2024年湖南省长沙市长郡教育集团联考中考二模数学试题(含解析)

2024年湖南省长沙市长郡教育集团联考中考二模数学试题注意事项：1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．数π，，0，中，最小的数是（）A．π B． C．0 D．2．在第十四届全国人大二次会议审议的政府工作报告中，国家亮出了2023年中国经济“成绩单”．报告中显示，2023年，我国经济总体回升向好，国内生产总值超过1260000亿元，增长，增速居世界主要经济体前列，其中数据1260000用科学记数法可表示为（

）A． B． C． D．3．下列运算正确的是（

）A． B．C． D．4．中国传统文化博大精深．下面四个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．

B．

C．

D．

5．学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为10，11，9，10，12，下列关于这组数据描述正确的是（

）A．众数为10 B．平均数为10 C．方差为2 D．中位数为96．在平面直角坐标系中，一次函数的大致图象是（

）A． B． C． D．7．如图，在中，，以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，若，则的度数为（）A． B． C． D．8．如图，的半径交弦于点，，，，则的长为（

）A．3 B．4 C．6 D．89．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（

）A． B．C． D．10．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为（

）A． B． C．

D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．分解因式：．12．函数中自变量x的取值范围是．13．如图，直线，点在上，点在上，，，则的度数是．14．在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为．15．如图，在矩形中．将沿折叠，使点A恰好体落在对角线上F处，则的长是．16．如图，点，点，点在上，连接．若的半径为，则的长为．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：．18．解下列不等式组，并将解集在数轴上表示出来．19．如图是长沙九龙仓国际金融中心，位于长沙市黄兴路与解放路交会处的东北角，投资160亿元人民币，总建筑面积达98万平方米，中心主楼BC高452m，是目前湖南省第一高楼，大楼顶部有一发射塔AB，已知和BC处于同一水平面上有一高楼DE，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，tanα＝，在顶端E点测得A的仰角为45°，AE＝140m（1）求两楼之间的距离CD；（2）求发射塔AB的高度．20．为了提高师生们的安全意识，使青少年学生安全、健康成长，某校组织学生防火、防食物中毒、防交通事故等一系列演练活动，并组织了一次“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生的答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：，，，，并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所给信息解答下列问题：(1)这次抽样调查共抽取______人；条形统计图中的______．(2)将条形统计图补充完整；在扇形统计图中，求C等级所在扇形圆心角的度数；(3)如果80分及以上成绩为“优秀”，该校共有2000名学生，估计该校学生答题成绩为“优秀”的共有多少人；(4)已知甲、乙、丙、丁四名学生的答题成绩均为A等级，并且他们又有较强的表达能力，学校决定从他们四人中随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两名同学恰好能被同时选中的概率．21．如图，在中，，点是中点，．

(1)求证：四边形是菱形；(2)若，求四边形的面积．22．随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场的一股不可忽视的力量．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多万元，用万元购买甲型充电桩与用万元购买乙型充电桩的数量相等．(1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？(2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的倍，则如何购买所需总费用最少？23．如图，是的直径，点是上的一点，点是的中点，连接并延长至点，交于点，连接．(1)证明：为的切线；(2)若．①求的半径；②求阴影部分的面积．24．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“点”，如与是一对“点”．(1)点和它的“点”均在直线上，求的值；(2)若直线经过的M，N两点恰好是一对“点”，其中点还在双曲线上，若一条抛物线也经过M，N两点，求该抛物线的解析式；(3)已知，B为抛物线上的一对“点”，且满足，点为抛物线上一动点，若该抛物线上有且仅有3个点满足的面积为16，求该拋物线的解析式．25．如图，为的内接三角形，点为弧的中点（弧弧），连交于点，作，交线段于点，交于点．(1)求证：；(2)①求证：；②记，，，的面积依次为，，，若满足，试判断的形状，并说明理由．(3)当，，，试用含p，m，n的式子表示．

参考答案与解析

1．B【分析】本题考查的是有理数的大小比较，熟知两负数比较大小的法则是解答此题的关键．【详解】解：∵，∴数π，，0，中，最小的数是．故选：B．2．B【分析】本题主要考查了科学记数法，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数；由此进行求解即可得到答案，熟练掌握科学记数法的表示方法是解决此题的关键．【详解】．故选：B3．D【分析】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方和同底数幂乘法等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；B、，原式计算错误，不符合题意；C、，原式计算错误，不符合题意；D、，原式计算正确，符合题意；故选：D．4．C【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟悉掌握图形的特征是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的特征逐一判断即可．【详解】解：A：此图为为轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误；B：此图为中心对称图形，但不是轴对称图形，故错误；C：此图既是轴对称图形又是中心对称图形，故正确；D：此图为为轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误；故选：C．5．A【分析】根据众数，平均数，方差，中位数的定义分别判断，即可得到答案．【详解】解：A、10出现2次，出现次数最多，故众数是10，该项正确；B、，故该项错误；C、方差为，故该项错误；D、中位数为10，故该项错误；故选：A．【点睛】此题考查了求众数，中位数，方差及平均数，正确理解各定义及计算公式是解题的关键．6．C【分析】本题考查了一次函数图像与k，b符号的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．由得图像经过第一、三、四象限．【详解】解：∵一次函数中，∴图像经过第一、三、四象限，故选：C．7．B【分析】本题考查尺规作角平分线，等边对等角，三角形的内角和，根据角平分线的定义，等边对等角，求出的度数，再利用三角形的内角和进行求解即可．【详解】解：由作图可知：平分，∴，∵，∴，∴，∴；故选：B．8．D【分析】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．已知：，在中，，利用勾股定理得到，所以．【详解】解：，半径于点，在中，，，，故选D．9．B【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系：①枚黄金的重量11枚白银的重量；②枚白银的重量枚黄金的重量1枚白银的重量枚黄金的重量两．【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组为，故选：B．10．C【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可以写出和的个数，然后即可发现和的变化特点，从而可以写出十二烷的化学式．【详解】由图可得，甲烷的化学式中的有1个，有（个，乙烷的化学式中的有2个，有（个，丙烷的化学式中的有3个，有（个，，十二烷的化学式中的有12个，有（个，即十二烷的化学式为，故选：C．11．【分析】先提取公因数4，然后利用平方差公式继续进行因式分解．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．12．x≠3【详解】根据题意得x﹣3≠0，解得x≠3．故答案为x≠3．13．【分析】本题考查了平行线的性质，由可得，进而由平行线的性质可得，即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，故答案为：．14．【分析】根据简单事件的概率公式计算即可得．【详解】解：因为在不透明的盒子中，总共有10个球，其中有四个绿球，并且这十个球除颜色外，完全相同，所以从中随机摸出一个球是绿球的概率为，故答案为：．【点睛】本题考查了求概率，熟练掌握概率公式是解题关键．15．5【分析】由ABCD为矩形，得到∠BAD为直角，由折叠得到EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，利用勾股定理求出BD的长，由BD-BF求出DF的长，在Rt△EDF中，设EF=x，表示出ED，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出DE的长．【详解】解：∵矩形ABCD，∴∠BAD=90°，由折叠可得：EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，在Rt△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8，根据勾股定理得：BD=10，即FD=10-6=4，设EF=AE=x，则有ED=8-x，根据勾股定理得：x2+42=（8-x）2，解得：x=3，则DE=8-3=5，故答案为：5．【点睛】此题考查了翻折变换，矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．16．【分析】本题考查求弧长，圆周角定理求出的度数，再利用弧长公式进行计算即可．【详解】解：∵点，点，点在上，的半径为，∴，∴的长为；故答案为：．17．【分析】先分别计算立方根，正弦，零指数幂，负整数指数幂，然后进行加减运算即可．【详解】解：．【点睛】本题考查了立方根，正弦，零指数幂，负整数指数幂．熟练掌握立方根，正弦，零指数幂，负整数指数幂是解题的关键．18．，数轴上表示见解析【分析】先分别求出各不等式组的解集，然后再确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．【详解】解：解不等式①可得：x≥-2解不等式②可得：x＜2所以不等式组的解集为在数轴上表示如下：．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集等知识点，熟练掌握解不等式组的步骤以及确定解集的方法是解答本题的关键．19．（1）140m；（2）28m．【分析】（1）过点E作EF⊥AC于点F，由于∠AE=45°，AE=140，所以EF=140，由矩形的性质可知：CD=EF=140．（2）根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】（1）过点E作EF⊥AC于点F，∵∠AEF＝45°，AE＝140，∴EF＝140，由矩形的性质可知：CD＝EF＝140，故两楼之间的距离为140m；（2）在Rt△ADC中，tanα＝，∴AC＝140×＝480，∴AB＝AC﹣BC＝480﹣452＝28，故发射塔AB的高度为28m．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．20．(1)(2)图见解析，(3)1120人(4)【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率：（1）用等级的人数除以所占的比例求出总人数，用总人数乘以等级的比例，求出的值；（2）求出等级的人数，补全条形图，用360度乘以C等级所占的比例，求出圆心角的度数；（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可；（4）画出树状图，利用概率公式进行计算即可．【详解】（1）解：（人）；（人）；故答案为：；（2）C等级的人数为（人），补全条形图如图：等级的圆心角度数为：；（3）（人）；（4）列出树状图如图：共12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学恰好能被同时选中的结果有2种，∴．21．(1)见解析(2)【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论；（2）由已知得，再由勾股定理得的长，然后由菱形的性质和三角形面积关系得，即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴四边形是平行四边形，∵，点D是的中点，∴，∴平行四边形是菱形；（2）解：∵，∴，∴，∴，∵四边形是菱形，点D是的中点，∴．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质，证明四边形为菱形是解题的关键．22．(1)甲型充电桩的单价为元，乙型充电桩的单价为元；(2)购买甲型充电桩个，乙型充电桩个，所需费用最少．【分析】（）设乙型充电桩的单价是元，根据题意，列出分式方程即可求解；（）设购买甲型充电桩的数量为个，根据题意，列出不等式求出得取值范围，又设所需费用为元，求出与的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可求解；本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意，列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键．【详解】（1）解：设乙型充电桩的单价是元，则甲型充电桩的单价是元，由题意得，，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，∴，答：甲型充电桩的单价为元，乙型充电桩的单价为元；（2）解：设购买甲型充电桩的数量为个，则购买乙型充电桩的数量为个，由题意得，，解得，设所需费用为元，由题意得，，∵，∴随的增大而增大，∴当时，取得最小值，此时，，答：购买甲型充电桩个，乙型充电桩个，所需费用最少．23．(1)见解析(2)①；②【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，求扇形面积．（1）先根据圆周角定理得出，结合中位线定理推出，进而得出即可求证；（2）①设的半径为，推出则，即可求解；②由①知，，推出，最后根据阴影部分的面积的面积扇形的面积，即可求解．【详解】（1）证明：是的直径，，点是的中点，点是的中点，∴，，，，，，是的半径，为的切线；（2）解：①设的半径为，，由（1）知，②由①知，，，阴影部分的面积的面积扇形的面积．24．(1)(2)(3)或【分析】（1）根据定义可得点和点均在直线上，联立解方程组即可求得的值；（2）设点坐标为，则，由（1）得，，可得，则，解方程后利用待定系数法求解即可．（3）根据题意求得直线AB的函数关系式为，由，设直线的函数关系式为，根据的面积为16，求得，进而求得直线的函数关系式为，①当时，如图1，在下方有一个点P，上方必有两个点Р满足条件，联立抛物线解析式与解析式，根据交点个数令，从而得到关系式；②当时，如图2，在上方有一个点P，下方必有两个点Р满足条件，求得直线的函数关系式为，同理求得对应的解析式．【详解】（