣1，因为过点F的直线与抛物线C交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，所以由抛物线的定义可得：|MN|＝|FM|+|FN|＝x1+1+x2+1＝x1+x2+2＝6．故选：D．【点评】本题考查抛物线的方程与抛物线的定义，属于中档题．7．谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图1），沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2），对剩下的三个小三角形继续以上操作（如图3），按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形．如果图1三角形的边长为2，则图4被挖去的三角形面积之和是（）A． B． C． D．【考点】归纳推理；三角形中的几何计算．【专题】计算题；转化思想；综合法；推理和证明；数学运算．【答案】D【分析】根据图中挖去三角形的边长，以及挖去三角形的个数进行解答，即可得到本题的答案．【解答】解：第一种挖掉的三角形边长为，共1个，面积为，第二种挖掉的三角形边长为，共3个，面积为，第三种挖掉的三角形边长为，共9个，面积为，故图4被挖去的三角形面积之和是．故选：D．【点评】本题主要考查三角形的面积公式、归纳推理及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．8．已知点M，N是抛物线y＝4x2上不同的两点，F为抛物线的焦点，且满足，弦MN的中点P到直线l：的距离记为d，若|MN|2＝λ•d2，则λ的最小值为（）A．3 B． C． D．4【考点】抛物线的性质．【专题】综合题；方程思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】A【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设|MF|＝a，|NF|＝b，由∠MFN＝120°，运用余弦定理可得|MN|，运用抛物线的定义和中位线定理可得d＝（|MF|+|NF|）＝（a+b），运用基本不等式计算即可得到所求最小值．【解答】解：抛物线y＝4x2的焦点F（0，），准线为y＝﹣，设|MF|＝a，|NF|＝b，由∠MFN＝120°，可得|MN|2＝|MF|2+|NF|2﹣2|MF|•|NF|•cos∠MFN＝a2+b2+ab，由抛物线的定义可得M到准线的距离为|MF|，N到准线的距离为|NF|，由梯形的中位线定理可得d＝（|MF|+|NF|）＝（a+b），由|MN|2＝λ•d2，可得λ＝1﹣≥1﹣＝，可得λ≥3，当且仅当a＝b时，取得最小值3，故选：A．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查余弦定理和基本不等式的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二．多选题（共3小题）（多选）9．下列命题中正确的是（）A．已知随机变量X～B（6，），则D（3X+2）＝12 B．已知随机变量Y～N（μ，σ2），且P（Y≤4）＝P（Y≥0），则μ＝2 C．已知一组数据：7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的第30百分位数是8 D．抽取高三年级50名男生、50名女生的二模数学成绩，男生平均分123分，方差为60；女生平均分128分，方差为40，则抽取的100名学生数学成绩的方差为80【考点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；极差、方差与标准差；百分位数．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】AB【分析】根据题意，由二项分布的性质可得A正确，由正态分布的性质可得B正确，对于C，求出数据的第30百分位数，可得C错误，对于D，求出100名学生的方差，可得D错误，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，已知随机变量X～B（6，），则D（X）＝6××＝，则有D（3X+2）＝9×＝12，A正确；对于B，已知随机变量Y～N（μ，σ2），且P（Y≤4）＝P（Y≥0），则μ＝＝2，B正确；对于C，将数据从小到大排列：5，6，7，7，8，8，8，9，有8×30%＝2.4，则其第30百分位数是7，C错误；对于D，抽取的100名学生数学成绩的平均数＝＝125.5，则100名学生的方差S2＝（60+）+（40+）＝56.25，D错误．故选：AB．【点评】本题考查二项分布、正态分步的性质，涉及百分位数和方差的计算，属于基础题．（多选）10．已知函数的相邻两对称轴的之间的距离为，函数为偶函数，则（）A． B．为其一个对称中心 C．若f（x）在（﹣a，a）单调递增，则 D．曲线y＝f（x）与直线有7个交点【考点】正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．【答案】ACD【分析】根据题意，由正弦函数的性质分析求出ω、φ的值，结合三角函数图象变换的规律分析选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数的相邻两对称轴的之间的距离为，则其周期T＝＝π，则ω＝2；函数为偶函数，则f（x）的图象关于直线x＝对称，又y＝f（x）的图象向左平移个单位得到，则有，且，故，依次分析选项：对于A，，A正确；对于B，因为，且，所以B错误；对于C，令，k∈Z，故易知f（x）在单调递增，故，C正确；对于D，直线与曲线y＝f（x）均过点，且该直线与曲线y＝f（x）均关于该点中心对称，当时，，当时，，由对称性可知曲线y＝f（x）与直线有7个交点，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查正弦函数的性质，涉及三角函数图象的变换，属于基础题．（多选）11．已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，若M为C的准线上任意一点，则（）A．直线若AB的斜率为，则|AB|＝16 B．∠AMB的取值范围为 C． D．∠AOB的余弦有最小值为【考点】抛物线的性质；直线与抛物线的综合．【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】BCD【分析】对于抛物线的焦点弦相关问题，首先要熟悉一些二级结论，如A项，若记得焦点弦关于倾斜角的弦长公式则可以秒杀；B项熟悉“以焦点弦AB为直径的圆与准线相切”则可以迅速判断结论；而对于C，D两个选项，则需要将直线与抛物线方程联立，借助于韦达定理进行计算推理才可得到．【解答】解：对于A选项，由题知，AB的斜率为，则，代入C：y2＝6x整理得：4x2﹣20x+9＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，而|AB|＝x1+x2+3＝8；故A项错误；对于B选项，∵以焦点弦AB为直径的圆与准线相切，M为C的准线上任意一点，则点M在以AB为直径的圆上或圆外，∴，当M在直线AB上时，∠AMB＝0，即∠AMB的取值范围为，故B项正确；对于C选项，设A（x1，y1），B（x2，y2），，设，联立，消元得：y2﹣6ty﹣9＝0，则，故，故C项正确；对于D选项，＝＝＝＝，即∠AOB的余弦的最小值为，故D项正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了抛物线的性质，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．三．填空题（共3小题）12．2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．在“一带一路”欢迎晚宴上，我国拿出特有的美食、美酒款待大家，让国际贵宾们感受中国饮食文化、茶文化、酒文化．这次晚宴菜单中有“全家福”“沙葱牛肉”“北京烤鸭”“什锦鲜蔬”“冰花锅贴”“蟹黄烧麦”“天鹅酥”“象形枇杷”．假设在上菜的过程中服务员随机上这八道菜（每次只上一道菜），则“沙葱牛肉”“北京烤鸭”相邻的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】根据元素相邻关系进行捆绑并结合排列问题得出结果．【解答】解：服务员随机上这八道菜有种排法，“沙葱牛肉”，“北京烤鸭”相邻有种排法，所以所求概率．故答案为：．【点评】本题考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度．如图，把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD与地面垂直，小李先在地面上选取点A，B（点A，B在建筑物的同一侧，且点A，B，C，D位于同一个平面内），测得，在点A处测得点C，D的仰角分别为30°，67°，在点B处测得点D的仰角为33.5°，则塔高CD为24m．（参考数据：）【考点】解三角形．【专题】转化思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】24．【分析】在△ACD中，求出，∠CAD＝37°，∠ACD＝120°，利用正弦定理求解即可．【解答】解：如图，延长DC与BA的延长线交于点E，则∠DAE＝67°，∠CAE＝30°，∠DBA＝33.5°，所以∠ADB＝67°﹣33.5°＝33.5°，∠CAE＝90°﹣30°＝60°，所以．在△ACD中，∠CAD＝67°﹣30°＝37°，∠ACD＝180°﹣60°＝120°，由正弦定理，得．故答案为：24．【点评】本题考查正弦定理的应用，属于中档题．14．已知球O的表面积为12π，正四面体ABCD的顶点B，C，D均在球O的表面上，球心O为△BCD的外心，棱AB与球面交于点P．若A∈平面α1，B∈平面α2，C∈平面α3，D∈平面α4，αi∥αi+1（i＝1，2，3）且αi与αi+1（i＝1，2，3）之间的距离为同一定值，棱AC，AD分别与α2交于点Q，R，则△PQR的周长为．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算．【答案】．【分析】设α与αi+1（i＝1，2，3）之间的距离为d，由题意解得球O的半径为，再由平面向量的基本定理，可得，进而得出，再结合题设数量关系，求得△PQR的周长．【解答】解：设α与αi+1（i＝1，2，3）之间的距离为d，球O的半径为R，则由题意得4πR2＝12π，解得，所以，所以，所以，由A，P，B三点共线，故存在实数λ，使得，所以，所以3＝6x2+3（1﹣λ）2，即3λ2﹣2λ＝0，解得λ＝，所以，所以，所以，又αi∥αi+1（i＝1，2，3）且αi与αi+1（i＝1，2，3）之间的距离为同一定值d，则，，所以AR＝1，，所以，又，所以△PQR的周长为．故答案为：．【点评】本题考查空间距离的计算，属中档题．四．解答题（共5小题）15．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，，A的角平分线交BC于点D，且AD＝1．（1）求A的大小；（2）若，求△ABC的面积．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【专题】转化思想；转化法；解三角形；数学运算．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理，即可求解；（2）根据已知条件，结合等面积法，推得b+c＝bc，再结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．【解答】解：（1）因为，由正弦定理可得，B∈（0，π），则sinB＞0，所以，故，A∈（0，π），则；（2）由题意可知S△ABD+S△ACD＝S△ABC，A的角平分线交BC于点D，则，化简可得b+c＝bc，在△ABC中，由余弦定理得，从而，解得bc＝5或bc＝﹣4（舍）所以．【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．16．已知函数．（1）当a＝0时，求f（x）在x＝1处的切线方程；（2）当a＝1时，求f（x）的单调区间和极值；（3）若对任意x∈R，有f（x）≤ex﹣1恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用；直观想象；数学运算．【答案】（1）；（2）单调递增区间为（0，+∞），递减区间为（﹣∞，0）；极大值为﹣1，无极小值；（3）[﹣，+∞）．【分析】（1）将a＝0代入，利用导数的几何意义求出切线的斜率，写出切线的点斜式方程，再化简即可；（2）将a＝1代入，利用导数的正负与原函数的增减关系，确定函数的单调区间，即可得答案；（3）由题意可得即，设，利用导数求出m（x）的最大值即可．【解答】解：（1）当a＝0时，，则，因为f′（1）＝0，f′（1）＝，所以切线方程为y﹣＝0×（x﹣1），即；（2）当a＝1时，f（x）＝xe﹣x﹣ex，，令g（x）＝1﹣x﹣e2x，则g'（x）＝﹣1﹣2e2x＜0，故g（x）在R上单调递减，而g（0）＝0，因此0是g（x）在R上的唯一零点，即0是f′（x）在R上的唯一零点，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，0）0（0，+∞）f'（x）+0﹣f（x）单调递增极大值单调递减所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞），递减区间为（﹣∞，0）；所以f（x）的极大值为f（0）＝﹣1，无极小值；（3）由题意知xe﹣x﹣aex≤ex﹣1，即，即，设，则，令m′（x）＝0，解得，当，m′（x）＞0，m（x）单调递增，当，m′（x）＜0，m（x）单调递减，所以，所以．所以a的取值范围为[﹣，+∞）．【点评】本题考查了导数的几何意义、综合运用及转化思想，属于中档题．17．“斯诺克（Snooker）”是台球比赛的一种，意思是“阻碍、障碍”，所以斯诺克台球有时也被称为障碍台球，是四大“绅士运动”之一，随着生活水平的提高，“斯诺克”也成为人们喜欢的运动之一．现甲、乙两人进行比赛比赛采用5局3胜制，各局比赛双方轮流开球（例如：若第一局甲开球，则第二局乙开球，第三局甲开球……），没有平局．已知在甲的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为，在乙的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为，并且通过“猜硬币”，甲获得了第一局比赛的开球权．（1）求甲以3：1赢得比赛的概率；（2）设比赛的总局数为ξ，求E（ξ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】对应思想；转化法；概率与统计；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求解；（2）确定的可能取值，再求取各值的概率，利用期望公式求期望．【解答】解：（1）甲以3：1赢得比赛，则前3局中甲赢得了2局，第4局甲获胜，所以甲以3：1赢得比赛的概率为．（2）ξ的可能取值为3，4，5，设甲获胜的概率为P甲，乙获胜的概率为P乙，；；；；；；则，所以．【点评】本题考查独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量的期望公式，属于中档题．18．已知F1、F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，P、Q是椭圆C上的两点，△PF1F2的周长为2，短轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点A（2，1），＝0，问：直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标，若不过，请说明理由．【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程；椭圆的性质．【专题】分类讨论；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．【答案】（1）+＝1；（2）直线PQ恒过定点（，﹣）．【分析】（1）由△PF1F2的周长可得a，c的关系，再由短轴长，可得b的值，再由a，b，c的关系，可得a，c的值，进而求出椭圆的方程；（2）分直线PQ的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线PQ的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由＝0，可得参数的关系，进而求出直线PQ恒过的定点的坐标．【解答】解：（1）△PF1F2的周长为2＝2a+2c，短轴长为2＝2b，则，解得a＝，b＝，所以椭圆C的标准方程为：+＝1；（2）直线PQ过定点，证明过程如下：当直线PQ的斜率存在时，则直线PQ的方程为y＝kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，整理可得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，Δ＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣6）＞0，即m2＜3+6k2，且x1+x2＝﹣，x1x2＝，因为＝0，即（x1﹣2，y1﹣1）•（x2﹣2，y2﹣1）＝0，即（x1﹣2）（x2﹣2）+（kx1+m﹣1）（kx2+m﹣1）＝0，整理可得（1+k2）x1x2+（km﹣k﹣2）（x1+x2）+4+（m﹣1）2＝0，即（1+k2）•+（km﹣k﹣2）•+5+m2﹣2m＝0，整理可得：3m2﹣2m﹣1+4k2+8km＝0，即（3m+2k+1）（m+2k﹣1）＝0，解得3m+2k+1＝0或m+2k﹣1＝0，可得m＝﹣k﹣或m＝﹣2k+1，所以直线PQ的方程为y＝kx﹣k﹣＝k（x﹣）﹣或y＝kx﹣2k+1＝k（x﹣2）+1，可得直线PQ恒过定点（，﹣）或定点（2，1）（舍）．当直线PQ的斜率不存在时，设直线x＝t，t∈（﹣，），联立，可得y2＝3（1﹣）＝，可得y＝±，设P（t，），Q（t，﹣），因为＝0，所以（t﹣2，﹣1）•（t﹣2，﹣﹣1）＝0，即（t﹣2）2+1﹣（）＝0，即3t2﹣8t+4＝0，解得t＝或t＝﹣2（舍），即直线PQ的方程为x＝，显然也过定点（，﹣）．综上所述：直线PQ恒过定点（，﹣）．【点评】本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，直线恒过定点的求法，属于中档题．19．若一个两位正整数m的个位数为4，则称m为“好数”．（1）求证：对任意“好数”m，m2﹣16一定为20的倍数；（2）若m＝p2﹣q2，且p，q为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对”，规定：，例如24＝52﹣12，称数对（5，1）为“友好数对”，则，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值．【考点】有理数指数幂及根式．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）证明见解析（2）．【分析】（1）设m＝10t+4，从而有m2﹣16＝（10t+4）2﹣16＝100t2+80t+16﹣16＝20（5t2+4t）即可证明；（2）根据题意可得10t+4＝（p+q）（p﹣q），进而分类讨论即可求解．【解答】解：（1）证明：设m＝10t+4，1≤t≤9且t为整数，∴m2﹣16＝（10t+4）2﹣16＝100t2+80t+16﹣16＝20（5t2+4t），∵1≤t≤9，且t为整数，∴5t2+4t是正整数，∴m2﹣16一定是20的倍数；（2）∵m＝p2﹣q2，且p，q为正整数，∴10t+4＝（p+q）（p﹣q），当t＝1时，10t+4＝14＝1×14＝2×7，没有满足条件的p，q，当t＝2时，10t+4＝24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，∴满足条件的有或，解得或，∴或，当t＝3时，10t+4＝34＝1×34＝2×17，没有满足条件的p，q，当t＝4时，10t+4＝44＝1×44＝2×22＝4×11，∴满足条件的有，解得，∴，当t＝5时，10t+4＝54＝1×54＝2×27＝3×18＝6×9，没有满足条件的p，q，当t＝6时，10t+4＝64＝1×64＝2×32＝4×16＝8×8，∴满足条件的有或，解得或，∴或，∴小于70的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值为．【点评】本题主要考查了新定义问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．

考点卡片1．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．函数恒成立问题【知识点的认识】恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单【解题方法点拨】一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．解：由题意可知：a≤恒成立即a≤x++2⇒a≤2+2【命题方向】恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．3．函数的值【知识点的认识】函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．【解题方法点拨】求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域解：f′（x）＝﹣1＝∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；故值域为（﹣∞，﹣1）【命题方向】函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．4．有理数指数幂及根式【知识点的认识】根式与分数指数幂规定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义有理数指数幂（1）幂的有关概念：①正分数指数幂：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；②负分数指数幂：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．（2）有理数指数幂的性质：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．【解题方法点拨】例1：下列计算正确的是（）A、（﹣1）0＝﹣1B、＝aC、＝3D、＝\;a4{{x}^{2﹣2}}$（a＞0）分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．解：∵（﹣1）0＝1，∴A不正确；∵$\sqrt{a\sqrt{a}}＝\sqrt{a•{a}^{\frac{1}{2}}}＝\sqrt{{a}^{\frac{3}{2}}}＝{a}^{\frac{3}{4}}＝\root{4}{{a}^{3}}$，∴B不正确；∵$\root{4}{（﹣3）^{4}}＝\root{4}{{3}^{4}}＝3$，∴C正确；∵$\frac{（{a}^{x}）^{2}}{{a}^{2}}＝\frac{{a}^{2x}}{{a}^{2}}＝{a}^{2x﹣2}$∴D不正确．故选：C．点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（）A、${a^m}÷{a^n}＝{a^{\frac{m}{n}}}$B、am•an＝am•nC、（am）n＝am+nD、1÷an＝a0﹣n分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立；C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立；D中，1÷an＝a0﹣n，成立．故选：D．点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．5．正弦函数的奇偶性和对称性【知识点的认识】正弦函数的对称性正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ+，k∈z．【解题方法点拨】例：函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为x＝．解：由于函数y＝sin2x+2sin2x＝sin2x+1﹣cos2x＝，而函数y＝sint的对称轴为则，解得（k∈Z）则函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为故答案为．这个题很有代表性，一般三角函数都是先化简，化成一个单独的正弦或者余弦函数，然后把2x﹣看成一个整体，最后根据公式把单调性求出来即可．【命题方向】这个考点非常重要，也很简单，大家熟记这个公式，并能够理解运用就可以了．6．等差数列的前n项和【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝【解题方法点拨】eg1：设等差数列的前n项和为Sn，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，则S10＝10a1+d＝10+45＝55．故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．求数列{|an|}的前n项的和Tn．解：∵等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．∴n≤3时，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．【命题方向】等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．7．利用导数研究函数的单调性【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴8．利用导数研究函数的极值【知识点的认识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．9．利用导数研究曲线上某点切线方程【知识点的认识】利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．【解题方法点拨】例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．10．数量积判断两个平面向量的垂直关系【知识点的认识】向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如＝（1，0，1），＝（2，0，﹣2），那么与垂直，有•＝1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．【解题方法点拨】例：与向量，垂直的向量可能为（）A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）解：对于A：∵，•（3，﹣4）＝﹣＝﹣5，∴A不成立；对于B：∵，•（﹣4，3）＝，∴B不成立；对于C：∵，•（4，3）＝，∴C成立；对于D：∵，•（4，﹣3）＝，∴D不成立；故选：C．点评：分别求出向量，和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．【命题方向】向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．11．正弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC变形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．12．余弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C变形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．13．三角形中的几何计算【知识点的认识】1、几何中的长度计算：（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．（2）利用余弦定理可以求解：①解三角形；②判断三角形的形状；③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．2、与面积有关的问题：（1）三角形常用面积公式①S＝a•ha（ha表示边a上的高）；②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．③S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．（2）面积问题的解法：①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．【解题方法点拨】几何计算最值问题：（1）常见的求函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：①当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．②当角度在90°～180°间变化时，正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．14．解三角形【知识点的认识】1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．7．关于三角形面积问题①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）④S△ABC＝；⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；⑥S△ABC＝r•s，（r为△ABC内切圆的半径）在解三角形时，常用定理及公式如下表：名称公式变形内角和定理A+B+C＝π+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA＝cosB＝cosC＝正弦定理＝2RR为△ABC的外接圆半径a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA＝，sinB＝，sinC＝射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面积公式①S△＝aha＝bhb＝chc②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA③S△＝④S△＝，（s＝（a+b+c））；⑤S△＝（a+b+c）r（r为△ABC内切圆半径）sinA＝sinB＝sinC＝15．点、线、面间的距离计算【知识点的认识】16．与直线有关的动点轨迹方程【知识点的认识】1、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法．（1）直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．（3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程．（4）参数法：若动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程．求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性．要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念．2、求轨迹方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为（x，y）；（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式；（4）用坐标（x，y）表示这个等式，并化简；（5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．上述五个步骤可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明．17．圆的标准方程【知识点的认识】1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．2．圆的标准方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r．特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2＝r2．其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．【解题方法点拨】已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；（2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组；（3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可．另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程．【命题方向】可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程再进行转化．例1：圆心为（3，﹣2），且经过点（1，﹣3）的圆的标准方程是（x﹣3）2+（y+2）2＝5分析：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．解答：设圆的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，由圆M经过点（1，﹣3）得R2＝5，从而所求方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝5，故答案为（x﹣3）2+（y+2）2＝5点评：本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．例2：若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出b的值，把b的值代入求出的a与b的关系式中，求出a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．解答：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），由圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝＝r＝1，化简得：|4a﹣3b|＝5①，又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a＝﹣（舍去），∴圆心坐标为（2，1），则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．故选：A点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．例3：圆x2+y2+2y＝1的半径为（）A．1B．C．2D．4分析：把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径．解答：圆x2+y2+2y＝1化为标准方程为x2+（y+1）2＝2，故半径等于，故选B．点评：本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题的关键．18．圆的一般方程【知识点的认识】1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．2．圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）其中圆心坐标为（﹣，﹣），半径r＝．3．圆的一般方程的特点：（1）x2和y2系数相同，且不等于0；（2）没有xy这样的二次项．以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件．19．椭圆的标准方程【知识点的认识】椭圆标准方程的两种形式：（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．标准方程（a＞b＞0）中心在原点，焦点在x轴上（a＞b＞0）中心在原点，焦点在y轴上图形顶点A（a，0），A′（﹣a，0）B（0，b），B′（0，﹣b）A（b，0），A′（﹣b，0）B（0，a），B′（0，﹣a）对称轴x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b焦点在长轴长上x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b焦点在长轴长上焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2离心率e＝（0＜e＜1）e＝（0＜e＜1）准线x＝±y＝±20．椭圆的性质【知识点的认识】1．椭圆的范围2．椭圆的对称性3．椭圆的顶点顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4．椭圆的离心率①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．21．直线与椭圆的综合【知识点的认识】直线与椭圆的位置判断：将直线方程与椭圆方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：直线与椭圆相交⇔Δ＞0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ＜0；【解题方法点拨】（1）直线与椭圆位置关系的判断方法①联立方程，借助一元二次方程的判别式来判断；②借助直线和椭圆的几何性质来判断．根据直线系方程抓住直线恒过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，也是解决此类问题的难点所在．（2）弦长的求法设直线与椭圆的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝＝（k为直线斜率）注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．（3）中点弦、弦中点常见问题①过定点被定点平分的弦所在直线的方程；②平行弦中点的轨迹；③过定点的弦的中点的轨迹．解决有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”，这两种方法的前提都必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点．（4）椭圆切线问题①直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点；②过椭圆外一点可以作两条直线与椭圆相切；③过椭圆上一点只能作一条切线．（5）最值与范围问题的解决思路①构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解；②构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解．在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等可利用条件．【命题方向】1．由已知条件求椭圆的方程或离心率；2．由已知条件求直线的方程；3．中点弦或弦的中点问题；4．弦长问题；5．与向量结合求参变量的取值．22．抛物线的性质【知识点的认识】抛物线的简单性质：23．直线与抛物线的综合【知识点的认识】直线与抛物线的位置判断：将直线方程与抛物线方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：直线与抛物线相交⇔Δ＞0；直线与抛物线相切⇔Δ＝0；直线与抛物线相离⇔Δ＜0；【解题方法点拨】研究直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0．若该方程为二次方程，则依据根的判别式或根与系数的关系求解，同时应注意“设而不求”和“整体代入”方法的应用．直线y＝kx+b与抛物线y2＝2px（p＞0）公共点的个数等价于方程组的解的个数．（1）若k≠0，则当Δ＞0时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当Δ＝0时，直线和抛物线相切，有一个公共点；当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．（2）若k＝0，则直线y＝b与y2＝2px（p＞0）相交，有一个公共点；特别地，当直线的斜率不存在时，设x＝m，则当m＞0时，直线l与抛物线相交，有两个公共点；当m＝0时，直线l与抛物线相切，有一个公共点；当m＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．【命题方向】掌握抛物线的定义、标准方程、简单性质等基础知识，深化对基础知识的理解，重视知识间的内在联系，提高应用数学思想方法解决问题的意识和能力．对相对固定的题型，比如弦长问题、面积问题等，要以课本为例，理解通性通法，熟练步骤．对抛物线与直线的综合研究，涉及到定点、定值等相关结论，往往是高考考试的热点．24．古典概型及其概率计算公式【知识点的认识】1．定义：如果一个试验具有下列特征：（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．则称这种随机试验的概率模型为古典概型．*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．2．古典概率的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）＝