浙江省五校联盟2023-2024学年高三年级下册3月联考数学试题

浙江省五校联盟20232024学年高三下学期3月联考数学试卷

命题:浙江省杭州第二中学

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符

合题目要求.

1.若全集°,集合48及其关系用韦恩图表示如图，则图中阴影表示为()

A.2(ZcB)B.2(NUB)C.(四D.NC(令8)

【答案】C

【解析】

【分析】图中阴影表示的集合的元素属于集合3,但是不属于集合4即可得出.

【详解】图中阴影表示的集合的元素属于集合3,但是不属于集合力,即为(用Z)CB.

故选：C

2.已知向量a=(1,2),向量不满足|61=2,若£，3，则向量力与Z的夹角的余弦值为()

275V5

ARC.旦D.旦

5436

【答案】C

【解析】

【分析】由数量积运算律、模的坐标公式得-孙@=5、\a\=y/5,进一步求得——的值,

结合向量夹角公式即可求解.

【详解】由题意，得|句=痛，且R—z^-a=a2-a-b=5-0=5,

\a-b\=yl(a-b)2=-2a.石+7=-0+4=3，

(a-B).a5V5

设向量与a的夹角为。，贝!]cose=-

\a-b\-\a\3x^53

故选：C.

3.设6,c表示两条直线，a,尸表示两个平面，则下列说法中正确的是()

A.若bIla,cua,则b//cB.若bIlc,bua,则c//a

C.若a10,clla,则c_LQD,若c//%c_L〃，则&_!_»

【答案】D

【解析】

【分析】利用平行，垂直的相关性质定理逐一判断即可.

【详解】对于A：若b/la,cua,除非说明瓦c共面，否则不能推出6//c,A错误,

对于B：若b//c,bua,没有说明c<za,不能推出c//a,B错误;

对于C：若&J_A，c//a,则cu万，clip,c,夕都有可能，c错误;

对于D：如图，过直线c作1•个平面与a交于直线6,由线面平行的性质定理可得c/\,又cL/3,所以

bl/3,又Auer,得a上尸,D正确.

4.已知角a的终边过点尸(一3,2cosa),则cosa=()

1

B.V3D.——

V2

【答案】B

【解析】

【分析】由已知可得出cosa<0,利用三角函数的定义可得出关于COSa的方程，解之即可.

-3

【详解】由三角函数的定义可得cosa=/,=<0,

V9+4costz

整理可得（4cos2a+9卜os2a=9,即4cos,a+9cos2a-9=0，

cos2a+3）=0,可得cos2a=3,ifecoscr=--

即（4cos2a-3

'42

故选：B.

5.设等比数列｛4｝的公比为心前〃项和为S〃，则“q=2”是“｛S“+%｝为等比数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】应用等比中项的性质，由｛s“+%｝为等比数列，解出q值，即可判断.

【详解】依题，“｛s“+%｝为等比数列“，所以（邑+为『=（S]+a）（S3+q）,

得（2%+/y=2al-（2%+的+/），化简得（2+斤=2（2+q+才），

解得q=2,贝厂q=2”是“｛S“+%｝为等比数歹广的充要条件.

故选：C

6.已知实数x,y满足x>3,且孙+2x—3y=12,则x+>的最小值为（）

A.1+2A/6B.8C.672D.1+273

【答案】A

【解析】

【分析】由题意得>=^^=—2+—9—,进一步表示出x+y=（x—3）+—9—+1,结合基本不等式即

x—3x—3x—3

可求解.

【详解】因为x>3,且孙+2x—3y=12,所以一X=_2+——，

x—3x—3

从而x+y=x—2-\----=（x—3）H-----1-122^/6+1,等号成立当且仅当x-V6+3,y=V6—2,

x3x3

所以x+>的最小值为1+25/6.

故选：A.

22

7.已知双曲线C：^--2L=1（a>0,6>0）的左右焦点分别为片、8、/为双曲线的左顶点，以耳脑

ab

为直径的圆交双曲线的一条渐近线于尸、。两点，且/尸/。二7，则该双曲线的离心率为（）

A..^2B.6C.---D.\/13

【答案】C

【解析】

【分析】先由题意，得到以大耳为直径的圆的方程为必+/=。2,不妨设双曲线的渐近线为y=2%，设

a

夕（x0,y。），则。求出点P。的坐标，得出|/P|,以。|,根据/尸2。=半，再利用余弦

定理求出。，c之间的关系，即可得出双曲线的离心率.

【详解】由题意，以公鸟为直径的圆的方程为犬+/=02,不妨设双曲线的渐近线为y=2%.

a

设〃（々，九）,则。（一/，—%），

bcr

y=—xx-ax=-a

由〈a,解得〈7或〈7,

=

x2+y2=c2y~y­b

P（a,b）,Q（-a,-b\

又A为双曲线的左顶点，则/（—a,0）,

\AP\=^（（2+6Z）2+b2>\^-Q\=-（-a）］2+b2=b>\PQ\=^a+a）2+（b+b^=2c>

27T,7,2

在△P/。中，ZPAQ=—,由余弦定理得|PQ|=|4P『+|ZQ『—2|4PMQ|COS§〃，

即4c2=（a+a）2+b2+b2+yj（a+a）2+b2-b>

即4c之=4a2+2b~+飞4a2+62­b»

贝112方=J4a2+12，所以4/=（4/+/），则3/=4〃，

BP3（c2-a2）=4a2,所以

,cV21

••€———------

a3

故选：C.

【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情

况：①直接求出。，。，从而求出e；②构造。的齐次式，求出e；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定

义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解.

8.在等边三角形48。的三边上各取一点D,E,F,满足。E=3,DF=2也,NDEF=90°，则三角

形4SC的面积的最大值是（)

7]3

A.70B.1373C.-J3D.—43

【答案】A

【解析】

【分析】首先求出£尸，设乙BED=e,在ABDE、跖分别利用正弦定理表示出BE、

CE,从而得到BC=BE+CE,利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出5c的最大值，即可求出三角形

面积最大值.

【详解】因为。£=3,DF=2也，ADEF=90°»所以EF7DF?-DE?=6，

设/BED=9,

则N8DE=0—6,ZCEF=--3,ZC-FE=-d]=-+3,

323UJ6

BE

BEDE

在△BOE中由正弦定理,即sin

sinNBDEsin5

所以BE=2A/3sinf^--^j,

CE亲2

CEEF

在△CM中由正弦定理二-----'即sin但71+6

sinZCFEsinC

62

所以CE=2sin

所以BC=BE+CE=2百sin1$一8)+2sin1g+6

2^/31sin/cos0-cos/sin。]+2[sin£cos0+cos.sin0

=2Gsin6+4cos2近sin（。+。）（其中tan9=——-）,

所以5Gmx=24，

则S，ABC=*sin；=与BC?<^x（2V7）2=7G，

即三角形45。的面积的最大值是7G.

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题关键是用含。的式子表示出BE、CE,再利用三角恒等变换公式及辅助角公式

求出8cmax-

二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在学校组织的《青春如火，初心如炬》主题演讲比赛中，有8位评委对每位选手进行评分（评分互不相

同），将选手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分，则下列说法中正确的是（）

A.剩下评分的平均值变大B.剩下评分的极差变小

C.剩下评分的方差变小D,剩下评分的中位数变大

【答案】BC

【解析】

【分析】去掉一个最低评分和一个最高评分平均分变换未知，根据极差概念知极差变小，根据方差意义知

方差也变小，根据中位数概念知中位数未变.

【详解】去掉一个最低评分和一个最高分后剩下评分的平均值有可能变小、不变或变大，A错误；

剩下评分的极差一定会变小，B正确；

剩下评分的波动性变小，则方差变小，C正确；

剩下评分的中位数不变，D错误.

故选：BC

10.在三棱锥/一中，已知48=/C=5£>=CD=3,4D=BC=2,点N分别是4D,3c的中

点，则（）

A.MN1AD

7

B.异面直线/N,CM所成的角的余弦值是§

C.三棱锥/-BCD的体积为些

3

D,三棱锥5CO的外接球的表面积为IE

【答案】ABD

【解析】

【分析】将三棱锥补形为长方体，向量法求直线的夹角判断A,B；利用体积公式求三棱锥的体积判断C；

确定三棱锥的外接球的半径，求表面积判断D.

【详解】三棱锥力—中，已知4B=4C=BD=CD=3,4D=BC=2,

三棱锥补形为长方体如图所示，

BF-+BG-=AB'=9

则有<BF-+BE'=BC2=4,解得BF=BE=C,BG=5，

BG2+BE2=BD2=9

以8为原点，而，砺，前的方向为x轴，了轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,

点、M,N分别是40,3c的中点，

则有5（0,0,0）,。（后,收,0）,/（五,0,g,D（0,五,

M,N-^-,^-,0,

\7\7

丽=（0,0,-近），=（-V2,V2,o）,MN-AD^0^

所以上W/4D,A选项正确；

万/_变正屿］,变走近、，

2222

6V2(亚、

-------x+——X

AN-CM22-7

cosAN,CM=

(6

r后丫+

2J122

7

所以异面直线NN,CM所成的角的余弦值是一，B选项正确；

8

三棱锥E—三棱锥G—48。，三棱锥尸—48C,三棱锥〃—ZCO,体积都为

—X—xV2xV2xV7二^~，

323

三棱锥力-BCD的体积等于长方体体积减去这四个三棱锥体积，为血乂血乂近-4xYZ=2互，C选

33

项错误；

长方体的外接球的半径为1(3)+(应)+(8)而,这个外接球也是三棱锥/-BCD的外接球，

2―于

其表面积为47rxi乎j=11兀，D选项正确.

故选：ABD.

11.已知函数/(x)=e"心皿：+(\)8%),则()

JT

A.八＞)的零点为％=左兀——,keZ

4

7T371

B./(%)的单调递增区间为2左兀H—,2左兀H-----，左£Z

_22_

「兀12-

C.当XE0,-时，若/(x)z区恒成立，则左V*.e2

-2」71

D.当xe—竺等，竺等时，过点作〃x)的图象的所有切线，则所有切点的横坐标之和为

502兀

【答案】ACD

【解析】

【分析】由辅助角公式变换后求正弦函数的零点可得A选项；由复合函数的单调性求出正弦函数的递增区

间可得B选项；分离参数后构造函数求导，求最小值可得C选项；设出切点，利用导数的意义求出切线的

斜率，利用点斜式写出直线方程，再代入可得tan%=2(%一微],得到乂/2都关于点(^，0

对称，再利用对称性求出给定区间内的切点之和可得D选项.

【详解】A：/(x)=ex-(sinx+cosx)=V2exsinx+—,所以x+四=E=>x=E-工，左eZ,故A

I4J44

正确；

ITTTTT

B：由复合函数的单调性可知，当-一+2EWx+—<2E+—#eZ,函数为递增函数，解得

242

3兀

——7i<x<2/CK+—,keZ,故B错误；

44

C:若/(X)2丘恒成立，所以忘6*也1+：)区，

因为xe0,—,当x=0时，V2sin—>0,此时左取任意值，

2J4

当x#0时,设,缶工sm(x+z),则

g(x)=-------------

y/2exsin|x+—j+V2excosfx+£|X-缶，sin[x+£|辰岳cosx-sin[x+£]画出中括号

小)=^——--------1

X2

内的函数图像

w

由函数图像可知，g'(x)<0在xe0/恒成立，所以g(x)单调递减，

所以g(x)mm=g[]=：e5,故k2四

<--e2,故C正确；(老师，请联系我一下，谢谢)

兀

D：因为/'(x)=2e*cosx,设切点坐标为(%,二。(sin/+cos毛))，

x=xr

则切线的斜率为f'(0)2e*°cosx(,则切线方程为y-e°(sinx0+cosx0)=2e°cosx0x(x-x0),

代入点,o］可得0—e*°（sinX。+cosx0）=2e*cosx0x-x0j,

两边同时除以cos不可得tan%=-,

令％=tanx,%=2卜一］］,所以必,为都关于点［I，。］对称，

则所有的切点关于对称，

当xe一整即"”时共有502对切点，每对和为兀，故所有切点的横坐标之和为502兀，故D正确；

L22J

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：

（1）复合函数的零点即为使函数等于零时方程的根；

（2）带参数的函数不等式恒成立问题求参数范围时，可分离参数后构造函数求导，求出函数的最值与参数

比较即可；

（3）对于求曲线的切线方程时可求导后代入切点的横坐标求其斜率，由点斜式写出直线方程，再根据点在

切线上代入切线方程得出具体的切线方程.

三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.直线3x—4y+3=0的一个方向向量是.

【答案】［1,：）（答案不唯一）

【解析】

【分析】由直线方向向量的定义求解.

【详解】因为直线3x—4了+3=0的斜率为（，所以直线3x—4了+3=0的一个方向向量是11,（1

故答案为：［1,；］（答案不唯一）

2

13.甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为乙

获胜的概率为,，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为

3

2

【答案】1##0.4

【解析】

【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法求甲获得冠军的概率、甲获得冠军且比赛进行了3

局的概率，再由条件概率公式求甲获得冠军的情况下比赛进行了三局的概率.

【详解】设甲获得冠军为事件4比赛共进行了3局为事件8,

则48表示在甲获得冠军的条件下，比赛共进行了3局，

…、2221212220

­、，2

故答案为：y.

14.已知函数/(x)及其导函数/'(X)的定义域均为R,记g(x)=/'(x),若/(2x-l),g(x-2)均为偶函数,

且当xe［1,2］时，f(x)=mx3-2x,贝|g(2024)=.

【答案】-6

【解析】

【分析】根据题意，由函数的奇偶性以及对称性可分别推出函数/(x)与g(x)的周期性，再由条件可得加

的值，结合函数的周期性即可得到结果.

【详解】因为/(2x—l),g(x—2)均为偶函数，

所以—=—g(x—2)=g(—x—2),

所以函数/(X)关于X=-1对称，函数g(x)关于X=-2对称，

由g(x—2)=g(—x—2)可得/'(x—2)=/'(—x—2),

即/(x—2)=—/(—x—2)+。，。为常数，

所以/(X—2)+/(—x—2)=C,即/(x)关于点(一2,耳］对称，

且函数/(x)关于x=—1对称,

所以/(—x—2)=/(x),/(x-2)+/(x)=C,/(x-4)+/(x-2)=C,故/(x—4)=/(x),即4是

函数/(x)的一个周期，

由/(2x—1)=/(—2x—1)可得2/'(2x—1)=—2/'(―2x-1),

所以/,(2x-l)+/,(-2x-l)=0,即g(2x—l)+g(_2x—l)=0,

所以g(x)关于点(-1,0)对称，且函数g(x)关于x=-2对称，

则g(-x_2)=_g(x),g(-x-2)=g(x_2),g(x)=-g(x-2),g(x-2)=-g(x-4),

故g(x)=g(x—4),所以4是函数g(x)的一个周期，

又当xe[l,2]时，/(%)=mx3-2x,所以g(x)=/'(x)=3/m?-2,

所以g(l)=3加一2,g(2)=12加一2,

由g(x—2)=g(-x_2),令x=—3,则g(l)=g(—5)=g(3),

而g(T)=g⑶=g6=0,

所以加=§,则g(2)=6,所以g(2)+g(—4)=0,

则g(2024)=g(-4)=-6.

故答案为：-6

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性，对称性以及周期性的综合，难度较大，解答本题的

关键在于由函数奇偶性的定义推导得到函数的对称性，从而确定周期.

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，斜三棱柱4G的底面是直角三角形，NZC8=90°，点4在底面N3C内的射影恰好

是2C的中点，且8C=CA=2.

(1)求证:平面NCG4，平面gqCB；

(2)若斜棱柱的高为百，求平面月与平面/用G夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；

（2）—.

7

【解析】

【分析】（1）2C中点为W,连接用由81MLzc且证得平面81GC8,可证平

面NCG4J_平面3013.

（2）以。为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值.

【小问1详解】

取2C中点为W,连接用

耳在底面内的射影恰好是中点，，用河1平面ABC,

又•.•ZCu平面48C,BXM±AC,

又ZACB=90°，ACLBC,

•••8iM,8Cu平面耳GC8,B[MCBC=M,ZC1平面用6口,

又ACu平面ACQA,,平面ACCXAX，平面B&CB.

【小问2详解】

以C为坐标原点，C4CN分别为x轴，》轴，建立如图所示空间直角坐标系,

,:BC=CA=2,斜棱柱的高为道,

r.A(2,0,0),5(0,2,0),M(0,1,0),Bx(0,1,V3),Cj(0,-1,73),

福=(-2,1,6),AB=(-2,2,0),前=(0,-2,0),

设平面48瓦的一个法向量为五=（x,y,z）,

n-AB.=-2x+y+V3z=0广l

则有《—.>令2=,则x=y=3,.,.方=(3,3,,

n-AB=-2x+2y=0

设平面NBC的法向量为比=（a,b,c）,

m-AB,=-la+b+=0

则有」令口=百，则6=0,。=2,，比=（6,0,2）,

m-BlCl=-2b=0

I__I\n-m\5百5

:\cosn,m\==/——/.=-

问同V9+9+3xV3+0+47

所以平面月与平面N8C夹角的余弦值为

16.己知函数/(x)=lnx-ax,其中aeR.

（1）若曲线V=/（x）在X=1处的切线在两坐标轴上的截距相等，求。的值；

（2）是否存在实数。，使得/（x）在xe（O,e］上的最大值是-3?若存在，求出。的值;若不存在，说明理由.

【答案】（1）。=2；

（2）存在，a=e2

【解析】

【分析】（1）结合导数的几何意义求出切线方程即可求出参数值.

（2）含参分类讨论，利用导数求函数的单调性，进而得到最大值，分别求解即可得到参数值.

【小问1详解】

f'M=--a,则/'⑴=1一生/⑴=一。，

故曲线V=/（X）在x=l处的切线为歹+。=（1一。）0-1）,

即歹二（1一d）x-1,

当。=1时，此时切线为丁=-1,不符合要求

当QW1时，令X=0,有歹二一1，

令>=°，有］=----，故一--二-1,即4=2,故4=2

1-a1-a

【小问2详解】

v/(x)=lnx-ar,/./(x)=——a=---

①当Q«0时，/⑸在（o,e］上单调递增,

4

•・J(x)的最大值是/(e)=l—ae=-3,解得。=—>0,舍去;

e

②当Q>0时，由/(X)=J-Q=^——=0,^X=—,

xxa

当0<』<e,即时，.•.X£（O,L］时，/（x）>0;xG|—,e/（x）<0,

ae<a）\a）

•・J（x）的单调递增区间是（0,：］,单调递减区间是［:,e）,

又/(x)在(0,e］上的最大值为-3,・・・/(x)max

当e«,，即0<aV工时，/（无）在（0,e］上单调递增，「./（Mmax=/（e）=l—ae=-3,

ae

,41

解得〃=—>一,舍去.

ee

综上所述，存在。符合题意，此时a=e?

17.记复数的一个构造:从数集｛0』,G｝中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部.重复〃次这样的构

造，可得到〃个复数，将它们的乘积记为2“.已知复数具有运算性质:［伍+历）•（c+片）|=|伍+M）|-|（c+di）|,

其中a,b,c,d€R,

（1）当〃=2时，记的取值为X,求X的分布列；

（2）当〃=3时，求满足2的概率；

（3）求㈤<5的概率月.

【答案】（1）答案见解析；

⑵—；

27

⑶尸（匕」<5）="・

【解析】

【分析】（1）依题意可得构成的复数共有6个，再根据模长不同求得取值X,再求出对应概率即可;

（2）由模长求出"归2的所有可能组合，即可求出对应概率；

1+2/

（3）列举出所有满足|z,J<5的组合，分别求出对应的概率即可得「（匕“|<5）=

3"

【小问1详解】

由题意可知，可构成的复数为(l,i,V3,后,1+6,6+i｝共6个复数,

模长为|[=1|=1,网=网=6,卜+网=|6+4=2.

X的可能取值为1,、回,2,3,2万,4，

11

p(x=i)==CC=二1尸(X=6L)昱=-P(X=2)=CC=2

CC9'()CC

99

1111

P(X=3)=^C-^C=-,1P(X=273I-)=C-C2P(X=4)=c；C_1

9C16c9CFC[=9

所以分布列为:

X1V3232G4

122121

P

999999

【小问2详解】

共有C/C〉C；=216种,

满足2的情况有:

①3个复数的模长均为1,共有©](2](2；=8种；

②3个复数中，2个模长均为1,1个模长为6或者2,共有•《•©,=48种；

所以啡归上曹小

【小问3详解】

当〃=1或2时，显然都满足，此时£=1;

当〃》3时，满足|z』<5共有三种情况：

①〃个复数的模长均为1,则共有(C；)"=2";

②n-1个复数的模长为1,剩余1个模长为G或者2,则共有C：T=〃-2"+1;

③〃-2个复数的模长为1,剩余2个模长为6或者2,则共有C；2.©广©©=n(n-1)-2n+1.

nz.,a2"+〃2+、〃(〃-1)2用2"(l+2〃2)1+2/

故尸(凡<5)=----------------------=----万----=”,此时当”=1,2均成立.

/C1\o3

所以尸(阂＜5)=岑上

18.在平面直角坐标系xQy中，我们把点(x,y),x,yeN*称为自然点.按如图所示的规则，将每个自然点

(x,y)进行赋值记为尸(x,y),例如尸(2,3)=8,P(4,2)=14,P(2,5)=17.

片I+

7争

I⑰令

5⑫

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(1)求P(x,l);

⑵求证：2尸(x,y)=P(x-Lj)+?(x，V+1)；

(3)如果P(x,j)满足方程P(x+1,>-1)+P(x,y+1)+P(x+1,>)+P(x+l,y+l)=2024,求

P(x,y)的值.

【答案】(1)P(x/)="^

(2)证明见解析(3)474.

【解析】

【分析】(1)根据图形即可得到结果；

(2)根据题意，由图形分别计算p(》/)与「(工,了+1)+「(》-1/),然后代入计算，即可证明；

(3)根据题意，将方程转化为P(x,y+l)+3P(x+l,y)=2023,然后化简，分别计算x+y=31与

x+y=33的值，即可得到结果.

【小问1详解】

根据图形可知P(x/)=l+2+3+…+x=M?D

【小问2详解】

固定X,则尸(X/)为一个高阶等差数列，且满足

P(X,>+1)一P(x,y)=x+y-l,P(x+l,y)~P{x,y)=x+y,

所以P(x,y+l)_P(x,l)=l+2+-，+y+y(x_l)=^^+y(x_l)

+1)=:；+1)+y(x-1)+"；1)，

所以P(xj)=^12+^^+(x—l)(y—l)，P(x-l,j)=^^+^^+(x-2)(y-l),

所以

P(x,y+1)+P(xTy)=x(；1)+y(；T)+(x_2)(u_1)+D+y(x—1)+式；D

=x2+y2+2xy-3y-x+2=2P(x,y).

【小问3详解】

尸(x+l,y—1)+尸(x,y+1)+尸(x+l,y)+尸(x+l,y+1)=2024,

等价于尸(x,y)+P(x,y+1)+P(x+1,y)+P(x+l,y+1)=2023,

等价于P(x,y+1)+3尸(x+1,j)=2023,

13

即~[x(x+1)+y(y+2x-l)]+—[(x+l)(x+2)+(j-l)(y+2x)]=2023,

化简得/+2xy+x2-y+x=1010<^>(x+y-l)(x+y)+2x=1010,

由于x+v增大，(x+y—l)(x+y)也增大，

当x+y=31时，(x+y—l)(x+y)+2x<992<1010,

当x+y=33时，(x+y-l)(x+y)+2x>1056>1010,

故当％+y=32时，(x+y—l)(x+y)+2x=1010nx=9j=23,即

P(9,23)=+23x22+8x22=474

22

【点睛】关键点睛：本题主要考查了数列的新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于理解图形的意思,

然后转化为数列问题进行解答.

19.在平面直角坐标系X。)，中，过点/(1,0)的直线/与抛物线C:「=4x交于M,N两点(M在第一象限).

(1)当|"F|=3|NR|时，求直线/的方程；

(2)若三角形。的外接圆与曲线C交于点。(异于点O,M,N),

(i)证明:△MVD的重心的纵坐标为定值，并求出此定值；

(ii)求凸四边形OMEW的面积的取值范围.

【答案】(1)j=V3x-V3

(30)

(2)(i)证明见解析；纵坐标为0；(ii)-^—,+oo.

【解析】

【分析】(1)设直线7W的方程为x=W+l,联立方程，由韦达定理和已知关系即可求解.

(2)⑴由。，M,D,N四点共圆，设该圆的方程为/+_/+必:+纱=0,

联立12.'，消去x,得/+(41+16)产+160"=0,由方程根的思想即可求解.或。,

J=4x

M,C,N四点共圆，由NMON+2MDN=兀，tanAMON+tanZMDN=0,也可求解.

(2)(ii)记的面积分别为51,星，分别联立方程先求出E，$2,所以

S=S]+$2=2J加2+1+27m2+1­|8m2-l|=2^m2+\(1+|8m2-l|),结合根与系数的关系进一步化简

为5=2J疗+1(1+,苏一1])=16m2dm2+1,再结合导数进而求解.

【小问1详解】

解:设直线跖=w+必),

x=my+1c

联立《2:，消去尤，得4/w—4=0,

J=4x

所以M+%=4加,%=-4，

|〃F|=3|NF|,贝!!%=—3%

^+7=-2J=4z«

22则加2=5，又由题意加＞o,.•.加=

2

yry2=-3J2=-4

直线的方程是y=Gx-G；

【小问2详解】

(1)方法1：设必),"(々,先),。(演，/)

因为。，M,D,N四点共圆，设该圆的方程为f+/+公+”=0,