2024年高考模拟数学试卷06（新高考Ⅰ卷专用）（解析版）

备战2024年高考数学模拟卷06（新高考I卷专用）

第I卷（选择题）

一、单项选择题

1.设集合A={df+3%_10<0},5={尤I—3〈九<3},则AB=（）

A.{x|-3<x<2}B.{x|-5<x<2}

C.{x|—3<x<3}D.{x|-5<x<3}

K答案』A

K解析X因为A={x|X2+3X-10<0}={X|-5<X<2},

所以Ac3={x|-3<%<2}.

故选：A.

2.若i（l—可=3,则|z—可=（）

A.6iB.-6iC.2D.6

K答案1D

3

K解析』由题设可得1—彳=±=—3i,贝丘=l+3i,则z=l—3i,

i

故z-5=-6i,i^\z-z\=6,

故选：D

3.如图，在四边形ABC。中，DC=2AB,BE=2EC,设DC=a，D4=b，则。E等于（）

517217

A.—ciH—bB.—a+—b

6232

c2r1f

C.-ciH—bD.—a+—b

6333

K答案】c

k解析I因为。C=2AB,BE=2EC,

所以OE=QC+C2=r>C+§C8=OC+§(OB_OC)=OC+§(m+A8-OC)

21121151

^-DC+-DA+-AB^-DC+-DA+-DC=-a+-b.

33333663

故选：C

4.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形

攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑.

下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知正四棱锥

的底面边长为3亚米，侧棱长为5米，则其体积为()立方米.

A.24A/2B.24C.7272D.72

［答案工B

K解析工如图所示，在正四棱锥尸-ABCD中，连接AC8。于。，则。为正方形ABCD的

中心，

连接。尸，则底面边长42=3夜，对角线2£>=0AB=6，BO=^BD=3.

又BP=5，故高OP=1B产-BO,=4.

故该正四棱锥体积为V=；X(30『X4=24.

P

5.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每

个大于2的偶数可以表示为两个素数的和“，如20=3+17.在不超过15的素数(素数是指在

大于1的自然数中，除了1和自身外没有其他因数的自然数)中，随机选取两个不同的数,

其和等于16的概率是（）

141

A.——B.——D.——

101511

[[答案』C

K解析X不超过15的素数有2,3,5,7,11,13,随机取两个不同取法有C：=15种,

其中和等于16的情况有3,13或5,11两种情况,

2

所以随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是百.

故选：C

cos]x+年]图象上所有点的横坐标变为原来的工13>0）,纵坐标不变，所

6.将函数/(x)=

co

Jr71

得图象在区间O.y上恰有两个零点，且在---上单调递减，则。的取值范围为（）

A.

（答案』C

K解析X依题意可得y=cos（0x+/J,

因为OWxwgit,所以5+42九

兀H---,

3

因为y=cos"+]恰有2个零点，且cos（5+勺兀

在。4=0,左1£Z,

兀，2。2兀7兀1117

所以万4与-兀+?-＜万，解得

_.27r..7T2兀2k、7L7L7

A2&兀Vcox-\---4兀+2女2兀f左2£Z,---------1-----Wx4----1-----,左2£Z,

33a)03(o①

令归2=0,=cosf+2冗7T

在—上单调递减,

3。3a）

1Lit兀7T2兀71

所以一卫'五u

3。'3。，

2兀71

巴又0>°,解得°<皿4.

所以

、3G12

少11。<故。的取值范围是卜.

综上所述,

4

故选：C.

7.已知°，6=阡）‘'=审‘则"'一。的大小关系为（）

A.a<c<bB.b<a<cC.b<c<aD.a<b<c

K答案』D

0,则ln/(x)=xln[l+：],x>0

令〃x)=l+：>x>

令g(%)=xln|l+,

,x>0,

/(x)=ln[l+g1=lnl+g1

则1+九，

1H—

X

•X

令"(%)=In(1+1)----,x>0,

]]x

则"⑺=下一中=际>°在（0,+"）上恒成立，

Y

故〃（x）=ln（l+x）-在（0,+e）上单调递增，

又为⑼=0,故Mx）=ln（l+x）-W>0在（0,+8）上恒成立,

将/z(x)=ln(l+x)-忘>0中无换为g可得，ln[+£|--^->0,

X

即-占

>0,故g'（x）>0在（0,+8）上恒成立,

所以g（x）=xln[+：]在（0,+巧上单调递增,

由复合函数单调性可知=11+口在（0,+"）上单调递增,

故[1+£|<!?+，）<"三，即”"（以

故选：D

8.己知等腰直角中，/C为直角，边AC=«,P,Q分别为AC,43上的动点（尸

与C不重合），将△针◊沿PQ折起，使点A到达点A的位置，且平面APQI平面BCPQ若

点A,B,C,P,。均在球。的球面上，则球。表面积的最小值为（）

C8&兀

A.8TTB.4K

,3

K答案》A

k解析X显然「不与A重合，由点A',B,C,P,。均在球。的球面上，得B,C,P,Q

共圆，则NC+/PQ8=TI,

又.ABC为等腰直角三角形，A8为斜边，即有尸Q2A8,

将aAP。翻折后，PQIA'Q,PQ^BQ,又平面A'P。1平面8cP。,

平面APQ1平面3CPQ=PQ

A'Qu平面APQ,8。匚平面8。尸。，于是AQ,平面BCP。，BQ,平面APQ,

显然AP,BP的中点。，£分别为APQ,四边形8CPQ外接圆圆心，

则。O,平面APQ,石0，平面36。，因此。。〃5。，EOHAQ,

取PQ的中点E连接OEFE则有跖〃8。〃。。，DF//A'Q//EO,

四边形EEDO为矩形，设A'Q=x且0＜尤＜2石，D0=EF=LBQ=26F,4尸=缶,

22

设球0的半径R,^R2=DO2+（^]=-X2-V3X+3=-fx--+2,

I2J4413J

当关=拽时，（R、=2,所以球。表面积的最小值为河的.=8K.故选：A.

3\/min\/min

二、多项选择题

9.如图，正方体ABCD-ABQiA的棱长为1,则下列四个命题正确的是（）

A.正方体ABC。-4月60的内切球的半径为正

2

B.两条异面直线2c和BG所成的角为m

C.直线8c与平面ABGR所成的角等于;

D.点。到面ACR的距离为自

2

（答案1BC

K解析》对于A中，正方体ABCD-ABCQ的内切球的半径即为正方体ABCD-A与CQ

的棱长的一半，所以内切球的半径R=g,所以A错误.

对于B中，如图所示，连接AC,CR,

因为AB//G，且AB=G2,则四边形ABC，为平行四边形，所以BC|〃A2,

所以异面直线2c和BG所成的角的大小即为直线2c和AR所成的角NA^C的大小,

又因为4c=A〃=〃C=0,则△ACA为正三角形，即NARC=。，所以B正确；

对于C中，如图所示，连接与C,在正方形B瓦CC中，BCX1BtC.

因为平面BBCC，BQu平面BBCC，所以A3,左C.

又因为ABIBG=B,ABu平面42cQ,gQu平面ABCQ,

所以4C，平面ABGR,所以直线5c与平面ABCQ所成的角为=：IT，

所以C正确;

对于D中，如图所示，设点。到面AC，的距离为力，因为△4CR为正三角形，

所以Sv4g=JxACxARsin5=*，

又因为SVACD=5xADxCZ）=5,根据等体积转换可知：勿-ACD[=%[-ACD,

即L/ZXSASJxnqxSAC。，gplx/ix^=-xlxl,解得/，=",所以D错误.

故选：BC.

10.已知函数/0）=3尤3-彳2+尤，贝。（）

A./（X）为奇函数B.x=l不是函数〃x）的极值点

C.八尤）在[-1,+s）上单调递增D.7（x）存在两个零点

k答案》BC

11

[解析》函数尤3-元2+X的定义域为R,又/（一尤）=一§尤3一/一X,

-/（x）=-jX3+X1-x,

贝U/（—X）H—/（x）,所以/⑺不是奇函数，故选项A错误；

因为/'（X）=f-2x+l=（尤-1）2N0,所以/（X）在R上单调递增，所以函数/（X）不存在极值点,

故选项B与C正确；

因为/6=g-l+l>0，/（-1）=-1-1+1<0,又/（x）在R上单调递增，且八0）=0,

所以/⑴仅有一个零点0,故选项D错误.

故选：BC

11.已知抛物线C：V=6x的焦点为尸，过点厂的直线交C于M,N两个不同点，则下列结

论正确的是（）

A.|肱V|的最小值是6B.若点尸怎,2；则阿司+|MP|的最小值是4

c.西+自=3D.若|MF|jNF|=18,则直线祢V的斜率为±1

K答案XABD

工解析X对A,设A/a.yJN（无2，%）,（%,%＞。），

因为这些MN倾斜角不为0,

3

则设直线的方程为x=0+：,联立抛物线得V-63-9=0,

则M+%=6左,*%=-9,

3k99

所以.•.占+%三儿(％+丫2)+3=6左2+3,%%=/%%+万(％+%)+1=.,

则|削|=七+%+3=6/+626（当且仅当左=0时等号成立），A正确;

对B,如图抛物线准线，|MR|+|MP|=|M4|+|MP|要使其最小,

即A三点共线时取得最小值，

53

^\MF\+\MP\=\MA\+\MP\=\PA\=-+-=4,B正确；

]1|NP|+|MP|占+%+3_2

对c,由可而卡布一下而「西一Ulj二一§，c错误;

93993

=-+-(6V+3)+^=-+-(6fc2+3)=18,解得左=±1,D正确

故选：ABD.

12.已知函数/⑶及其导函数/（X）的定义域均为R,记g（x）=7'（x）.若-2x],g（2+x）

均为偶函数，则()

A./(-D=/(4)B.g,J=°

C.f(O)=lD.g(T)=-g(2)

(答案》ABD

3

[祥解加题意分析得到f(x)关于直线尤后对称，函数g(x)关于直线无=2对称及周期为2,

逐项求解即可.

k解析》因为/(万3一2尤)为偶函数，所以/(；4-2x)=f(；4+2x),所以/04一刈=/02+幻，

所以/(X)关于直线X3对称，令尤=；5得代3-2x》5=/(13+2x5•，即/'(-1)=/(4),故A正

242424

确;

因为/g-x)=/g+x),所以尸g+x

所以g(2+x)=-g(l-x),因为g(2+x)为偶函数，所以g(2+x)=g(2-x),

所以g(2-x)=-g(l-x),即g(x+l)=-g(x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(_x),

则g(X)的一个周期为2.因为/(X)关于直线X=]对称，所以X=弓是函数/(%)的一个极值点,

所以g[T]=尸[3]=0,所以g(_；]=g[3]=0,故B正确；

因为g(x+l)=-g(x),所以g(2)=g(O)=-g(-l),所以g(-l)=-g(2),故D正确；

设Mx)=〃x)+c(C为常数)，定义域为R,贝IJ〃(%)=—(x)=g(x),h^+x^=f^+x^+c,

d泊"(泊+*又呜++呜T，则《DO

显然，7(同=，(耳+。也满足题设，即/(X)上下平移均满足题设，显然/(o)的值不确定，故

C错误.

故选：ABD

第II卷(非选择题)

三、填空题

13.1x+j](2x+5)展开式中含V项的系数是.

K答案H120

K解析X[x+2）（2x+5）=++5^JT+—,

因为5(X+£|的展开式的通项公式为小=5・鼠=5.&"・产2，，不可能出现含

Y的项，

所以展开式中含/的项为2x-C〉/1£［2=120x3,即含V项的系数是120.

故［答案X为：120.

14.写出与圆(尤-1)2+仃-2)2=1和圆(工+1)2+5+2)2=1都相切的一条直线的方程.

［答案X尤=0或4y-3x=0或2x-y土&'=0(［答案］不唯一)

k解析》由题设知，圆(尤-l)2+(y-2)2=l的圆心为/(1,2),半径为11,

圆(X+河+(y+2)2=1的圆心为N(—l,—2),半径为r2=l,

所以|"M=J(2+2)2+(1+1)2=2如＞苒+内=2,即两圆外离，故共有4条公切线；

又易知M,N关于原点对称，且两圆半径相等，则有过原点的两条公切线和与MN平行的两

条公切线.

|2r-l|4

设过原点的公切线为X=9,则74=1，即3产-4r=0,解得f=0或彳，

A/1+r3

所以公切线为x=0或4y-3%=0；

设与MN平行的公切线为y=2x+b,且“，N与公切线距离都为1,

,\b\「

则-/=1,即b=±A/5，

所以公切线为2x-y土石=0.

故K答案X为：1=0或4y-3%=0或2%-y土石=0

14

15.若函数〃*=5/+4"与g(x)=5/lnx_e56，°＞。有公共点，且在公共点处的切线

方程相同，贝U6的最小值为.

诺知-(

(解析》/'(x)=x+4a,g'(x)=斗.

设曲线y=/(x)与y=g(x)(x>0)的公共点为(1,%)，两者在公共点处的切线方程相同，

5。2、

2

因此尤o+4“=---,BPXQ+4tzx0—5a=0,解得/。或—5〃.

%

因为a>0,%>0,所以舍去尤o=-5a.

1--959

又一算+4。％=5。21nxe-e5b,即e5Z?=5(22lntz——a2=-a2\na2——a2.

2222

595

令函数=万〃皿一J,贝lJ/z'，)=51n/—2.

令”(。<。，解得o<"£，令"")>°，解得C

(4><4\

所以在0,”上单调递减，在”,+8上单调递增，

I)k)

(5--S-5

则M九)2/e5=--e5,即e演-",解得武―工

<7222

则8的最小值为-"故K答案》为：

22

22

16.已知椭圆C:土+匕=1,月、居分别是其左，右焦点，尸为椭圆C上非长轴端点的任

1612

意一点，。是X轴上一点，使得尸。平分/耳尸外.过点。作尸耳、尸尸2的垂线，垂足分别为A、

84触幺+冷竺良的最小值是_________.

、APFi%、丛DAB

[答案xW521

由椭圆的性质可知，点P位于短轴的端点时，/耳尸耳最大，由。=4]=2相可知/耳尸耳最

大值为全

设/耳尸居=2。0<"己，因为尸。平分4尸鸟，所以八4=可，设DA=DB=m,

已知椭圆C：L+^=1,所以。=40=2百,。=2.

1612

从而Sp%tang=12tang,

SPg=^m-\PFt\+^m-\PF2\=^m(\PFl\+\PF2\)=ma=4m,

所以12tan9=4加，解得机=3tan8.

S=—m2sinZADB=—m2sin(7i-2。)=—m2sin20=9tan20sin9cos0='‘二0

DAB222cos0

9sin3/9

所以COS。_3j2A，

SPFF12tan6^4

q

25p”3028

所以+—^=-sin^+

G43sin20

,PFXF2

因为0<64,，所以sinee］。，:

6I2

设sin?”/jo,；,

所以守叱十个旦

上单调递减,

3,PFXF23DAB

所以+至q=3X1+8X4=521

卜噂S」44348-

故(答案》为：展521

48

四、解答题

17.已知公差不为零的等差数列｛%｝的前〃项和为工,2=3,且％,%，%成等比数列.

⑴求｛%｝的通项公式；

(2)若勿=右———,数列也的前“项和为T,,证明：北<=.

八"一4+14

(1)解：设｛《｝的公差为1(dw。)，因为%吗，。7成等比数列，所以

即(弓+2dy=q(q+6d),因为dwO,所以q=2d,

又〃2=3,所以％+d=2d+d=3,

所以d=l,G=2,

所以%=4+(〃-1”=2+〃-1=〃+1.

⑵证明：由⑴得，S”丁二?

所以2=”1L二1J.11

2s“一4+1“〃+2)n+2)

1

4Q-n+2

11111111Vlf311)

1------1-----------1----------F

232435nn+2)2(2〃+1n+2)

3

又7>°,->0，所以

〃+1n+2

18.在.ABC中，内角A,8,C所对的边分别为〃也c,满足人=。-2Z?cosC

(1)求证：C=2B：

⑵若“1BC为锐角三角形，求2sinC+cos5-sinB的最大值.

(1)证明：由题b=a-2〃cosc,

由正弦定理：sinB=sinA-2sinBcosC=sin(B+C)-2sinBcosC,

所以sin3=sinBcosC+cosBsinC—2sinBcosC,

整理sinB=sinCcosB-cosCsinB,

所以sin8=sin(C-B),

:.B=C-B^B+C-B=TI(舍),

:.C=2B.

(2)解：ABC为锐角三角形，

71

0<7i-3B<-

2

cn兀ATJ/F37171LLt、lc兀n兀

/.<0<B<—，斛得：，所以0<二-5<二，

264412

71

0<2B<-

[2

口.71.(71兀、.717171.7176-72

_asin—=sin----=sin—cos——cos—sin—=--------

12(34j34344

由(1)问，C=2B,2sinC+cosB-sinB=2sin2B+cosB-sinB,

令/=cosB-sinB=0sin71

则sin25=1-（cosB-sin

|217

所以2sinC+cosB—sinB=2（l—〃）+f=—2〃+f+2=_21_：I+y,

因为，£0,

117

当，=:时，所求2sinC+cos5-sinB的最大值为一.

48

19.如图，在三棱柱ABC-AgC中，AC=2,ABf，E,尸分别为A〈，B瓦的中点,

且EFJ_平面⑨GC,

⑴求棱3c的长度：

(2)若2片，A与，且△A^C的面积s=6,求平面44尸与平面A/C的夹角的余弦值.

解：(1)取AC的中点。，连接BREO,

在三棱柱ABC-aqq中，可得。E//AA//84，S.DE=^AAl=BF=^BBl,

四边形DEEB为平行四边形，贝UE尸〃£>3,

又EF_L平面A4.GC,平面AAGC,

：ACu平面MGC,

:.DB±AC,

又。为AC的中点，

ABC为等腰三角形，

•/AC=2,AB=也,则BC=A8=A/L

（2）由（1）知，AB2+BC2=AC2,：.ABIBC,EF=BD^I,

ACu平面A41GC,所以

故544=：4。・£/=石=4。=2如，

由（1）知，D3_L平面441GC,Mu平面MGC,

则DBIA^,

又三棱柱中A4,/,；.OB，2耳

又ABJBB-：.ABIBB,,

:又ABcDB=B,AB、OBu平面ABC,

BB[1平面ABC,

二.三棱柱ABC-A4G为直三棱柱，

.•.△44.C为直角三角形，可得A&=4,

又在三棱柱ABC-ABC1中，AB1BC,,A4，瓦G,

以为为坐标原点，B£,与A，片8所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则用（0,0,0）,A（。,行,,G（后，。，。），C（血,0,4）,3（0,0,4）,*0,0,2）,

4F=（0,-72,2）,AC=（后，一行,4）,

设平面A尸C的一个法向量为〃=（无y,z）

n•\F=~y/2y+2z=0

则令z=l,则y=应,x——"x/z，

n-\C=A/2X-^2）；+4z=0

■­•平面\FC的一个法向量为n=卜0,0,1）,

易得平面瓦AF的一个法向量为〃?=(1,0,0)

设平面BtAtF与平面AFC的夹角为o,

\m-n\_s/2

3=研r耳IF,

平面B^F与平面\FC的夹角的余弦值为叵.

5

20.为了解学生中午的用餐方式(在食堂就餐或点外卖)与最近食堂间的距离的关系，某大

学于某日中午随机调查了2000名学生，获得了如下频率分布表(不完整)：

学生与最近食堂间的合

(0,200](200,400](400,600](600,800](800,+oo)

距离d(m)计

在食堂就餐0.150.100.000.50

点外卖0.200.000.50

合计0.200.150.001.00

并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为370m(同一组数据以该组数

据所在区间的中点值作为代表).

(1)补全频率分布表，并根据小概率值(z=0.0001的独立性检验，能否认为学生中午的用餐方

式与学生距最近食堂的远近有关(当学生与最近食堂间的距离不超过400m时，认为较近,

否则认为较远)：

(2)已知该校李明同学的附近有两家学生食堂甲和乙，且他每天中午都选择食堂甲或乙就餐.

(i)一般情况下，学生更愿意去饭菜更美味的食堂就餐.某日中午，李明准备去食堂就餐.

此时，记他选择去甲食堂就餐为事件A,他认为甲食堂的饭菜比乙食堂的美味为事件

且0、A均为随机事件，证明：P(B|A)＞P(D|A):

(ii)为迎接为期7天的校庆，甲食堂推出了如下两种优惠活动方案，顾客可任选其一.

①传统型优惠方案：校庆期间，顾客任意一天中午去甲食堂就餐均可获得。元优惠；

②“饥饿型”优惠方案：校庆期间，对于顾客去甲食堂就餐的若干天(不必连续)中午，第一

天中午不优惠(即“饥饿”一天)，第二天中午获得纪元优惠，以后每天中午均获得6元优惠

(其中6为己知数且6＞。＞0).

校庆期间，已知李明每天中午去甲食堂就餐的概率均为〃(O<P<1),且是否去甲食堂就餐

相互独立.又知李明是一名“激进型”消费者，如果两种方案获得的优惠期望不一样，他倾向

于选择能获得优惠期望更大的方案，如果两种方案获得的优惠期望一样，他倾向于选择获得

的优惠更分散的方案.请你据此帮他作出选择，并说明理由.

2n(ad-bc)-

附:,(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'其中n-a+b+c+d.

a0.100.0100.001

Xa2.7066.63510.828

解：(1)设de(200,400]组的频率为t,则d€(400,600]组的频率为1—0.20-0.15-/=0.65—/,

估计学生与最近食堂间的平均距离

d=100x0.20+300r+500(0.65-f)+700x0.15=450-200/=370,解得r=0.40,

故可补全频率分布表如下:

学生与最近食堂间的合

(0,200](200,400](400,600](600,800](800,+oo)

距离d(m)计

在食堂就餐0.150.200.100.050.000.50

点外卖0.050.200.150.100.000.50

合计0.200.400.250.150.001.00

据此结合样本容量为2000可列出2x2列联表如下:

学生距最近食堂较近学生距最近食较堂远合计

在食堂就餐7003001000

点外卖5005001000

合计12008002000

零假设:学生中午的用餐情况与学生距最近食堂的远近无关.

注意到尤2一20°°X(70°X5°°-3°°X50°)2_500

1000X1000X1200X80060001

据小概率值a=0.001的独立性检验，推断“°不成立,

即可以认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关.

（2）Ci）证法一：由题意得尸（A|O）＞P（Z［r（）,P（A|D）＞P（A|5）,

结合尸(司£>)+尸(⑷£>)=尸同方)+P(A忸)=1,P(A|D)>0.5>P(A|D).

P（AD）AD）PPAD

结合条件概率公式知v2＞=(A}-(L\,即P(AD)>P(A)P(D).

*0P（D）1一产⑵

,、(PADPAO

P(D\A\-P(D\A\=\/--

I/I'PAPA

P（AD）［1-P（A）］-［P（D）-P（AD）］P（A）_P（AD）-P（A）P（£＞）

P（A）［1-P（A）］P（A）［1-P（A）］

即尸（£＞|A）＞尸（£＞|九）成立,

证法二：由题意得尸（Al。）＞尸（4I。）,P（A|D）＞P（A|D）,

所以?P（AZ））＞P（AD）,同理尸（而）＞尸（4功,

尸（0尸（D）

于是P（AZ））P（I5）＞P（A£＞）P（AD）,

,、(一、P(AD)P[AD)

故P⑷一"

P(A£))^P(A£))+P(A5^-P(Ar))[P(Ar>)+P(A5)]

尸⑷尸㈤

P（AD\P{~AD\-P（AD\P（A^/_、

——■p（：）p向）一~-＞0，即P（0A）＞P（0司成立.

（ii）设李明在校庆期间去食堂甲就餐的次数为J,

若选择传统型优惠方案获得的优惠为X元，若选择“饥饿型”优惠方案获得的优惠为丫元,

P（g=0）+尸（g=l）,攵=0

则J〜3（7,p）,X=灰,对0〈左＜7,有尸（丫=初=＜0,左=1,

P^=k\2＜k＜7

故E(x)=E(若)=〃石⑷=7pa,

777

E(Y)=£kbP(Y=kb)=b£kP《=k)=b=k»P楂=1)

k=2k=2|_&=0_

=优EO-=1)]=7pZO—(1-p)6],

令E(x)=E(y),结合"6得p=i一“U，记为p°.

若P0<P<1,贝ljE(X)-E(X)=7p{卅q-(l-p)6]-a}>0,E(F)>E(X),

此时李明应选择“饥饿型”优惠方案；

若0<p<p°,则E(y)_E(X)=7p{如一(1_0)6]_〃}<0,E(y)<E(x),

此时李明应选择传统型优惠方案.

若P=P。，则(I-浮=1_：,E(x)=E(y).

b

注意到D(X)=。(若)=/D(g)=7p/(i—p),

D(y)=E(y2)-[E(y)]2=^(^)2p(y=to)-[£(x)]2

k=2

7r7-

=护>yP隹=k)_49P2a1=/»2尸4=左)一尸4=])_49P2a2

k=2[_k=0_

=加[网产)-尸仔=1)卜49p，2=火生位)]2+£)©-PC=1)}-49//

=b2|^49p2+7p(l-p)-7p(l-p)6]-49p2q2=1p{b2^6p+l-(l-pa2].

因此。(y)-D(X)=7p{的6p+l-(l-p)6]-7/%2—(i-p)a2}

=7p^6pb2+"-(6/7+1)〃}=70e—a).[6p(b+a)+a]>0,

即D(Y)>D(X).

此时李明选择获得的优惠更分散的方案，即获得的优惠方差更大的方案，即“饥饿型”优惠方

案.

综上所述，当0<P<P。时，李明应选择传统型优惠方案；

当p°Wp<l时，李明应选择“饥饿型”优惠方案.

21.已知双曲线。:0-4=1（4>02>0）上的一点到两条渐近线的距离之积为2且双曲线

c的离心率为理.

2

⑴求双曲线C的方程；

⑵已知M是直线x=《O<f<a）上一点，直线加入交双曲线C于A（A在第一象限），8两

点，。为坐标原点，过点M作直线Q4的平行线/,/与直线。B交于点P,与x轴交于点。，

若P为线段的中点，求实数/的值.

解：⑴双曲线的渐近线方程为云土殴=0,设双曲线上一点。（国,％）,

xa

„.\bx0-ay0\\bx0+ay0\\bx0-ay01|bx0+ay0\_\/^o-'y^\

=

则//1~一7_7一乙，

J/+/yjcr+b1cc

22

又因为。小,%）在双曲线上，所以其一当=1,即〃需-a2y：=九2,

ab

222

代入可得4=2,又因为《二£=如，c=a+b,代入可得从=3,〃=6,

ca2

22

所以双曲线方程为"3j

若直线耐斜率为0,此时点A不在第一象限，矛盾，故班斜率不为0,

t-3

设直线"耳的方程为x=my+3,4（%,x）,3a2,%），则〃卜，

m

x=my+3

联立,x2y21化简可得（布-2）V+6my+3=0,

163

机2-2W0m±\/2

/9\>可得</\

A=36m29-12（m2-2）>0[24（m29+l）>0

-6m

~m2-2

则V

3

m2-2

又因为〃/。A,所以左=%=:心k，一为

OB

x2my2+3

所以直线/的方程为y=*(1),直线。B的方程为y=/r,

V"3_必

y------------------

mmy+3加%%+(3一月为

联立x解得了=

7心1-%)

y尤

〃2%+3

即p的纵坐标为力=町y：+(3-1%

矶%一%)

—67773

又由上可知％+两式相除，

m-2m-2

得冲1%=一3(%+%)，

代入可得y=四9+(37)%