2024年高考数学终极押题密卷2（上海卷）含答案

2024年高考数学终极押题密卷2（上海卷）一．选择题（共4小题）1．设λ∈R，则“λ＝1”是“直线3x+（λ﹣1）y＝1与直线λx+（1﹣λ）y＝2平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图像如图所示，则函数y＝f（x）的图像可能是（）A． B． C． D．3．若直线y＝kx+b是曲线f（x）＝ex﹣2与g（x）＝ex+2022﹣2022的公切线，则k＝（）A． B．1 C． D．20224．设函数f（x）＝（x﹣1）（ex﹣e），g（x）＝ex﹣ax﹣1，其中a∈R．若对∀x2∈[0，+∞），都∃x1∈R，使得不等式f（x1）≤g（x2）成立，则a的最大值为（）A．0 B． C．1 D．e二．填空题（共12小题）5．假如女儿的身高y（单位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的线性回归方程是，已知父亲身高为175cm，则估计女儿的身高为cm．（结果精确到整数）6．某产品长度合格的概率为，重量合格的概率为，长度、重量合格的概率为，任取一件产品，已知其重量合格，则它的长度也合格的概率为．7．函数y＝ex﹣5x的单调增区间为．8．已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则f（﹣2）＝．9．已知函数，则函数f（x）的最小正周期是．10．方程2x+log4x＝17的解为．11．函数f（x）＝sin2x﹣cos2x，的值域是．12．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过2h，这些人的近视率约为60%，现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过2h的概率为．13．已知n∈N，n≥1，将数列{2n﹣1}与数列{n2﹣1}的公共项从小到大排列得到新数列{an}，则＝．14．已知函数f（x）＝2x+a，g（x）＝lnx﹣2x，如果对任意的，都有f（x1）≤g（x2）成立，则实数a的取值范围是．15．我们把形如和的两个双曲线叫做共轭双曲线．设共轭双曲线C1，C2的离心率分别为e1，e2，则的最大值是．16．如图，设点P为正四面体A﹣BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有个．三．解答题（共5小题）17．根据北京冬奥组委会与特许生产商的特许经营协议，从7月1日开始，包括冰墩墩公仔等在内的2022北京冬奥会各种特许商品将停止生产．现给出某零售店在某日（7月1日前）上午的两种颜色冰墩墩的销售数据统计表（假定每人限购一个冰墩墩）：蓝色粉色男顾客女顾客（1）若有99%的把握认为顾客购买的冰墩墩颜色与其性别有关，求a的最小值；（2）在（1）中a取得最小值的条件下，现从所有顾客中选出9人，记选到的人中女顾客人数为X，求X的分布及数学期望．附：P（χ2≥xα）0.050.0100.001xα3.8416.63510.82818．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，平面PAD⊥底面ABCD，其中AD∥BC，AD＝2BC＝4，AB＝3，，点E为PD中点．（1）证明：EC∥平面PAB；（2）求二面角P﹣AB﹣D的大小．19．已知函数y＝f（x），其中f（x）＝sinx．（1）求在x∈[0，π]上的解；（2）已知g（x）＝，若关于x的方g（x）﹣m＝在x∈[0，]时有解，求实数m的取值范围．20．如图，已知三点A、B、P都在椭圆上．（1）若点A、B、P都是椭圆的顶点，求△ABP的面积；（2）若直线AB的斜率为1，求弦AB中点M的轨迹方程；（3）若直线AB的斜率为2，设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，是否存在定点P，使得kPA+kPB＝0恒成立？若存在，求出所有满足条件的点P，若不存在，说明理由．21．已知函数y＝f（x）与y＝g（x）有相同的定义域D．若存在常数a（a∈R），使得对于任意的x1∈D，都存在x2∈D，满足f（x1）+g（x2）＝a，则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）关于a的“S函数”．（1）若f（x）＝lnx，g（x）＝ex，试判断函数y＝g（x）是否是y＝f（x）关于0的“S函数”，并说明理由；（2）若函数y＝f（x）与y＝g（x）均存在最大值与最小值，且函数y＝g（x）是y＝f（x）关于a的“S函数”，y＝f（x）又是y＝g（x）关于a的“S函数”，证明：[f（x）]min+[g（x）]max＝a；（3）已知f（x）＝|x﹣1|，，其定义域均为[0，t]．给定正实数t，若存在唯一的a，使得y＝g（x）是y＝f（x）关于a的“S函数”，求t的所有可能值．

2024年菁优高考数学终极押题密卷2（上海卷）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．设λ∈R，则“λ＝1”是“直线3x+（λ﹣1）y＝1与直线λx+（1﹣λ）y＝2平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件；直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．【答案】A【分析】根据直线一般式中平行满足的关系即可求解．【解答】解：若直线3x+（λ﹣1）y＝1与直线λx+（1﹣λ）y＝2平行，则3（1﹣λ）﹣λ（λ﹣1）＝0，解得λ＝1或λ＝﹣3，经检验λ＝1或λ＝﹣3时两直线平行，故“λ＝1”能得到“直线3x+（λ﹣1）y＝1与直线λx+（1﹣λ）y＝2平行”，但是“直线3x+（λ﹣1）y＝1与直线λx+（1﹣λ）y＝2平行”不能得到“λ＝1”．故选：A．【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．2．函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图像如图所示，则函数y＝f（x）的图像可能是（）A． B． C． D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的概念及应用；数学运算．【答案】D【分析】分析导函数的图像可判断函数的大致单调区间从而决定原函数的图像．【解答】解：由导函数图像可知原函数在（﹣∞，a）单调递减，（a，b）单调递增，（b，c）单调递减，（c，+∞）单调递增，其中a＜0＜b＜c，由图可知A，C选项f（x）先递增，故不满足题意，其中B选项，f（x）的增区间为（a，b），（c，+∞），且a＜b＜0＜c，故不满足题意，故选：D．【点评】本题主要考查了利用导函数图像判断原函数图像，属于基础题．3．若直线y＝kx+b是曲线f（x）＝ex﹣2与g（x）＝ex+2022﹣2022的公切线，则k＝（）A． B．1 C． D．2022【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；转化法；导数的概念及应用；数学运算．【答案】A【分析】设出公切线与两曲线的切点坐标，分别求出在切点处的切线方程，利用斜率相等及切线在y轴上的截距相等即可求解k值．【解答】解：设直线y＝kx+b与f（x）的图象相切于点P1（x1，y1），与g（x）的图象相切于点P2（x2，y2），又f′（x）＝ex﹣2，g′（x）＝ex+2022，且，．曲线y＝f（x）在点P1（x1，y1）处的切线方程为，曲线y＝g（x）在点P2（x2，y2）处的切线方程为．故，解得x1﹣x2＝2024，故k＝＝．故选：A．【点评】本题考查利用导数求切线方程，考查学生的运算能力，属于中档题．4．设函数f（x）＝（x﹣1）（ex﹣e），g（x）＝ex﹣ax﹣1，其中a∈R．若对∀x2∈[0，+∞），都∃x1∈R，使得不等式f（x1）≤g（x2）成立，则a的最大值为（）A．0 B． C．1 D．e【考点】利用导数研究函数的最值．【专题】分类讨论；转化思想；综合法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算．【答案】C【分析】先利用导数求出f（x）在R上的最小值，再解存在性问题去掉x1，接着再分类讨论，解关于x2的恒成立问题，从而得解．【解答】解：∵f（x）＝（x﹣1）（ex﹣e），x∈R，∴f′（x）＝xex﹣e，，又f′（1）＝0，又当x＞1时，ex＞e，∴xex＞e，∴xex﹣e＞0，∴f′（x）＞0，当0＜x＜1时，1＜ex＜e，∴0＜xex＜e，∴xex﹣e＜0，∴f′（x）＜0，当x≤0时，0＜ex≤1，∴xex≤0，∴xex﹣e＜0，∴f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（1）＝0，∵∀x2∈[0，+∞），都∃x1∈R，使得不等式f（x1）≤g（x2）成立，∴∀x2∈[0，+∞），f（x1）min≤g（x2）恒成立，∴∀x2∈[0，+∞），g（x2）≥0恒成立，即∀x∈[0，+∞），g（x）＝ex﹣ax﹣1≥0恒成立，又g′（x）＝ex﹣a，（x≥0），且g′（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g′（x）≥g′（0）＝1﹣a，①当1﹣a≥0，即a≤1时，g′（x）≥0，∴g（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g（x）最小值为g（0）＝0，∴a≤1时，g（x）≥0恒成立，②当1﹣a＜0时，即a＞1时，令g′（x）＝ex﹣a，＝0，得x＝lna，∴x∈（0，lna）时，g′（x）＜0；x∈（lna，+∞）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，而g（0）＝0，∴g（x）的最小值g（lna）＜0，∴∀x∈[0，+∞），g（x）＝ex﹣ax﹣1≥0不恒成立，∴a＞1不满足题意，综合①②可得a的范围为（﹣∞，1]，∴a的最大值为1．故选：C．【点评】本题考查存在性问题与恒成立问题，利用导数研究函数的单调性与最值，分类讨论思想，属中档题．二．填空题（共12小题）5．假如女儿的身高y（单位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的线性回归方程是，已知父亲身高为175cm，则估计女儿的身高为168cm．（结果精确到整数）【考点】线性回归方程．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．【答案】168．【分析】根据回归方程代入数据计算即得．【解答】解：因为女儿身高为y（单位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的经验回归方程是，所以当父亲的身高为175cm时，．故答案为：168．【点评】本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题．6．某产品长度合格的概率为，重量合格的概率为，长度、重量合格的概率为，任取一件产品，已知其重量合格，则它的长度也合格的概率为．【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】．【分析】根据题意结合条件概率运算求解．【解答】解：记“长度合格”为事件A，“重量合格”为事件B，由题意可得：，则，所以已知其重量合格，则它的长度也合格的概率为．故答案为：．【点评】本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．7．函数y＝ex﹣5x的单调增区间为（ln5，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性及单调区间．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】（ln5，+∞）．【分析】先对y＝ex﹣5x求导，再令导数大于0，从而求得函数y＝ex﹣5x的单调增区间．【解答】解：因为y＝ex﹣5x，所以y′＝（ex﹣5x）′＝ex﹣5，令y′＝ex﹣5＞0，解得x＞ln5，所以y＝ex﹣5x的单调增区间为（ln5，+∞）．故答案为：（ln5，+∞）．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．8．已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则f（﹣2）＝．【考点】幂函数的图象．【专题】待定系数法．【答案】见试题解答内容【分析】设出幂函数的解析式，由图象过（，8）确定出解析式，然后令x＝﹣2即可得到f（﹣2）的值．【解答】解：设f（x）＝xa，因为幂函数图象过，则有8＝，∴a＝﹣3，即f（x）＝x﹣3，∴f（﹣2）＝（﹣2）﹣3＝﹣故答案为：﹣【点评】考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式．会根据自变量的值求幂函数的函数值．9．已知函数，则函数f（x）的最小正周期是π．【考点】三角函数的周期性．【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．【答案】π．【分析】由题意利用二倍角公式以及两角和的正弦公式化简函数解析式可得f（x）＝2sin（2x+）+，进而利用正弦函数的周期性即可求解．【解答】解：因为＝sin2x+cos2x+＝2sin（2x+）+，所以函数f（x）的最小正周期T＝＝π．故答案为：π．【点评】本题考查了二倍角公式以及两角和的正弦公式的应用，考查了正弦函数的周期性，考查了函数思想，属于基础题．10．方程2x+log4x＝17的解为x＝4．【考点】对数的运算性质；函数的零点与方程根的关系．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】x＝4．【分析】设函数f（x）＝2x+log4x，x∈（0，+∞），由函数的单调性，结合特殊值，即可求得方程2x+log4x＝17的解．【解答】解：设函数f（x）＝2x+log4x，x∈（0，+∞），由于函数y＝2x，y＝log4x在x∈（0，+∞）上均为增函数，又f（4）＝24+log44＝16+1＝17，故方程2x+log4x＝17的解为x＝4．故答案为：x＝4．【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．11．函数f（x）＝sin2x﹣cos2x，的值域是．【考点】三角函数的最值．【专题】综合法；转化法；三角函数的求值；数学运算．【答案】．【分析】数f（x）＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，由，可得2x∈，利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：数f（x）＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∵，∴2x∈．∴cos2x∈．∴f（x）∈．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的单调性、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过2h，这些人的近视率约为60%，现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过2h的概率为．【考点】条件概率与独立事件．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．【答案】．【分析】利用条件概率的公式进行求解．【解答】解：从该校学生中任意调查一名学生他是近视记为事件A，且P（A）＝0.3，从该校学生中任意调查一名学生他每天玩手机超过2h记为事件B，且P（AB）＝0.6×0.4＝0.24，所以从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过2h的概率为：P（B|A）＝．故答案为：．【点评】本题考查条件概率公式，属于基础题．13．已知n∈N，n≥1，将数列{2n﹣1}与数列{n2﹣1}的公共项从小到大排列得到新数列{an}，则＝．【考点】数列的求和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算．【答案】．【分析】首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【解答】解：数列{2n﹣1}为正奇数列，对于数列{n2﹣1}，设n＝2k﹣1（n∈N+）时，n2﹣1＝（2k﹣1）2﹣1＝4k（k﹣1）为偶数，当n为偶数时，n＝2k（n∈N+），则n2﹣1＝4k2﹣1为奇数，故，所以，故＝．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法的求和，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．14．已知函数f（x）＝2x+a，g（x）＝lnx﹣2x，如果对任意的，都有f（x1）≤g（x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，ln2﹣8]．【考点】利用导数研究函数的最值．【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用．【答案】见试题解答内容【分析】求导函数，分别求出函数f（x）的最大值，g（x）的最小值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围．【解答】解：求导函数，可得g′（x）＝﹣2＝，x∈[，2]，g′（x）＜0，∴g（x）min＝g（2）＝ln2﹣4，∵f（x）＝2x+a，∴f（x）在[，2]上单调递增，∴f（x）max＝f（）＝4+a，∵对任意的，都有f（x1）≤g（x2）成立，∴4+a≤ln2﹣4，∴a≤ln2﹣8，故答案为：（﹣∞，ln2﹣8]．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，解题的关键是转化为f（x）max≤g（x）min．15．我们把形如和的两个双曲线叫做共轭双曲线．设共轭双曲线C1，C2的离心率分别为e1，e2，则的最大值是．【考点】双曲线的性质．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】．【分析】由a2+b2＝c2，设，然后由离心率公式和辅助角公式化简即可求解．【解答】解：由题知，共轭双曲线C1和C2的半焦距相等，记为c，则，所以，又a2+b2＝c2，故设，所以，当sin（θ+φ）＝1时，取得最大值．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及正弦函数的性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．16．如图，设点P为正四面体A﹣BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有10个．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算．【答案】10．【分析】根据分类计数原理求解即可．【解答】解：符合条件的点P有两类：一，六条棱的中点；二，四个面的中心；集合M中有且只有2个元素，符合条件的点P有4+6＝10个．故答案为：10．【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属基础题．三．解答题（共5小题）17．根据北京冬奥组委会与特许生产商的特许经营协议，从7月1日开始，包括冰墩墩公仔等在内的2022北京冬奥会各种特许商品将停止生产．现给出某零售店在某日（7月1日前）上午的两种颜色冰墩墩的销售数据统计表（假定每人限购一个冰墩墩）：蓝色粉色男顾客女顾客（1）若有99%的把握认为顾客购买的冰墩墩颜色与其性别有关，求a的最小值；（2）在（1）中a取得最小值的条件下，现从所有顾客中选出9人，记选到的人中女顾客人数为X，求X的分布及数学期望．附：P（χ2≥xα）0.050.0100.001xα3.8416.63510.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】（1）12；（2）分布列见解析，E（X）＝6．【分析】（1）根据独立性检验，计算卡方值，与临界值比较即可求解，（2）根据超几何分布即可求解分布列，以及用超几何的期望公式即可求解．【解答】解：（1）因为有99%的把握认为顾客购买的冰墩墩颜色与其性别有关，不妨给出零假设H0：顾客购买的冰墩墩颜色与其性别无关，且该假设成立概率小于等于0.010，且由表知P（K2≥6.635）＝0.010，则，即a≥9.9525，又，所以a的最小值为12；（2）由（1）知，a的最小值为12，此时女顾客一共有人，男顾客一共有人，又从所有顾客中选出9人，所以X的所有可能取值是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，所以X的分布列为，且X∼H（9，24，36），其中n＝9，M＝24，N＝36，所以．【点评】本题考查独立性检验原理的应用，超几何分布列的应用，属中档题．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，平面PAD⊥底面ABCD，其中AD∥BC，AD＝2BC＝4，AB＝3，，点E为PD中点．（1）证明：EC∥平面PAB；（2）求二面角P﹣AB﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行．【专题】数形结合；综合法；立体几何；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）证明过程见解答；（2）．【分析】（1）取PA中点F，连接EF，BF，由三角形中位线的性质可平行的传递性可证四边形BCEF为平行四边形，从而得到BF∥CE，再由线面平行的判定的定理即可证明；（2）取AD中点O，过O作OM⊥AB，由三垂线定理的逆定理可证PM⊥AB，由二面角的定义可得∠PMO为二面角P﹣AB﹣D所成的平面角，求出∠PMO即可．【解答】（1）取PA中点F，连接EF，BF，因为E为PD中点，所以EF∥AD，EF＝，因为AD∥BC，AD＝2BC＝4，所以EF∥BC，EF＝BC，所以四边形BCEF为平行四边形，所以BF∥CE，又因为CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，所以EC∥平面PAB；（2）取AD中点O，过O作OM⊥AB，连接PM，因为PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，PO⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD，所以OM为PM在平面ABCD的投影，因为OM⊥AB，所以由三垂线定理的逆定理可得：PM⊥AB，所以∠PMO为二面角P﹣AB﹣D所成的平面角，在Rt△PAO中，，因为底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AD＝2BC＝4，AB＝3，所以，所以，所以，所以，所以，所以二面角P﹣AB﹣D的大小为．【点评】本题考查线面平行的证明和二面角的求法，属于中档题．19．已知函数y＝f（x），其中f（x）＝sinx．（1）求在x∈[0，π]上的解；（2）已知g（x）＝，若关于x的方g（x）﹣m＝在x∈[0，]时有解，求实数m的取值范围．【考点】函数的零点与方程根的关系；正弦函数的图象．【专题】方程思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．【答案】（1），；（2）[﹣，1]．【分析】（1）由特殊角的正弦函数值，可得所求解；（2）运用二倍角的三角函数公式和辅助角公式，结合正弦函数的图象可得所求取值范围．【解答】解：（1）f（x﹣）＝sin（x﹣）＝，可得x＝2kπ++，或2kπ++，即x＝2kπ+，或2kπ+，k∈Z，则在x∈[0，π]上的解为，；（2）g（x）＝sinxsin（x+）﹣sinxsin（x+π）＝sinxcosx+sin2x＝sin2x+＝sin（2x﹣）+，关于x的方程g（x）﹣m＝，即m＝sin（2x﹣）在x∈[0，]时有解．由x∈[0，]，可得2x﹣∈[﹣，]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]，所以，m的取值范围是[﹣，1]．【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，以及方程的根的个数，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20．如图，已知三点A、B、P都在椭圆上．（1）若点A、B、P都是椭圆的顶点，求△ABP的面积；（2）若直线AB的斜率为1，求弦AB中点M的轨迹方程；（3）若直线AB的斜率为2，设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，是否存在定点P，使得kPA+kPB＝0恒成立？若存在，求出所有满足条件的点P，若不存在，说明理由．【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的性质．【专题】转化思想；定义法；参数法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）2；（2）y＝﹣x，x∈（﹣，）；（3）存在点P（，）或P（﹣，﹣），使得kPA+kPB＝0恒成立．【分析】（1）根据点A、B、P都是椭圆+＝1的顶点，计算△ABP的面积即可；（2）设A（x1，y1），B（x2，y1），直线AB的方程为y＝x+m，与椭圆方程联立，消去y，利用根与系数的关系得出x1+x2，根据AB中点坐标公式，求解即可；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），根据kPA+kPB＝0，得出+＝0，用（x﹣x0）与（y﹣y0）表示直线AB与椭圆的方程，求解即可得出x0和y0的值，从而求出点P的坐标．【解答】解：（1）因为点A、B、P都是椭圆+＝1的顶点，所以△ABP的面积为S＝×2a×b＝ab＝2；（2）设A（x1，y1），B（x2，y1），因为直线AB的斜率为1，所以设直线AB的方程为y＝x+m，由，消去y，整理得3x2+4mx+2m2﹣4＝0，由根与系数的关系知，x1+x2＝﹣，x1x2＝，设弦AB中点M（x，y），则x＝＝﹣，y＝＝＝＝，消去m，得y＝﹣x，由Δ＝16m2﹣4×3×（2m2﹣4）＝﹣8m2+48＞0，解得﹣＜m＜，所以x＝﹣∈（﹣，），所以点M的轨迹方程为y＝﹣x，x∈（﹣，）；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），则kPA+kPB＝+＝0，因为直线AB的斜率为2，设直线AB的方程为2（x﹣x0）﹣（y﹣y0）＝1，其中kAB＝2，且AB不过（x0，y0），椭圆的方程可化为x2+2y2﹣4＝0，即+2﹣4＝0，所以+2x0（x﹣x0）++2+4y0（y﹣y0）+2﹣4＝0，即+2x0（x﹣x0）+2+4y0（y﹣y0）＝0，所以+2+2x0（x﹣x0）[2（x﹣x0）﹣（y﹣y0）]+4y0（y﹣y0）[2（x﹣x0）﹣（y﹣y0）]＝0，所以（4x0+1）+（2﹣4y0）+（8y0﹣2x0）（x﹣x0）（y﹣y0）＝0，所以（2﹣4y0）+（8y0﹣2x0）+4x0+1＝0，kPA+kPB＝﹣＝0，解得x0＝4y0，代入+＝1，解得y0＝±，所以x0＝±，所以存在点P（，）或P（﹣，﹣），使得kPA+kPB＝0恒成立．【点评】本题考查了直线与椭圆的方程应用问题，也考查了运算求解能力，是难题．21．已知函数y＝f（x）与y＝g（x）有相同的定义域D．若存在常数a（a∈R），使得对于任意的x1∈D，都存在x2∈D，满足f（x1）+g（x2）＝a，则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）关于a的“S函数”．（1）若f（x）＝lnx，g（x）＝ex，试判断函数y＝g（x）是否是y＝f（x）关于0的“S函数”，并说明理由；（2）若函数y＝f（x）与y＝g（x）均存在最大值与最小值，且函数y＝g（x）是y＝f（x）关于a的“S函数”，y＝f（x）又是y＝g（x）关于a的“S函数”，证明：[f（x）]min+[g（x）]max＝a；（3）已知f（x）＝|x﹣1|，，其定义域均为[0，t]．给定正实数t，若存在唯一的a，使得y＝g（x）是y＝f（x）关于a的“S函数”，求t的所有可能值．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】（1）否，理由见解答．（2）证明见解答．（3）1或．【分析】（1）根据y＝f（x）关于0的“S函数”定义可得结果．（2）分别求出最大值和最小值再证明结论即可．（3）分别讨论t的范围可得t的所有可能值．【解答】解：（1）y＝g（x）不是y＝f（x）关于0的“S函数”．当x1＞1时，，所以不存在x2，使得f（x1）+g（x2）＝0，（2）证明：设f（x1）＝[f（x）]min，由题意，存在x1∈D，使得f（x1）＝[f（x）]min，因为函数y＝g（x）是y＝f（x）关于a的“S函数”，所以存在x2∈D，满足[f（x）]min+g（x2）＝a，从而[f（x）]min+[g（x）]max≥[f（x）]min+g（x2）＝a，同理，由y＝f（x）是y＝g（x）关于a的“S函数”，可得[g（x）]max+[f（x）]min≤a，综上，[f（x）]min+[g（x）]max＝a．（3）记集合A＝{y|y＝f（x），x∈[0，t]}，B＝{y|y＝a﹣g（x），x∈[0，t]}，由y＝g（x）是y＝f（x）关于a的“S函数”，得A⊆B，①当0＜t＜1时，A＝[1﹣t，1]，，从而，解得，因a唯一，令，解得t＝0（舍）或t＝1（舍）．②当1≤t≤2时，A＝[0，1]，，从而，解得，因a唯一，令，解得t＝1，符合题意．③当t＞2时，A＝[0，t﹣1]，，从而，得，因a唯一，令，解得，符合题意，综上，t的所有可能值为1或．【点评】本题主要考查函数的最值和函数的应用，属于中档题．

考点卡片1．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．函数的单调性及单调区间【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①⇔f（x）在[a，b]上是增函数；⇔f（x）在[a，b]上是减函数．②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．【命题方向】函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．3．函数的最值及其几何意义【知识点的认识】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．【解题方法点拨】①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．【命题方向】本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．4．幂函数的图象【知识点的认识】5．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．loga（MN）＝logaM+logaN；loga＝logaM﹣logaN；logaMn＝nlogaM；loga＝logaM．6．三角函数的周期性【知识点的认识】周期性①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．【解题方法点拨】1．一点提醒求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误．2．两类点y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．3．求周期的三种方法①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．③利用图象．图象重复的x的长度．7．正弦函数的图象【知识点的认识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）；递减区间：（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）递增区间：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；递减区间：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）递增区间：（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）时，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+，k∈Z对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（，0）（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ8．三角函数的最值【知识点的认识】三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．【解题方法点拨】例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝+cos（2x+）．解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝﹣+2•＝+（cos2x﹣sin2x）＝+cos（2x+）．故答案为：+cos（2x+）．这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是．解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t＝∴当t＝时函数有最小值，而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．【命题方向】求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．9．函数的零点与方程根的关系【知识点的认识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．【解题方法点拨】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．【命题方向】直接考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．10．数列的求和【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）．（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【解题方法点拨】典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：＝＝．解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn＝＝n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn＝＝＝＝，∴Tn＝＝＝，即数列{bn}的前n项和Tn＝．点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【命题方向】数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．11．利用导数研究函数的单调性【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴12．利用导数研究函数的最值【知识点的认识】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．13．利用导数研究曲线上某点切线方程【知识点的认识】利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．【解题方法点拨】例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．14．直线与平面平行【知识点的认识】1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．1、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．2、直线和平面平行的性质定理的实质是：已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．15．二面角的平面角及求法【知识点的认识】1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．3、二面角的平面角求法：（1）定义；（2）三垂线定理及其逆定理；①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；（4）平移或延长（展）线（面）法；（5）射影公式；（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，此时cosθ＝cos＜，＞＝．（2）当＜＜，＞＜π时，θ＝π﹣＜，＞，cosθ＝﹣cos＜，＞＝﹣．16．直线的一般式方程与直线的平行关系【知识点的认识】1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．17．椭圆的性质【知识点的认识】1．椭圆的范围2．椭圆的对称性3．椭圆的顶点顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4．椭圆的离心率①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．18．直线与椭圆的综合【知识点的认识】直线与椭圆的位置判断：将直线方程与椭圆方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：直线与椭圆相交⇔Δ＞0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ＜0；【解题方法点拨】（1）直线与椭圆位置关系的判断方法①联立方程，借助一元二次方程的判别式来判断；②借助直线和椭圆的几何性质来判断．根据直线系方程抓住直线恒过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，也是解决此类问题的难点所在．（2）弦长的求法设直线与椭圆的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝＝（k为直线斜率）注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．（3）中点弦、弦中点常见问题①过定点被定点平分的弦所在直线的方程；②平行弦中点的轨迹；③过定点的弦的中点的轨迹．解决有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”，这两种方法的前提都必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点．（4）椭圆切线问题①直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点；②过椭圆外一点可以作两条直线与椭圆相切；③过椭圆上一点只能作一条切线．（5）最值与范围问题的解决思路①构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解；②构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解．在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等可利用条件．【命题方向】1．由已知条件求椭圆的方程或离心率；2．由已知条件求直线的方程；3．中点弦或弦的中点问题；4．弦长问题；5．与向量结合求参变量的取值．19．双曲线的性质【知识点的认识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）图形性质焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e＝（e＞1）准线x＝±y＝±渐近线±＝0±＝020．互斥事件的概率加法公式【知识点的认识】互斥事件的概率加法公式：在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A与B互斥．推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）21．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【知识点的认识】1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．2．相互独立事件同时发生的概率公式：将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率为：P（A•B）＝P（A）•P（B）推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：P（A1•A2…An）＝P（A1）•P（A2）…P（An）3．区分互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．22．条件概率与独立事件【知识点的认识】1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示．（2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）．（3）条件概率的求法：①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（AB），得P（B|A）＝，其中P（A）＞0；②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A）＝【解题方法点拨】典例1：利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是．解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6＝36，即（a，b）的情况有36种，事件“a+b为偶数”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，“在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个，故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P＝＝故答案为：典例2：甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．分析：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A）＝，能求出结果．解答：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，P（ξ＝1）＝（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）（1﹣）×＝，P（ξ＝2）＝++＝，P（ξ＝3）＝＝，∴随机变量ξ的分布列为：ξ0123P数学期望E（ξ）＝0×+1×+2×+3×＝．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，则P（A）＝++＝，P（AB）＝＝，P（B|A）＝＝＝．23．离散型随机变量及其分布列【知识点的认识】1、相关概念；（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．2、离散型随机变量（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．（2）离散型