2024年高三新高考改革数学适应性练习 含答案

2024年新高考改革适应性练习（九省联考题型）

数学试题卷

（名师教研团队命制2024.2.3）

考试须知：

1.本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；

2.答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题）,

答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；

3.考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸.

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.）

1.共同富裕是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕.下列关于个人收入的统计量中，最能体现共

同富裕要求的是

A.平均数小、方差大B.平均数小、方差小

C.平均数大、方差大D.平均数大、方差小

2.已知复数z满足|z|=l且N=i-z,则z可被表示为

773371

A.cos-+isin-7rB.COS-TT+isin-

4444

C.COS-TT+isin-7rD.cos-+isin-

4444

3.1949年10月1日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有600余位宾客参

加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”.该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉

方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福.若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉

方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为

A.240B.480C.384D.1440

4.抛物线y2=4x的焦点为F,已知抛物线上的三个点A,B,C满足而+而+死=0,则同|+

\FB\+\FC\=

A.4B.5C.6D.7

5.遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾•宾浩斯（H.Ebbinghaus）研究发现，

数学试题卷第1页（共4页）

描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以

从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力.该曲线对人类记忆认知研究产

生了重大影响.陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过

的时间无(小时)的大致关系：

y=1-O.6%006

若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的50%,则他复习背诵时间需大约在

A.14：30B.14：00C.13：30D.13：00

6.已知数列｛«„｝满足an+1=an+an+2(nGN*),a1a2=4且>0,则%+a2T卜。2。24的

最小值是

A.4B.3C.2D.1

7.已知函数/(久)=P+4久3+2(m+2)/+mx图像上的一极大值点为(―2,0),则实数m的取值

范围为

A.(—2,+oo)B.(—4,—2]C.(—8,—2]D.(—8,—2)

8.在正三棱锥P—4BC中，侧棱24与底面ABC所成的角为60。，且4B=3,则三棱锥P—ABC外

接球的表面积为

A.87TB.12兀C.16兀D.18兀

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得。分.)

9.已知a=sin(sin2024。)，b=sin(cos2024°),c=cos(sin2024°),d=cos(cos2024°),则

A.a<cB.b<dC.b<aD.d<c

10.已知长轴长、短轴长和焦距分别为2a、2b和2c的椭圆0,点2是椭圆0与其长轴的一个交点，

点B是椭圆n与其短轴的一个交点，点F1和F2为其焦点，AB1BF1.点P在椭圆。上，若PF11

PF2,则

A.a,b,c成等差数列B.a,b,c成等比数列

C.椭圆0的离心率e=有+1

D.△AB0的面积不小于△PF/2的面积

11.积性函数外均指对于所有互质的整数a和b有/(ab)=/(a)f(b)的数论函数.则以下数论函数是

积性函数的有

A.高斯函数[n]表示不大于实数n的最大整数

数学试题卷第2页(共4页)

B.最大公约数函数gcd（n,k）表示正整数n与k的最大公约数（k是常数）

C.嘉次函数b（n）表示正整数n质因数分解后含血的幕次数（血是常数）

D.欧拉函数隼⑹表示小于正整数n的正整数中满足与n互质的数的数目

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.已知函数/■（久）=（£2一a%+a）ln（K+1）,aCR的图像经过四个象限，则实数a的取值范围是

13.已知等差数列｛an｝和等比数列｛g｝满足的+a2=必+尻=30,+&4=①+胃4=1。，则数列

｛即％｝在n=时取到最小值.

14.抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线

的轴.过抛物线C:/=4y上的点P（不为原点）作C的切线Z,过坐标原点。作。Q，Z,垂足为

Q,直线PF（F为抛物线的焦点）与直线。Q交于点T,点4（2,0）,则|7川的取值范围是

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

15.（13分）

第一象限的点4在抛物线Z?y2=2%上，过点A作力Bly轴于点B,点P为AB中点.

（1）求P的运动轨迹为曲线心的方程；

（2）记员心的焦点分别为&尸2,则四边形4P&F2的面积是否有最值？

16.（15分）

如图，已知四棱锥P-ABC。的底面ABC。是矩形且棱24垂直于其底面.Q为棱PD上一点，P4=

AB.

（1）若Q为PO中点，证明：PB1平面4CQ；

（2）若AQ为△ADP的高，AD=<2AP,求二面角P-AC-Q的正弦值.

数学试题卷第3页（共4页）

17.（15分）

从集合（xEN*\l<x<9］中随机抽取若干个数（大于等于一个）.

（1）求这些数排序后能成等比数列的概率；

（2）求这些数排序后能成等差数列的概率.

18.（17分）

已知函数/（x）=ax—（x+2）ln（x+1）.

（1）若/（%）的零点也是其的极值点，求a；

（2）若;"（>）的图像经过四个象限，求a的取值范围.

19.（17分）

对于非空集合G,定义其在某一运算（统称乘法）“X”下的代数结构称为“群”（G,x）,简记为

Gx.

而判断GX是否为一个群，需验证以下三点：

1.（封闭性）对于规定的“X”运算，对任意a,beG,都须满足axbeG；

2.（结合律）对于规定的“X”运算，对任意a,b,ceG,都须满足ax（bxc）=（axb）xc；

3.（恒等元）存在eEG,使得对任意aCG,exa=a；

4.（逆的存在性）对任意aEG,都存在bEG,使得axb=bxa=e.

记群Gx所含的元素个数为n,则群GX也称作“n阶群”.若群Gx的“X”运算满足交换律，即

对任意a,bCG,axb=bxa,我们称G'为一个阿贝尔群（或交换群）.

（1）证明：所有实数在普通加法运算下构成群R+;

（2）记C为所有模长为1的复数构成的集合，请找出一个合适的“X”运算使得C在该运算下构

成一个群并说明理由；

（3）所有阶数小于等于四的群G*是否都是阿贝尔群？请说明理由.

数学试题卷第4页（共4页）

2024年新高考改革适应性练习（九省联考题型）

数学参考答案

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.）

题号12345678

答案DCBCAADC

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得。分.）

题号91011

答案ABDBDABD

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

题号121314

答案6。）5或6[V5-1,V5+1]

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

15.（13分）

（1）设4（久0，%））,则有诏=2%,则B（O,y0）,因为尸是的中点，所以P（:，M）），

2

则yo=2x0=4（葭）,即用=4xP,故点P在抛物线r^.y=4x（y＞0）的上运动.

（4分）

（2）因为4P与0尸2平行，所以四边形APF/2是梯形，

其上底为AP=^XA-1%0,下底为&尸2=y-y=2-l=l,高为yA-yo

所以其面积5=式加+1）,又羽=23,所以5=式胃+1）*源+掾仇＞。）

（8分）

令/仇）=2羽+手仇＞°）,则/'仇）=?九+之＞。，所以/'（%）即S关于y（）单调递增,

OZOZ

数学参考答案第1页（共6页）

（10分）

又当Vo—0时，S-0；yof+8时，sf+8,所以S在C（0,+8）上没有最值.

（13分）

16.（15分）

（1）如答图，取PA中点F,连接EF,BF,

因为F,E分别为PA,PC的中点，所以E尸〃4D,EF=\AD.

因为2D〃BC,AD=2BC,所以FE〃BC,EF=BC,

所以四边形EFBC为平行四边形，BF//CE,

因为BFu平面PAB,CE仁平面PAB,所以CE〃平面PAB.（6分）

（2）过点B作BHJ.AC于点H,连接FH.

因为BF〃CE,所以直线CE与平面24c所成角和直线BF与平面24c所成角相等，

因为PA_L平面2BCC,BHu平面4BCD,所以BHJ.PA,

因为24cze=4,P/,4Cu平面24C,所以BH1平面24C,

所以ZBFH为直线BF与平面PAC所成角，（11分）

22

BF=V2+I=V5,AC=722+12=75,BH=襄=W,所以

故直线CE与平面24c所成角的正弦值为|.（15分）

17.（15分）

（1）若5、7在所抽取的数里，由于其是质数，且无法找到其他被其整除的数，故5、7不能被抽取到.

①若抽取的数有1,

（I）若抽取三个数，设其他两个数为a,b（a<b）,则a?=/,,符合条件的（a,b）只能为（2,4）和（3,9）

两组，此时所抽取的数为（1,2,4）和（1,3,9）,共两组；

（II）若所抽取的数的个数大于3,记此等比数列的公比为q,则q22.若q=2,则所抽取的数为

（1,2,4,8）;若q23,则该等比数列的最大一项大于等于33=27,明显不符合题意，故该情况仅有

（124,8）1组符合条件.

②若抽取的数无1,则抽取的数应在｛2,3,4,689｝中.该等比数列公比q22,因此若最小的一项为3,

则最大一项23X22=12,矛盾，所以最小的一项应为2.易知符合条件的仅有（2,4,8）1组.

数学参考答案第2页（共6页）

综合上述情况，仅有（1,2,4）,（1,3,9）,（1,2,4,8）,（2,4,8）共4组符合条件.（4分）

而抽取的所有结果共有29-1=511种，故概率（6分）

（2）①当抽取的数有3项时，⑴若该等差数列的公差d=1,则有（1,2,3）,（2,3,4）,…，（7,8,9）共

7组符合条件.（II）若该等差数列的公差d=2,则有（1,3,5）,（2,4,6）,…，（5,7,9）共5组符合条

件.（III）若该等差数列的公差d=3,则有（1,4,7）,（2,5,8）,（3,6,9）共3组符合条件.（公）若该等

差数列的公差d=4,则仅有（1,5,9）1组符合条件.（V）若该等差数列的公差d25,则没有满足条

件的选取组合.

故此情况共有7+5+3+1=16组符合条件.（8分）

②当抽取的数有4项时，（I）若该等差数列的公差d=1,则有（1,2,3,4）,（2,3,4,5）,…，（6,7,8,9）共

6组符合条件.（U）若该等差数列的公差d=2,则有（1,3,5,7）,（2,4,6,8）,（3,5,7,9）共3组符合条

件.（III）若该等差数列的公差d23,则没有满足条件的选取组合.

故此情况共有6+3=9组符合条件.（10分）

③当抽取的数有5项时，⑴若该等差数列的公差d=l,则有（1,2,3,4,5）,（2,3,4,5,6），…，（5,6,7,8,9）

共5组符合条件.（II）若该等差数列的公差d=2,则仅有（1,357,9）1组符合条件.（III）若该等差

数列的公差d>3,则没有满足条件的选取组合.

故此情况共有5+1=6组符合条件.（12分）

以此类推，当抽取6、7、8、9项时，都当且仅当公差为1时有符合条件的选取组合，分别有4、

3、2、1组,

综上所述，满足条件的选取组合共有16+9+6+4+3+2+1=41组，（14分）

由(1),抽取的所有结果共有29—1=511种，故概率「2=缶.(15分)

18.(17分)

(1)/(%)=ax—(%+2)ln(x+1),xE(―1,+oo),(2分)

观察得f(0)=0，即％=0为其零点，(4分)

1

f(%)=a-1-------In(%+1)

x+1

所以f'(0)=a—2=0,即a=2.故a的值为2.(6分)

（2）由（1）得y=/（工）必经过原点，若需使y=/（久）经过四个象限，则/•（>）需在区间（―1,0）和

（0,+00）上均至少存在一个零点，

数学参考答案第3页（共6页）

令/(%)=cix—(%+2)ln(x+1)=0=a=(%W0)在(—1,0)和(0,+oo)上均有根.

,几n粕(%+2)ln(%+l)x2+2x-2(x+l)ln(x+l)

r

设函数g(%)=---------------，gM=---------(八2--------------'

X(%+1)%Z

令h(x)=%2+2%—2(x+1)ln(x+1),h'(x)=2[x—In(%+1)],

令(p(x)=x—ln(x+1),R'(%)=，当xe(—1,0)时,R'(X)<0,(p(x)单调递减；当%e(0,+oo)

时，(prM>0,0(%)单调递增.所以％=0是0(%)的极小值点，0(%)min=0(。)=0.

所以9(%)之0恒成立，即〃(%)之0,故八(%)单调递增.又/i(0)=0,所以当久e(-1,0)时，/i(x)<

九'(0)=0,即g，(x)<0,所以g[x｝单调递减;当％W(0,+8)时,h(x)>h'(0)=0,即gf(x)>0,

所以g(%)单调递增.

又当％t0时，gO)t2,所以要使得gO)=a在(-1,0)和(0,+8)上均有根，a需满足ae(2,+8).

综上所述，若/(%)的图像经过四个象限，则a6(2,+8).(17分)

(方法不唯一，若考生从极值点等其他角度入手，依据实际情况酌情赋分)

19.(17分)

(1)我们需证R在普通加法下可构成一个群，由题意，需从以下四个方面进行验证：

①封闭性：对见beR,则a+beR,封闭性成立.(1分)

②结合律：对a,b,cGR,a+(b+c)=(a+b)+c,结合律成立.(2分)

③恒等元：取e=0ER,则对任意aeR,0+a=a.符合恒等元要求.(3分)

④逆：对任意aeR,b=—aeR,且a+b=a+(—a)=0=e,满足逆的存在性.

(4分)

综上所述，所有实数在普通加法运算下可构成群/?+.

(2)首先提出，。的“X”运算可以是复数的乘法：Z1Z2(yzlfz26C),理由如下.

(6分)

即证明S在普通乘法下可构成一个群，同(1),需从四方面进行验证：

①封闭性：设Zi=a+bi,z2=c+di,其中Zi，Z2eC,即M+庐=+=1.

则z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+hc)i,

所以％Z2l=1(ac—bd)2+(ad+be?=Va2c2+b2d2+a2d2+b2c2

2222222

=y/c^+b)+d(a+b)=7c2+d=1,即zrz26C,封闭性成立.(7分)

②结合律：设Zi=a+bi,z2=c+di,z3=e+fi,其中21,22*36。，

数学参考答案第4页(共6页)

zi(z2z3)=(a+bi)[(ce—df)+(cf+de)i]

=[a(ce—df)—b(cf+de)]+[a(c/+de)+b(ce—d/)]i

(z1z2)z3=[(ac—bd)+(ad+bc)i](e+/i)

=[e(ac—bd)—f(ad+he)]+[f(ac-bd)+e(ad+he)]

对比后容易发现,Z1Q2Z3)和(Z[Z2)Z3实部和虚部分别对应相等，即Z/Z2Z3)=(Z1Z2)Z3，结合律成立.

(8分)

③恒等元：取e=lec,则对任意zee,l-z=z,符合恒等元要求.(9分)

④逆的存在性：对任意z=a+bieC,取其共辗z=a-bi,则z,2=a?+接=1=e,满足逆的存

在性.(10分)

综上所述，c在复数的乘法运算下构成一个群C'.

(构造不唯一，证明方法也不唯一，本题较为开放，不同的方法应据实际情况酌情赋分)

(3)所有阶数小于等于四的群G,都是阿贝尔群，理由如下.(11分)

若群G'的阶数为0,则G为空集，与定义矛盾.所以G'的阶数为1,2,3,4.下逐一证明.

①若群G*的阶数为1,则其唯一的元素为其恒等元，明显符合交换律，故此时G,是阿贝尔群.

(12分)

②若群GX的阶数为2,设其元素为e,a,其中e是恒等元，则exa=axe=a,符合交换律，故此

时GX是阿贝尔群.(13分)

③若群G*的阶数为3,设其元素为e,a,b,其中e是恒等元，由群的封闭性，axbCG,.

若axb=a,又axe=a,推出b-e,则集合G有两个相同的元素，不满足集合的唯一性，矛盾