2023北京二中高二下学期期末数学试题及答案

2023北京二中高二（下）期末数学一、选择题（共10小题，每小题5分，共5分．选出符合题目要求的一项）−3xA=B=xRxxRx22，则(=1.集合，（）x0x2x＜x3A.B.D.x2x3xC.()的导函数()的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）fxfx2.已知函数()在区间(−)上有个极值点fx2,3A.B.C.D.2()在fxx=−1处取得极小值()在区间(−)上单调递减fx2,3()在x=1处取得极大值fx()=fxx2+bxcfx+，b、cR，则c0是函数()有零点的（）3.已知函数“”“”A.充分而不必要条件C.充分必要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件4.一个盒子里有3个分别标有号码为1，23的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（）A.12种B.15种C.17种D.19种515.二项式x2−展开式中含x项的系数是（）2x5252A.B.−545C.−D.46.从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，，D四项不同的工作，每人承担一项．甲不从事A工作的概率为（）745A.C.B.D.3515中，=，−=，nlog2n=，那么数列的前10项和等于（）bna12n12n07.已知数列A.130nB.120C.55D.50π2ex−e−x，都有(fmsin()=8.已知函数fxxRf1m)+(−)成立，则实0，，若对任意2数m的取值范围是（）()(2)A.C.B.D.(−)(−,1,1f(x)=ax−2,B,By=xA,B在函数9.在函数的图像上存在两个不同点，使得关于直线的对称点g(x)=ex的图像上，则实数a的取值范围是（）eA.(−,e)B.)2e)D.(0,e2)C.10.某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标．分值权重表如下：总分技术商务报价100%50%10%40%技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的．报价表则相对灵活，报价标的评分方法是：基准价的基准分是68分，若报价每高于基准价1%，则在基准分的基础上扣0.8分，最低得分48分；若报价每低于基准价1%，则在基准分的基础上加0.8分，最高得分为80分．若报价低于基准价15%以上（不含15%）每再低1%，在80分在基础上扣0.8分．在某次招标中，若基准价为1000公司甲技术80分70分商务90分100分报价A甲分A乙分乙甲公司报价为1100800（万元）则甲，乙公司的综合得分，分别是（A.7375.4B.73，C.74.6，D.74.675.4）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）π4x，sinxcosx”的否定形式是_________．命题“12.已知12x)(+n的展开式的二顶式系数之和为32＝_________﹔各项系数之和为_________字作答）f(x)=ax2−x+x13.已知函数有两个不同的极值点x1，x，则实数的取值范围为a_________．214.已知非空集合A，B满足以下四个条件：AB=2,3,4,5,6,7,8①；②AB=；③A中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．（ⅰ）如果集合A中只有1个元素，那么集合A的元素是_________；（ⅱ）有序集合对(,B)的个数是_________．15.阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用．如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点A(−1,0)，(−)，()，()，(0)，(−)，()，A6A7,07A2A3,0A0,4A512346()，并按这样的规律继续下去．给出下列四个结论：A0,88nnn+4=4；，①对于任意正整数nnAn1②存在正整数，为整数﹔n③存在正整数，三角形AAAnn1n+2的面积为2023；n④对于任意正整数，三角形AAAnn1n+2为锐角三角形．其中所有正确结论的序号是_________．三、解答题（共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）中=，等比数列的前项和为T+，b−a=2．22=+若b1.n=an11n1n1.bn116.数列n1（1）求数列，的通项公式；abnnT+a300（2）求满足的最小的n值．nn17.已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表日期升旗时刻7∶7∶7∶6∶6∶日期升旗时刻5∶5∶4∶4∶4∶日期升旗时刻4∶5∶5∶5∶5∶日期升旗时刻6∶6∶6∶7∶7∶1月1日1月日2月日3月2日3月日4月9日4月日5月日6月3日6月日7月9日7月日8月日9月2日9月日10月8日10月26日月日12月1日12月20日表2：某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表日期升旗时刻7∶7∶7∶7∶7∶日期升旗时刻7∶7∶日期升旗时刻2月1日2月3日2月5日2月7日2月9日2月日2月日2月日2月日2月日2月日6∶6∶6∶6∶6∶2月日2月日2月日2月日7∶7∶7∶（1）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于700的概率；（2）甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记X为这两人中观看升旗的时刻早于700的人数，求X的分布列和数学期望()；EX3160（3）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7∶化为72中所有升旗时刻对应数据的方差为s2，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为，判断s2与的大小﹒（只需写s2*s2*出结论）18.如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，CD==AF=FE=2，=4⊥，.（1）求证：DF∥平面BCE；（2）求二面角C−−A的余弦值；（3）线段上是否存在点G，使得AG平面BCF？请说明理由.⊥x22+y2=1(a)A1、A，点M在E219.已知椭圆E：的左右顶点分别为a(N4,0)的直线l与交于另外一点，且关于轴的对称点EBBxAAM面积的最大值为2M和点12为C．（1）求椭圆E的标准方程；（2）试判断直线MC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）线段的长度MC能否为下列值：、？（直接写出结论即可）3312()=20.函数fxx2−ax+b(aR)．y=fx()在x=1处的切线的方程为3x−y−3=0，求实数a、b的值；（1）若曲线（2）讨论函数()的单调性；fx11(2，不等式f(x)−f(x)m−（3）若a=−2，对任意x,x恒成立，求m的最小值．121212=2,3,N*)A=a,a,MmN(*)，且对任意的b21.已知集合MM，存在，若集合12A1ijm()b=a+a,−0,1（其中A为集合的一个12aaM，，使得ij1i2jm元基底．（1）分别判断下列集合A是否为集合M的一个二元基底，并说明理由；A=1,5，MM=2,3,4,5；①②A=2,3，=2,3,4,5,6．(+)；mm1mn（2）若集合A是集合M的一个元基底，证明：M=2,3,mmm的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值（3）若集合A为集合时M的一个基底A．参考答案一、选择题（共10小题，每小题5分，共5分．选出符合题目要求的一项）1.【答案】B【分析】根据集合补集和一元二次不等式解法化简集合，再根据交集运算法则求解答案.A=xRx2，【详解】因为所以R，−3x，B=xRx2因为所以()B=xRxx−30=xR0x3，所以(RA)B=xx3.故选：B2.【答案】C【分析】由导函数图象可得()的取值情况，即可判断.fx【详解】根据()的图象可得，在(−)上，x0()，且仅有()=f10，fx3f∴()在fx(−)2,3上单调递减，∴()在区间fx(−)2,3上没有极值点，故A、B、D错误，C正确；故选：C.3.【答案】A【分析】利用0推出充分条件成立，取特殊值推出必要条件不成立，从而得出结论.【详解】若c0，则=2−()有零点，则c0函数()有零点；fxfx4c0，此时，函数“”“”b取b=2，c1，则fx=f(x)=x2+2x+1=(x+)2，此时，函数()有零点，但fxc0.则“函数()有零点”“c0”.因此，“c0”是函数()有零点”的充分而不必要条件.fx故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了二次函数的零点，考查推理能力，属于中等题.4.【答案】D【详解】试题分析：分三类：第一类，有一次取到3号球，共有33号球，共有32=6取法；第三类，三次都取到3号球，共有1种取法；共有种取法.考点：排列组合，分类分步记数原理.122=12取法；第二类，有两次取到25.【答案】C【分析】根据二项式定理写出通项公式进而求解.rr1155−r1()【详解】二项式x2−的通项公式T=Cr5x2−=−Cr510−3r，xr12x2x231T=−15令r=3，则C35x=−10x=−x.42845451则二项式x2−−展开式中含x项的系数是.2x故选：C6.【答案】B【分析】通过排列组合相关知识，得到所有方案数，再得到甲不能从事A工作的可能情况，结合古典概型概率求解方法得到答案.【详解】甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项，总共A45=120有种方案；若甲不能从事A工作，A44=24①甲不从事任何工作，有种方案，②甲从事工作，但不从事A工作，有C34C13A33=436=72种方案；72+2445=所以甲不从事A工作的概率为.120故选：B7.【答案】C【分析】求出数列的通项，再利用等差数列前n项和公式计算作答.bn【详解】依题意，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即a2n，则b=2=n，an=nnn2+10)数列为等差数列，所以的前10项和为==55bb10.nn2故选：C8.【答案】D【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，利用参数m分离法进行分解，即可得出的取值范围．e−x−exex−e−x【详解】()的定义域为实数集，f(−x)=−f(x)，所以()是奇函数，fxfx=−22fxexe−x0，∴fx()=()+在R上单调递增；由f(msin+f1−m0()()得，fm1)(−)，fmsin则msinm−1，即1−sin)m1，π当=时，sin=1，此时不等式等价为01成立，2π11，所以m，20sin，当1−sin因为则0sin1，−1−sin0，所以01−sin1，11，则m1.1−sin故选：D.9.【答案】Cf(x)=ax−2y=lnx有两个焦点，进而可得参数范围.【分析】由题意可转化为函数与函数f(x)=ax−2y=lnx有二个不同交点，【详解】解：由指对函数性质可知，可转化为函数与函数当a0时，不合题意；x+2当a0时，ax−2==，有两个解，xaxx+2()=hxx0，设函数，x−x−1()=hx()=hx0，解得x=e，1，令x2所以函数()在e−1)单调递增，则(+)1e,单调递减，hxe−1+2()所以hx==e，e−1e−2+2(−)he=2=0，又e−2()，hx0x→且当所以时，ae()，故选：C.10.【答案】A【分析】根据定义计算甲，乙两公司的报价得分，再计算综合得分．【详解】甲公司报价为（万元），比基准价1000（万元）多10010%，所以得分为68-0.810=60，因此综合得分为8050%+9010%+6040%=73；乙公司报价为8001000（万元）少20020%，所以得分为−(−)8020150.876=7010%+7640%=75.4，故选A．，因此综合得分为【点睛】本题考查了函数值的计算，属于中档题．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）π4x【答案】，sinxcosx.【分析】由全称命题的否定是特陈命题，即可得出答案.π4x【详解】命题“，sinxcosx”的否定形式是：π4x，sinxcosx.π4x，sinxcosx.故答案为：12.【答案】①.5.=n32，算出，令x=1即可求出二项展开式的系数和.【分析】由题意可得：2【详解】12x)n(+n2n=32，则n=5，的展开式的二顶式系数之和为32令x=1，12(+)5=5=243.故答案为：5；.113.【答案】8【分析】求出函数的定义域与导函数，依题意()fx=0有两个不同的正实根，利用根的判别式及韦达定理得到不等式组，解得即可.fx=ax【详解】因为()2−x+x2ax定义域为()，12−x+1，所以fx2ax−1+()==xx因为函数f(x)=ax2−x+x有两个不同的极值点x，，x12所以()=，，xfx0有两个不同的正实根x12即方程22−x+1=0有两个不同的正实根x，，x12=−Δ18a0118x+x=00a所以，解得，122a1xx=1202a1所以实数的取值范围是a81故答案为：814.【答案】①.7.A中只有1个元素，则1A，7B7A，1B，即，即可推出A；（ⅱ）分别讨论集合A，B元素个数，即可得到结论．【详解】因为集合A中只有1个元素，则集合B中有7个元素，所以1A，7B，A=，即集合A的元素是7；则7A，即若集合A中只有1个元素，则集合B中只有7个元素，则1A，7B，即7A，1B，此时有C1，06=若集合A中只有2个元素，则集合B中只有6个元素，则即6A，2B，则有C6若集合A中只有3个元素，则集合B中只有5个元素，则3A，5B，即5A，3B，此时有C62A，6B，1=6，2=15，若集合A中只有4个元素，则集合B中只有4个元素，则4A，4B，显然矛盾；若集合A中只有5个元素，则集合B中只有3个元素，则5A，3B，即3A，5B，此时有C46=15，若集合A中只有6个元素，则集合B中只有2个元素，则6A，2B，A，6BC，此时有56=6，即2若集合A中只有7个元素，则集合B中只有1个元素，则7A，1B，即1A，7B，此时有C66=1，(,B)+++++=故有序集合对的个数是1615156144，故答案为：7；15.【答案】①②④S=△nn1+△n1n+2【分析】根据规律判断①，利用特殊值判断②，由判断③；利用余弦定△nn1n+2理证明从而判断④.nnn+4=n−(+)=n44，故①正确；【详解】依题意可得对于任意正整数，当n3时，AA==42425Z，故②正确；+=3112S=nA+An1n+2=n1n+n1n+2△nAAnn1+2n1211=n(n++(n+n+2)=(n+2+2，因为(n不可能等于2023，故③错误；+2n+1，=2n+6n+5，+n+4，22nn1=n2+(n+2=2n2AA=(n+n1n+22+(n+2)22nn+2=n+n+2=2n+2=4nnn1n1n+2nn+22AAAn+2n1AAA为最大角，n+2n1n因为，所以在三角形中，n(+8n+4)2n2+2n+1+2n2+6n+5−4n2cosAAA=n+2n1n22n2+2n+12n2+6n+52=0，22n2+2n+12n+6n+52AAAAAA则为锐角，即三角形为锐角三角形，故④正确；n1n+2n+2n1nn故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据阿基米德螺线的规律，结合两点间的距离公式，面积公式，余弦定理等探究求解即可.三、解答题（共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）a=nb=2n16.1）（2）8，nna=11an1=n+1，结合等差数列的定义求得an=nb=a+1b−a=2；利用，求1122）由，得等比数列的通项公式；bn(−)()T+a=22−1+n300，结合单调性即可得到T=22nn（2）根据等比数列的求和公式得到，nnnn最小的值.【小问1an1=n+1，所以an1−an=1，因为所以数列是a=1，公差为1的等差数列，1ana=1+n−1=n()所以因为，nb=a+1=2b−a=2，，1122b=42所以，4所以等比数列的公比q==2，bn2=所以n22n1−=2n.【小问2()21−2n()n==22n−1，1−2()T+a=22n−1+n300，nnT+an因为单调递增，nT+a=2127+7=261300T+a=2255+8=518300，且，7788n所以的最小值为8.317.1）423()=EX（2）分布列见解析，（3）s2*2【分析】（）记事件A为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，由此能求出从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00的概率；（2）X可能的取值为0，，2，记事件B为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于513237:00”，则P(B)==P(B)=1−P(B)=，由此能求出X的分布列和数学期望；．15（3）由方差性质推导出【小问1s2s2*．记事件A为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，在表1的个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，152034()PA．【小问2X可能的取值为0，12．记事件B为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，51323P(B)==P(B)=1−P(B)=．则．1549P(X=0)=P(B)P(B)=12，4(=)=C1=，，PX233919P(X=2)=P(B)P(B)=所以X的分布列为：XP012494919441923E(X)=0+1+2=．99【小问3由表1所有升旗时刻对应数据比较集中，而表2所有升旗时刻对应数据比较分散，可得s2s2*．18.1）见解析；5（2）；5（3）不存在，理由见解析.【分析】(1)证明∥CE．然后证明DF∥平面．⊥A−．求出平面BCF的法向量，平面(2)在平面内，过A作AzAB，建立空间直角坐标系ABF的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．(3)解法一：求出平面ACE的法向量通过m，说明平面ACE与平面BCF不可能垂直．解法二：假设线段CE上存在点G，使得AG⊥平面BCF，设CG=CE，其中[0，．通过AG⊥平面BCF，∥n得方程组，判断方程组无解，说明假设不成立．【小问1∵CD∥EF，且CD=EF，∴四边形CDFE为平行四边形，∴∥CE．DF∵∴平面，DF．平面【小问2在平面内，过A作AzAB．∵平面ABCD⊥平面，平面ABCD平面，，Az⊥AB⊥=又Az平面，∴Az平面⊥ABCD，∴ADAB，⊥AD⊥Az，Az⊥AB．A−如图建立空间直角坐标系：(0，0，0)B(0，，4，0)，C(220)，，，E(0,3)，F3)．由题意得，∴BC=(2，2，0)，(0，3，3)．−=2x−2y=0−3y+3z=0nn=(x,y,z)设平面BCF的法向量为y=1，则x=1，z，则，即BF0=3，∴n=3)．令v=0)平面ABF的一个法向量为，则n,v．|n||v|55∴二面角C−−A的余弦值．5【小问3线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF，理由如下：2x+2y=0mm=(x,y,z)11解法一：设平面ACE的法向量为，则,即111+=0·3y311y=1x=1z=−3m=(−−3)，∴．令，则，，111∵m∴平面ACE与平面BCF不可能垂直，从而线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF．解法二：线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF，理由如下：假设线段CE上存在点G，使得AG⊥平面BCF，设CG=CE，其中[0，．设G(2，y，z)2，则有(x−y−z)=(2,,)，2222x=2−2y=2+z=，从而G(2−2,2+,)∴，，，222∴AG(2−2,2+=,)．∵AG平面⊥BCF，∴∥n．2−22+==∴有，113∵上述方程组无解，∴假设不成立．∴线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF．x2+y2=119.1）4（2）直线过定点，定点坐标()；1,0（3）线段的长度MC能为，不能为3.3）当M在短轴的端点时，值，即可求出椭圆E的标准方程；AAMAAMa的面积即可求出的取得面积的最大值，表示出1212（2）联立直线l的方程和椭圆方程，化简写出根与系数关系，求得直线MC的方程，结合根与系数关系来MC判断出直线过定点.（3）求出MC的最大值和最小值即可得出答案.【小问1AAM当M在短轴的端点时，取得面积的最大值，121x2S=2ab=a=2，所以椭圆E的标准方程为：+y=1.2则24【小问2()，依题意可知直线的斜率存在且不为，l0N4,0y=kx−4()，设()()(−)，Bx,y,Mx,y,Cx,y211设直线l的方程为112=(−)ykx41+4ky消去并化简得)x−32kx+64k−4=0，2222x2+y2=1432k+264k−42x+x=,xx=，12212+214k14ky2+yyy+=1xx(−)，1直线MC的方程为1−21根据椭圆的对称性可知，若直线MC过定点，则定点在轴上，xy2+yy=0y1=1x1(−)，由此令得21−(−)(−)+(+)xy+xyxy211211221yxxyxxyx=121+1=1=即y21+y21++y21(−)+(−)(−)+(−)21221x4xx−(+)x4kx4kxx4xx4==1221=1221=−4k+−4kx+x−82x+x−82121164k2−4232k2128k32k2−8−128k22−41+4k32k1+4k1+4k21+4k22==1，2−8−32k2−821+4k2所以定点为().1,0【小问3因为直线过点()，所以的最小值为过点()且垂直轴与椭圆的交点，Q1,0Q1,0MCx13令x=1，则+y2=1，解得：y=，故=3.42=，故=4，MC的最大值为长轴长2a433MC4MC.所以，所以线段MC能为，不能为3【点睛】求解定点问题常用的方法：(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明.(2)“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标.(0,y0)，常利用直线的点斜式方程y−y=kx−x)来证明.0((3)求证直线过定点01220.1）a=−2，b=−（2）答案见解析312）通过曲线在某一点的切线的相关知识直接求解；（2）利用导数，对参数分类讨论，即可求解单调性；mm1mx0xx2f(2)+f(1)+h(x)=f(x)+，构造函数（3）设，将原表达式化为，根据122h(x)为(0,2]上的减函数，参变分离求解函数的最值即可.【小问11()=x2ax+b(aR)−fx因为所以，2ax()=−fxx，y=f(x)x=1处的切线的方程为3x−y−3=0在，因为曲线()=−=f11a3所以1，()=+=f1b021=−2，b=−解得a2【小问21()=fx−+()，定义域()x2axbaR，因为2axx−a2所以fx()=−x=，x若a0，f恒成立，所以fx()在()单调递增；若0，令()=fx0，得x=a，当＜＜a时，()()单调递减，fx0fx，当＞a时，()()单调递增fx0fx，综上所述，若a0，则fx()在()单调递增(a,+)单调递增.若0，()在a单调递减，在fx【小问31()=fxx22lnxb++，因为a=−2，所以2所以函数()在上单调递增，，m为任意实数，原不等式恒成立；2fx(0,2]x=x若若111xx10x＜x2＞，不妨设，则，2121211()−()−f1f2m因为所以1211()−()−f2fxm，112mm1f(2)+f(1)+即设恒成立，2mx1m()=()+=x22lnx+++b，hxfx2xmm1f(2)+=f(1)+h(x)是(0,2]若，则，则上的常函数，显然不成立，2mm1f(2)+f(1)+h(x)是(0,2]若上的减函数，22m()=+−hx2(0,2](0,2]在上恒成立，x0mx+2x3所以在上恒成立，即xxy=x3+2x在(0,2]上是增函数，所以x3+2x12（当且仅当x=2的最小值为12【点睛】方法点睛：本题考查函数与导数的综合问题.利用导数解决函数单调性是常见方法，本题通过hx又函数综上，m12，即m()是hx上的减函数，转化为()在(0,2]0(0,2]上恒成立，进而求解答案.21.1）见解析（2）见解析（3）见解析A=1,5不是M=2,3,4,51）利用二元基底的定义加以验证，可得的一个二元基底.，底．A=2,3M=2,3,4,5,6是的一个二元基aa，计算出b=+1