第8章 认识概率（教师版）

2023-2024学年苏科版数学八年级下册章节培优复习知识讲练第8章认识概率（思维导图+知识梳理+四大重点考向举一反三讲练）1.通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确的判断；2.理解概率的定义，通过具体情境了解概率的意义；3.理解频率与概率的关系，能利用频率与概率的关系解决实际问题.知识点01：确定事件与随机事件【高频考点精讲】1.不可能事件在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件．2.必然事件在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件.3.随机事件在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件.【易错点剖析】（1）一般地，要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.（2）必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同.知识点01：频率与概率【高频考点精讲】1.概率随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率(probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率.事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件)＜1.所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件).一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小.2.频率通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性.一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值.【易错点剖析】①概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；②频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；③概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.重点考向01：随机事件重点考向02：可能性的大小重点考向03：概率的意义重点考向04：利用频率估计概率重点考向01：随机事件【典例精讲】（2023春•秦淮区期中）在一个不透明的袋子中装有5个红球，3个白球，这些球除了颜色外都相同，从中随机抽出4个球，下列事件中，必然事件是（）A．至少有一个球是红球 B．至少有一个球是白球 C．至少有两个球是红球 D．至少有两个球是白球【思路点拨】根据题意列举所有可能，即可求解．【规范解答】解：在一个不透明的袋子中装有5个红球，3个白球，这些球除了颜色外都相同，从中随机抽出4个球，可以是4个红球，3个红球和1个白球，2个红球和2个白球，1个红球和3个白球，∴至少有一个球是红球；故选：A．【考点评析】本题考查了必然事件的定义，根据题意列举所有可能是解题的关键．【变式训练1-1】（2022春•江阴市期中）任意选择电视的某一频道，正在播放动画片，这个事件是随机事件．（填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”）【思路点拨】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【规范解答】解：任意选择电视的某一频道，正在播放动画片，这个事件是随机事件，故答案为：随机事件．【考点评析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【变式训练1-2】（2023春•泰州期末）下列事件是必然事件的为（）A．抛一枚均匀骰子，点数是1的一面朝上 B．打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况 C．端午节赛龙舟，甲队获得冠军 D．三角形的内角和是180°【思路点拨】根据随便事件的定义对各选项进行逐一分析即可．【规范解答】解：A、抛一枚均匀骰子，点数是1的一面朝上，是随机事件，不符合题意；B、开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况，是随机事件，不符合题意；C、端午节赛龙舟，甲队获得冠军，是随机事件，不符合题意；D、三角形的内角和是180°，是必然事件，符合题意．故选：D．【考点评析】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．【变式训练1-3】（2024•旺苍县一模）“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是随机事件（填写“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”）．【思路点拨】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．【规范解答】解：“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，说的是随机事件．故答案为：随机事件．【考点评析】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．【变式训练1-4】（2021春•招远市期末）某同学期中考试数学考了100分，则他期末考试数学考100分属于可能事件．（选填“不可能”“可能”或“必然”）【思路点拨】据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．【规范解答】解：某同学期中考试数学考了100分，是随机事件，则他期末考试数学可能考100分，故答案为：可能．【考点评析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【变式训练1-5】（2016秋•埇桥区期中）在一个不透明的盒子中装有涂颜色不同的8个小球，其中红球3个，黑球5个．（1）先从袋中取出m（m＞1）个红球，再从袋中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A．请完成下列表格：事件A必然事件随机事件m的值32（2）先从袋中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出一个球是黑球的概率是，求m的值．【思路点拨】（1）根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答；（2）利用概率公式计算即可．【规范解答】解：（1）从袋中取出3个红球，再从袋中随机摸出1个球，“摸出黑球”是必然事件，从袋中取出2个红球，再从袋中随机摸出1个球，“摸出黑球”是随机事件，故答案为：3；2；（2）由题意得，＝，解得，m＝1．【考点评析】本题考查的是随机事件的定义、概率的求法，必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【变式训练1-6】（2022春•润州区校级期中）数学课上，师生进行了摸球试验：一只不透明的袋子中装有编号分别为1、2、3、…、m的小球（除编号外完全相同）：活动一：当m＝2时，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作，若事件：“记录的编号中出现两个相同的编号”是必然事件，则最少需摸3次．活动二：当m＝3时，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作．（1）若事件A：“记录的编号中出现两个相同的编号”是必然事件，则最少需摸4次．（2）若事件B：“记录的编号中出现三个相同的编号”是必然事件，则最少需摸7次．活动三：在这只装有编号分别为1、2、3、…、m的小球（除编号外完全相同）的不透明的袋子中，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作，若事件：“记录的编号中出现4个相同的编号”是必然事件至少需要摸100次，则袋中有多少个小球？【思路点拨】活动一：通过例举得出答案；活动二：通过例举得出答案；活动三：总结规律，列出方程求解即可得出答案．【规范解答】解：活动一：仅摸一次，不可能出现两相同编号，摸两次，有可能出现不同的编号，如2，1或1，2，不符合必然事件，摸三次，才能保证出现两个相同的编号为必然事件，故答案为：3；活动二：有编号为1，2，3三个小球，（1）摸两次时，不符合题意，如摸到1，2，摸三次时，不符合题意，如摸到1，2，3，摸四次时，一定会出现两个相同的编号，为必然事件，故答案为：4；（2）摸六次时，不符合题意，如1，2，3，1，2，3，摸七次时，符合题意，一定会摸到三个相同的编号为必然事件，故答案为：7；活动三：根据题意得：m+m+m+1＝100，解得：m＝33，答：袋中有33个小球．【考点评析】本题考查随机事件，探索规律，通过例举，寻找规律是解题的关键．【变式训练1-7】（2021春•盐都区期中）近期教育局将要举办“文学名著阅读分享大赛”，某校从3名男生（含小强）和5名女生中选4名学生参加全区比赛，规定其中女生选n名．（1）当n为何值时，“男生小强参加”是必然事件？（2）当n为何值时，“男生小强参加”是随机事件？【思路点拨】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，判断即可．【规范解答】解：（1）当n＝1时，“男生小强参加”是必然事件；（2）当n＝2或n＝3时，“男生小强参加”是随机事件．【考点评析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．重点考向02：可能性的大小【典例精讲】（2023春•惠山区校级期中）一只不透明的袋子中装有白、红、黑三种不同颜色的球，其中白球有3个，红球有8个，黑球有m个，这些球除颜色外完全相同．若从袋子中任意取一个球，摸到黑球的可能性最大，则m可以为9（答案不唯一）（写出一个符合条件的m的值）．【思路点拨】根据摸到哪种球的可能性最小，哪种球的数量最少确定答案即可．【规范解答】解：∵袋子中装有白、红、黑三种不同的球，其中白球有3个，红球有8个，黑球有m个，摸到黑球的可能性最小，∴m的值最大，则m＞8，故答案为：9（答案不唯一）．【考点评析】本题考查了可能性的大小的知识，解题的关键是能够根据可能性的大小判断要求的数值的多少，难度不大．【变式训练2-1】（2023春•赣榆区期末）从一副扑克牌中任意抽取1张，则下列事件中发生的可能性最大的是（）A．这张牌是“A” B．这张牌是“红心” C．这张牌是“大王” D．这张牌是“红色的”【思路点拨】分别求出抽出各种扑克的数量，即可比较出各种扑克的可能性大小．【规范解答】解：从一副扑克牌中“A”有4张，“红心”有13张，“大王”有1张，“红色的”有27张，∵27＞13＞4＞1，∴这张牌是“红色的”的可能性最大，故选：D．【考点评析】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．【变式训练2-2】（2019秋•新会区期末）掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后，在下列四个选项中，可能性最大的是（）A．点数小于4 B．点数大于4 C．点数大于5 D．点数小于5【思路点拨】根据所有可能的6种结果中，看哪种情况出现的多，哪种发生的可能性就大．【规范解答】解：掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后共有6种等可能的情况，即：点数为1，2，3，4，5，6；其中点数小于4的有3种，点数大于4的有2种，点数大于5的有1种，点数小于5的有4种，故点数小于5的可能性较大，故选：D．【考点评析】考查等可能事件发生的概率，理解可能性的大小是关键．【变式训练2-3】（2023春•泰州期末）袋中装有8个小球，颜色为红、白、黑，每个球除颜色外其它都相同，将球摇匀，从中任意摸出一个球，若要求摸出的球是黑球和不是黑球的可能性一样，则红球和白球共有4个．【思路点拨】8×红球和白球所占总体的百分比＝红球和白球的数目．【规范解答】解：若要求摸出的球是黑球和不是黑球的可能性一样，则黑球占；红球和白球共占．故红球和白球共有×8＝4个．故答案我：4【考点评析】本题主要考查了可能性的大小．解决本题的关键是得到红球和红球占球的数目占球的总数的百分比．【变式训练2-4】（2021春•邗江区期中）从一副扑克牌中任意抽取1张，下列4个事件：①这张牌是“A”；②这张牌是“红心”；③这张牌是“大王”；④这张牌是“红色的”．其中发生的可能性最大的事件是④．（填写你认为正确的序号）【思路点拨】分别求出抽出各种扑克的概率，即可比较出各种扑克的可能性大小．【规范解答】解：∵①这张牌是“A”的概率为＝；②这张牌是“红心”的概率为；③这张牌是“大王”的概率为；④这张牌是“红色的”的概率为＝，∴中发生的可能性最大的事件是④．故答案为：④．【考点评析】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．【变式训练2-5】（2023春•宿迁期末）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，估计下列事件发生的可能性的大小，并将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序用“＜”排列．（1）指针落在标有3的区域内；（2）指针落在标有9的区域内；（3）指针落在偶数或奇数的区域内；（4）指针落在偶数的区域内．【思路点拨】根据可能性等于所求情况数与总情况数之比分别求出每种情况的可能性，再按发生的可能性从小到大的顺序排列即可．【规范解答】解：（1）指针落在标有3的区域内的概率是；（2）指针落在标有9的区域内的概率是0；（3）指针落在标有偶数或奇数的区域内的概率是1；（4）指针落在标有奇数的区域内的概率是；将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为：（2）＜（1）＜（4）＜（3）．【考点评析】此题考查了可能性大小，用到的知识点是可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是求出每种情况的可能性．【变式训练2-6】（2023春•姑苏区校级期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的12个小球，其中红球4个，黑球8个．（1）先从袋子中取出m（m＞1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A．请完成下列表格：事件A必然事件随机事件m的值42或3（2）从袋子中取出n个红球并摇匀，随机摸出1个球是黑球的可能性大小是，求n的值．【思路点拨】（1）当袋子中全部为黑球时，摸出黑球才是必然事件，否则就是随机事件；（2）利用概率公式列出方程，求得m的值即可．【规范解答】解：（1）当袋子中全为黑球，即先从袋子中取出4个红球时，再从袋子中随机摸出1个球，摸到黑球是必然事件；∵m＞1，当摸出2个或3个红球时，摸到黑球为随机事件，事件A必然事件随机事件m的值42或3故答案为：4；2或3．（2）依题意，得＝，解得n＝3，所以n的值为3．【考点评析】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．也考查了必然事件与随机事件．【变式训练2-7】（2023春•大丰区期中）一个不透明的袋子中装有5个红球、7个黑球，这些球除颜色外都相同．（1）若从中任意摸出一个球，则摸到黑球的可能性大；（2）如果另外拿红球和黑球一共6个放入袋中，你认为怎样放才能让摸到红球和摸到黑球的可能性相同．【思路点拨】（1）分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性大．（2）另外放入5个球，那么共有16个球，每种颜色的各有8个时，摸到红球和黄球的概率都是．【规范解答】解：（1）摸到红球的可能性为：＝；摸到黑球的可能性为＝．故摸到黑球的概率大．故答案为：黑；（2）放入4个红球，2个黑球．理由如下：∵另外拿红球和黑球一共6个放入袋中，∴共有5+7+6＝18个球，∵摸到红球和摸到黑球的可能性相同，∴黑球和红球的数量相等，∴应放入4个红球，2个黑球．【考点评析】本题考查的是可能性的大小，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．重点考向03：概率的意义【典例精讲】（2020春•宁德期末）下列事件：①掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上；②某彩票中奖率为，买100张一定会中奖；③13人中至少有2人的生日在同一个月．其中是必然事件的是③．（填序号）【思路点拨】必然事件就是一定会发生的事件，依据定义即可判断．【规范解答】解：①掷一枚质地均匀的硬币，不一定正面朝上，有可能反面朝上，故不是必然事件；②某彩票中奖率为，则买100张也不一定会中奖，故不是必然事件；③一年共有12个月，13人中至少有2人的生日在同一个月，是必然事件；故答案为：③．【考点评析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【变式训练3-1】（2023春•梁溪区校级期末）下列说法正确的是（）A．“水在一个标准大气压下，温度为﹣10℃时不结冰”是不可能事件 B．某彩票的中奖机会是0.1%，买1000张一定会中奖 C．为检验某品牌LED灯管的使用寿命，采用普查的调查方式比较合适 D．“如果x、y是实数，那么x+y＝y+x”是随机事件【思路点拨】根据随机事件的定义，概率的意义和全面调查与抽样调查的定义判断即可．【规范解答】解：A、“水在一个标准大气压下，温度为﹣10℃时不结冰”是不可能事件，故此选项符合题意；B、某彩票的中奖机会是0.1%，买1000张不一定会中奖，故此选项不符合题意；C、为检验某品牌LED灯管的使用寿命，采用抽样调查方式比较合适，故此选项不符合题意；D、“如果x、y是实数，那么x+y＝y+x”是必然事件，故此选项不符合题意；故选：A．【考点评析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念、概率的意义和全面调查与抽样调查的定义．熟练掌握这些概念是解题的关键．【变式训练3-2】．（2021•罗湖区校级模拟）某同学掷一枚硬币，结果是一连8次都掷出正面朝上，请问他第9次掷出硬币时出现正面朝上的概率是（）A．小于 B．大于 C．等于 D．不能确定【思路点拨】认清无论哪一次抛掷硬币，都有2种情况，即正、反，与第几次抛掷硬币无关，根据概率的求法可得答案．【规范解答】解：无论哪一次抛掷硬币，都有2种情况，即正、反，故第10次掷出硬币时出现正面朝上的概率为．故选：C．【考点评析】本题考查概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．【变式训练3-3】（2018•济南一模）在一个不透明的袋子中，装有大小，形状，质地都相同，但颜色不同的红球3个，黄球2个，白球若干个，从袋子中随机摸出一个小球是黄球的概率是，则袋子中白色小球有3个；【思路点拨】直接利用概率求法得出等式求出答案．【规范解答】解：设白球x个，由题意可得，＝，解得：x＝3．故答案为：3．【考点评析】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的意义是解题关键．【变式训练3-4】（2018•丰台区一模）“明天的降水概率为80%“的含义有以下四种不同的解释：①明天80%的地区会下雨；②80%的人认为明天会下雨；③明天下雨的可能性比较大；④在100次类似于明天的天气条件下，历史记录告诉我们，大约有80天会下雨．你认为其中合理的解释是③④．（写出序号即可）【思路点拨】根据概率的意义解答可得．【规范解答】解：“明天的降水概率为80%”可表示③明天下雨的可能性比较大；④在100次类似于明天的天气条件下，历史记录告诉我们，大约有80天回下雨．故选：③④．【考点评析】本题主要考查概率的意义，解题的关键是掌握概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．【变式训练3-5】（2022秋•东莞市期末）某产品出现次品的概率为0.05，任意抽取这种产品600件，那么大约有30件是次品．【思路点拨】利用总数×出现次品的概率＝次品的数量，进而得出答案．【规范解答】解：由题意可得：次品数量＝600×0.05＝30．故答案为：30．【考点评析】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键．【变式训练3-6】（2020春•仪征市期中）下列说法：①“概率为1的事件”是必然事件；②如果一个事件发生的可能性极其的小，则它一定不会发生；③条形统计图能够清楚的显示出各组数据的变动情况；④折线统计图较好地反映了事物的变化过程和趋势．其中说法正确的有①④（把正确答案的序号填在横线上）．【思路点拨】利用概率的意义、统计图的选择等知识分别判断后即可确定正确的答案．【规范解答】解：①“概率为1的事件”是必然事件，正确；②如果一个事件发生的可能性极其的小，则它也可能会发生，故原命题错误，不符合题意；③条形统计图能够清楚的显示出各组数据的大小，故原命题错误，不符合题意；④折线统计图较好地反映了事物的变化过程和趋势，正确，符合题意．故答案为：①④．【考点评析】考查了概率的意义及统计图的选择的知识，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，折线统计图能清楚地反映事物的变化情况．重点考向04：利用频率估计概率【典例精讲】（2023秋•潮州期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．该事件最优可能的是（）A．暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球 B．掷一枚硬币，正面朝上 C．掷一个质地均匀的正六面骰子，向上一面的点数是2 D．从一副扑克牌中任意抽取1张，这张牌是“红心”【思路点拨】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈，计算三个选项的概率，约为者即为正确答案．【规范解答】解：A、暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球的概率是，符合题意；B、中掷一枚硬币，正面朝上的概率为，不符合题意；C、掷一个质地均匀的正六面骰子，向上一面的点数是2的概率为，不符合题意；D、从一副扑克牌中任意抽取1张，这张牌是“红心”的概率是，不符合题意；故答案为：A．【考点评析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．【变式训练4-1】（2023春•银川校级期末）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有8个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量的重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4，那么估计盒子中小球的个数n为（）A．32 B．20 C．15 D．25【思路点拨】利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率，然后用盒子中黄球的个数除以摸到黄球频率的稳定值即可．【规范解答】解：∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4，∴估计摸到黄球的概率为0.4，∴n＝8÷0.4＝20（个），故选：B．【考点评析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．【变式训练4-2】（2023秋•邻水县期末）某试验小组做了可转动转盘（如图），想求当转盘停止转动后，“指针落在灰色区域内”的概率，试验数据如下表：试验次数n204060801001000“指针落在灰色区域内”的次数m611152125251“指针落在灰色区域内”的频率0.30.2750.25026250.250.251根据表格，可以估计出转动转盘一次，当转盘停止转动后，“指针落在灰色区域内”的概率约是0.25（结果精确到0.01）．【思路点拨】利用频率估计概率求解即可．【规范解答】解：当转盘停止转动后，“指针落在灰色区域内”的概率约是0.25，故答案为：0.25．【考点评析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【变式训练4-3】（2023秋•剑阁县期末）一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则可以估算出m的值为16．【思路点拨】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可．【规范解答】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.25，∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为0.25，∴＝0.25，解得m＝16，经检验：m＝16是原方程的解．故答案为：16．【考点评析】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率．【变式训练4-4】（2023秋•宽甸县期末）小颖妈妈经营的玩具店某次进了一箱黑白两种颜色的塑料球4000个，为了估计两种颜色的球各有多少个，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到黑球的频率在0.6附近波动，据此可以估计黑球的个数约是2400．【思路点拨】因为摸到黑球的频率在0.6附近波动，所以摸出黑球的概率为0.6，再设出黑球的个数，根据概率公式列方程解答即可．【规范解答】解：设黑球的个数为x，∵黑球的频率在0.6附近波动，∴摸出黑球的概率为0.6，即＝0.6，解得x＝2400．所以可以估计黑球的个数为2400．【考点评析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．【变式训练4-5】（2024•庄浪县