北师大版八年级上册数学第一单元勾股定理作业设计

3基本信息教材版本单元名称八年级第一学期北师大版织方式☑自然单元口重组单元序号11.1探索勾股定理(1)第1.1(P1-4)21.1探索勾股定理(2)第1.1(P4-8)31.2一定是直角三角形吗第1.2(P9-12)41.3勾股定理的应用第1.3(P13-15)51.4回顾与思考(一)课标要求2.在多种形式的数学活动中，发展合情推理能力.勾股定理的验证勾股定理的逆定理勾股数探索勾股定理一定是直角三角形吗勾股定理的应用拼图法割补法等积法勾股定理42.内容分析(1)本单元的核心内容是勾股定理及其逆定理数量关系，充分体现了数形结合思想方法在数学的发展和现实世界中的广泛应用。本章是直角民族的复兴而努力学习.(3)单元教学的重点与难点②勾股定理及逆定理，在现实生活中的应用难点：能够用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题(三)学情分析三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件，并且已具备一定的观察、归纳、猜想和推理但运用面积法、割补思想解决问题的意识还不够。在现阶段由于学生学习积极性高，具有强烈的求知欲望，课堂主动参与，善于表现自我，为学好本单元奠定了基础.三、单元学习与作业目标(一)单元学习目标1、了解勾股定理的历史，感受它的多种证法.2、体会探究勾股定理的困难和探究成功的喜悦.3、会用勾股定理或其逆定理解决简单的问题.1.了解勾股定理的历史，体会勾股定理的文化价值.3.能用勾股定理解决简单的实际问题.4.能用数形结合思想、分类讨论思想、方程思想等数学思想解决问题.5.知道勾股定理的逆定理的得出过程，掌握勾股定理的逆定理.7.能运用勾股定理及其逆定理解决实际问题.的过程中实现核心素养的全面提升.作业设计在关注学生已有的学习经验的基础上，为学生构建成功跨越最近发展区的支架，生形成科学的学习方法，学会思考、独立思考，在潜移默化中实现核心素养的教学目标.本单元作业设计以勾股定理及其逆定理作为核心，把培养学生直观想象和逻辑推理素养为导向，发展空间观念和合情推理能力，让学生在完成作业，自主建构的过程中落实核心素养，5的功能.单元内容1.1探索勾股定理(1)第_1课时作业功能(可多选)□课前预习□课中练习☑课后复习□课后实践作业类型(可多选)☑分层作业口弹性作业口实践性作业□个性化作业□探究性作业□跨学科综合性作业1.能用文字语言和符号语言正确表达勾股定理.2.知道勾股定理只适用直角三角形，揭示的是直角三角形三边之间的数量关系.3.会运用勾股定理进行简单的计算和实际应用必做题有填空题、解答题选做题是解答题作业时长基础性作业12分钟，拓展性作业6分钟，合计18分钟基础性作业(必做)作业内容设计意图与题目来源1.请你根据图中的直角三角形叙述勾股定理(分别用文字语言及符号语言叙述);.Cab模思想，考查学生的解题能力.第1得出三角形是直角三角形，利用勾股理只适用于直角三角形，并熟练掌握已知直角三角形的两边可求出第三6BBCA3.在Rt△ABC中，已知∠C=90°,BC=a,AC=b(1)若a=3,b=4,求c;(2)若a=8,c=17,求b;(3)若b=24,c=25,求a00□数据分析☑应用作业评价表等级备注ABCA等，答案正确、过程正确B等，答案正确、过程有问题.A等，过程规范，答案正确B等，过程不够规范、完整，答案正确.C等，过程不够规范或无过程，答案错误.A等，解法有新意和独到之处，答案正确.B等，解法思路有创新，答案部完整或错误.C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合7拓展性作业(或实践性作业等)(选做)1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,作业分析与设计意图：考查学生利用勾股定理解决问题的能力.第1题考查勾股定理的应用及直角三角形面积的不同表示方法.□数据分析(1)求AB的长；(2)求CD的长.CCD☑应用作业评价表等级备注ABCA等，答案正确、过程正确B等，答案正确、过程有问题.错误、或无过程.A等，过程规范，答案正确B等，过程不够规范、完整，答案正确C等，过程不够规范或无过程，答案错误.A等，解法有新意和独到之处，答案正确.B等，解法思路有创新，答案部完整或错误.C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合B等；其余情况综合评价为C等.8单元内容1.1探索勾股定理(2)第_2课时作业功能(可多选)□课前预习口课中练习☑课后复习□课后实践作业类型(可多选)☑分层作业口弹性作业□实践性作业□个性化作业□探究性作业□跨学科综合性作业1.会用拼图法、等积法验证勾股定理2.能运用勾股定理解决一些实际问题.必做题有填空题选做题有解答题作业时长基础性作业11分钟，拓展性作业9分钟，合计20分钟基础性作业(必做)作业内容设计意图与题目来源1.如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的得到的一个验证勾股定理的等式是思想、分类讨论思想，考查学生的解题能力。第1题利用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，验证间的关系，并用字母表示；第2题通过角边或斜边，根据勾股定理计算即可☑数学建模☑数学运算☑直观想象<8aCCCCb为3.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图，根据图中尺寸(单位：mm),计算两圆孔中心□数据分析☑应用A|CA9作业评价表等级备注ABCA等，答案正确、过程正确B等，答案正确、过程有问题.错误、或无过程.A等，过程规范，答案正确B等，过程不够规范、完整，答案正确C等，过程不够规范或无过程，答案错误.A等，解法有新意和独到之处，答案正确.综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合B等；其余情况综合评价为C等.拓展性作业(或实践性作业等)(选做)1.如图，隔湖有两点A、B,从与BA方向成直角的(2)B点到直线AC的距离B2.探索与创新如图，所有的四边形都是正方所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm,请你完成下列学习任务(1)求出正方形A,B,C,D的面积之和；(2)利用几何画板软件画出如下图所示的图形，并验证上述(1)中你得到的结论.BBAD数形结合思想和勾股定理的应用,并□数据分析☑应用作业评价表等级备注ABCA等，答案正确、过程正确.B等，答案正确、过程有问题.A等，过程规范，答案正确.B等，过程不够规范、完整，答案正确.C等，过程不够规范或无过程，答案错误.A等，解法有新意和独到之处，答案正确.B等，解法思路有创新，答案部完整或错误.综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合单元内容1.2一定是直角三角形吗第3课时作业功能(可多选)口课前预习□课中练习☑课后复习□课后实践作业类型(可多选)☑分层作业口弹性作业□实践性作业□个性化作业☑探究性作业口跨学科综合性作业1.能用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形.2.知道勾股数的概念，并能准确判断一组数是否是勾股数必做题有选择题选做题有解答题作业时长基础性作业(必做)作业内容设计意图与题目来源1.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)²+d+b-c|=0,则△ABC是()2.下列各组数为勾股数的是()3.如图1,是我国古代著名的“赵爽弦图”的示“数学风车”,则这个风车的外围周长是()式变形及勾股定理逆定理判定三角形的形状；第2题考查直角三角形的勾股数；第3题考查勾股数的应用□数据分析☑应用CA图2作业评价表等级备注ABCA等，答案正确、过程正确.B等，答案正确、过程有问题.错误、或无过程.A等，过程规范，答案正确.B等，过程不够规范、完整，答案正确.A等，解法有新意和独到之处，答案正确.B等，解法思路有创新，答案部完整或错误.C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合B等；其余情况综合评价为C等.拓展性作业(或实践性作业等)(选做)1.如图，正方形网格中的△ABC,若小方格边长为学转化思想，把不规则图形转化为规则图形，利用勾股定理及逆定理判定三角形的形状，第2题探究勾股数的☑数据分析☑应用1,请你根据所学的知识(1)求△ABC的面积(1)判断△ABC是什么形状?并说明理由.2.观察下列表格猜想猜想请你结合表格及相关知识，求b、c的值.作业评价表等级备注ABCA等，答案正确、过程正确.错误、或无过程.A等，过程规范，答案正确.B等，过程不够规范、完整，答案正确.C等，过程不够规范或无过程，答案错误.A等，解法有新意和独到之处，答案正确.B等，解法思路有创新，答案部完整或错误.综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合单元内容课题1.3勾股定理的应用第4课时作业功能(可多选)□课前预习□课中练习☑课后复习口课后实践作业类型(可多选)☑分层作业口弹性作业☑实践性作业□个性化作业□探究性作业☑跨学科综合性作业1.能正确应用勾股定理及其逆定理，解决简单的实际问题.2.能选择适当的数学模型解决问题必做题有选择题、填空题选做题有解答题选择题1题填空题2题解答题3题共6题作业时长基础性作业(必做)作业内容设计意图与题目来源构造直角三角形用勾股定理及其逆定理，解决生活中的实际问题☑数学建模☑数学运算☑直观想象□数据分析☑应用将梯子斜靠在右墙时，巷的宽度为()单位：单位：dmB225km,C,D为两村庄(视为两个点),DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B.已知DA=15km,CB=10km,现在CCADB作业评价表等级备注ABCA等，答案正确、过程正确.B等，答案正确、过程有问题.错误、或无过程.A等，过程规范，答案正确B等，过程不够规范、完整，答案正确.C等，过程不够规范或无过程，答案错误.A等，解法有新意和独到之处，答案正确.C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合B等；其余情况综合评价为C等.拓展性作业(或实践性作业等)(选做)道路上，在没有限速标志、标线的情况下，最高速度小汽车 A观察点展“生在红旗下，长在春风里”感党恩主题教育活出数学模型，利用勾股定理计算即可.应用勾股定理等有关数学知识解决问力、数学建模能力，形成和发展核心素养☑数学建模☑数学运算☑直观想象□数据分析☑应用作业评价表等级备注ABCA等，答案正确、过程正确.A等，过程规范，答案正确.B等，过程不够规范、完整，答案正确.C等，过程不够规范或无过程，答案错误.A等，解法有新意和独到之处，答案正确.B等，解法思路有创新，答案部完整或错误.综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合单元内容课题1.4回顾与思考第5课时作业功能(可多选)☑课前预习□课中练习☑课后复习□课后实践作业类型(可多选)☑分层作业□弹性作业□实践性作业□个性化作业口探究性作业□跨学科综合性作业1.能自己建立本章的知识结构图.2.理解直角三角形边、角之间分别存在的关系.3.加深对勾股定理及其逆定理的理解，体会两个定理应用的广泛性.必做题有选择题、填空题选做题有解答题选择题5题填空题1题解答题2题共7题作业时长基础性作业(必做)课前预习(3-5分钟)梳理本章知识、建立知识结构图.本章学习的主要内容，构建知识系统，养成回顾反思的学习习惯.作业内容设计意图与题目来源1.(创编)勾股定理在我国古代被称为()A.商高定理B.赵爽定理2.(创编)2002年第24届国际数学家大会在中国北京召开，下列哪个图案被选为本届会徽()股定理的历史，感受数学文化；第2题勾股定理在数学中重要地位，从不同选项中了解中国文化，教育学生热爱祖国；第3题考查学生灵活运用勾股定理和整体思想解决问题的能力；第4题旨在运动中发展学生空间观念，利用建模思想构造直角三角形求解；间的关系；第6题考查等腰三角形的性质及勾股定理.□数据分析3.在Rt△ABC中，∠C=90°,若A4.张大爷出门散步，他先向正东走了80m,接着又向正南走了150m,此时他离家的距离为()记为a、b、c,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是()为圆心、0C长为半径画弧交数轴于点M,则点M对应的实数为.C☑应用作业评价表等级备注ABCA等，答案正确、过程正确.A等，过程规范，答案正确B等，过程不够规范、完整，答案正确.C等，过程不够规范或无过程，答案错误.A等，解法有新意和独到之处，答案正确.B等，解法思路有创新，答案部完整或错误.综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合拓展性作业(或实践性作业等)(选做其一)中央，高出水面BC为1尺.如果把该芦苇沿与水池到岸边的B'(如图).问水深和芦苇长各多少?BBCA模思想构造直角三角形，考查勾股定或根据勾股定理列出方程解答，让学决问题.☑数学建模☑数学运算☑直观想象口数据分析☑应用架AC=24cm,CB=18cm,两轮中心的距离AB=30CAEB作业评价表等级备注ABCA等，答案正确、过程正确.B等，答案正确、过程有问题.A等，过程规范，答案正确.B等，过程不够规范、完整，答案正确C等，过程不够规范或无过程，答案错误.A等，解法有新意和独到之处，答案正确.C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合B等；其余情况综合评价为C等.(一)单元质量检测作业内容A.BC=AB+ACB.AC²=AB²+BC²C.AB²=AC²+BC²D.BC²=AB²+AC²2.下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是()A.8,10,12B.6,8,10C.5,13.下列判断中正确的有()个(1)直角三角形的两边为3和4,则第三边长为5(2)有一个内角等于其它两个内角和的三角形是直角三角形(3)若三角形的三边满足b²=a²-c²,则△ABC是直角三角形(4)若△ABC中，∠A:∠B:∠C=8:15:17,则△ABC4.我县在创建安徽省文明县城，我校积极参与文明创建工作，如图，有一块边长为24米的正处树立一个标牌“少走■米，踏之何忍”,请你计算后帮小明在标牌的“■”填上适当的数字5.如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B,连接AB,在网格中再找一个格点C,使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是()图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是()A.统计思想B.分类思想C.数形结合思想D.函数思想8.勾股定理a²+b²=c²本身就是一个关于a,b,c的方程，满足这个方程的正整数解(a,b,c)通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：(3,4,5),5,12,13),(7,24,25),….分析上面勾股数组可以发现，4=1×(3+1),12=2×(5+1),24=3×(7+1),…分析上面规律，第5个勾股数组为9.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对长度要在3cm至5cm间(包括3cm与5cm,不计吸管粗细及出口的大小),则设计的吸管总长度L的范围是三、解答题11.夏天到了，小明的爸爸让安装师傅给小明的奶奶安装了一台空调，要使空调支架的横12.如图所示的一块草坪，已知AD=12m,CD=9m,∠ADC=90°,AB=39m,BC=36m,求这块草坪的面积.13.探索与思考如图1,我们知道，以Rt△ABC的三边为边长的三个正方形的面积有关系：两个小正方形面积之和等于大正方形.请你回答下面的问题：(1)如图2,以Rt△ABC的三边为边长的三个等腰直角三角形的面积之间有什么关系?请给出证明.(2)根据上面两个问题的启示，你还能发现哪些结论?请你写出发现的一个结论，并给①序号类型难度完成时间了解应用12√易原创30分钟25√易原创3√易改编43√中原创57√选编6√易选编7填空题7√中改编8填空题6√中选编9填空题√中选编填空题7√选编√易原创7√中改编√改编七、参考答案部分课时作业参考答案1.1探索勾股定理(1)参考答案基础性作业(必做)1.请你根据图中的直角三角形叙述勾股定理(分别用文字语言及符号语言叙述);ab【答案】直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.如图，两直角边长分别为a、b,斜边长为c,则a²+b²=c²【分析】直接利用勾股定理叙述并写出即可.【解答】解：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.如图，两直角边长分别为a,b,斜边长为c,则a²+b²=c².【点评】本题主要要求同学们掌握勾股定理文字语言表述及符号语言表示.2.(创编)如图，小颖从家A出发向北偏东30°方向走了200m到了小红家B,小颖与小红一起向南偏东60°的方向走150m到达书店C,则小颖家到书店AC的距离是m.【答案】250【分析】根据题意：小颖从家A点出发，向北偏东30°方向走了200m,到达小红家B点，即AB=200m,然后两人一起向南偏东60°的方向走150m,到达书店C点，即BC=15m,画出方位角即可.【解答】解：如图所示，根据方位角可知∠ABC=90°,【点评】本题主要考查了方位角及勾股定理的运用.(1)若a=3,b=4,(3)若b=24,c=25,北【分析】在直角三角形中，知道两边求第三边，利用勾股定理直接计算即可，注意计算时把勾股定理变形运用.(1)∵在Rt△ABC中，∠C=90°,(2)∵在Rt△ABC中，∠C=90°,【点评】本题主要看出来勾股定理的运用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,边长为c,那么a²+b²=c².斜拓展性作业(或实践性作业等)(选做)面积相等联立在一起AC×CB=CD×AB求得CD.【解答】解：(1)∵在△ABC中，∠ACB=90°,AC=2(2)∵在△ABC中，∠ACB=90°,AC=20,BC=15,【点评】本题考查了勾股定理的应用和三角形的面积公式.1.1探索勾股定理(2)参考答案基础性作业(必做)1.如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形，拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个验证勾股定理的等式4C4【答案】a²+b²=c².【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与边之间的关系.,【解答】解：如图(3)所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.,利用分割法，梯形的面积为三个直角三角形的面积和：【点评】此题考查的知识点是勾股定理的证明，主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2,2.一个直角三角形三边分别为5,12,x,那么x²为【分析】根据题意应分情况讨论，分x为斜边和直角边两种情况讨论，根据勾股定理求解即可.当x为直角边时，∵12大于5,∴12为斜边∴x2=169或119类讨论.3.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图，根据图中尺寸(单位：mm),计算两圆【答案】150mm.【分析】观察图像可得△ABC为直角三角形，AC,BC的长度观察图像可以求得，直接利用勾股定理求出AB的长度即可.根据勾股定理得：AB²=AC²+BC²=90²+120²=150²,∴AB的距离为150mm.【点评】熟练掌握勾股定理在直角三角形中的应用，已知两直角边，求斜边，直接利用勾股定理就可以解决.关键是从题中抽象出确定直角三角形的两边长度.拓展性作业(或实践性作业等)(选做)1.如图，隔湖有两点A、B,从与BA方向成直角的BC方向的点C测得CA=50米，CB=40米.;判定此三角【分析】(1)本题考查的是勾股定理的应用，由BA方向成直；;判定此三角形为直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理.(2)本题考查的是点到直线的垂直距离最短，以及灵活运用面积法解题.【解答】解：(1)根据勾股定理即可求得结果.由题意得AB²=AC²-BC²=50²-40答：A、B两点的距离为30米(2)设点B到直线AC的距离为BD,作BD⊥AC,如图，【点评】解答本题的关键是熟练掌握勾股定理及点到直线的距离的概念：即任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.过直线外一点作已知直线的垂线，垂线段的长叫这个点到这条直线的距离，垂线段最短.正方形的边长为9cm,请你完成下列学习任务.(1)求出正方形A,B,C,D的面积之和；(2)利用几何画板软件画出如下图所示的图形，并验证上述(1)中你得到的结论.【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可正方形A,B,C,D的面积之和为81cm².(2)利用几何画板基本作图工具分步作图或用迭代法作图均可，然后进行度量验证.【点评】本题考查了勾股定理，有一定难度，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等1.2一定是直角三角形吗参考答案基础性作业(必做)A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【分析】根据“几个非负数的和为0,则这几个数都为0”得出a-b=0,a²+b²-c²=0,再由勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状.【点评】本题考查非负数的性质及勾股定理的逆定理.2.下列各组数为勾股数的是()【答案】C.【分析】考查勾股数的概念.【解答】解：三个数之间存在两个较小数的平方和等于最大数的平方，且这三个数都是正整数，即为勾股数.【点评】熟记常见的勾股数有利于快速解题.3.如图1,是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=12,BC=7,将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是()A.100B.144C.148【答案】C.【分析】感受数学文化，认真分析题意，运用勾股定理解决问题.又∵较短边为12【点评】本题主要要理清题意，熟练运用勾股定理是解题的关键.拓展性作业(或实践性作业等)(选做)1.如图，正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,请你根据所学的知识(1)判断△ABC是什么形状?并说明理由.【分析】(1)根据面积差求值.(2)用勾股定理得出三边的平方，再根据三边的平方关系即可判定△ABC的形状.【点评】本题考查了图形面积的和差关系，以及勾股定理和逆定理的应用.2.观察下列表格列举猜想请你结合表格及相关知识，求b、c的值.【分析】观察表格每一组数据的特点，得出在一组勾股数中，当最小边是奇数时，它的平方等于两个连续的正整数之和.【点评】探索常见的勾股数的规律，激发学生的学习兴趣，为熟记常见的勾股数做好铺垫.1.3勾股定理的应用参考答案基础性作业(必做)米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2【答案】C.【分析】如图，先根据勾股定理求出梯子AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论.【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法；从题目中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用是关键.2.一个三级台阶如图，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B【分析】先将台阶的平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短，进行解答即可.【解答】解：∵三阶台阶平面展开图为长方形，长为8dm,宽为(2+3)×3=15dm,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是此长方形的对角线的长，设则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为xdm,解得x=17.【点评】本题主要考查了平面展开，最短路径问题，勾股定理的应用，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答.3.如图，铁路上A,B两站(视为直线上两点)相距25km,C,D为两村庄(视为两个点),DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B.已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建设一个土特产收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站km处.【分析】设AE为x,则BE=25-x,在直角三角形DAE和直角三角形CBE中，DE²=AD²+AE²,CE²=BE²+BC²,则AD²+AE²=BE²+BC²,然后列方程求解即可.【解答】解：∵C、D两村到E站距离相等，【点评】本题主要考查勾股定理的应用，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键.【分析】利用勾股定理的逆定理判定△BCD是直角三角形，即∠BDC=90°,直角三角形，利用勾股定理可求出AD的值，即可得出结论.BC=20,CD=12,D∴AD=9,AD=-9(舍去),【点评】本题主要考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关拓展性作业(或实践性作业等)(选做)1.小汽车在同方向划有两条以上机动车道的城市道路上，在没有限速标志、标线的情况下，最高速度不得超过70km/h.如图，省内一辆小汽车自右向左在同方向划有两条以上机动车道的城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速观察点A正前方30m的C处，过了2.5s后行驶到B处，此时测得小汽车与车速观察点A之间的距离为50m,这辆小汽车超速了吗?,AB*长，有直角边AC的长，那么BC的长就容易求得，根据小汽车用2.5s行驶的路程为BC,那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了.【解答】解：在Rt△ABC中，AC=30cm,AB=50cm;∴BC=40(m),BC=-40(舍去),∴这辆小汽车没有超速行驶.答：这辆小汽车没有超速.【点评】本题考查勾股定理的应用，是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决，要注意题目中单位要统一.【分析】此题属于发散思维题，让学生感受勾股定理在数学中的作用，提升学生探索问题的能力.【解答】解：方案：利用勾股定理测旗杆的高度学校操场的旗杆高AB,旗杆上升国旗的绳子到旗杆底端B还剩余m米。把绳子拉直，绳子末端C到旗杆底端B的距离是a米。问旗杆高度多少米?(可以量出a,m长度)2通过计算可以求出旗杆AB的高度.说明：学生若利用其他方法给出答案，只要合理正确均可.【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，能从实际问题中抽象出数学模型是解题的关键.基础性作业(必做)A.商高定理B.赵爽定理C.祖冲之定理D.百牛定理【答案】A.【分析】这是数学史知识，很明显A答案正确.【解答】A.【点评】勾股定理我们国家首先发现的，古代除了称为勾股定理外，还被称为商高定理.本题知识的考察可培养学生的爱国主义精神，增强了民族自豪感.2.(创编)2002年第24届国际数学家大会在中国北京召开，下列哪个图案被选为本届会徽【答案】C.【分析】本题考察生活常识，很明显答案为C.【解答】C.【点评】国际数学家大会在中国北京召开，说明国际社会对我们国家的认可，说明勾股定理在人类生活中的重要地位，也说明我国古代劳动人民的智慧被世界认可。本题可培养学生的的爱国主义精神，增强了他们的民族自豪感，激发他们努力学习、报效祖国的热情.3.在Rt△ABC中，∠C=90°,若AC+BC=14cm,AB【答案】A.【分析】本题首先画出图形，设AC、BC中一个量为X,另一个量用含X的代数式表示出来，然后利用勾股定理，再列出方程，即可求得答案.如果学生利用代数变形和整体思想给出如下解法，应给予鼓励表扬，激发创新精神.【点评】本题考查的是勾股定理的应用.体现了数形结合的思想、方程的思想，提升了学生的数学运算的素养.4.张大爷出门散步，他先向正东走了80m,接着又向正南走了150m,此时他离家的距离为【答案】C【分析】本题画出图形，直接利用勾股定理即可求出答案.【解答】C【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的应用.说明数学与生活的联系，提升了学生的数学抽象、数学建模和直观想象的学科素养.5.(创编)在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、c,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是()【答案】D【分析】A答案正确，因为可以求出∠C=90°;B答案正确因为可以求出∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°;C答案正确因为这是勾股定理的逆定理，所以D答案错误，因为3+4²<6²不符合勾股定理的逆定理.【解答】D【点评】本题考查直角三角形的判定方法，角的关系如何判定，边的关系如何判定，边的关系就是利用勾股定理的逆定理判定.说明勾股定理的逆定理是判定一个角是直角的一种重要的方法，体现了数形结合的思想，提高学生分析问题、解决问题的能力.6.(改编)如图，o为数轴原点，A,B两点分别对应-3,3,作腰长为5的等腰三角形ABC,连接oC,以o为圆心、oC长为半径画弧交数轴于点M,则点M对应的实数为_.【答案】4.【分析】本题利用勾股定理直接求出oC=4,然后得出oM=oC=4,即M对应的实数也是【解答】4.【点评】本题是勾股定理的内容、圆的知识、数轴上的点对应的实数等知识的综合运用，体现了数形结合的思想，提高学生分析问题、解决问题的能力.拓展性作业(或实践性作业等)(选做)岸，适与岸齐.问水深，葭长各几何?”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面BC为1尺.如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B,(如图).问水深和芦苇长各多少?【分析】解答本题时首先要理解题意，不仅弄明白题目中的AC、AB、AB,、B,C之间的数量关系，而且还要知道∠ACB'=90°;然后设未知数，利用勾股定理找等量关系，列出方程，即可求得答案.答：水深AC的长为12尺，则芦苇长AB为尺.【点评】本题说明了勾股定理在我国古代就有广泛的应用，解答本题的关键要熟练掌握勾股定理.也体现了如何利用勾股定理解决生活中的问题，说明数学与生活息息相关.本题培养了学生的爱国主义精神，增强了他们的民族自豪感.提升了数学抽象、数学建模和直观想象等核心素养.3.如图，是超市购物车的侧面简化示意图，测得支架AC=24cm,CB=18cm,两轮中心的距离AB=30cm,求点C到AB的距离.(结果保留整数)【分析】本题考查勾股定理的逆定理应用∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°,∴AC·BC=CE·AB,即24×18=CE×30,答：点C到AB的距离约为14cm.【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积公式在实际生活中的应用.解答本题的关键是运用勾股定理的逆定理和等积法解决问题.说明了数学源于生活.单元检测作业参考答案A.BC=AB+ACB.AC²=AB²+BC²【答案】D.理即得答案.【点评】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键.2.下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是()A.8,10,12B.6,8,10C.5,1【答案】A.【分析】根据勾股定理的逆定理a²+b²=c²判定.B.∵6+8²=10²,∴三条线段能组成直角三角形，故B选项不符合题意；C.∵5+12²=13²,∴三条线段能组成直角三角形，故C选项不符合题意；D.∵7²+24²=25²,∴三条线段能组成直角三角形，故D选项不符合题意；【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟记勾股定理逆定理是解题的关键.3.下列判断中正确的有()个(1)直角三角形的两边为3和4,则第三边长为5(2)有一个内角等于其它两个内角和的三角形是直角三角形(3)若三角形的三边满足b²=a2-c2,则△ABC是直角三角形(4)若△ABC中，∠A:∠B:∠C=8:15:17,则△ABC是直角三角形A.1B.2【答案】B.【分析】由勾股定理及其逆定理、三角形内角和定理，即可得到三角形是否为直角三角形.【解答】解：A.直角三角形的两边为3和4,则第三边可能为直角边或斜边，故A错误；B.有一个内角等于其它两个内角和的三角形是直角三角形是正确的；C.若三角形的三边满足b²=a²-c²,即b²+c²=a²,则△ABC是直角则△ABC不是直角三角形，原来的说法错误.故正确的有2个.【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的内角和定理，分类讨论思想等.4.我县在创建安徽省文明县城，我校积极参与文明创建工作，如图，有一块边长为24米的正处树立一个标牌“少走■米，踏之何忍”,请你计算后帮是()程是24+7=31米，而AB=25米，则少走了31-25=6米.力，同时也增强了学生们要爱护花草、文明出行的意识.5.如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B,连接AB,在网格中再找一个格点C,使得画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是()cA.统计思想B.分类思想C.数形结合思想D.与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是()cA.统计思想B.分类思想C.数形结合思想D.函数思想【答案】C.【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可.面积转换得以证明的，由图形到数学规律的转化体现的数学思想为：数形结合思想.【点评】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验