初中数学期末以及中考常考几何解题模型详细梳理

全等变换

平移：平行等线段（平行四边形）

对称：角平分线或垂直或半角

旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转

1.对称全等模型：

角平分线模型

过角平分线上的一点往角的两边作垂线。

过角分线某点作垂线

往角两边截取等线段

【分析】：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或

者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。

2.对称半角模型

【分析】：上图依次是45。、30。、22.5。、15。及有一个角是30。直角三角形的对称（翻折），翻折成

正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

3.旋转全等模型

半角：有一个角含1/2角及相邻线段

自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等

共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等

中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题

4.旋转半角模型

【分析】：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分

之一的角拼接在一起，成对称全等。

5.自旋转模型

构造方法：

遇60度旋60度，造等边三角形

遇90度旋90度，造等腰直角

遇等腰旋顶点，造旋转全等

遇中点旋180度，造中心对称

6.共旋转模型

【分析】：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以

证明。

7.模型变形

【分析】：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与

正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点

找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

中点旋转：

【分析】：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点

连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直

角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公

旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。

中点模型

2

«♦

••••

追中点构道中QlC8长一边01中你1用1口边中

几何最值模型

对称最值（两点间线段最短）

线段和差模型

Ml・1

同M、异例两找段之和最如模型同侧、舁间两线段之七最小模型

轴对称模型

三线段之和过桥模R四边形同长三角杉周长

♦■也型最小模型最小校里

对称最值

（点到直线垂线段最短）

【分析】：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。

旋转最值

（共线有最值）

【分析】：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的

差为最小值。

简拼模型

三角形一四边形

图11

【分析】：剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状。

矩形一正方形

【分析】：通过射影定理找到正方形的边长，通过平移与旋转完成形状改变

正方形+等腰直角三角形一正方形

【分析】：两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是300角的直角三角形成旋转相似。

推广：两个任意相似三角形旋转成一定角度，成旋转相似。第三边所成夹角符合旋转“8”字的规律。

相似模型

【分析】：注意边和角的对应，相等线段或者相等比值在证明相似中起到通过等量代换来构造相似

三角形的作用。

【分析】：（1）三垂直到一线三等角的演变，三等角以30度、45度、60度形式出现的居多。

(2)内外角平分线定理到射影定理的演变，注意之间的相同与不同之处。另外，相似、射影定理、

相交弦定理(可以推广到圆塞定理)之间的比值可以转换成乘积，通过等线段、等比值、等乘积进

行代换，进行证明得到需要的结论。

【分析】：相似证明中最常用的辅助线是做平行，根据题目的条件或者结论的比值来做相应的平行

线。

A模型一：手拉手模型-旋转型全等

A模型二：手拉手模型-旋转型相似

⑴THS况

a条件：CD〃/18,将AOCQ旋转至右图位贸

A牯论：

a右图中①AOCAAO488AOXCAOBD,

a②延长"C交8D于点E,必有/-BEC-LBOA

<2）也帆

*条件：CDI/AB,乙1。8・90。，将A0C7）旅转至右图

位贯

a牯论：右图中①AOCOsACMBeA0/CAOBD,②

延长4C交BD于点E,必有乙BEC-LBOA；

BDODOB

------■—=tanA.OCD

③/COCOA,@BD1AC

接皿BC,如有■"+8C5+C%⑥X"”（对角蟠相垂直的四硼）

A模型三：对角互补模型

⑴吩

>：①LAOB-LDCE•90。j②0C平分U4)B

a结论：①CD=CE②12+OE-J2OCf③

SOME.+S皿；层■~0(.

A证邮示：

0乍垂直，如图，证明ACD"・ACEVj

②£1点C作b1oc,如上图（右），证明AOM■A/TJ

a当"CE的一边交乂。的延长线于点。时：

见三作S论：OCD^CE（不变）,

①OE-OD-41OC,③SgFm_2OC

端论if明方法与精种B况致，可自修法

(2)全等型-120°

a条件：①乙408-2LDCE-120°,

A②OC平分乙40%

A结论：①CD・CE)②()D+OE・OC$%

A利班示：①可普考“全等型-90”证法一；

②如图：在。3上取一点尸，使。尸=。。，证明ACK尸

为等边三角形。

《3）全钿任意角a

①-2a,Z.DCE-180-2a.②CD-CE.

结论：①乙40/②O0+OE・2OC'・cosaj

2

③S3=5Ag,+Sg-OC*sina-cosa.

a当£OC£的一边交<。的延长线于点。时（如右上图）：

原结论变成：①5

②，

③3

可参考上述第②种方法进｛亍证明.请思考初始条件微化对模型的影响。

A对龟互木■总结：4

①常见初始条件：四边形对角互补3注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线；〃

②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；

③两矛惟见韩同脏戋作法；（

④注意oc平分乙408时,LCDE-LCED-LCOA•LCO相等如何推导？

A模型四：角含半角模型90。

（D甬含半角模型90°1

GRE

a条件：①正方形ABCD3②LEAF-45%

a牯论：①EF-DF+BE;©AC£F的周长为正方形48CD周长的一半;

也可以这样：

a条ff：①正方形ABC%②EF«DF+HE

a结论：LEAF^45°

（2）角含半角8®W-2/n

a条件：①正方形•孙②“"-45。；力\

a结论：EF-DF-BE（1\r

E

>WBh绮吓醐S示：F

（4）角含半角模型90°变形

运嗝：逢发AC《方温不唯一》

7N/M・""■•!，，・・・N/“//・4M£

VN〃W-乙牌V・45・・•・AHNSWE

a条件：①正方形，48。.②LEAF-45°.

A结论：&〃〃:.为等腰直角三龟形。

七A模型五：倍长中线类模型

<o申

a条件：①^形'BCD§②BD・BE③DF,EF3

a结论："，CF

模型提取：①有平行线40"8£j②平行线।睡戋段有中点

可以构造“8”字全等MDF•MfEF.

（2）倍长中绳娥型-2

a条件:0)¥行四边形ABCD,©^C-2AB；③4W-DM?@CE1AD.

a牯论：LEMD-yLMEA

«Mn：料十什.4B//CD.<4»AAM•DM

域长EM,构迨&小施MM"・连M(M种

BB

迨号It\EMC,SXKF

通过构句8字4号慢段收角的大

小转化

A模型六：相似三角形360。旋转模型

《1》相（队三角形（等腰直角）360,旋转模型卷长中线法山丝：足长/»乩艮O.健,6.小.是

⑴*部三觎（等em）360。揭钺ST隆^

A条件：①A4C£、ZUBC均为等腹直角三角形3②打'・C/j

A结论：①D尸,8/；②力产

脑助”：构逢呼幡血京&4EG、A.4//C

摘劝慢吟品：杵DF与HPC（i与IH

9财E：通长BA*，.G,ft.4G-.«.睡食

a新：①AO.ABsAODC§②LOAB-乙OIK?-90°；CD利屯H俵DH=e.，卜全MXiH.

③。

BE.CECK'H构it就“幡笈.HitA£SDEHCG

a牯论：①AE=D£j®LAED-2LABO

与BH.0.色名”义NJ初

幡购愎：域录DEtM.itME-£M,将州

a条件：①AOABSAODC、②a)AB-LODC90°.③/的㈣卜展件外化*注切\M//>凡

BE-CE,为&4.3A.lMAA/1/k,触债物化为通叨

a结论：①4£■。勺②LAED-2LABO

7818A.使用网边及比尺央向导

此处卑.a在理5NJAV・N”N）

A模型七：最短路程模型

甚体：以上W圉为常义的“时他具最仙路也问麴.

.后都“化到：”四点.之:*N收*归”3次

特点：①动羯上:②越金•，峥点典三

(2)最短路程1#型二(点到直卷H)

।4l[/11械购建：瘠作0美于。TH0黑。•・“先

\p'P^r^PQ.<A"件.WMJX"

正线段踊短O0MH1。.N4-4册.叱2.5

A条件：①仪,平分&叫②M为⑺上一定点J③P为"上F点；@。为08上一动点；

a求：最d时，凡。的位遇？

(3)蹦1罐般匚(厨1幽$2)|r

»条件：/(0,4),8(-20).P(0,〃)t'JC

PB+曲PA4…

ai福：协何值时，5最小

cc、nin^.OAC■,

A求解方法:①t轴上取(亿叫使5.②过8作80L/C,交F轴于点"即为所求j

tanLEBO-tanLOAC--,、

③2,即演OJ).

8.中点模型

【模型1】倍长

1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交

A

【模型2】遇多个中点，构造中位线

1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连

【例】在菱形ABCD和正三角形BEF中，ZABC=60°,G是DF的中点，连接GC、GE.

(1)如图1,当点E在BC边上时，若AB=10,BF=4,求GE的长；

(2)如图2,当点F在AB的延长线上时，线段GC、GE有怎样的数量和位置关系，写出你的猜

想；并给予证明；

(3)如图3,当点F在CB的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明.

9.角平分线模型

【模型1】构造轴对称

【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形

【例】如图，平行四边形ABCD中，AE平分NBAD交BC边于E,EF_LAE交CD边于F,交AD

边于H,延长BA到点G,使AG=CF,连接GF.若BC=7,DF=3,EH=3AE,则GF的长为

手拉手模型

OA=OB,OC=OD,ZAOB=Z.COD

【结论】QCm4OBD；NAEB=NOAB=NC。。（即;OE平分44£