应用光学第二章

第二章球面系统工程光学球面系统符号规则1

物体经单个折射球面的成像2单个反射球面的成像

3共轴球面系统的成像

4第一节符号规则

1、光路方向

2、线量的正负号

3、角度的正负号

4、符号规则的意义

5、光路图中的符号标注

1、光路方向光路计算是根据给定的光学系统，由物求像或由像求物的过程。光路计算是根据几何光学的基本定律利用成像光路图建立起的物象计算式。1、光路方向光路方向为光线行进的方向从左到右规定为光路正向（图2-1）其余符号均以光路正向为依据来规定当光线从右到左行进时，所有按左右方式规定的符号均取反：

如果在实际分析中需要对光线作逆向计算，例如在投影系统中常需由像计算物，即光线从右到左传播，这时，符号规则将随光线的方向而改变。但在实际中，对逆向光路计算常采用翻转180°的做法，仍利用光线从左到右传播的习惯规则。这时，将像放在光学系统的左面，光学系统的最后一面变为第一面，而第一面变为最后一面，从左到右由像计算到物，最后将计算结果再翻转180°回去后，得到最终的实际结果。

图2—1BAB’A’2、线量的正负号

沿轴线量：L、L′、r垂轴线量：Y、Y′、h

规则：以球面的顶点为原点沿轴量向右取正，向左取负垂轴量向上取正，向下取负

（图2-1）图2—1BAB’A’物点A位于球面顶点的左侧，因此，物距L为负，像点A′位于顶点右侧，因此，像距L′为正。同理，物高Y为正，像高Y′为负。3、角度的正负号

角度量：U、U′、I、I′、φ规则：顺时针为正，逆时针为负（1）U、U′:光轴转向光线；（2）I、I′：光线转向法线；（3）φ：光轴转向法线。图2—1BAB’A’不难分析像方孔径角U′和球心角均为正值。4、符号规则的意义

描述物、像的位置、虚实描述物与像的正倒关系BAB’A’5、光路图中的符号标注

保持几何量永远取正值在取负值的参量前再增加一个负号，使得负负得正BAB’A’第二节物体经单个折射球面的成像1单球面成像的光路计算

近轴区域的物像关系

近轴区域的物像放大率

231、单球面成像的光路计算光路计算已知光线从何处来，经光学系统后到何处去？（成像规律）——折射定律、反射定律的应用。实际光线的光路计算严格按照几何光学基本定律的光线计算，这类光线称为实际光线近轴光线的光路计算实际光线离光轴很近时采用的近似计算，这类光线称为近轴光线1、单球面成像的光路计算如图2-1在ΔAEC中，应用正弦定律

在光线的入射点处应用折射定律

由图可知

在ΔCEA′中再次应用正弦定律（2-1）

（2-2）

（2-3）

像方孔径角

得像方截距已知r，已知L、U，求L′、U′1、单球面成像的光路计算

由上述公式可以得知，当某物点的L为定值，以不同的孔径角U入射光线，将得到不同的像方截距(如图2-4)。物点发出的同心光束经过球面成像后，不再是同心光束，我们称这种成像为不完善成像，或者说球面成像产生了像差。轴上点这种以不同的孔径角U入射光线的不完善成像的像差称为球差。

LL’-U1、单球面成像的光路计算当物体位于物方轴上无限远时，这时可以认为轴上物点发出的是平行于光轴的平行光束，即L=－∞，U=0，

区域称为光学系统的近轴区域sinα≈α近轴光线的光路计算则按实际光线的光路计算公式近似简化为当轴上物点位于无限远时

（2-5）（2-6）（2-7）（2-8）（2-9）1、单球面成像的光路计算由上述公式的线性变换得知，在近轴区域内，一个物点位置l对应于唯一的像点位置l’，而与入射孔径角u（或h）的大小无关。因此，在近轴区域内，光学系统能成完善像。从图中看到，在近轴区域内有（2-11）2、近轴区域的物像关系对近轴成像公式作线性变换，还可以进一步推导出如下计算式（2-12）阿贝不变式（2-13）孔径变化式（2-14）“距度”（距离倒数）变化式几何光学中将公式（2-14）等号右面的表达式定义为折射球面的光焦度，用表示，即光焦度表示了折射面的折光能力。式2-15说明，折射球面的曲率半径越小，或界面两侧的折射率差越大，折光能力就越强。在公式（2-14）中，分别令物距和像距为∞，有在几何光学中，定义物在∞时的像距为折射面的像方焦距，用表示，定义像在时时的物距为折射面的物方焦距，用表示。于是，根据以上的计算有单个折射面可以看作是一个最简单的成像系统，式（2-16）说明，成像系统物像方的焦距之间有如下关系2、近轴区域的物像关系

（2-15）（2-16）（2-17）

3、近轴区域的物像放大率

⑴垂轴放大率

如图，设物体的大小为y，像的大小为y′，则y′和y的比值定义为垂轴放大率，用β表示像高即为y′=βy

ΔABC∽ΔA′B′C，故

（2-15）（2-16）3、近轴区域的物像放大率

⑵轴向放大率当物体在给定位置有一微量位移dl，其像也在像点位置处有一微量位移dl′，定义dl′与dl的比值为轴向放大率，用α表示微分

将上式两边各乘以

,并比较上一页(2-16)式，得（2-17）

（2-18）（2-19）上式表明了垂轴放大率与轴向放大率的关系。一般情况下光学系统对物体在横向与纵向上有不同的放大率，如果有一个正方体物体经光学系统成像，其像将不再是正方体。因此，用于立体成像的光学系统（如体视显微镜）一般不宜设计成较大的放大率，以免失真。3、近轴区域的物像放大率

⑶

角放大率

物体以某一孔径角u入射到折射球面上，经折射后以孔径角u′成像，定义u与u′的比值为角放大率，用γ表示由式（2-11）可得两边同乘以n′/n并化简，得

（2-24）式称为拉赫公式，与阿贝不变式不同，它不仅适用于单个折射面，以后将会看到，它适用于整个光学系统。（2-20）（2-21）（2-22）（2-23）（2-24）由（2-19）、（2-22）可得三个放大率之间的关系为

第二次课结束例题一折射球面，半径为r=20㎜，两边的折射率n=1，n′=1.5163，当物距l=－60㎜时，求（1）轴上物点A的成像位置。（2）垂轴物面上距轴10㎜处物点B的成像位置。例题解：（1）利用式（2-14）得解上式得l′=165.75㎜。

（2）过轴外物点B作连接球心的直线，该直线也可以看作是一条（辅助）光轴，B点是该辅助光轴O1C上的一个轴上点，其物距为利用式（2-14）得解上式得lB′=162.71㎜。

第二次课结束第三节单个反射球面的成像在球面折射成像的相关公式中，令n‘=-n,可以得到反射球面镜的物象计算公式如下：（2-25）（2-26）（2-27）（2-28）（2-29）例题例2-2凹面镜的曲率半径为160㎜，一个高度为20㎜的物体放在反射镜前100㎜处，试求像距、像高和垂轴放大率。第三节单个反射球面的成像解由题意已知，r=-160㎜，l=-100㎜，

y=20㎜，代入式(2-25)得

解得l′=-400㎜

㎜

垂轴放大率为负值，像为倒立，像距为负值，表示位于反射镜的左侧，为实像。

第四节共轴球面系统的成像透镜是光学系统的基本元件，透镜由球面构成。若光学系统中的所有界面均由球面构成，该光学系统称为球面系统。若所有球面的球心都在同一条直线上，称为共轴球面系统C1n1C3O3n2’(n3)n3’n1’(n2)O2C2O1u1’(u2)图2—11h1-u1-u2’u3-u3’h2h3A1B1y1-y1’（y2）B1’（B2）A1’（A2）A2’（A3）y2’（y3）B2’（B3）B3’A3’-y3’l’2r1l’1-l1-l2r2d1d1-l2r3l’3第四节共轴球面系统的成像参照图2-11可以得到以下的过渡公式

…

…

…

（2-34）

…

…

第四节共轴球面系统的成像如果光学系统有k个折（反）射面，并且已知系统参数r1、r2、…、rk，n1、n2、…、nk+1，d1、d2、…、dk-1，对给定的物点（l1、u1、y1），我们可以按下面步骤顺序求得系统的像（lk′、uk′、yk′）：①对第一面作单个球面成像计算求得（l1′、u1′、y1′）；②用过渡公式由（l1′、u1′、y1′）求得（l2、u2、y2）；③对第二面作单个球面成像计算求得（l2′、u2′、y2′）；④用过渡公式由（l2′、u2′、y2′）求得（l3、u3、y3）；……⑤对第k面作单个球面成像计算求得（lk′、

uk′、yk′）。第四节共轴球面系统的成像共轴球面系统的放大率就是各面放大率的乘积，即（2-35）（2-36）（2-37）三个放大率之间的关系依然成立（2-38）

第四节共轴球面系统的成像例2-3有一个玻璃球，直径为2R，折射率为1.5，一束近轴平行光入射，将会聚于何处？若后半球镀银成反射面，光束又将会聚于何处？解依题意，第一种情况下，求光束经过两次成像后会聚，如图2-12a。

RR/2图2-12a第一次成像，，，，即无穷远物体经第一面后成实像，是一个实物成实像的过程，其像位于距玻璃球前表面的右侧3R处，同时位于距第二面的右侧R处。由于第一面的像是第二面的物，又因为其位于第二面的右侧，因此对于第二面而言是个虚物。

第四节共轴球面系统的成像第二次成像，，，代入公式得得

即最终会聚于第二面的右侧处，对第二面而言，是一个虚物成实像的过程。

第四节共轴球面系统的成像第二种情况，光束经三次成像后会聚，第一次光束经前表面折射（同前一种情况），第二次光束经后表面的镀银面反射，第三次光束再经前表面折射后成像，第三次成像时光束从右到左，如图2-12b。