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文档简介

5.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数1．掌握基本初等函数的导数公式，会求简单函数的导数．(重点)2．掌握导数的和、差、积、商的求导法则．3．会用导数的运算法则解决一些函数的求导问题．(难点)

一般地，函数在处的瞬时变化率是我们称它为函数在处的导数，记作或，即1.导数的定义是什么？简记为“一差、二比、三极限”，其步骤如下：①求函数的增量，；②求平均变化率，；③取极限：

.2.求函数的导数的一般步骤是什么？几个常用函数的导数

根据导数的定义，求函数

的导数，就是求当

时，

无限趋近的那个定值.下面我们求几个常见函数的导数.1.函数

的导数

因为所以

若

表示路程关于时间的函数，则

可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.2.函数

的导数

因为所以

若

表示路程关于时间的函数，则

可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.3.函数

的导数

因为所以

若

表示路程关于时间的函数，则

可以解释为某物体做变速运动，它在时刻

x的瞬时速度为

2x.4.函数

的导数

因为所以

表示函数

的图象上点(x，y)处切线的斜率为

，这说明随着

x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数.5.函数

的导数

因为所以6.函数

的导数

因为所以几个常用函数的导数原函数导函数

基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝xn(n∈Q*)f(x)＝sinxf(x)＝cosxf(x)＝axf(x)＝exf(x)＝logaxf(x)＝lnx利用导数公式求函数的导数例1.求下列函数的导数：(1)

； (2)

；(3)

； (4)

.解：(1)(2)(3)(4)求简单函数的导数有两种基本方法(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．1.求下列函数的导数：(1)

； (2)

；(3)

； (4)

.解：(1)(2)(3)(4)求函数在某点处的导数例2.(1)求函数

在(1，1)处的导数；

(2)求函数

在

处的导数.解：(1)因为所以(2)因为所以求函数在某点处的导数步骤(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．2.已知(且)，若

，则

α等于()A. B. C. D.解：因为

，所以又因为

，则利用导数公式求切线例3.已知曲线

，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程.解：因为

，所以

，即所求切线的斜率为所以切线为化简得

(1)求过点

P

的切线方程时应注意，P点在曲线上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的；(2)解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值．3.已知曲线

.(1)求曲线在点P(1，1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q(1，0)的切线方程解：(1)因为

，所以

，即所求切线的斜率为同时切线过点(1，1)，所以切线为化简得

(2)设切点为

，则有

因为

，所以

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