福建省三明市2023-2024学年中考一模数学试题（含答案解析）

福建省三明市2023-2024学年中考一模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列方程是关于尤的一元二次方程的是（）

A.2x+l=0B.X2-2X-3=0C.x2+-=lD.%3+x=3

2.下列各组图形中，一定相似的是（）

A.两个正方形B.两个矩形C.两个菱形D.两个平行四边

形

3.一个不透明的口袋中装有20个球，其中有若干个红球，它们除颜色外其它完全相

同.小明从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次摸球试验后发现，摸

到红球的频率稳定在20%附近，由此估计袋中红球的个数为（）

A.2B.4C.16D.18

4.如图，公路AC、BC互相垂直，公路A3的中点M与点C被湖隔开，若测得的

长为4.8km,则M、C两点间的距离为（）

A.2.4kmB.3.6kmC.4.2kmD.4.8km

5.同学们在物理课上做“小孔成像”实验.如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是

带“小孔，，的纸板与光屏间距离的一半，当蜡烛火焰的高度为1.6cm时，所成的像ATT

6.抛物线y=2（x+3y+5的顶点坐标是（）

A.（—3,5）B.（3,5）C.（3,-5）D.（—3,—5）

7.柳卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传

奇；凸出部分叫樟，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（）

cJnEI

8.关于％的一元二次方程62+尻+。=0（〃。0）中的〃，b,c满足Q+Z?+C=O,则下列

选项一定正确的是（）

A.b1—4ac>0B.b2—4ac<0C.b2—4ac>0D.Z?2—4ac<0

k

9.在平面直角坐标系中，反比例函数y=—（左wO）的图象如图所示，点AB不在该反比

x

例函数的图象上，则上的值可以为（）

O*

河一2）

A.-1B.-2C.-3D.-4

10.如图，正方形ABCD的边长为4,点E为AD的中点，连接4GBE,点、M,N分别

在2E,AC上，S.BM=-ME,CN=--AN,则MN的长为（）

33

3’？

BC

A.述B.之

C.20D.3

22

二、填空题

试卷第2页，共8页

11.已知;=920,则宇的值为______.

34b

12.已知x=l是一元二次方程f+2x—4=0的一个根，则上的值为.

13.如图，AC,是菱形ABC。的对角线，若4=20。，则N2的度数为

14.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积

八百六十四步，只云长阔共六十步，问长与阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方

步，其中长与宽和为60步，问长与宽各多少步？若设长为x步，则可列方程是（方

程化为一般形式）.

15.如图，已知。E〃3C,LADE：S四边形DBCE=1：8,则DE:8C=

16.抛物线丁=一一+3蛆+2的对称轴在y轴的右侧，点A。%%）和点B（m+L%）在该

抛物线上，若为>%>2,则机的取值范围是

三、解答题

17.解方程％2-4X-6=0

18.已知：如图，在矩形ABCD中，E是A3的中点，求证：DE=CE.

DC

19.已知：反比例函数y=［仅#0）的图象经过点A（2,l）.

（1）求反比例函数的解析式；

⑵若点（-2,%）,（T,%）都在该反比例函数的图象上，试比较%，%大小.

20.如图，ABC中，NACB=90。，D,E分别为AC,AB的中点，连接CE.

A

（1）尺规作图：在DE的延长线上确定点产，使得BF〃CE.（保留作图痕迹，不写作法）

⑵在（1）的条件下，若NA=3O。，求证：四边形3旧为菱形.

试卷第4页，共8页

21.班级开展迎新年联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个福袋A,B,C,D.在

抽奖时，每次随机取下一个福袋，且取A之前需先取下8,取C之前需先取下£),直到

4个福袋都被取下.

(1)第一个取下的是。福袋的概率为.

(2)请用画树状图或列表的方法，求第二个取下的是A福袋的概率.

22.如图，四边形ABCO和四边形5EFG都是正方形，点E在射线8上，AC交8E于

点。GHLAB交A3延长线于点H.

⑴若。为CE的中点，求证：OE=2OB；

(2)求证：AB=BH.

23.为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质.某校决定在一块长16m,宽12m

的矩形荒地ABCD上建造一个花园，要求花园所占面积为荒地A5CD面积的一半.小明

的设计方案如图①所示，其中阴影部分表示花园.

图①图②

⑴请你帮小明求出图中的尤；

(2)小明的方案具有如下3个特征：

①花园既是轴对称图形又是中心对称图形；

②花园的边沿与矩形荒地ABCD的四边都有公共部分；

③点AB,C,。都在花园外部.

请你设计一种具有以上特征且不同于小明的方案，并说明方案的合理性.(要求：在图

②中画出示意图，将花园涂成阴影，并在图上标出必要的字母和数据.)

试卷第6页，共8页

24.某校数学兴趣小组模仿七巧板制作了一副如图所示的五巧板，①和②分别是等腰

RtABE和等腰RtBCF,③和④分别是Rt：CDG和RtDAH,⑤是正方形EFGH.这

副五巧板恰好拼成互不重叠也无缝隙且对角互补的四边形A5CD,直角顶点

E,F,G,"分别在边8F,CG,DH,AEh.

⑴求证：ZADH=ZDCG；

⑵若AH=HE=2,求。G的长;

DG5+DA„

(3)若GH“求而的值.

25.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=%2+c与不轴交于A,B两点(点

A在点B的左侧)，与y轴交于点C,且OA=；OC.

(1)求抛物线的函数表达式；

⑵点。为线段上的动点，过点。作AC的平行线交于点E,求CDE面积的最

大值；

(3)点M是该抛物线上不同于A,2的一个动点，连接AM,过点。作AM的平行线4，

过点3作y轴的平行线6,交4于点N,判断直线MN是否恒过一定点，如果过定点，

求出定点坐标；如果不过定点，说明理由.

试卷第8页，共8页

参考答案：

1.B

【分析】本题根据一元二次方程的定义解答.一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数

的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数.由这四

个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案.

本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式

方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.

【详解】解：A.2x+l=0是一元一次方程.故本选项不符合题意；

B.炉-2彳-3=0符合一元二次方程的定义，所以它是一元二次方程.故本选项正确；

C.炉+工=1不是整式方程.故本选项不符合题意；

D.尤3+尤=3中未知数最高次数是3次，不是一元二次方程.故本选项不符合题意.

故选B.

2.A

【分析】根据相似图形的概念逐项进行判断即可.

【详解】解：A、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，故此选

项符合题意；

B、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题

忌、，

C、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，此选项不符合

题意；

D、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，此

选项不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做

相似多边形是解题的关键.

3.B

【分析】本题考查用频率估计概率，利用概率求数据.根据题意可知红球的概率为20%,

再利用概率计算即可得到本题答案.

【详解】解：•••摸到红球的频率稳定在20%附近，

，摸到红球的概率为02,

答案第1页，共16页

•••不透明的口袋中装有20个球，小明从中随机摸出一个球，

.•.设红球的个数为x,

X

•••02弋，解得：x=4,

故选：B.

4.A

【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=；AB,再求出答案即可.

【详解】解：:•公路AC、BC互相垂直，

ZACB=90°,

为AB的中点，

CM=-AB,

2

AB=4.8km,

/.CM=2.4（km）,即M,C两点间的距离为2.4km,

故选：A.

【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，能熟记知识点是解此题的关键，注意：直角

三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

5.C

【分析】本题主要考查相似三角形的应用，利用蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小

孔”的纸板与光屏间距离的一半，得出蜡烛火焰的高度与像的高度的比值为;，进而求出答

案，理清题意，正确得出比例关系是解题关键.

【详解】解：由题意得

ZOAB=ZOA'B',NOBA=ZOB'A',

OAB^.OAB',

蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半，

.丝_2

二A3'=2四=3.2cm,

故选：C.

答案第2页，共16页

【分析】根据抛物线的顶点式直接写出顶点坐标即可.

【详解】抛物线解析式的顶点式为：y=2（x+3）2+5,

则其顶点坐标为：（T5）,

故选：A.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.

7.A

【分析】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握俯视图是从几何体的上面观察得到的图形是

解题的关键.

【详解】根据题意，得其俯视图如图所示

故选A.

8.C

【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，由a+b+c=O可得一元二次方程

依2+笈+©=0（°70）至少有一个实数根为％=1,进而可得判别式从-4℃20.解答的关键

是熟知一元二次方程加+云+。=0（叱0）根的情况与根的判别式八=从_4℃的关系：当

A>0时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的实数根；当A<0时，

方程没有实数根.

【详解】解：「a+8+c=O,

...一元二次方程ax2+bx+c=0（a^0）至少有一个实数根为x=1,

•4oc20,

故选：C.

答案第3页，共16页

9.C

【分析】本题考查反比例函数上的点的特征.根据点A,3的坐标求出横纵坐标的乘积，进而

得到左值的取值范围，即可得出结果.

【详解】解：由图象可知：A（-2,2）,8（1,-2）,

—2x2<k<1x]—2），即：-4<左<—2,

；•女的值可以为-3；

故选C.

10.B

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质.设4C座交于点尸，

根据正方形的性质可得.AEPs,CBP,从而得到尸E==再由

11PMPN5

BM=-ME,CN=—AN,可得一=—=-,从而得到,AP石/二桥加，即可求解.

33PEPA4

【详解】解：如图，设ZC座交于点P,

四边形ABCD是正方形，且边长为4,

AD=BC=^AD//BC,

AEPsCBP,

APEPAE

~CP~~BP~~BC"

点石为AD的中点，

AE=-AD=-BC=2,

22

APEP_I

cF-BP-2?

：BM=-ME,CN=-AN,

33

答案第4页，共16页

33

：.ME=-BE,AN=-AC,

44

・・・PM=—BE,PN=—AC,

1212

.PMPN_5

-PA-4?

■:ZAPE=/NPM,

：.APEs-NPM,

,MN_PN_5

-PA-4?

.MN_5

一〒一“

・•・MN=-.

2

故选：B

73

11.-/1-/1.75

44

【分析】本题考查比例的性质，根据比例设，=3后b=4k,代入计算是解题的关键.

ah

【详解】解：,••1=卜0,

.•.设a=3Z,b=4k,

故答案为：--

12.3

【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等

的未知数的值，据此把x=l代入原方程求出左的值即可.

【详解】解：••、=1是一元二次方程d+2x-左=0的一个根，

，F+2xi=0,

•*.k=3,

故答案为：3.

13.700/70度

【分析】本题考查菱形性质，三角形内角和定理.根据题意利用菱形性质可知

Zl=Z£>C4=20°,ACA.DB,利用三角形内角和即可求得本题答案.

【详解】解：；四边形A5CZ）是菱形，4=20°

答案第5页，共16页

AAC1DB,Zl=Z£>C4=20°,

N2=90°—20°=70°,

故答案为：70°.

14.尤2-60元+864=0

【分析】设长为x步，则宽为（60-同步，根据题意列出一元二次方程，最后化为一般形式

即可求解.

【详解】设长为x步，则宽为（60-x）步，根据题意，可列方程为x（60-x）=864,

整理得：%2-60^+864=0

故答案为：%2-60%+864=0.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键.

15.1:3/-

3

［分析］本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键

根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.

【详解】解：DE//BC,

:△ADEs^ABC,

呜，

S&ABCIBC）

S.ADE-S四边形0BCE-1,8,

.sADErDE\i

“sABCVBC）9,

DE1

---=—即DEBC=1:3,

BC3

故答案为：1:3.

16.m>\

【分析】本题考查二次函数图像及性质，一元一次不等式求解.根据题意先将对称轴求出，

再将点A（m,%）和点矶加+1,%）代入y=-x2+3JWC+2中，并利用题干信息列出一元一次不

等式即可得到本题答案.

【详解】解:抛物线y=-x2+3mx+2的对称轴在y轴的右侧，

答案第6页，共16页

.3m3m八

••x=------=—>0,艮［I>0,

-22

:点和点2（加+1,%）在该抛物线上,

把点A(m,%)和点矶为z+1,%)代入y=-x2+3mx+2中得:

222

yx=­m+3m+2=2m+2,

22

y2=—(m+1)+3m(m+1)+2=2m+m+l,

%>%>2,

2机2+m+l>2m2+2,即勿>1,

二机的取值范围是：m>1,

故答案为：®>1.

17.玉=2+厢，^=2-710

【分析】原方程运用公式法求解即可.

【详解】解：x2—4x—6=0

a=l,b=Y,c--6

A=b2-4ac=(-4)2-4xlx(-6)=40>0

…越拜=2土加

Xj=2+Jl0,/=2-J10

【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答此题的关键.

18.详见解析

【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质；由矩形的性质得ZA=々=90。,

AD=BC,再由SAS可判定四△BCE,由全等三角形的性质即可求证；掌握性质及

判定方法是解题的关键.

【详解】证明：四边形A5co为矩形，

:.ZA=ZB=90°,

AD=BC,

E是48的中点,

/.AE=BE,

答案第7页，共16页

在VAD£和BCE中

AD=BC

<ZA=ZB,

AE=BE

...ADE^BCE（SAS）,

:.DE=CE.

2

19.（1）反比例函数的解析式为y=—

x

⑵%<%

【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、比较反比例函数值的大小，熟练掌

握反比例函数的性质是解此题的关键.

（1）将4（2,1）代入反比例函数解析式求出k的值即可得到答案；

（2）把点（2,另），（4,%）代入反比例函数解析式，求出％,为的值，比较大小即可得到

答案.

【详解】⑴解：反比例函数y=:图象经过4（2,1）,

「"=1x2=2,

2

「•反比例函数的解析式为：y=—；

X

（2）解：点（-2,yJ,（T,%）是反比例函数图象上两点，

当了=—2时，％=-1，

当x=T时，％=-g，

Q-1<--,

%%.

20.（1）详见解析（作图方法不唯一）

（2）详见解析

【分析】（1）在。E的延长线上截取跖=CB，根据三角形的中位线性质得到。E〃3C,再

答案第8页，共16页

根据平行四边形的判定与性质证明四边形3CEF是平行四边形，进而可得3b〃CE,作图方

法不唯一；

（2）根据含30度角的直角三角形的性质和直角三角形斜边中线性质证得3C=CB,然后根

据菱形的判定可得结论.

【详解】（1）解：如图，点尸为所求作的点.

在DE的延长线上截取EF=CB,

2E分别为AC,AB的中点，

:.DE为ABC的中位线，

:.DE//BC,即所〃BC.

由（1）作图知所=。6,

二四边形3CEF为平行四边形.

二BF//CE,即点尸为所求作的点；

作图方法不唯一，如图，作2尸=成,3。=所，则四边形8（药为平行四边形，.*.BF//CE,

则点尸为所求作的点；

如图，作NEBF=NCEB,则3尸〃CE,则点尸为所求作的点;

（2）证明：由（1）知，四边形3CEF为平行四边形,

NAC8=90。,NA=30。，£为AB的中点.

答案第9页，共16页

BC=^AB,CE=^AB.

BC=CE.

，四边形3CEF为菱形.

【点睛】本题考查尺规作图、平行四边形的判定与性质、平行线的判定、三角形的中位线性

质、含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边中线性质、菱形的判定，熟练掌握相

关知识的联系与运用，正确作出图形是解答的关键.

21.(1)1

(2)y,图详见解析

4

【分析】本题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，正确画出树状图成为解题的关键.

(D直接利用概率公式求解即可；

(2)画树状图得出所有等可能的结果数和第二个摘下灯笼的结果数，再利用概率公式可得

出答案.

【详解】(1)解：•••第一次摘只能先从8和。中选择任意一个，

•••第一个摘下。灯笼的概率是1.

故答案为：

(2)解：根据题意画出状态如下：

开始

第一个BD

d/\

第二个ADBC

由树状图可得：所有等可能情况有4种，其中第二个取下的是A福袋的情况有1种，

・••第二个取下的是A福袋的概率为J.

22.⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)由题意知，CE=2CD,证明则”=孚=1,进而可证

OECE2

OE=2OB.

答案第10页，共16页

(2)证明一班C纣5GH(AAS),则=进而可证=

【详解】(1)证明：为C£的中点，

：.CE=2CD.

四边形A5co是正方形，

:.CD//AB,AB=CD,

：.ZBAO=ZECO,ZOBA=ZOEC,CE=2AB.

△AOBs/\COE.

.OBAB1

"0E"CE-2)

即OE=2OB.

(2)证明：•.•四边形ABC。和四边形BEFG都是正方形，

AZEBG=ZCBH=90°,ZBCE=90°=ZBHG,BG=BE,AB=BC,

：.NEBC=NGBH,

"：NEBC=Z.GBH,NBCE=90°=NBHG,BE=BG,

：..BEC沿一BGH(AAS),

BH=BC,

：.AB=BH.

【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形

的判定与性质.熟练掌握正方形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，全等三

角形的判定与性质是解题的关键.

23.(1)4

(2)见解析

【分析】本题考查矩形面积公式，一元二次方程与实际问题，轴对称中心对称图形定义.

(1)根据题意列出方程即可求得无的值；

(2)设计出符合题意的方案，再分别求出面积加以验证即可得到本题答案.

【详解】(1)解：依题意得：

,1

16x+12x-x~=—xl6xl2,

2

解得：西=4或％=24(不符合题意，舍去)，

答案第11页，共16页

/.x=4；

（2）解：，矩形ABCD的面积为16xl2=192m2,

,阴影部分的面积等于96m2,

方案一：如图，E,£G,H分别为矩形ABCD各边的中点,

AH口

BFC

则阴影部分面积=16x12—4xgx8x6=96m2；

方案二：如图，分别以4氏为圆心，〃为半径画弧,

,1

由：7ir9=—xl6xl2,

2

z476^-

用B：r=--------m，

71

方案三：如图，阴影部分面积=16xl2-4xgx(4+8)x4=96m2,

24.(1)见解析

(2)717-1

答案第12页，共16页

【分析】(1)根据题意利用等腰三角形性质得NABC=NABE+NCB尸=90。，再利用三角形

内角和性质即可得到本题答案；

(2)根据题意利用正方形性质得HE=£F=FG=G”,再利用相似三角形判定得

△DAHs^CDG,后利用对应边成比例即可得到本题答案；

(3)根据(2)中相似的结论利用相似三角形性质即可得到本题答案.

【详解】(1)解：证明：AfiE和都是等腰直角三角形，

ZABE=45°,ZCBF=45°,

ZABC=ZABE+NCBF=90°

四边形ABCD是对角互补的四边形，

.•.ZADC+ZABC=180°,

:.ZADC=90°,即ZAD//+NCDG=90°.

COG是直角三角形，

ZDCG+ZCDG=90°.

:.ZADH=ZDCG；

(2)解：四边形ER汨是正方形，

.-.HE=EF=FG=GH.

ME和△3CF都是等腰直角三角形，

:.AE=BE,BF=CF,

AH=HE=2,

AE=BE=4,BF=CF=6,CG=8,

A/Mf/和COG都是直角三角形，

ZAHD=ZDGC=90°,

由(1)得ZADH=/DCG,

:.ADAH^ACDG.

AHDH2DG+2

---=----,即nn——=-------,

DGCGDG8

r>G=Vi7-i；

(3)解：设DG=5k,GH=4k,AH=x,则HE=EF=FG=4k,

答案第13页，共16页

AE=BE=4左+x,BF=CF=8k+x,CG=12k+x,

由(2)知：ADAH^ACDG,

AHPHAD

~DG~~CG~~DC

x9k

,解得:x=3kf

5k\2k+x

DA3

DC-5

【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，三角形内角和性质，正方形性质，相似的判定及性

质.熟悉相关图形的性质，弄清图中线段间的关系是解题的关键.

25.(l)y=^2-4

(2)2

(3)(0,-4)

【分析】(1)由题意可求得C点坐标，由已知可得点A的坐标，并代入函数解析式中即可

求得c的值，从而得函数解析式；

(2)由(1)知点A、B、C的坐标，可求得直线AC、3c的解析式；设点D的坐标为(加,0),

则可求得OE的解析式，联立直线DE、3C的解析式可求得点E的纵坐标；连接AE,再由

平行关系得50£=54小=；&。・|九］，得到关于根的二次函数，即可求得最大值；

(3)设M(m,2-4),则可求得直线AM的解析式，进而求得直线4的解析式，从而可求得点

N的坐标；再用待定系数法求出直线解析式，从而可判断直线过定点，并求出定点

即可.

【详解】(1)解：对于y=f+c,令％=0,得到V=c,

・・・C(0,c),

•・•抛物线y=%2+c与x轴交于A,8两点，且开口向上，

c<0,

**•OC——c；

/.OA=-OC=--c,

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••.心，。)，