21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 人教版数学九年级上册课件1

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系随堂演练获取新知情景导入例题讲解知识回顾第二十一章

一元二次方程课堂小结知识回顾1.一元二次方程的一般形式是什么？2.一元二次方程的求根公式是什么？情景导入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？获取新知

从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？思考1:重要发现如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1·x2=q.(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，x2+px+q=0，x1+x2=-p,x1·x2=q.

一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？思考2:如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，那么你能证明这个结论吗？验证结论：

一元二次方程的根与系数的关系：

如果

ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、

x2，那么注意满足上述关系的前提条件b2-4ac≥0.归纳小结例题讲解例1

根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：(1)x2－6x－15＝0(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.解：

(1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.例2

已知一元二次方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.

由于x1·x2=1×5=得m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.所以x1

+

x2=1+x2=6，解得x2=5.

解：根据根与系数的关系可知：

例3

不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.常见的变形公式:归纳总结随堂演练1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m=____.-32x1x22.设x1、x2是方程x2－4x+1=0的两个根，则(1)x1+x2=

_____,x1x2=_______，(2)x12+x22=(x1+x2)2-________=______,(3)(x1-x2)2

=(______)2-4x1x2=_______.

411412x1+x23.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2+7x+6=0;（2）2x2-3x-2=0.解：(1)这里

a=1,b=7,c=6.

Δ

=b2-4ac=72–4×1×6=25>0.∴方程有两个实数根.

设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=-7,

x1x2=6.（2）2x2-3x-2=0.（2）这里

a=2,b=-3,c=-2.

Δ=b2

-4ac=（-3）2–4×2×(-2)=25>0,∴方程有两个实数根.

设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=-1.4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.解：(1)根据根与系数的关系

所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=

解得：k=-7；

（2