2024届广东省各市高三一模题汇编：解三角形含解析

2024届广东省各市高三一模好题汇编：解三角形解三角形

题型01正、余弦定理

题型02三角形面积公式

题型03解三角形实例应用

题型04解三角形在几何中的应用

题型05解三角形有关最值问题

题型01正、余弦定理

1.（2024下•广东大湾区•校联考模拟预测）已知在,ABC中，AB=2,AC=l,cosA=-,则=

6

（）

A.1B.好C.正D.

233

2.（2024下,广东•大联考）已知在中，AB=2,AC=1,cosA=~,则BC=（）

6

A.1B.好C.正D.

233

3.（2024下•广东•江门一模）在中，B=30,b=2,c=2、/1,则角A的大小为（）

A.45B.135或45c.15D.105或15

4.（2024下•广东・梅州市一模）ABC的内角A,B,4的对边分别为b,C,若4=60°,6=10,

则结合4的值，下列解三角形有两解的为（）

A.a=8B,a=9C.a=10D.a=11

5.（2024下•广东•广州市二中模拟）（多选）已知角A,B,C是三角形ABC的三个内角，下列结论

一定成立的有（）

A.sin（-4+B）=sinCB.£i4+B）=co$C

C.若sin/1>sinfi,则A>BD.若A>则sin4>sin8

题型02三角形面积公式

1.（2024下广东东莞•六校联考）在一ABC中，角A伐C的对边分别为〃也c,且

A+C

Z?sin(A+B)—csin=0.

2

(1)求5;

(2)若。=5,a+c=8,求ABC的面积.

2.（2024下•广东深圳•模拟）已知；ABC的内角A民C的对边分别为〃力,c,sinA-sin

>C=-.

6

⑴求sinB的值；

TT

(2)若6=4,且求_ABC的面积.

3.（2024下•广东中山•一模）已知ABC的内角A,8,C的对边分别为a,6,c,且/cosB+abcosA-2c.

⑴求。；

（2）若4=弓，且J1BC的周长为2+&,求一ABC的面积.

4.（2024下•广东惠州•一模）在ABC中，角AB,C的对边分别是0,瓦c,

MasinAcosB+bsmAcosA=^3acosC.

⑴求角C的大小；

⑵若a=3,且AB-AC=1，求MC的面积.

题型03解三角形实例应用

1.（2024下•广东清远•一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一

幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在

距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼

睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（）

A.1.73B.1.41C.2.24D.2.45

2.（2024下•广东肇庆・模拟）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86

（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现

有A,B,C三点，且A,B,C在同一水平面上的投影满足/HC'?=45,ZA'B'C=60.由

C点测得2点的仰角为15,88'与CC'的差为100；由8点测得A点的仰角为45,则A,C两点到

水平面A'3'C'的高度差44'-CC'约为（）（退*1.732）.

A.346B.373C.446D.473

3.（2024下•广东深圳•模拟预测）为了测量西藏被誉称为“阿里之巅"冈仁波齐山峰的高度，通常采

用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量过程中，已知竖立在3点处

的测量觇标高20米，攀登者们在A处测得，到觇标底点3和顶点C的仰角分别为45。,75。，则的

高度差约为（）

A.7.32米B.7.07米C.27.32米D.30米

5.（2024下•广东广州•模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿

雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁

塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物。E的楼顶£为测量观测点，已知点A为

塔底，ACO在水平地面上，来雁塔和建筑物。E均垂直于地面（如图所示）.测得

CD=18m,AD=15m,在C点处测得E点的仰角为30。，在E点处测得8点的仰角为60。，则来雁塔

42的高度约为（）（6^1.732,精确到0.1m）

C.38.4mD.39.6m

题型04解三角形在几何中的应用

1T

1.（2024下广东•百校联考）在,ABC中，角AB,c的对边分别是风"C,且asinC=csin（A+§）.

（1）求角A的大小；

（2）若b=2,c=3,。是边的中点，求AZ）的长.

2.（2024下•广东珠海•高三联考）在△ABC中，a,b,。分别是角A,B,。所对的边，点。在

边AC上，且满足3sinA=tanZABCcosC+sinC,csinC=3BZ）sinZBDC.

b

（1）求一的值；

a

（2）若AD=3DC,求sinNABD.

题型05解三角形有关最值问题

1.（2024下•广东•梅州市一模）己知.ABC是锐角三角形，角A,B,C所对的边分别为a,b,

c,S为.ABC的面积，2s=及+°2—4，则上的取值范围为（）

b

2.（2024下•广东江门•高三联考）已知在一A5c中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

acos(^B-C^+acosA-2y/3csmBcosA=0.

（1）求A；

（2）若〈ABC外接圆的直径为26，求2c—b的取值范围.

3.（2024下•广东•茂名市一模）在_/由。中，角A,B,。所对的边分别为。，b,c,已知

acosB-bcosA-a+c=0.

（1）求B的值；

（2）若版为AC的中点，且a+c=4,求创1的最小值.

3.（2024下广东•广州市一模）记,ABC的内角A5c的对边分别为a,d的面积为S.已

知S=—¥（/+02"2）

（1）求B；

7T

（2）若点。在边AC上，且=—,AD=2DC=2,求_A3C的周长.

2

2024届广东省各市高三一模好题汇编：解三角形解三角形

题型01正、余弦定理

题型02三角形面积公式

题型03解三角形实例应用

题型04解三角形在几何中的应用

题型05解三角形有关最值问题

题型01正、余弦定理

1.（2024下.广东大湾区.校联考模拟预测）已知在，ABC中，AB=2,AC=1,cosA=~,则BC=

6

（）

AlB石C«DA

233

【答案】D

【解析】

22

【详解】由余弦定理得3c2=A^+AC?—加班24c21A=211-xxx-=-,

63

所以3c=15.

3

故选：D.

2.(2024下•广东•大联考)已知在ABC中，AB=2,AC=1,cosA=~,则BC=()

6

n'/sc奉D小

A.1D.--------------U.-----------

233

【答案】D

【解析】

【详解】由余弦定理得BC?=AB2+AC2—加的M214=22a21-xxx-=-,

所以3C=巫

3

故选：D.

3.（2024下•广东•江门一模）在.ABC中，B=3Q,b=2,C=2、/5,则角A的大小为（）

A.45B.135或45c.15D.105或15

【答案】D

【解析】

【详解】由题意知中，8=30,b=2,c=2夜，

bcsinB2^2xsin30_V2

故即sinC=

sinBsinCb2~~2

由于c〉Z?,故C>6=30，则。=45或135，

故A的大小为180-30-45=105或180-30-135=15，

故选：D

4.（2024下广东•梅州市一模）一ABC的内角A,B,。的对边分别为〃，匕，。，若A=60。，6=10,

则结合〃的值，下列解三角形有两解的为（）

A.,3=8B.a=9c.a=10D.a=11

【答案】B

【解析】

Wx

【详解】由正弦定理可得，一乙=——，所以.DbsinAT5百，

sinAsinBsinB=-------=------=——

aaa

因为三角形有两解，所以sin5<l,且匕>。，因此由选项知，只有。=9符合.

故选：B

5.(2024下广东•广州市二中模拟)(多选)已知角A,B,C是三角形ABC的三个内角，下列结论

一定成立的有()

A.sm(4+S)=sinCB.+B)=cosC

C.若sin片>sin&则,-I>BD.若A>B,则sin451ns

【答案】ACD

【详解】A选项，sin(>l+B)=sin(n-Q=sinC,选项A正确；

B选项，cos(4+B)=cos(n-C)=-cosC,选项B错误；

在△4BC中，由正弦定理得sia4>sinB=a>boA>B,故C和D正确.

故选：ACD

题型02三角形面积公式

1.(2024下•广东东莞•六校联考)在11ABe中，角A,B,C的对边分别为a,6,c,且

Z?sin(A+B)-csin。=0.

⑴求3；

(2)若，=5,a+c=8,求ABC的面积.

n13>/3

B=——7-

【答案】(1)3(2)4

A+CB

Z?sin(A+3)—csin-----=0sinBsinC-sinCeos一=0

【详解】(1)因为2,所以2

.„B

smB=cos一

因为sinCwO,所以2

cB兀B_sin『sin2sin-

0<一<—cos—wO

因为22,所以2,所以由22,得22

B=-

因为0<3<兀，所以3.

B=—

故答案为：3

(2)由余弦定理知〃="+(?_2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB

JI

b=5,a+c=8,B=-9、

因为3,所以5-=8--3农，所以a=13,

=LcsinB=M

S

故J1BC的面积AB。24

136

故答案为：丁

2g

2.（2024下•广东深圳•模拟）已知的内角A3,C的对边分别为

且c吟

⑴求sin5的值;

TT

(2)若Z?=4,且求,ABC的面积.

2

sinB=⑵26一6

【答案】（1）3

【详解】（1）A+3+C=71,

sinIB+—兀|-sin|B+—n

••・由题意得66

sinB+—cosBsinB+—cosB

222

sinB=-

解得3

B>-cosB=-Vl-sin2B=

（2）方法一:2,由(1)可知3,

bsinC_

在中，由正弦定理，得‘--------=3

sinB

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC

6

S=—bcsinA=25/3-y/5

的面积2

B>—cosB=-^l-sin2B=-

方法二：2,由(1)可知3,

Z?sinC.

c=--------=j

在-ABC中，由正弦定理，得sinB,

「a1+b2-c2

cosC=_________

在.ABC中，由余弦定理，得一2ab,

.1_a2+16-9

28a,

解得。=2石土石，

B>-

2,

:.b>af

.a=2-\/3—y/5

••，

S=-bcsinA=2y/3-^

的面积2.

3.(2024下•广东中山•一模)已知ABC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c,且/cos3+他cosA=2c.

⑴求。；

(2)若A=g,且一ABC的周长为2+正，求ABC的面积.

【答案】(1)。=2；(2)4.

【详解】(1)由题设"("c°sB+"c°sA)=20,由正弦定理有"(sinAcos'+sin'cosA)=2sinC,

所以asin(A+8)=2sinC,=故asinC=2sinC,又sinC>0,

所以°=2.

,b1+C1-a2b1+C1-41

cosA=--------------=--------------=—99

(2)由(1)及已知，有2bc2bc2,可得b+c+bc=4f

又〃+/?+。=2+返，即b+c=正，

所以S+c)2-bc=5-bc=4^>bc=l故S"BC--bcsinA-

4.(2024下•广东惠州•一模)在一ABC中，角A民。的对边分别是〃也。，

且QsinAcosB+bsinAcosA=COSC•

⑴求角c的大小；

⑵若。=3,且AB-AC=1，求ABC的面积.

「兀3君

【答案】⑴3（2）2

【详解】（1）

因为asinAcosB+Z?sinAcosA=\/3«cosC,

所以卞艮据正弦定理得sinAsinAcosB+sinAsinBcosA=V3sinAcosC,

因为sinAw。，

所以sinAcosB+sinBcosA=V3cosC,

即sin（A+B）=CcosC

即sinC=A/3COSC

因为cosCwO,所以tanC=石.

C=-

因为°<C<7i,所以3.

（2）

AB•AC=bccosA=1

因为a?=〃+/—2bccosA,所以廿+/=9+2bccosA=11①.

因为W—a?+匕2—2aZ?cosC,

b1-c1=labcosC-a1-2x3xZ?xcos—-32=3b-9

所以3②.

联立①②可得0-36-2=0,解得6=2（负根舍去），

1-1-63A/3

—absmC=—x3x2x——=-----

故，ABC的面积为2222.

题型03解三角形实例应用

1.（2024下•广东清远•一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一

幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在

距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）己知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼

睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（）

A.1.73B.1.41C.2.24D.2.45

如图，设观赏者的眼睛在点。处，油画的上沿在点A处，下沿在点6处,

点0在线段延长线上，且保持与点。在同一水平线上，

则加出=夕即观赏时的视角.

依题意==

不妨设℃=%,则RD=J/+1,AD=J/+9,

2尤2+6Ix4+6x2+9

COS0=

在△ABD中，由余弦定理,2&+>&+9V%4+10X2+9

1

X4+10X2+9X

2

X+-^>279=64r-

因尤>0,贝i]厂，当且仅当％=9时，即x=Y3时等号成立,

9g

x2+—>6/++10216

由无可得1

（一小

C41八4

0<---------------<—cos0=

j+乡+104/+乂+102

则X，贝UX

（0,-）Q<0<-

因函数y=cosx在2上单调递减，故得6,

71

即最大视角为7,此时观赏者距离油画的直线距离为L73.

故选：A.

2.（2024下•广东肇庆・模拟）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86

（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现

有A,B,C三点，且A,B,。在同一水平面上的投影4,5',。'满足/4（'8=45,ZA'B'C=60.由

C点测得2点的仰角为15,与CC'的差为100；由8点测得A点的仰角为45,则A,C两点到

水平面A'3'C'的高度差A4—CC约为（）（追=1.732）.

D.473

【答案】B

【详解】过C作C"，33',过8作

故A4，-CC=A4-(89-BH)=A4，-Bg+100=AD+100

由于B点测得A点的仰角为45,知，皿?为等腰直角三角形，所以AO=r®,

所以A4'-CC=DB+100=A8'+100,

100

CH=C'B'=

因为N8C”=15,所以tanl5

在AAEC中,ZCA,Bf=180-60-45=75,

AB_CH_100100

由正弦定理得：sin45sin75tanl5cosl5sinl5,

sinl5=sin(45°-30)=sin45cos30-cos45sin30=-----------

而l,4

100x4x—

A'B'=—尸~~义=100(^+1)^273

所以V6-V2'7

所以A4'-CC'=AB+100B373,

故选：B.

3.（2024下广东深圳•模拟预测）为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采

用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量过程中，已知竖立在8点处

的测量觇标高20米，攀登者们在A处测得，到觇标底点8和顶点C的仰角分别为45。,75。，则A,B的

高度差约为（）

c

A.7.32米B.7.07米C.27.32米D.30米

【答案】A

【详解】A

模型可简化为如上图，在RtADC中，ZBAZ）=45°,ZCAD=75°；

代入上式并化简可得3。=7.32米，

故选：A.

5.（2024下•广东广州•模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿

雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁

塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物。E的楼顶£为测量观测点，已知点A为

塔底，AC。在水平地面上，来雁塔和建筑物。E均垂直于地面（如图所示）.测得

C£>=18m,A£>=15m,在C点处测得E点的仰角为30。，在E点处测得8点的仰角为60。，则来雁塔

的高度约为（）（6合1.732,精确到0.1m）

C

A.35.0mB.36.4mC.38.4mD.39.6m

【答案】B

【详解】过点E作所，至，交AB于点厂，

在直角三角形中，因为NECD=30。，

所以DE=CDlw\ZDCE=18xtan30°=6百,

在直角三角形小?防中，因为N3E尸=60。，

所以BF=EF-tan/FEB=15xtan60°=154，

^AB=BF+AF=BF+ED=15y/3+6y/3=2173x36.4(m)

故选：B.

题型04解三角形在几何中的应用

1.（2024下•广东•百校联考）在，ABC中，角A,5,c的对边分别是"C,且asinC=csin（A+g）.

（1）求角A的大小；

（2）若b=2,c=3,£>是边6C的中点，求AD的长.

【答案】（1）（2）叵

32

【解析】

【小问1详解】

JTJT

在_ABC中，由正弦定理及asinC=csin（A+—）,得sinAsinC=sinCsin（A+］）,

TT7r4JT

而sinC>0,贝!JsinA=sin（A+一）,由知0VA<A+—V—,

333

TTTT

因此4+二=兀一&,解得A=2,

33

所以角A的大小为4.

3

【小问2详解】

qr---•

由（1）知4=乌，由。是边的中点，得AO=—（AB+AC）,

32

所以|2222"TV19

AD|=；｛(AB+ACy=1y/b+c+2bccosA=1j2+3+2x2x3X—=--------

22

2.（2024下•广东珠海•高三联考）在△ABC中，a,b,。分别是角A,B,C所对的边，点。在

边AC上，且满足3sinA=tan/ABCcosC+sinC,csinC=3BDsinZBDC.

b

(1)求一的值；

a

(2)若AZ)=3DC,求sinNABD.

BD_BC

【解析】（1）方法1：如图，在△5C。中，由正弦定理知

sinCsinZBDC

所以&)sinNBDC=asinC,所以csinC=3〃sinC,

因为。£(0,兀)，所以sinCwO,则c=3a①，

由3sinA=tanZABCcosC+sinC,

则3sinAcosZABC=sinZABCcosC+sinCcosZABC=sinA,

因为人£(0,兀)，所以sinAwO,贝ijcosNABC=g,

、+2—从92

在△A3C中，由余弦定理知cosNABC=--------------，则Q+c-b—etc=0@,

2ac3

由①②2=2万

a

BDA5

万法2：在△A5D中，由正弦定理知-----=----------，

sinAsinABDA

所以&)sin/BZM=csinA,又因为sinNBZM=sinNBDC,所以sinC=3sinA,

由3sinA=tanZABCcosC+sinC,贝！JtanZABCcosC=0,

因为tanNABCwO,所以cosC=0,因为C«0,兀)，所以。=]

由3sinA=tanZABCcosC+sinC,

则3sinAcosZABC=sinZABCcosC+sinCcosZABC=sinA,

因为Ae(O,兀)，所以sinA/O,贝!!cosNABC=；

bsin/ABCsin/ABC

由正弦定理知--sinA-sin(ZABC+C)=tanZABC,

因为cosNABC=g,所以sinNABC=速，则2=20.

3a

（或：在6分点后，因为sinC=3sinA,由正弦定理知c=3a,所以2=

a

31

(2)方法1：因为AD=3DC,所以AO=-6,DC=—b,

44

2

RD?_R「2BD+

在公BCD中，由余弦定理知cosZBDC=----------

2BDDCb

2BD-

3b2

HD2+AD2-AR2BD+\-C

同理在△N)中，cosZBDA=—2=---4---)--

2BDAD(f

2BD-

因为4£>C+NBZM=7i,所以COSNBDC+COS/BZM=0,

3〃

贝IJ4BP2+---3a2-c2=0,

4

2=2忘，所以3。=画

由（1）矢口。=3a,

a2

（注：若学生得到C='则cos/BDCu空，BD=飞BC?+3=胆也能得分）

2BD2

_A/6

在△BAD中，由余弦定理知cosZABD=

2BDAB一7'

所以sinNAB。=且

3

3

方法2：因为AD=3DC,所以AD=-6,DC=-b,

44

0—AB-BDsinZABD.

所以5=2=Q至mzWADr。,

smZCBD

SACBD^BDABsinZCBD

2

SAAnr-tc

又因为a=3,所以sin/ABD=sinNCB£),

因为NA8D,/CBD均为锐角,所以NA5D=NCBD,

则cosZABC=cos(2ZABD)=l-2sin2ZABD,

所以sinNABD=立.

3

31

方法3：因为AD=3DC,所以AD=—6,DC=-b,

44

31-

所以3。=—3C+—3A.

44

所以+［；胡］+2-1fiC^BAcosZABC>

由⑴知C=3Q,—=2A/2,\BD\=—^-a-

aII2

BD?+AB?-AD?

在△R4D中,由余弦定理知cosZABD=

2BDAB

所以sinNAB£)=J

3

题型05解三角形有关最值问题

1.（2024下•广东•梅州市一模）已知JWC是锐角三角形，角A,B,。所对的边分别为。，b,

c,S为ABC的面积，2s=〃+c2—则g的取值范围为（

b

7

【答案】A

【解析】

【详解】依题意，2S=bcsinA=b2+c2-a2,

...b2+c2-a2....

sinA=2-------------=2cosA,tanA=2

2bc

sinA=2cosA

<sin2A+cos2A=1

„.71sinA^,cosA=^

0<A<—

由2解得55

c_sinC_sin(A+8)_sinAcosB+cosAsinB

bsinBsinBsinB

_2451V5

5tan/5,

0<B<-

<2

A+B>-

由于三角形AB。是锐角三角形，所以12,

JTJT

0<----A<B<—tanB>tan^-A

所以22,所以

sinAAc

0<------=tanA=2

tan5,cosA

tan

所以

27514757?2751^5/-

n(J<------------<------,----<--------------1-----<V3

所以5tanB555tanB5

故选：A

2.（2024下•广东江门•高三联考）已知在ABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,且

acos(5-C)+acosA-26csinBcosA=0.

（1）求A；

（2）若一ABC外接圆的直径为26，求2c—b的取值范围.

TT

【答案】（1）A=—⑵(-3,6)